Théorie du mouvement des corps célestes/L2S1

Carl Friedrich Gauss

Théorie du mouvement des corps célestes

Traduction par Edmond Dubois.
1864 (p. 173-248).

LIVRE SECOND.

RECHERCHE DES ORBITES DES CORPS CÉLESTES D’APRÈS LES OBSERVATIONS GÉOCENTRIQUES.

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PREMIÈRE SECTION.

DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

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Sept éléments sont exigés pour la connaissance complète du mouvement d’un corps céleste dans son orbite, nombre qui peut être diminué d’un, si la masse du corps céleste est connue ou négligée ; on peut à peine éviter de négliger la masse dans la détermination d’une orbite entièrement inconnue, où il convient d’écarter, pour un moment, toutes les quantités de l’ordre des perturbations, jusqu’à ce que les masses dont elles dépendent aient été connues d’autre part. C’est pourquoi, la masse du corps céleste étant négligée dans la présente recherche, nous réduisons à six le nombre des éléments, et il est alors évident que, pour la détermination de l’orbite inconnue, il est nécessaire d’avoir un même nombre de quantités fonctions des éléments, mais indépendantes l’une de l’autre. Ces quantités ne peuvent être que les positions du corps céleste observé de la Terre ; et comme chacune de ces positions fournit deux quantités, à savoir la longitude et la latitude ou l’ascension droite et la déclinaison, il sera certainement le plus simple d’adopter trois lieux géocentriques, qui, en général, suffiront à la détermination des six éléments inconnus. Ce problème doit être considéré comme le plus important de cet ouvrage, et, pour cette raison, sera traité avec le plus grand soin dans cette section.

Mais dans le cas spécial, où le plan de l’orbite coïncide avec l’écliptique, et par suite où toutes les latitudes, soit héliocentriques, soit géocentriques, s’évanouissent naturellement, il ne sera plus permis de considérer les trois latitudes géocentriques nulles, comme trois quantités données indépendantes l’une de l’autre ; ce problème resterait alors indéterminé, et l’on pourrait satisfaire aux trois lieux géocentriques par un grand nombre d’orbites. C’est pourquoi, dans un pareil cas, il faudra nécessairement que quatre longitudes soient données, pour qu’on puisse déterminer les quatre autres éléments inconnus (l’inclinaison de l’orbite et la longitude du nœud étant écartées). Mais quoique, par un principe qu’on ne saurait discerner, on ne puisse pas s’attendre qu’un tel cas doive jamais s’offrir dans la nature des choses, néanmoins, on présumera facilement que le problème qui, pour une orbite coïncidant entièrement avec le plan de l’écliptique, devient absolument indéterminé, doit, à cause de la précision limitée des observations, rester presque indéterminé, dans une orbite très-peu inclinée sur l’écliptique, où même de très-légères erreurs d’observations doivent altérer entièrement la valeur des inconnues. C’est pourquoi, afin d’examiner aussi ce cas, il sera nécessaire de choisir six autres données ; dans ce but, nous montrerons, dans la seconde section, comment déterminer une orbite inconnue au moyen de quatre observations, dont deux sont complètes, mais les deux autres incomplètes, les latitudes ou les déclinaisons manquant.

Enfin, puisque toutes nos observations, en raison de l’imperfection des instruments et de nos sens, ne sont que des approximations de la vérité, l’orbite établie seulement par les six données absolument nécessaires, pourra encore être sujette à des erreurs considérables. Afin de les affaiblir autant qu’il est réellement permis de le faire, et pour que nous puissions atteindre à toute la précision possible, on n’aura pas d’autres moyens que d’amasser le plus grand nombre d’observations parfaites, et de perfectionner les éléments de telle sorte, non pas qu’ils satisfassent à celles-ci ou à celles-là avec une précision absolue, mais qu’ils s’accordent le mieux possible avec toutes les observations. Nous ferons voir, dans la troisième section, de quelle manière on peut obtenir, d’après les règles du calcul des probabilités, un pareil accord, sinon absolu nulle part, du moins partout le plus étroit possible.

De cette manière donc, la détermination des orbites, en tant que les corps célestes s’y meuvent suivant les lois de Képler, sera portée à toute la perfection qui peut être désirée. On pourra alors enfin, réellement entreprendre un dernier perfectionnement en tenant compte des perturbations que les autres planètes produisent dans le mouvement. Nous indiquerons brièvement, dans la quatrième section, de quelle manière on peut en tenir compte, en tant, il est vrai, que cette question paraîtra se rattacher à notre plan.

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Avant d’entreprendre la détermination d’une orbite quelconque à l’aide d’observations géocentriques, celles-ci devront subir quelques corrections relatives à la nutation, la précession, la parallaxe et l’aberration, si toutefois une grande précision est demandée ; dans un calcul approché, il sera en effet permis de négliger ce3 petites quantités.

Les observations des planètes et des comètes sont habituellement effectuées par les ascensions droites et les déclinaisons apparentes, c’est-à-dire rapportées à la position apparente de l’équateur. Puisque cette position est variable à cause de la précession et de la nutation, et par suite différente pour les différentes observations, il conviendra avant tout, d’introduire quelque plan fixe à la place du plan variable ; dans ce but, on pourra employer, ou l’équateur à sa position moyenne pour une époque déterminée, ou l’écliptique. On a coutume, le plus souvent, de choisir ce dernier plan, mais le premier se recommande par des avantages particuliers qui ne doivent pas être dédaignés.

Toutes les fois donc qu’il a plu de choisir le plan de l’équateur, les observations doivent d’abord être purgées de la nutation, et, après cela, la précession étant appliquée, elles devront être réduites à une époque quelconque arbitraire ; cette opération s’accorde entièrement avec celle par laquelle, de la position observée d’une étoile fixe on passe à la position moyenne pour une époque donnée, et par conséquent ne demande aucune explication. Mais, si l’on est convenu d’adopter le plan de l’écliptique, une double méthode se présentera, à savoir : des ascensions droites et déclinaisons corrigées de la nutation et de la précession, on pourra déduire les longitudes et latitudes au moyen de l’obliquité moyenne, d’où seront obtenues les longitudes rapportées à l’équinoxe moyen ; ou, plus facilement, d’après les ascensions droites et les déclinaisons apparentes seront calculées les longitudes et latitudes que l’on corrigera ensuite de la nutation et de la précession.

Les différentes positions de la Terre correspondant aux observations seront calculées par les tables solaires, mais il est évident qu’elles devront être rapportées au même plan auquel sont rapportées les observations du corps céleste. C’est pourquoi, dans le calcul de la longitude du Soleil, la nutation sera négligée, mais après cela, la précession étant appliquée, cette longitude sera réduite à une époque fixe, et augmentée de 180° ; on attribuera à la latitude du Soleil un signe contraire, si l’on trouve utile d’en tenir compte ; on aura ainsi la position héliocentrique de la Terre, qui, si l’équateur est choisi pour plan fondamental, pourra être transformée en ascension droite et déclinaison à l’aide de l’obliquité moyenne.

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La position de la Terre calculée de cette manière à l’aide des tables se rapporte au centre de la Terre, mais la position observée du corps céleste concerne un point de la surface terrestre ; on peut avoir égard à cette différence de trois manières :

Ou l’observation peut, en effet, être ramenée au centre de la Terre, c’est-à-dire corrigée de la parallaxe ; ou le lieu héliocentrique de la Terre peut être réduit au lieu même de l’observation, ce qui se fait en appliquant convenablement la parallaxe à la position du Soleil déduite des tables ; ou enfin, l’une et l’autre position peuvent être transportées à un troisième point quelconque, qui est déterminé le plus convenablement par l’intersection du rayon visuel avec le plan de l’écliptique ; l’observation elle-même reste alors invariable, et nous avons enseigné dans l’art. 72 la réduction de la position de la Terre à ce point. La première méthode ne peut être employée, à moins que la distance du corps céleste à la Terre ne soit connue ; mais alors elle est assez commode, surtout toutes les fois que l’observation est faite dans le méridien même, cas dans lequel la déclinaison seulement est affectée de la parallaxe. Il sera, en outre, préférable d’appliquer immédiatement cette correction à la position observée, avant de s’occuper des transformations de l’article précédent. Mais si la distance à la Terre est encore entièrement inconnue, on devra avoir recours à la seconde ou à la troisième méthode, et la seconde devra être employée toutes les fois que l’équateur est choisi pour plan fondamental ; mais la troisième doit être préférée lorsqu’il convient de rapporter toutes les positions à l’écliptique.

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Si la distance du corps céleste à la Terre correspondant à quelque observation est déjà approximativement connue, on peut affranchir cette observation de l’effet de l’aberration, de plusieurs manières, qui reposent sur les différentes méthodes enseignées dans l’art. 71. Soit $t$ le temps vrai d’une observation ; $\theta$ l’intervalle de temps que met la lumière à venir de l’astre à la Terre, ce qui s’obtient en multipliant la distance par 493^s ; $l$ le lieu observé, $l'$ le même lieu réduit au temps $t+\theta$ au moyen du mouvement diurne géocentrique ; $l''$ le lieu $l$ corrigé de cette partie de l’aberration qui est commune aux planètes et aux étoiles ; $\mathrm {L}$ le lieu vrai de la Terre correspondant à l’époque $t$ (c’est-à-dire, le lieu déduit des tables augmenté de 20″,25), et enfin, $'\!\mathrm {L}$ le lieu vrai de la Terre correspondant à l’époque $t-\theta .$ Ceci posé, on aura :

I. $l$ lieu vrai du corps céleste vu de $'\!\mathrm {L}$ à l’époque $t-\theta .$

II. $l'$ lieu vrai du corps céleste vu de $\mathrm {L}$ à l’époque $t.$

III. $l''$ lieu vrai du corps céleste vu du lieu $\mathrm {L}$ à l’époque $t-\theta .$

Par la méthode I, le lieu observé ne change donc pas, mais à la place de l’époque vraie on substitue l’époque fictive $t-\theta ,$ pour laquelle est calculée la position de la Terre ; la méthode II applique à l’observation seule une modification, mais, en outre de la distance, elle exige encore le mouvement diurne ; dans la méthode III, l’observation subit une correction indépendante de la distance ; à l’époque vraie est substituée l’époque fictive $t-\theta ,$ mais la position correspondante de la Terre est calculée pour l’époque vraie. De ces méthodes, la première est de beaucoup la plus commode, toutes les fois que la distance est déjà assez connue pour que la réduction du temps $\theta$ puisse être calculée avec une précision suffisante.

Mais si cette distance est encore entièrement inconnue, aucune de ces méthodes ne pourra être immédiatement appliquée. Dans la première, en effet, on connaît il est vrai la position géocentrique du corps céleste, mais on a besoin d’un intervalle et d’une position de la Terre dépendant tous deux d’une distance inconnue ; dans la seconde, au contraire, celles-ci sont déterminées, celui-là manque ; dans la troisième enfin, on connaît le lieu géocentrique du corps céleste et la position de la Terre ; mais le temps auquel ces données sont liées manque.

Que faut-il donc faire dans notre problème si, dans ce cas, la solution est demandée exacte, même en égard à l’aberration ? Le plus simple est certainement de déterminer l’orbite en négligeant l’aberration, puisqu’elle ne peut jamais produire un effet considérable ; les distances seront obtenues par là avec assez de précision pour corriger alors les observations, de l’aberration, par quelques-unes des méthodes exposées tout à l’heure, et pour qu’il soit permis de recommencer avec plus d’exactitude la détermination de l’orbite. Maintenant, dans ce travail, la troisième méthode devra de beaucoup être préférée ; dans la première méthode, en effet, toutes les opérations relatives à la position de la Terre doivent être recommencées de nouveau, depuis le commencement ; dans la seconde (qui n’est réellement applicable que si l’on possède un nombre suffisant d’observations pour pouvoir en déduire le mouvement diurne), il faut reprendre de nouveau toutes les opérations relatives à la position géocentrique du corps céleste ; dans la troisième, au contraire (si à la vérité un premier calcul a été établi sur les lieux géocentriques affranchis de l’aberration des fixes), toutes les opérations préliminaires relatives à la position de la Terre et au lieu géocentrique du corps céleste pourront, dans le nouveau calcul, être conservées invariables. De plus, on pourra de cette manière comprendre aussitôt l’aberration dans le premier calcul, si la méthode employée pour la détermination de l’orbite est établie de manière, que les valeurs des distances soient obtenues avant qu’on ait besoin d’introduire dans le calcul les époques corrigées. Alors le double calcul, à cause de l’aberration, ne sera pas réellement nécessaire, ainsi que cela se verra plus clairement en traitant plus longuement notre problème.

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Il ne serait pas difficile, d’après la liaison qui existe entre les données et les inconnues de notre problème, de réduire son établissement à six équations, ou même à un plus petit nombre, puisqu’il serait permis d’éliminer l’une ou l’autre inconnue assez facilement ; mais puisque cette liaison est très-compliquée, ces équations deviendraient fort difficiles à résoudre ; une séparation des inconnues telle que l’on puisse arriver à une équation contenant seulement une inconnue, peut, généralement parlant^[1], être considérée comme impossible, et par conséquent, encore moins sera-t-il permis d’obtenir la solution complète du problème par les seules opérations directes.

Mais on peut certainement réduire notre problème, et même de plusieurs manières, à la solution de deux équations, $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ dans lesquelles deux inconnues seulement, $x$ et $y,$ se trouvent mêlées. Il n’est pas, à la vérité, nécessaire que $x$ et $y$ soient deux des éléments eux-mêmes ; elles pourront être des quantités liées d’une manière quelconque avec les éléments, pourvu qu’une fois ces quantités trouvées, on puisse en déduire facilement les éléments. En outre, il n’est évidemment pas besoin que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ soient exprimées par des fonctions explicites de $x$ et $y,$ il suffit qu’elles soient liées avec celles-ci par un système d’équations tel, que des valeurs données de $x$ et $y$ il soit possible de passer aux valeurs correspondantes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

120

Puisque la nature du problème ne permet pas une réduction ultérieure au système de deux équations contenant pêle-mêle deux inconnues, le point important consiste donc réellement d’abord dans le choix convenable de ces inconnues et dans la disposition des équations, afin que non-seulement $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ soient des fonctions les plus simples de $x$ et de $y,$ mais aussi, que de leurs valeurs déterminées les éléments eux-mêmes s’en déduisent le plus facilement ; mais, après cela, il faudra voir de quelle manière on pourra déterminer, sans opérations trop pénibles, les valeurs des inconnues satisfaisant au équations. Si l’on n’y arrivait que par des tâtonnements aveugles, cela exigerait un travail considérable et à peine tolérable, qui, néanmoins, a souvent été à peu près entrepris par les astronomes qui ont déterminé les orbites des comètes par la méthode qu’ils nomment indirecte ; dans une telle question, le travail est certainement grandement diminué par la raison que, dans les premiers essais, des calculs plus grossiers suffisent, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à des valeurs approchées des inconnues. Mais aussitôt qu’on a obtenu une détermination déjà approchée, on peut terminer la solution par des méthodes toujours sûres et promptes que je crois devoir expliquer ici avant d’aller plus loin.

Si pour $x$ et $y,$ on a pris les véritables valeurs elles-mêmes, on satisfera immédiatement d’une manière exacte aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0\,;$ si au contraire, à la place de $x$ et $y$ on substitue des valeurs différentes des véritables, les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ qui s’en déduiront seront différentes de zéro. Mais, plus $x$ et $y$ approcheront près des véritables valeurs, plus les valeurs de $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y}$ devront aussi être moindres ; et lorsque leurs différences avec les valeurs exactes seront très-petites, on pourra supposer que les variations des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont à peu près proportionnelles aux variations de $x,$ si $y$ ne change pas, ou aux variations de $y,$ si $x$ ne change pas. C’est pourquoi, si les valeurs de $x$ et $y$ sont respectivement désignées par $\xi ,$ $\eta ,$ les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ correspondant à l’hypothèse $x=\xi +\lambda ,$ $y=\eta +\mu ,$ se présenteront sous la forme $\mathrm {X} =\alpha \lambda +\beta \mu ,$ $\mathrm {Y} =\lambda \gamma +\delta \mu ,$ dans lesquelles les coefficients $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ peuvent être considérés comme constants, tant que $\lambda$ et $\mu$ restent très-petits. De là on conclut, que si pour trois systèmes de valeurs de $x$ et $y,$ peu différentes des véritables, les valeurs correspondantes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ont été déterminées, les vraies valeurs de $x$ et $y$ pourront s’en déduire, en tant qu’il soit réellement permis d’admettre l’hypothèse ci-dessus.

Admettons que

pour 	$x=a,$	$y=b$	on ait 	$\mathrm {X} =\mathrm {A} ,$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} ,$
	$x=a',$	$y=b'$		$\mathrm {X} =\mathrm {A} ',$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} ',$
	$x=a'',$	$y=b''$		$\mathrm {X} =\mathrm {A} '',$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} '',$

et nous aurons

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} &=\alpha (a-\xi )&{}+{}&\beta (b-\eta ),&\qquad \mathrm {B} &=\gamma (a-\xi )&{}+{}&\delta (b-\eta ),\\\mathrm {A} '&=\alpha (a'-\xi )&{}+{}&\beta (b'-\eta ),&\qquad \mathrm {B} '&=\gamma (a'-\xi )&{}+{}&\delta (b'-\eta ),\\\mathrm {A} ''&=\alpha (a''-\xi )&{}+{}&\beta (b''-\eta ),&\qquad \mathrm {B} ''&=\gamma (a''-\xi )&{}+{}&\delta (b''-\eta ),\end{alignedat}}$

De là on a, $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ et $\delta$ étant éliminés,

${\begin{aligned}\xi &={\frac {a(\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ')+a'(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+a''(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\\[0.75ex]\eta &={\frac {b(\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ')+b'(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+b''(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\end{aligned}}$

ou, sous une forme plus commode pour le calcul,

${\begin{aligned}\xi &=a+{\frac {(a'-a)(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+(a''-a)(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\\[0.75ex]\eta &=b\,+\;{\frac {(b'-b)(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+(b''-b)(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\end{aligned}}$

Il est évident aussi, que l’on peut changer, dans ces formules, les quantités $a,\,b,\,\mathrm {A} ,\,\mathrm {B}$ avec $a',\,b',\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',$ ou avec $a'',\,b'',\,\mathrm {A} '',\,\mathrm {B} ''.$

Au reste, le dénominateur commun de toutes ces expressions, que l’on peut aussi écrire sous la forme

$(\mathrm {A} '-\mathrm {A} )(\mathrm {B} ''-\mathrm {B} )-(\mathrm {A} ''-\mathrm {A} )(\mathrm {B} '-\mathrm {B} )$

devient égal à

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[(a'-a)(b''-b)-(a''-a)(b'-b)\right]\,;$

d’où il est évident, que $a,\,a',\,a'',\,b,\,b',\,b''$ doivent être pris de telle sorte que l’on n’ait pas

${\frac {a''-a}{b''-b}}={\frac {a'-a}{b'-b}}\,;$

autrement, en effet, cette méthode ne serait pas applicable, mais fournirait pour $\xi$ et $\eta$ des valeurs fractionnaires, dont les numérateurs et les dénominateurs s’évanouiraient ensemble. De là, il est en même temps évident, que si par hasard on a

$\alpha \delta -\beta \gamma =0,$

la même défectuosité de la méthode en défend entièrement l’usage, de quelque manière que l’on choisisse $a,$ $a',$ $a'',$ $b,$ $b',$ $b''.$ Dans un tel cas, il faudrait supposer aux valeurs de $\mathrm {X}$ une forme telle que

$\alpha \lambda +\beta \mu +\varepsilon \lambda ^{2}+\zeta \lambda \mu +\theta \mu ^{2},$

cl de même pour les valeurs de $\mathrm {Y} \,;$ d’après quoi, l’analyse fournirait des méthodes analogues à la précédente pour trouver, au moyen des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ calculées pour quatre systèmes de valeurs de $x$ et $y,$ les valeurs exactes de ces dernières. Mais, de cette manière, le calcul deviendrait très-pénible, et, en outre, on peut faire voir que dans un tel cas, la détermination de l’orbite, par la nature même de la question n’admet pas la précision nécessaire ; puisque cet inconvénient ne peut être évité autrement qu’en obtenant de nouvelles observations plus convenables, nous ne nous arrêterons pas ici davantage à cette question.

121

Toutes les fois que l’on connaîtra les valeurs approchées des inconnues, on pourra donc en déduire les valeurs exactes, par la méthode que nous venons d’expliquer, avec toute la précision qu’on peut désirer. D’abord, en effet, seront calculées les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ correspondant à ces valeurs approchées $(a,b)\,;$ à moins que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne s’évanouissent déjà immédiatement, on fera un second calcul avec deux autres valeurs $(a',b')$ un peu différentes des premières, et ensuite, au moyen d’un troisième système $(a'',b'')\,;$ à moins que, par hasard, $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne s’annulent par le second système. Alors, par les formules de l’article précédent, les véritables valeurs seront obtenues, en tant que l’hypothèse sur laquelle reposent ces formules ne s’éloigne pas sensiblement de la vérité. Afin de juger de cela avec plus de certitude, le calcul des valeurs de $\mathrm {X,\,Y}$ sera recommencé avec ces valeurs corrigées, qui, si elles ne satisfont pas encore aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ détermineront certainement des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ beaucoup plus petites que par les trois premières hypothèses, et par suite, les éléments de l’orbite qui en résulteront seront beaucoup plus exacts que ceux qui correspondent aux premières hypothèses. Si nous ne voulons pas nous en tenir à ces éléments, le plus sage sera, après avoir négligé l’hypothèse qui avait produit les plus grandes différences, de joindre de nouveau les deux autres à la quatrième, et de former, suivant les principes de l’article précédent, un cinquième système de valeurs de $x$ et $y\,;$ et de la même manière, lorsqu’on en verra l’utilité, on pourra déterminer une sixième hypothèse et ainsi de suite, jusqu’à ce que les équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0$ soient satisfaites aussi exactement que le permettent les tables trigonométriques et logarithmiques. Très-rarement cependant, on aura besoin d’aller plus loin que le quatrième système, à moins que les premières hypothèses ne soient encore trop écartées de la vérité.

122

Puisque les valeurs des inconnues, dans la seconde et la troisième hypothèse, sont en quelque sorte prises arbitrairement, pourvu seulement qu’elles ne diffèrent pas trop de la première hypothèse, et qu’en outre on évite que le rapport $(a''-a):(b''-b)$ ne tende à devenir égal au rapport $(a'-b):(b'-b),$ on a généralement l’habitude de poser $a'=a,$ $b''=b.$

De là on retire un double avantage ; car, non-seulement les formules relatives à $\xi ,$ $\eta$ deviennent encore un peu plus simples, mais aussi, une partie du premier calcul restera le même dans la seconde hypothèse, et une autre partie dans la troisième.

Il est cependant un cas où d’autres raisons engagent à s’écarter de cette manière de faire ; supposons en effet, que $\mathrm {X}$ ait la forme $\mathrm {X} '-x,$ et $\mathrm {Y}$ celle $\mathrm {Y} '-y,$ et que les fonctions $\mathrm {X} ',$ $\mathrm {Y} '$ soient établies, par la nature du problème, de telle sorte qu’elles soient très-peu affectées par des erreurs médiocres commises dans les valeurs de $x$ et $y,$ ou que $\left({\frac {d\mathrm {X} '}{dx}}\right),$ $\left({\frac {d\mathrm {X} '}{dy}}\right),$ $\left({\frac {d\mathrm {Y} '}{dx}}\right),$ $\left({\frac {d\mathrm {Y} '}{dy}}\right)$ soient des quantités excessivement petites, il est alors évident, que les différences entre les valeurs de ces fonctions correspondant au système $x=\xi ,$ $y=\eta ,$ et celles qui proviennent du système $x=a,$ $y=b,$ peuvent être considérées comme d’un ordre plus élevé que les différences $\xi -a,$ $\eta -b\,;$ mais ces valeurs-là sont $\mathrm {X} '=\xi ,$ $\mathrm {Y} '=\eta ,$ et celles-ci $\mathrm {X} '=a+\mathrm {A} ,$ $\mathrm {Y} '=b+\mathrm {B} ,$ d’où il suit, que $a+\mathrm {A} ,$ $b+\mathrm {B}$ sont des valeurs de $x$ et $y$ beaucoup plus exactes que $a,$ $b.$ Si la seconde hypothèse est établie sur ces valeurs, elle satisfait très-souvent, déjà si exactement aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ qu’il est inutile d’aller au delà ; s’il en est autrement, on formera de la même manière la troisième hypothèse, au moyen de la seconde, en faisant

$a''=a'+\mathrm {A} '=a+\mathrm {A} +\mathrm {A} ',$  $b''=b'+\mathrm {B} '=b+\mathrm {B} +\mathrm {B} '\,;$

d’où enfin, si on ne la trouve pas encore assez précise, on formera la quatrième d’après la règle de l’art. 120.

123

Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu’on avait déjà obtenu de quelque part les valeurs approchées des inconnues $x,\,y.$ Toutes les fois, assurément, que l’on connaît les dimensions approchées de toute l’orbite (déduites peut-être d’autres observations, par des calculs antérieurs, et devant maintenant être corrigées par de nouvelles), on pourra, sans difficulté, satisfaire à cette condition, quelle que soit la signification que nous attribuions aux inconnues. Au contraire, dans la première détermination d’une orbite encore entièrement inconnue (problème qui est de beaucoup le plus difficile), il n’est nullement indifférent d’employer telles ou telles inconnues ; elles doivent plutôt être choisies avec adresse de manière que de la nature du problème même, il soit permis de déduire les valeurs approchées. Ce qui réussit d’une manière très-satisfaisante toutes les fois que les trois observations employées pour la recherche de l’orbite n’embrassent pas un trop grand mouvement héliocentrique du corps céleste. On devra donc toujours choisir de cette manière les observations pour une première détermination, qu’il conviendra après cela de corriger, à son gré, par des observations plus écartées l’une de l’autre. On aperçoit en effet facilement, que les erreurs inévitables des observations affectent d’autant plus le résultat que les observations ont été prises plus rapprochées. De là nous concluons, que les observations relatives à une première détermination ne doivent pas être prises inconsidérément, mais qu’on doit prendre garde, d’abord qu’elles ne soient trop voisines l’une de l’autre, mais ensuite qu’elles ne soient pas non plus trop écartées. Dans le premier cas, en effet, le calcul des éléments devant satisfaire aux observations s’achève en vérité très-promptement, mais on devrait accorder peu de confiance à ces éléments eux-mêmes ; bien plus, ils pourraient être altérés par des erreurs si considérables qu’ils ne pourraient même pas servir, à leur tour, d’approximation. Dans l’autre cas, nous, abandonnerions les méthodes qui servent à la détermination approchée des inconnues, et nous ne pourrions en obtenir aucune autre détermination, si ce n’est une très-grossière, ou entièrement insuffisante, sans un bien plus grand nombre d’hypothèses, ou des tâtonnements les plus fastidieux. Mais on apprendra bien mieux à juger sûrement des limites de cette méthode par une pratique fréquente que par des règles ; les exemples donnés ci-dessous montrent que les éléments déduits des observations de Junon embrassant seulement un espace de 22 jours, et comprenant un mouvement héliocentrique de 7° 35′, jouissent déjà d’une grande précision ; et pareillement, que notre méthode peut aussi être appliquée avec un entier succès aux observations de Cérès qui embrassent un espace de 260 jours et comprennent un mouvement héliocentrique de 62° 55′ ; et peut fournir, avec l’emploi de quatre hypothèses, ou mieux, d’approximations successives, des éléments s’accordant parfaitement bien avec les observations.

124

Nous procédons maintenant à l’énumération des méthodes les plus convenables basées sur les principes précédents, dont nous avons, par le fait, exposé déjà, dans le premier livre, les parties principales, et qui doivent seulement ici être appliquées à notre but.

La méthode qui paraît la plus simple est de prendre pour $x$ et $y$ les distances du corps céleste à la Terre dans les deux observations, ou plutôt, les logarithmes de ces distances, ou les logarithmes de ces distances projetées sur l’écliptique ou sur l’équateur. De là, par l’art. 64, V, seront déduits les lieux héliocentriques et les distances au Soleil correspondant aux mêmes positions ; de là encore, par l’art. 110, la position du plan de l’orbite et les longitudes héliocentriques dans ce plan ; et de là, au moyen des rayons vecteurs et des intervalles de temps correspondants, suivant le problème traité longuement dans les art. 85-105, tous les autres éléments, par lesquels ces observations doivent évidemment être exactement représentées, quelles que soient les valeurs qui aient été attribuées à $x$ et $y.$ Si maintenant, on calcule, à l’aide de ces éléments, le lieu géocentrique pour l’époque de la troisième observation, l’accord ou le désaccord de cette position calculée avec la position observée déterminera si les valeurs supposées sont les vraies, ou en diffèrent : comme il en résultera une double comparaison, une différence (en longitude ou ascension droite) pourra être prise pour $\mathrm {X} ,$ et l’autre (en latitude ou en déclinaison) pour $\mathrm {Y} .$ À moins donc que les valeurs de ces différences $\mathrm {X,\,Y}$ ne soient spontanément nulles, on pourra déterminer les véritables valeurs de $x$ et $y,$ par la méthode développée dans les art. 120 et suivants. Il est du reste par soi-même arbitraire, que nous partions de l’une ou de l’autre des trois observations ; le plus souvent, cependant, il est préférable d’adopter la première et la dernière, excepté le cas spécial dont nous allons de suite parler.

Cette méthode doit être préférée à la plupart de celles expliquées ci-après, par la raison qu’elle admet une application plus générale. Il faut excepter le cas dans lequel les deux observations extrêmes embrassent un mouvement héliocentrique de 180, de 360 ou de 540 degrés ; alors, en effet, la position du plan de l’orbite ne peut être déterminée d’après les deux positions héliocentriques (art. 110).

De même, il ne conviendra pas d’appliquer la méthode toutes les fois que le mouvement héliocentrique entre les deux observations extrêmes est peu différent de 180° ou 360°, etc., parce que, dans ce cas, la détermination exacte de la position de l’orbite ne peut être obtenue, ou plutôt, parce que de légères variations dans les valeurs supposées des inconnues produiraient des variations si grandes dans la position de l’orbite, et par conséquent aussi dans les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ que les variations de ces dernières quantités ne pourraient plus être considérées comme proportionnelles à celles des premières. Cependant un remède est ici en présence : c’est de ne pas partir, dans un tel cas, des deux observations extrêmes, mais de la première et de celle du milieu, ou de celle-ci et de la dernière, et par suite, de prendre pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ la différence entre le calcul et l’observation pour le troisième lieu ou pour le premier. Mais si le premier et le troisième lieux étaient tous deux distants du second d’à peu près 180°, cet inconvénient ne pourrait pas être écarté de cette manière ; il vaut alors mieux ne pas employer, pour le calcul des éléments, des observations de ce genre, d’après lesquelles, par la nature même de la question, il est complètement impossible d’obtenir une détermination exacte de la position de l’orbite.

En outre, cette méthode se recommande aussi en ce que, sans travail, on peut estimer quelles variations subissent les éléments quand, les lieux extrêmes étant supposés invariables, le lieu intermédiaire éprouve un petit changement ; on pourra donc juger, de cette manière, du degré de précision que l’on pourra attribuer aux éléments trouvés.

125

Par un léger changement apporté à la méthode précédente nous déduirons la seconde. Nous déterminerons, de même que dans celle-là, tous les éléments, en partant des distances dans deux observations. Cependant, d’après ces éléments, nous ne calculerons pas le lieu géocentrique pour la troisième observation, mais nous irons seulement jusqu’à la position héliocentrique dans l’orbite ; d’un autre côté, nous déduirons le même lieu héliocentrique d’après le lieu géocentrique observé et la position du plan de l’orbite, à l’aide du problème traité dans les art. 74, 75 ; les différences entre ces deux déterminations (à moins, par hasard, que les valeurs supposées de $x$ et $y$ ne soient les vraies), nous fourniront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ elles-mêmes, en prenant pour $\mathrm {X}$ la différence entre les deux valeurs des longitudes dans l’orbite, et pour $\mathrm {Y}$ la différence entre les deux valeurs du rayon vecteur, ou mieux de son logarithme. Cette méthode est sujette aux mêmes conseils que ceux que nous avons touchés dans l’article précédent ; il convient d’en ajouter un autre, à savoir, que le lieu héliocentrique dans l’orbite ne peut être déduit du lien géocentrique toutes les fois que la position de la Terre coïncide avec l’un ou l’autre des nœuds de l’orbite ; alors donc, il n’est pas permis d’appliquer cette méthode. Mais dans le cas où la position de la Terre est très-peu éloignée de l’un ou l’autre nœud, il convient aussi de s’abstenir de cette méthode, puisque l’hypothèse qu’à de petites variations de $x,\,y$ correspondent des variations proportionnelles de $\mathrm {X,\,Y} ,$ deviendrait trop fautive, par une raison semblable à celle que nous avons indiquée dans l’article précédent. Mais ici aussi, on pourra y remédier en changeant le lieu moyen avec l’un des lieux extrêmes, auquel doit correspondit une position de la Terre plus écartée des nœuds, à moins que, par hasard, la Terre, dans les trois observations, ne soit placée dans le voisinage des nœuds.

126

La méthode précédente prépare immédiatement la voie à la troisième. De la même manière que précédemment, sont déterminés, d’après les distances de l’astre à la Terre dans les observatius extrêmes, les longitudes dans l’orbite correspondantes ainsi que les rayons vecteurs. Avec la position du plan de l’orbite, que ce calcul aura fourni, on déduira de l’observation moyenne la longitude dans l’orbite et le rayon vecteur. Mais alors, à l’aide de ces trois lieux héliocentriques, les autres éléments seront calculés suivant le problème traité dans les art. 82, 83, opération qui sera indépendante des temps des observations. De cette manière, trois anomalies moyennes et le mouvement diurne seront alors connus ; on pourra donc d’après cela, calculer les intervalles de temps eux-mêmes compris entre la première et la seconde observation et entre la seconde et la troisième. Les différences entre ces intervalles calculés et les intervalles vrais seront pris pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

Cette méthode est moins convenable toutes les fois que le mouvement héliocentrique n’embrasse qu’un petit arc. Dans un tel cas, en effet, cette détermination de l’orbite (ainsi que nous l’avons déjà fait voir dans l’art. 82) dépend de quantités du troisième ordre et, par suite, n’admet pas une précision suffisante. Les plus légères variations dans les valeurs de $x,\,y$ peuvent produire des variations très-grandes dans les éléments et, par conséquent, dans les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ aussi, et l’on ne pourrait supposer ces dernières variations proportionnelles aux premières. Mais quand les trois lieux embrassent un mouvement héliocentrique considérable, l’emploi de la méthode réussit certainement le mieux, pourvu qu’elle ne soit pas troublée par les exceptions expliquées dans l’article précédent, exceptions auxquelles, dans cette méthode, on devra évidemment avoir aussi égard.

127

Après que les trois lieux héliocentriques auront été obtenus de la manière que nous venons de l’indiquer dans l’article précédent, on pourra continuer de la manière suivante : Les autres éléments devront être déterminés par le problème traité dans les art. 85-105, d’abord, d’après le premier et le second lieu avec l’intervalle correspondant, et ensuite, de la même manière, d’après le second et le troisième lieu et l’intervalle correspondant : on obtiendra ainsi deux valeurs pour chaque élément dont on pourra prendre deux différences quelconques pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$ Un avantage qu’on ne doit pas dédaigner recommande beaucoup cette méthode ; c’est que dans les premières hypothèses on peut négliger entièrement, en dehors des deux éléments choisis pour déterminer $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ tous les autres, qui seront déterminés à la fin, dans le dernier calcul basé sur les valeurs corrigées de $x,$ $y,$ soit seulement par la première combinaison, soit seulement par la seconde, ou ce qui est le plus souvent préférable, par la combinaison du premier lieu avec le troisième.

Le choix de ces deux éléments qui, généralement parlant, est arbitraire, fournit une grande variété de solutions : on pourra adopter, par exemple, le logarithme du demi-paramètre avec le logarithme du demi grand axe, ou le premier avec l’excentricité, ou celle-ci avec le dernier, ou la longitude du périhélie avec l’un de ces éléments ; l’un ou l’autre de ces quatre éléments pourra aussi être combiné avec l’anomalie excentrique correspondante du lieu moyen, dans l’un ou l’autre calcul, si à la vérité l’orbite se trouve elliptique, cas dans lequel les formules 27-30, art. 96, fourniront un calcul très-rapide. Mais dans des cas spéciaux ce choix exige une certaine circonspection ; ainsi, par exemple, dans les orbites s’approchant de la parabole, le demi grand axe ou son logarithme serait moins convenable, car leurs trop grandes variations ne peuvent être considérées comme proportionnelles aux variations de $x$ et $y\,:$ dans un pareil cas il serait plus convenable de prendre ${\frac {1}{a}}.$ Mais nous nous arrêtons d’autant moins à ces subtilités que la cinquième méthode expliquée dans l’article suivant l’emporte, dans presque tous les cas, sur les quatre exposées jusqu’à présent.

128

Désignons par $r,\,r',\,r''$ trois rayons vecteurs obtenus de la même manière que dans les art. 125, 126 ; le mouvement angulaire héliocentrique dans l’orbite, du second lieu au troisième par $2f,$ du premier au troisième par $2f',$ du premier au second par $2f'',$ de telle sorte que l’on ait

$f'=f+f''.$

Soient ensuite.

$r'r''\sin 2f=n,\qquad rr''\sin 2f'=n',\qquad rr'\sin 2f''=n''\,;$

et enfin, soient respectivement $\theta ,\,\theta ',\,\theta ''$ le produit de la quantité constante $k$ (art. 2) par les intervalles de temps de la seconde observation à la troisième, de la première à la troisième, de la première à la seconde. Le double calcul des éléments est commencé (de même que dans l’article précédent) d’après $r,\,r',\,f''$ et $\theta ''$ et d’après $r'r''f,$ $\theta \,;$ dans l’un et l’autre calcul on n’ira pas jusqu’à la détermination des éléments mêmes, mais on s’arrêtera aussitôt qu’on aura obtenu cette quantité qui exprime le rapport du secteur elliptique au triangle, et que nous avons désignée ci-dessus (art. 91) par $y$ ou $-\mathrm {Y} .$ Soit $\eta ''$ la valeur de cette quantité dans le premier calcul, et $\eta$ dans le second. Nous aurons alors, au moyen de la formule 18, art. 95, pour le demi-paramètre $p$ les deux valeurs :

${\sqrt {\overset {}{p}}}={\frac {\eta ''n''}{\theta ''}},$  et  ${\sqrt {\overset {}{p}}}={\frac {\eta n}{\theta }}.$

Mais nous avons en outre, par l’art. 82, la troisième valeur

$p={\frac {4rr'r''\sin f\sin f'\sin f''}{n-n'+n''}}\,;$

ces trois valeurs devraient évidemment être identiques, si pour $x$ et $y$ on avait pris, dès le commencement, leurs valeurs exactes. C’est pourquoi on devrait avoir

${\begin{aligned}{\frac {\theta ''}{\theta }}&={\frac {\eta ''n''}{\eta n}},\\[0.75ex]n-n'+n''&={\frac {4\theta \theta ''rr'r''\sin f\sin f'\sin f''}{\eta \eta ''nn''}},\\&={\frac {n'\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}.\end{aligned}}$

À moins donc, que dans le premier calcul ces équations ne soient spontanément satisfaites, on pourra poser

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\log {\frac {\eta n\theta ''}{\eta ''n''\theta }},\\\mathrm {Y} &=n-n'+n''-{\frac {n'\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}.\end{aligned}}.$

Cette méthode, comme la seconde expliquée dans l’art. 125, souffre aussi une application générale, mais c’est un grand avantage que dans cette cinquième méthode, les premières hypothèses n’exigent pas la détermination des éléments mêmes, mais s’arrêtent à peu près à moitié chemin. Du reste, aussitôt que dans cette opération, on est parvenu à ce point où l’on peut prévoir que la nouvelle hypothèse ne sera pas sensiblement différente de la vérité, il sera suffisant de déterminer dans cette hypothèse les éléments eux-mêmes, soit d’après $r,\,r',\,f'',\,\theta ''$ seulement, ou d’après $r',\,r'',\,f,\,\theta ,$ ou, ce qui est préférable, d’après $r,\,r'',\,f',\,\theta '.$

129

Les cinq méthodes exposées jusqu’ici mettent aussitôt sur la voie pour autant d’autres qui diffèrent seulement de celles-ci, en ce que, au lieu de prendre pour $x$ et $y$ les distances à la Terre, on prend l’inclinaison de l’orbite et la longitude du nœud. Ces nouvelles méthodes sont donc les suivantes :

I. Au moyen de $x$ et $y$ et des deux lieux géocentriques extrêmes sont déterminés, suivant les art. 74, 75, les longitudes héliocentriques dans l’orbite et les rayons vecteurs, et de là, au moyen des intervalles correspondants, tous les autres éléments ; de ceux-ci, enfin, le lieu géocentrique pour l’époque de l’observation moyenne, dont les différences en longitude et en latitude avec la position observée fourniront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

Les quatre autres méthodes ont cela de commun, que les trois longitudes héliocentriques dans l’orbite et les rayons vecteurs correspondants sont tous calculés au moyen de la position du plan de l’orbite et des lieux géocentriques. Mais après cela :

II. Les autres éléments sont déterminés au moyen des deux lieux extrêmes seulement, et des temps correspondants ; avec ces éléments, la longitude dans l’orbite et le rayon vecteur sont calculés pour l’époque de l’observation moyenne ; les différences de ces quantités avec celles trouvées précédemment, c’est-à-dire, déduites du lieu géocentrique, produiront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$

III. Ou, les autres dimensions de l’orbite sont déduites des trois lieux héliocentriques (art. 82, 83), calcul dans lequel n’entrent point les temps : après cela, on déduit les intervalles de temps qui, dans l’orbite ainsi trouvée, devraient s’être écoulés entre la première observation et la seconde, et entre celle-ci et la troisième ; leurs différences avec les vrais intervalles nous donneront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$

IV. Les autres éléments sont calculés de deux manières, à savoir : par la combinaison du premier lieu avec le second, et par la combinaison du second et du troisième, les intervalles de temps correspondants étant employés : deux différences quelconques de ces deux systèmes d’éléments comparés entre eux, pourront être prises pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$

V. Ou enfin, le même double calcul est seulement prolongé jusqu’aux valeurs de la quantité désignée par $y$ dans l’art. 91, et alors, les expressions données dans l’article précédent seront adoptées pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

Pour qu’on puisse employer avec sûreté les quatre dernières de ces méthodes, les positions de la Terre dans les trois observations ne doivent pas être trop voisines des nœuds de l’orbite : d’un autre côté, l’emploi de la première méthode exige seulement que la même condition existe dans les deux observations extrêmes, ou plutôt (puisque le lieu moyen peut être substitué à l’un quelconque des lieux extrêmes) que, des trois positions de la Terre, il ne s’en trouve pas plus d’une dans le voisinage des nœuds.

130

Les dix méthodes expliquées depuis l’art. 124, reposent sur l’hypothèse que l’on connaît déjà des valeurs approchées des distances du corps céleste à la Terre, ou la position du plan de l’orbite.

Toutes les fois en vérité qu’il s’agit de corriger par des observations plus écartées l’une de l’autre, les dimensions d’une orbite dont les valeurs approchées ont déjà été obtenues, d’autre part, par exemple par un calcul antérieur reposant sur d’autres observations, cette hypothèse ne sera évidemment sujette à aucune difficulté. Mais on n’aperçoit pas encore, d’après cela, comment on peut entreprendre un premier calcul lorsque tous les éléments d’une orbite sont encore entièrement inconnus : ce cas de notre problème est de beaucoup le plus important et le plus difficile, ainsi qu’on peut déjà le prévoir, d’après le problème analogue dans la théorie des comètes, qui, cela est assez connu, a longtemps tourmenté les géomètres et a donné lieu à bien des essais infructueux. Pour que notre problème puisse être considéré comme convenablement résolu, il faut évidemment, si à la vérité la solution est donnée selon la règle expliquée depuis l’art. 119, satisfaire aux conditions suivantes : Premièrement, les quantités $x$ et $y$ doivent être choisies de telle sorte que l’on puisse trouver leurs valeurs approchées par la nature même du problème, du moins, tant que le mouvement héliocentrique de l’astre entre les observations n’est pas trop grand. Secondement, il est nécessaire qu’à de petites variations dans les quantités $x,\,y,$ ne correspondent pas des variations trop grandes dans les quantités qui s’en déduisent, afin que les erreurs introduites accidentellement dans les valeurs supposées de ces premières quantités n’empêchent pas les dernières d’être considérées comme approchées. Et troisièmement enfin, nous demandons que les opérations par lesquelles on passe successivement des quantités $x,\,y$ aux quantités $\mathrm {X} ,\,\mathrm {Y} ,$ ne soient pas trop compliquées.

Ces conditions fourniront le critérium d’après lequel on pourra juger d’une méthode quelconque ; ce qui se montrera encore plus clairement par de fréquentes applications. La méthode que nous nous préparons maintenant à exposer, et que l’on peut en quelque sorte considérer comme la partie la plus importante de cet ouvrage, satisfait tellement à ces conditions qu’elle semble ne rien laisser à désirer. Avant de commencer à l’expliquer dans la forme la plus convenable pour la pratique, nous développerons quelques considérations préliminaires, et nous éclairerons et lui ouvrirons, pour ainsi dire, la route qui, autrement, paraîtrait peut-être plus obscure et moins facile.

131

On a fait voir dans l’art. 114, que si l’on connaissait le rapport entre les quantités désignées en cet endroit et dans l’art. 128 par $n,\,n',\,n'',$ on pourrait, par des formules très-simples, déterminer les distances de l’astre à la Terre. Si donc nous prenons pour $x$ et $y$ les quotients

${\frac {n}{n'}},\qquad {\frac {n''}{n'}},$

les quantités

${\frac {\theta }{\theta '}},\qquad {\frac {\theta ''}{\theta '}},$

(en donnant aux lettres $\theta ,$ $\theta ',$ $\theta ''$ la même signification que dans l’article 128), s’offrent immédiatement comme une valeur approchée de ces quotients, dans le cas où le mouvement héliocentrique entre les observations n’est pas très-considérable ; de là, on voit donc se dérouler une solution facile de notre problème, si deux distances à la Terre sont obtenues d’après $x$ et $y,$ et qu’après cela nous procédions d’après l’une quelconque des cinq méthodes des art. 124-128. En effet, les lettres $\eta ,\,\eta ''$ étant prises aussi avec la signification de l’art. 128 et, par analogie, en désignant par $\eta '$ le quotient obtenu en divisant le secteur compris entre les deux rayons vecteurs par l’aire du triangle compris entre les mêmes rayons, nous aurons

${\frac {n}{n'}}={\frac {\theta }{\theta '}}.{\frac {\eta '}{\eta }},\qquad {\frac {n''}{n'}}={\frac {\theta ''}{\theta '}}.{\frac {\eta '}{\eta ''}},$

et l’on voit facilement que si $n,\,n',\,n''$ sont considérées comme de petites quantités du premier ordre, $\eta -1,\,\eta '-1,\,\eta ''-1$ seront, généralement parlant, des quantités du second ordre, et par suite, que ${\frac {\theta }{\theta '}},\,{\frac {\theta ''}{\theta '}},$ valeurs approchées de $x$ et $y,$ différeront seulement des véritables, de quantités du second ordre. Néanmoins, en considérant la chose de près, cette méthode-ci est trouvée complètement impropre, phénomène dont nous expliquerons la cause en peu de mots. On s’aperçoit en effet, facilement, que la quantité ${\text{(0.1.2)}}$ par laquelle les distances sont multipliées dans les formules 9, 10, 11 de l’art. 114, se trouve au moins du troisième ordre, tandis que par exemple, dans l’équation 9, les quantités ${\text{(O.1.2)}},$ ${\text{(I.1.2)}},$ ${\text{(II.1.2)}}$ sont du premier ordre ; mais de là il suit facilement, qu’une erreur du second ordre commise dans les valeurs des quantités ${\frac {n}{n'}},\,{\frac {n''}{n'}},$ produit une erreur de l’ordre zéro dans les valeurs des distances. C’est pourquoi, d’après la manière habituelle de s’exprimer, les distances se trouveraient alors affectées d’une erreur finie, même lorsque les intervalles seraient infiniment petits, et par conséquent, on ne pourrait réellement considérer ni ces distances ni les autres quantités qui s’en déduisent, comme étant approchées, et la méthode serait en opposition avec la seconde condition de l’article précédent.

132

En posant, pour abréger,

${\text{(0.1.2)}}=a,\quad {\text{(0.I.2)}}\mathrm {D'} =-b,\quad {\text{(0.O.2)}}\mathrm {D} =+c,\quad {\text{(0.II.2)}}\mathrm {D''} =+d,$

de telle sorte que l’équation 10, art. 114, devienne

$a\delta '=b+c{\frac {n}{n'}}+d{\frac {n''}{n'}},$

les coefficients $c$ et $d$ seront réellement du premier ordre, mais on peut facilement démontrer que la différence $c-d$ doit se rapporter au second ordre. Or on déduit de là, que la valeur de la quantité

${\frac {cn+dn''}{n+n''}}$

obtenue par la supposition approchée que $n:n''=\theta :\theta ''$ est seulement affectée d’une erreur du quatrième ordre, et même du cinquième seulement lorsque l’observation moyenne est faite à intervalles égaux des observations extrêmes. Cette erreur est en effet,

${\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta +\theta ''}}-{\frac {cn+dn''}{n+n''}}={\frac {\theta \theta ''(d-c)(\eta ''-\eta )}{(\theta +\theta '')(\eta ''\theta +\eta \theta '')}}$

où le dénominateur est du second ordre, un des facteurs $\theta \theta ''(d-c)$ du numérateur, du quatrième, l’autre $(\eta ''-\eta )$ du second, ou, dans ce cas spécial, du troisième ordre. C’est pourquoi la première équation étant mise sous cette forme,

$a\delta '=b+{\frac {cn+dn''}{n+n''}}.{\frac {n+n''}{n'}},$

il est évident que le défaut de la méthode proposée dans l’article précédent ne vient pas de ce que les quantités $n$ et $n''$ ont été supposées proportionnelles aux quantités $\theta$ et $\theta '',$ mais de ce que $n'$ avait en outre été posée proportionnelle à $\theta '.$ Car, de cette manière, on introduit, à la place du facteur ${\frac {n+n''}{n'}},$ la valeur moins exacte ${\frac {\theta +\theta ''}{\theta '}}=1,$ de laquelle la véritable valeur

$1+{\frac {\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}$

diffère d’une quantité du second ordre, (art. 128).

133

Puisque les cosinus des angles $f,\,f',\,f'',$ de même que les quantités $\eta ,\,\eta ''$ diffèrent de l’unité d’une quantité du second ordre, il est évident, que si à la place de

${\frac {n+n''}{n'}}$

on introduit la valeur approchée

$1+{\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}$

on commettra une erreur du quatrième ordre. Si donc, à la place de l’équation de l’art, 114, on prend la suivante

$a\delta '=b+{\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta '}}\left(1+{\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}\right),$

il rejaillira une erreur du second ordre dans la valeur de la distance $\delta '$ quand les observations extrêmes sont équidistantes de celles du milieu, ou du premier ordre dans les autres cas. Mais cette nouvelle forme de cette équation n’est pas propre à la détermination de $\delta '$ parce qu’elle contient les quantités $r,$ $r',$ $r''$ encore inconnues.

Maintenant, en parlant d’une manière générale, les quantités ${\frac {r}{r'}},\,{\frac {r''}{r'}}$ diffèrent de l’unité d’une quantité du premier ordre ; il en est de même du produit ${\frac {rr''}{r'^{2}}}.$ On s’aperçoit facilement que dans le cas spécial mentionné fréquemment, ce produit diffère de l’unité d’une quantité du second ordre seulement. Et même, toutes les fois que l’orbite de l’ellipse est peu excentrique, de manière que l’excentricité puisse être considérée comme une quantité du premier ordre, la différence de ${\frac {rr''}{r'^{2}}}$ avec l’unité pourra être rapportée à un ordre encore plus élevé d’un degré. Il est donc évident que cette erreur reste du même ordre qu’auparavant si, dans notre équation, on substitue ${\frac {\theta \theta ''}{2r'^{3}}}$ à la place de ${\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}\,;$ on obtient de là, la forme suivante,

$a\delta '=b+{\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta '}}\left(1+{\frac {\theta \theta ''}{2r'^{3}}}\right).$

Cette équation contient encore, par le fait, la quantité inconnue $r',$ qui néanmoins, peut évidemment être éliminée, puisqu’elle dépend seulement de $\delta '$ et de quantités connues. Si l’équation était ensuite ordonnée convenablement, elle monterait jusqu’au huitième degré.

134

D’après ce qui précède, on comprendra maintenant le motif pour lequel, dans notre méthode, nous allons prendre pour $x$ et $y,$ respectivement, les quantités

${\frac {n''}{n}}=\mathrm {P} ,$ et $2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{2}=\mathrm {Q} .$

Car, premièrement, il est évident que si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont considérées comme des quantités connues, on pourra en déduire $\delta '$ au moyen de l’équation

$a\delta '=b+{\frac {c+d\mathrm {P} }{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right),$

et après cela, $\delta$ et $\delta ''$ par les équations 4 et 6 de l’art. 114, puisqu’on a

${\frac {n}{n'}}={\frac {1}{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right),\qquad {\frac {n''}{n'}}={\frac {\mathrm {P} }{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right).$

Secondement, il est évident que, dans une première hypothèse, à la place des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ dont les valeurs exactes sont

${\frac {\theta ''}{\theta }}.{\frac {\eta }{\eta ''}},\qquad {\frac {r'^{2}\theta \theta ''}{rr''\eta \eta ''\cos f\cos f'\cos f''}},$

se présentent aussitôt les valeurs approchées

${\frac {\theta ''}{\theta }},\quad \theta \theta '',$

hypothèse de laquelle résulteront, dans la détermination de $\delta ',$ et par suite aussi de $\delta$ et $\delta '',$ des erreurs du premier ordre, ou du second ordre dans le cas spécial plusieurs fois mentionné. Quoiqu’on puisse, généralement parlant, se fier en toute assurance à ces conclusions, elles peuvent cependant, dans un cas particulier, perdre de leur valeur ; c’est toutes les fois que la quantité ${\text{(0.1.2)}},$ qui, par sa nature, est du troisième ordre, devient accidentellement égale à zéro, ou si petite, quelle doit être reportée à un ordre plus élevé. Ceci se présente quand le mouvement géocentrique dans la sphère céleste contient un point d’inflexion près du lieu moyen. Enfin, il semble que pour que notre méthode puisse être employée pratiquement, il est nécessairement exigé que le mouvement héliocentrique, entre les trois observations, ne soit pas trop grand ; mais cette restriction, par la nature du problème très-compliqué, ne peut en aucune manière être évitée, ni non plus, être considérée comme un désavantage, puisqu’on souhaitera toujours d’obtenir le plus tôt possible une première détermination de l’orbite inconnue d’un astre nouveau. En outre, cette restriction peut être prise dans un sens assez large, comme le feront voir les exemples donnés ci-dessous.

135

Les recherches précédentes ont été introduites afin que les principes sur lesquels repose notre méthode, et sa véritable force, pour ainsi dire, s’aperçoivent plus clairement ; mais l’usage pratique présentera la méthode sous une forme entièrement différente, que nous pouvons recommander, après de très-nombreuses applications, comme la plus convenable entre plusieurs autres que nous avons essayées. Puisqu’en déterminant une orbite inconnue, d’après trois observations, toute la question se réduit toujours à quelques hypothèses, ou plutôt à des approximations successives, on devra considérer comme un grand avantage d’avoir réussi à disposer le calcul de telle sorte que, dès le principe, on puisse séparer de ces hypothèses le plus grand nombre possible des calculs qui dépendent, non de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q} ,$ mais uniquement de la combinaison des quantités connues. Évidemment, alors, il faut effectuer, une fois seulement, ces opérations préliminaires, communes à chaque hypothèse, et les hypothèses elles-mêmes sont réduites au plus petit nombre possible d’opérations. Ce sera également un grand avantage, s’il n’y a pas besoin, pour chaque hypothèse, d’aller jusqu’aux éléments mêmes, et si le calcul de ces éléments peut être réservé pour la dernière hypothèse. Sous ces deux points de vue, notre méthode, dont nous allons maintenant entreprendre l’exposition, semble ne rien laisser à désirer.

136

Il faut avant tout joindre par des arcs de grand cercle les trois lieux héliocentriques $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ (fig. 4) de la Terre dans la sphère céleste, avec les trois lieux géocentriques correspondants $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ du corps céleste, et calculer alors, non-seulement la position de ces grands cercles relativement à l’écliptique (si nous adoptons l’écliptique comme plan fondamental), mais encore la position des points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ sur ces cercles.

Soient $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha ''$ les trois longitudes géocentriques du corps céleste, $\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$ les latitudes ; $l,\,l',\,l''$ les longitudes héliocentriques de la Terre, dont nous supposerons les latitudes égales à zéro (art. 117, 72). Soient ensuite, $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$ les inclinaisons, sur l’écliptique, des grands cercles menés des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ respectivement aux points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''\,;$ afin de suivre toujours une règle fixe dans la détermination de ces combinaisons, nous les mesurerons toujours relativement à cette partie de l’écliptique qui, partant des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} '',$ est située suivant l’ordre des signes, de telle sorte que leur grandeur sera comptée de 0 à 360°, ou, ce qui revient au même, de 0 à 180° dans la partie boréale, et de 0 à −180° dans la partie australe. Nous désignons par $\delta ,\,\delta ',\,\delta ''$ les arcs $\mathrm {AB} ,\,\mathrm {A'B'} ,\,\mathrm {A''B''} ,$ que l’on peut toujours supposer compris entre 0° et 180° Nous avons alors, pour la détermination de $\gamma$ et $\delta ,$ les formules

[1]

$\operatorname {tang} \gamma ={\frac {\operatorname {tang} \beta }{\sin(\alpha -l)}},$

[2]

$\operatorname {tang} \delta ={\frac {\operatorname {tang} (\alpha -l)}{\cos \gamma }},$

auxquelles, si on le désire pour la confirmation du calcul, pourront être ajoutées les suivantes :

$\sin \delta ={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }},\qquad \cos \delta =\cos \beta \cos(\alpha -l).$

Pour la détermination de $\gamma ',\,\delta ',\,\gamma '',\,\delta ''$ on aura évidemment des formules entièrement analogues. Si maintenant, on avait en même temps $\beta =0,$ $\alpha -l=0$ ou $180^{\circ }\!,$ c’est-à-dire, si le corps céleste était en même temps en opposition ou en conjonction, et dans le plan de l’écliptique, $\gamma$ serait indéterminé ; mais nous supposons que ce cas ne se présente pour aucune des trois positions observées.

Si, à la place de l’écliptique, l’équateur est adopté comme plan fondamental, alors, pour déterminer les positions des trois grands cercles par rapport à l’équateur, il faudra, en outre des inclinaisons, les ascensions droites de leurs intersections avec l’équateur ; et l’on devra aussi calculer, outre les distantes des points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ à ces intersections, les distances des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ à ces mêmes intersections. Puisque ces quantités dépendent du problème traité dans l’article 110, nous ne nous arrêterons pas ici au développement de ces formules.

137

Le second travail sera la détermination de la position relative de ces trois grands cercles entre eux, détermination qui dépendra de la position de leurs intersections mutuelles et de leurs inclinaisons.

Si nous désirons réduire, sans ambiguïté, cette détermination à des notions claires et générales, de manière qu’il n’y ait pas besoin, pour chaque cas différent, de recourir à des figures particulières, il conviendra de donner préalablement quelques éclaircissements préliminaires. Premièrement, dans tout grand cercle, deux directions opposées doivent être distinguées d’une manière quelconque, ce qui se fera en considérant l’une comme directe ou positive, et l’autre comme rétrograde ou négative. Puisque ceci est par soi-même entièrement arbitraire, dans le but d’établir une règle certaine, nous considérerons comme positives les directions de $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ vers $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''\,;$ ainsi, par exemple, si l’intersection du premier cercle avec le second est représentée par une distance positive comptée du point $\mathrm {A} ,$ il sera compris que cette distance doit être prise de $\mathrm {A}$ vers $\mathrm {B}$ (comme $\mathrm {D} ''$ dans notre figure) ; mais si elle était négative, il faudrait la compter à partir du même point $\mathrm {A} ,$ mais de l’autre côté. Et secondement, les deux hémisphères, suivant lesquels tout grand cercle divise la sphère, doivent aussi être distingués par des dénominations convenables ; d’après cela, nous appellerons hémisphère supérieur celui qui est à droite pour qui marche sur la surface intérieure de la sphère, dans une direction positive, le long d’un grand cercle ; l’autre sera l’inférieur. La région supérieure sera donc analogue à l’hémisphère boréal relativement à l’écliptique ou à l’équateur, la région inférieure sera analogue à l’hémisphère austral.

Ces définitions étant convenablement comprises, on pourra facilement distinguer l’une de l’autre, les deux intersections de deux grands cercles. Dans l’une, en effet, le premier cercle passe de l’hémisphère inférieur du second cercle vers le supérieur, ou, ce qui est la même chose, le second cercle passe de l’hémisphère supérieur du premier à l’hémisphère inférieur ; à l’autre intersection, les choses se passent dans l’ordre inverse. Par soi-même, il est en vérité entièrement arbitraire, quelles intersections nous devons choisir dans notre problème ; mais, pour que nous procédions ici également, d’après une règle invariable, nous adopterons toujours ceux ($\mathrm {D,\,D',\,D'',}$ fig. 4), où respectivement, le troisième cercle $\mathrm {A''B''}$ passe dans la région supérieure du second $\mathrm {A'B'} ,$ le troisième dans la région supérieure du premier $\mathrm {AB} ,$ et le second dans la région supérieure du premier. La position de ces intersections sera déterminée par leurs distances aux points $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {A''} ,\,\mathrm {A}$ et $\mathrm {A''} ,\,\mathrm {A}$ et $\mathrm {A'} ,$ distances que nous désignerons simplement par $\mathrm {A'D,\,A''D} ,$ $\mathrm {AD',\,A''D'} ,$ $\mathrm {AD'',\,A'D''} .$

Ces choses étant posées, les inclinaisons mutuelles des cercles seront les angles qui, à ces points d’intersection $\mathrm {D,\,D',\,D''} ,$ sont respectivement compris entre ces parties des cercles se coupant deux à deux, qui se trouvent suivant la direction positive ; nous désignerons ces inclinaisons, toujours comprises entre 0 et 180°, par $\varepsilon ,\,\varepsilon ',\,\varepsilon ''.$ La détermination de ces neuf quantités au moyen des quantités connues dépend évidemment du problème que nous avons traité dans l’art. 55 ; nous avons donc les équations suivantes :

[3]

$\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )=\sin {\frac {1}{2}}(l''-l')\sin {\frac {1}{2}}(\gamma ''+\gamma '),$

[4]

$\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )=\cos {\frac {1}{2}}(l''-l')\sin {\frac {1}{2}}(\gamma ''-\gamma '),$

[5]

$\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )=\sin {\frac {1}{2}}(l''-l')\cos {\frac {1}{2}}(\gamma ''+\gamma '),$

[6]

$\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )=\cos {\frac {1}{2}}(l''-l')\cos {\frac {1}{2}}(\gamma ''-\gamma ').$

À l’aide des équations 3 et 4, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D+\mathrm {A''D} } )$ et $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ seront déterminés, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D-\mathrm {A''D} } )$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ le seront au moyen des deux autres ; de là $\mathrm {A'D} ,$ $\mathrm {A''D}$ et $\varepsilon .$ L’ambiguïté dans la détermination des arcs ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )$ et ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )$ par le moyen des tangentes, sera écartée par la condition que $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ doivent être positifs, et l’accord entre $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ servira à confirmer tout le calcul.

La détermination des quantités $\mathrm {AD} ',$ $\mathrm {A''D} ',$ $\varepsilon ',$ $\mathrm {AD} '',$ $\mathrm {A'D} '',$ $\varepsilon ''$ s’effectuera d’une manière entièrement semblable, et il n’y aura pas besoin de transcrire ici les huit équations employées dans ce calcul, puisqu’elles se déduisent immédiatement des équations 3 — 6, si l’on change respectivement,

$\mathrm {A'D}$	$\mathrm {A''D}$	$\varepsilon$	$l''-l'$	$\gamma ''$	$\gamma '$
avec $\mathrm {AD'}$	$\mathrm {A''D'}$	$\varepsilon '$	$l''-l$	$\gamma ''$	$\gamma$
ou avec $\mathrm {AD''}$	$\mathrm {A'D''}$	$\varepsilon ''$	$l'-l$	$\gamma '$	$\gamma$

Une nouvelle vérification du calcul entier peut se déduire de la relation mutuelle qui existe entre les côtés et les angles du triangle sphérique formé entre les points $\mathrm {D} ,\,\mathrm {D} ',\,\mathrm {D} '',$ d’où dérivent les équations suivantes, vraies d’une manière générale, quelle que soit la position de ces points,

${\frac {\sin(\mathrm {AD} '-\mathrm {AD} '')}{\sin \varepsilon }}={\frac {\sin(\mathrm {A'D} -\mathrm {A'D} '')}{\sin \varepsilon '}}={\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ')}{\sin \varepsilon ''}}.$

Enfin, si, au lieu de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental, le calcul ne subit pas de changement, si ce n’est qu’à la place des lieux héliocentriques $\mathrm {A,\,A',\,A''}$ de la Terre, il faut substituer ces points où l’équateur est coupé par les cercles $\mathrm {AB} ,\,\mathrm {A'B'} ,\,\mathrm {A''B''} \,;$ par conséquent, les ascensions droites de ces intersections devront être prises à la place de $l,\,l',\,l'',$ et, à la place de $\mathrm {A'D} ,$ la distance du point $\mathrm {D}$ à la seconde intersection, etc.

138

Le troisième travail consiste maintenant à joindre les deux lieux géocentriques extrêmes du corps céleste, c’est-à-dire les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '',$ par un grand cercle, et à déterminer son intersection avec le grand cercle $\mathrm {A'B} .$ Soient $\mathrm {B} ^{\star }$ cette intersection, et $\delta '-\sigma$ sa distance au point $\mathrm {A} \,;$ soient aussi $\alpha ^{\star }$ sa longitude, et $\beta ^{\star }$ sa latitude. Nous avons alors, puisque les points $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ^{\star },$ $\mathrm {B} ''$ sont situés sur le même grand cercle, l’équation bien connue

$0=\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ^{\star })-\operatorname {tang} \beta ^{\star }\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!\alpha ),$

qui, en substituant $\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ^{\star }-l')$ à la place de $\operatorname {tang} \beta ^{\star },$ prend la forme suivante :

${\begin{aligned}0=\cos(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l'){\big ]}\;\;&\\-\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')+\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )&\\-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')&{\big ]}.\end{aligned}}$

C’est pourquoi, puisque $\operatorname {tang} (\alpha ^{\star }-l')=\cos \gamma '\operatorname {tang} (\delta '-\sigma ),$ nous aurons

$\operatorname {tang} (\delta '\!\!-\!\sigma )={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l')}{\cos \gamma '\left[\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')\right]+\sin \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )}}.$

De là dérivent les formules suivantes, accommodées le mieux au calcul numérique. En posant

[7]

$\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha -l')=\mathrm {S} ,$

[8]

$\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha -l')=\mathrm {T} \sin t,$

[9]

$\sin(\alpha ''-\alpha )=\mathrm {T} \cos t,$

on aura (art. 14, II),

[10]

$\operatorname {tang} (\delta '-\sigma )={\frac {\mathrm {S} }{\mathrm {T} \sin(t+\gamma ')}}.$

L’ambiguïté dans la détermination de l’arc $(\delta '-\sigma )$ par la tangente provient de ce que les grands cercles $\mathrm {A'B} ',$ $\mathrm {BB} ''$ se coupent en deux points ; nous adopterons toujours pour $\mathrm {B} ^{\star }$ l’intersection voisine du point $\mathrm {B} ',$ de telle sorte que $\sigma$ tombe toujours entre les limites $-90^{\circ }$ et $+90^{\circ },$ d’après quoi cette ambiguïté est écartée.

Le plus souvent alors, la valeur de l’arc $\sigma$ (qui dépend de la courbure du mouvement géocentrique) sera une quantité assez petite, et même, généralement parlant, du second ordre, si les intervalles de temps sont considérés comme des quantités de premier ordre.

D’après la remarque de l’article précédent, on verra immédiatement quelles modifications devra subir le calcul si, à la place de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental.

Il est de plus évident que la situation du point $\mathrm {B} ^{\star }$ resterait indéterminée si les cercles $\mathrm {BB} ''\!,$ $\mathrm {A'B} '$ coïncidaient entièrement ; nous excluons de notre recherche ce cas où les quatre points $\mathrm {A} '\!,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} '\!,$ $\mathrm {B} ''$ se trouveraient dans le même grand cercle. Mais il sera convenable d’éviter aussi, dans le choix des observations, ce cas où le lieu de ces quatre points est peu différent d’un grand cercle ; alors, en effet, la position du point $\mathrm {B} ^{\star },$ qui, dans les opérations suivantes, est d’une grande importance, serait trop affectée par les plus petites erreurs d’observation, et ne pourrait être déterminée avec la précision nécessaire. De même, il est évident que le point $\mathrm {B} ^{\star }$ reste indéterminé toutes les fois que les points $\mathrm {B,\,B} ''$ se confondent en un seul^[2], cas dans lequel la position du cercle $\mathrm {BB} ''$ lui-même deviendrait indéterminée. C’est pourquoi nous excluons aussi ce cas ; de même, par des raisons semblables aux précédentes, on devra aussi éviter les observations dans lesquelles le premier lieu géocentrique et le dernier tombent en des points de la sphère voisins l’un de l’autre.

139

Soient $\mathrm {C,\,C'\!,\,C} ''$ les trois positions héliocentriques de l’astre dans la sphère céleste, positions qui se trouveront, respectivement, dans les grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A'B} '\!,$ $\mathrm {A''B} ''\!,$ et même entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} '\!,$ $\mathrm {A} ''$ et $\mathrm {B} ''$ (art. 64, III) ; les points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''$ se trouveront en outre dans le même grand cercle, c’est-à-dire dans celui qui est la projection de l’orbite sur la sphère céleste. Nous désignerons par $r,$ $r'\!,$ $r''$ les trois distances de l’astre au Soleil ; par $\rho ,$ $\rho '\!,$ $\rho ''$ ses distances à la Terre ; par $\mathrm {R} ,$ $\mathrm {R} '\!,$ $\mathrm {R} ''$ les distances de la Terre au Soleil. Posons ensuite les arcs $\mathrm {C'C} ''\!,$ $\mathrm {CC} ''\!,$ $\mathrm {CC} '\!,$ respectivement égaux à $2f,$ $2f'\!,$ $2f''\!,$ et

${\begin{aligned}r'r''\sin 2f&=n&rr''\sin 2f'&=n'&rr'\sin 2f''&=n''\end{aligned}}.$

Nous avons donc

$f'\!=f\!+\!f''\!,\;\;\;\mathrm {AC} +\mathrm {CB} =\delta ,\;\;\;\mathrm {A'C} '\!+\mathrm {C'B} '\!=\delta '\!,\;\;\;\mathrm {A''C} ''\!+\mathrm {C''B} ''\!=\delta '';$

et aussi,

${\frac {\sin \delta }{r}}={\frac {\sin \mathrm {AC} }{\rho }}={\frac {\sin \mathrm {CB} }{\mathrm {R} }}$

${\frac {\sin \delta '}{r'}}={\frac {\sin \mathrm {A'C} '}{\rho '}}={\frac {\sin \mathrm {C'B} '}{\mathrm {R} '}}$

${\frac {\sin \delta ''}{r''}}={\frac {\sin \mathrm {A''C} ''}{\rho ''}}={\frac {\sin \mathrm {C''B} ''}{\mathrm {R} ''}}$

De là il est évident, qu’aussitôt qu’on a obtenu la position des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''\!,$ les quantités $r,$ $r'\!,$ $r''\!,$ $\rho ,$ $\rho '\!,$ $\rho ''$ peuvent être déterminées. Nous ferons voir maintenant comment on peut déduire la première, d’après les quantités

${\frac {n''}{n}}=\mathrm {P} ,\qquad 2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{3}=\mathrm {Q} ,$

sur lesquelles, ainsi que nous l’avons déjà dit, notre méthode est établie.

140

Nous observons d’abord, que si $\mathrm {N}$ est un point quelconque du grand cercle $\mathrm {CC'C} ''\!,$ et que si les distances des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''$ au point $\mathrm {N}$ sont comptées suivant la même direction, qui va de $\mathrm {C}$ en $\mathrm {C} ',$ de telle sorte que l’on ait, généralement,

$\mathrm {NC} ''-\mathrm {NC} '=2f,\quad \mathrm {NC} ''-\mathrm {NC} =2f'\!,\quad \mathrm {NC} '-\mathrm {NC} =2f'',$

on aura l’équation

(I)

$0=\sin 2f\sin \mathrm {NC} -\sin 2f'\sin \mathrm {NC} '+\sin 2f''\sin \mathrm {NC} ''\dots$

Nous supposerons, maintenant, que $\mathrm {N}$ est pris à l’intersection des grands cercles $\mathrm {BB'B} ''\!,$ $\mathrm {CC'C} ''\!,$ comme au nœud ascendant du premier cercle sur le second.

Désignons par ${\mathfrak {C}},\,{\mathfrak {C'}},\,{\mathfrak {C''}},$ ${\mathfrak {D}},\,{\mathfrak {D'}},\,{\mathfrak {D''}},$ respectivement les distances des points $\mathrm {C,\,C'\!,\,C} ''\!,$ $\mathrm {D,\,D'\!,\,D} ''\!,$ au grand cercle $\mathrm {BB'B} ''\!,$ prises positivement d’un côté de ce cercle et négativement de l’autre. Alors $\sin {\mathfrak {C}},$ $\sin {\mathfrak {C'}},$ $\sin {\mathfrak {C''}},$ seront respectivement proportionnels à $\sin \mathrm {NC} ,$ $\sin \mathrm {NC} '\!,$ $\sin \mathrm {NC} ''\!,$ d’où l’équation (I) prend la forme suivante :

$0=\sin 2f\sin {\mathfrak {C}}-\sin 2f'\sin {\mathfrak {C'}}+\sin 2f''\sin {\mathfrak {C''}}$

ou, en multipliant par $rr'r'',$

(II)

$0=nr\sin {\mathfrak {C}}-n'r'\sin {\mathfrak {C'}}-n''r''\sin {\mathfrak {C''}}\dots$

Il est de plus évident, que $\sin {\mathfrak {C}}$ est à $\sin {\mathfrak {D'}}$ comme le sinus de la distance du point $\mathrm {C}$ au point $\mathrm {B} ,$ est au sinus de la distance du point $\mathrm {D} '$ au point $\mathrm {B} ,$ les deux distances étant comptées dans le même sens.

Nous avons donc

$-\sin {\mathfrak {C}}={\frac {\sin {\mathfrak {D'}}\sin \mathrm {CB} }{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}},$

et l’on déduit, entièrement de la même manière,

${\begin{aligned}-\sin {\mathfrak {C}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D''}}\sin \mathrm {CB} }{\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}}\\[0.75ex]-\sin {\mathfrak {C'}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D}}\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}={\frac {\sin {\mathfrak {D''}}\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )}}\\[0.75ex]-\sin {\mathfrak {C''}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D}}\sin \mathrm {C''B} ''}{\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}}={\frac {\sin {\mathfrak {D'}}\sin \mathrm {C''B} ''}{\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}}.\end{aligned}}$

En divisant donc l’équation (II) par $r''\!\sin {\mathfrak {C}}'',$ il vient.

${\begin{aligned}0&=n.{\frac {r\sin \mathrm {CB} }{r''\sin \mathrm {C''B} ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}\\&-n'{\frac {r'\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{r''\sin \mathrm {C''B} ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}+n''.\end{aligned}}$

Si nous désignons l’arc $\mathrm {C'B} '$ par $z,$ qu’à la place de $r,\,r',\,r''$ nous substituions leurs valeurs de l’article précédent, et que, pour abréger, nous posions

[11]

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}=a$

[12]

${\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {A'D} -\delta '\!+\sigma )}}=b,$

notre équation deviendra

(III)

$0=an-bn'.{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}+n''\dots$

On pourra aussi calculer le coefficient $b$ par la formule suivante, qui se déduit facilement des équations que nous venons d’introduire :

[13]

$a\times {\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}{\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )}}=b.$

Pour vérifier le calcul, il ne sera pas inutile d’employer l’une et l’autre des formules 12 et 13. Quand $\sin(\mathrm {A'D} ''\!-\delta '\!+\sigma )$ est plus grand que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '\!+\sigma ),$ la dernière formule est moins affectée par les erreurs inévitables des tables que la première, et par suite devra lui être préférée, si une petite différence, expliquée par là, résulte dans les valeurs de $b\,;$ on devra au contraire, accorder plus de confiance à la première formule toutes les fois que $\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )$ est moindre que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )\,;$ si on le préfère, on adoptera une moyenne convenable entre les deux valeurs.

Les formules suivantes peuvent servir à la vérification du calcul ; pour être plus bref, nous supprimons cependant leur déduction, qui n’est pas assurément difficile :

${\begin{aligned}0&={\frac {a\sin(l''-l')}{\mathrm {R} }}-{\frac {b\sin(l''-l)}{\mathrm {R} '}}.{\frac {\sin(\delta '-\sigma )}{\sin \delta '}}+{\frac {\sin(l'-l)}{\mathrm {R} ''}}\\b&={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}.{\frac {\mathrm {U} \cos \beta \cos \beta ''}{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )\sin \varepsilon '}};\end{aligned}}$

dans cette formule, $\mathrm {U}$ exprime le quotient

${\frac {\mathrm {S} }{\sin(\delta '-\sigma )}}={\frac {\mathrm {T} \sin(t+\gamma ')}{\cos(\delta '-\sigma )}}\,;$ (art. 138, éq. 10).

141

De $\mathrm {P} ={\frac {n''}{n}},$ et de l’équation III de l’article précédent, on déduit

$(n+n''){\frac {\mathrm {P} +a}{\mathrm {P} +1}}=bn'{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}\,;$

mais de là, et au moyen de

$\mathrm {Q} =2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{2}$ et $r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}$

on trouve

$\sin z+{\frac {\mathrm {Q} \sin ^{4}z}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '}}=b\,{\frac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}\sin(z-\sigma ),$

ou

${\frac {\mathrm {Q} \sin ^{4}z}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '}}=\left(b\,{\frac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}-\cos \sigma \right)\sin(z-\sigma )-\sin \sigma \cos(z-\sigma ).$

En posant donc, pour abréger,

[14]

${\frac {1}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '\sin \sigma }}=c,$

et en introduisant l’angle auxiliaire $\omega ,$ tel que l’on ait

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\sin \sigma }{b{\dfrac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}-\cos \sigma }},$

il vient l’équation

(IV)

$c\mathrm {Q} \sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-\omega -\sigma )$

de laquelle il faudra tirer l’inconnue $z.$ Afin de pouvoir calculer le plus commodément l’angle $\omega ,$ il conviendra de présenter la formule précédente relative à $\operatorname {tang} \omega ,$ sous la forme

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {(\mathrm {P} +a)\operatorname {tang} \sigma }{\mathrm {P} \left({\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1\right)+\left({\dfrac {b}{\cos \sigma }}-a\right)}}.$

C’est pourquoi, en posant

[15]

${\frac {{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-a}{{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1}}=d,$

[16]

${\frac {\operatorname {tang} \sigma }{{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1}}=e,$

nous aurons, pour déterminer $\omega ,$ la formule très-simple

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {e(\mathrm {P} +a)}{\mathrm {P} +d}}.$

Nous considérerons comme le quatrième travail le calcul des quantités $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ à l’aide des formules 11-16, calcul qui ne dépend que des seules quantités données. Les quantités $b,$ $c,$ $e$ ne seront pas elles-mêmes nécessaires, mais leurs logarithmes.

Il existe un cas spécial où ces principes demandent quelque changement. Toutes les fois, en effet, que le grand cercle $\mathrm {BB} ''$ coïncide avec $\mathrm {A''B} '',$ et par suite, les points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ^{\star }$ avec $\mathrm {D} ',\,\mathrm {D} ,$ respectivement, les quantités $a$ et $b$ acquièrent des valeurs infinies. En posant, dans ce cas,

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} ''-\delta '+\sigma )}{\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}}=\pi ,$

nous aurons, à la place de l’équation III,

$0=\pi n-{\frac {n'\sin(z-\sigma )}{\sin z}}$

d’où, en faisant

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\pi \sin \sigma }{\mathrm {P} +(1-\pi \cos \sigma )}},$

on retrouve la même équation IV.

De même, dans le cas spécial où $\sigma =0,$ $c$ devient infini et $\omega =0,$ d’où le facteur $c\sin \omega ,$ dans l’équation IV, semble indéterminé ; néanmoins, il est réellement déterminé, et avec un peu d’attention, on verra que sa valeur est

${\frac {\mathrm {P} +a}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '(b-1)(\mathrm {P} +d)}}.$

Dans ce cas, il vient donc

$\sin z=\mathrm {R} '\sin \delta '={\sqrt[{3}]{\frac {2(b-1)(\mathrm {P} +d)}{\mathrm {Q} (\mathrm {P} +a)}}}.$

142

L’équation IV, qui étant développée monterait au huitième degré, est très-promptement résolue, sans changer sa forme, à l’aide de tâtonnements. Au reste, d’après la théorie des équations, on peut facilement démontrer (ce que nous omettons cependant de développer ici plus longuement, afin d’être plus concis) que cette équation admet deux ou quatre solutions de valeurs réelles. Dans le premier cas, une valeur de $\sin z$ sera positive, l’autre négative devra être rejetée, parce que, par la nature du problème, $r'$ ne peut être négatif. Dans le dernier cas, parmi les valeurs de $\sin z,$ une sera positive et les trois autres négatives — il n’y aura donc pas alors d’incertitude pour savoir laquelle adopter — ou il y en aura trois positives avec une négative ; dans ce cas, il faut aussi rejeter parmi ces valeurs positives celles, s’il s’en trouve, qui donnent $z$ plus grand que $\delta ',$ puisque, par une autre condition essentielle du problème, $\rho ',$ et par suite $\sin(\delta '-z)$ aussi, doit être une quantité positive.

Toutes les fois que les observations sont distantes l’une de l’autre d’intervalles de temps médiocres, le dernier cas où trois valeurs positives de $\sin z$ satisfont à l’équation se présentera le plus souvent. Parmi ces solutions, on trouve habituellement, outre la vraie, une autre dans laquelle $z$ diffère peu de $\delta ',$ soit en excès, soit en défaut ; ce phénomène est expliqué de la manière suivante. Le développement analytique de notre problème est basé sur cette seule condition que les trois positions du corps céleste dans l’espace, doivent se trouver sur les droites dont la situation est déterminée par le lieu absolu de la Terre et la position observée de l’astre. Maintenant, par la nature même de la question, ces positions doivent être évidemment situées aux points de ces droites, d’où la lumière arrive à la Terre. Mais les équations analytiques ne reconnaissent pas cette restriction, et elles doivent également embrasser tous les systèmes de lieux qui s’accordent réellement avec les lois de Képler, soit qu’ils se trouvent sur cette droite de ce côté-ci de la Terre, ou de celui-là, ou, enfin, qu’ils coïncident avec la Terre elle-même. Ce dernier cas satisfera déjà certainement notre problème puisque la Terre se meut d’après ces lois. De là il est évident, que les équations doivent comprendre la solution dans laquelle les points $\mathrm {C,\,C',\,C} ''$ coïncident avec les points $\mathrm {A,\,A',\,A} ''$ (en tant que nous négligions les très-petites variations du lieu elliptique de la Terre produites par les perturbations et les parallaxes). L’équation IV devra donc toujours admettre la solution $z=\delta ',$ si les vraies valeurs correspondant aux positions de la Terre sont adoptées pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$ Mais, tant que les valeurs de ces quantités se trouvent très-peu différentes de celles-ci (ce qu’il est toujours permis de supposer, quand les intervalles de temps sont petits), parmi les solutions de l’équation IV, on doit nécessairement en trouver une qui est voisine de la valeur $z=\delta '.$

Le plus souvent, en vérité, dans ce cas où l’équation IV admet trois solutions par le moyen de valeurs positives de $\sin z,$ la troisième de ces valeurs (outre la vraie et celle dont nous venons à l’instant de parler) donne une valeur de $z$ plus grande que $\delta ',$ et par suite est seulement possible analytiquement, mais physiquement est impossible ; il n’y aura donc alors aucune incertitude pour savoir laquelle adopter. Il peut cependant certainement arriver, que cette équation admette deux solutions convenables différentes, et par suite, qu’il soit permis de satisfaire à notre problème par deux orbites entièrement différentes. Mais, dans un tel cas, l’orbite véritable sera facilement distinguée de la fausse dès qu’il sera possible de soumettre à l’examen d’autres observations plus écartées.

143

Aussitôt que l’angle $z$ est obtenu, on a immédiatement $r'$ par l’équation

$r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}.$

De plus, au moyen de l’équation $\mathrm {P} ={\frac {n''}{n}}$ et de l’équation III nous obtenons

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&={\frac {(\mathrm {P} +a)\mathrm {R} '\sin \delta '}{b\sin(z-\sigma )}},\\{\frac {n'r'}{n''}}&={\frac {1}{\mathrm {P} }}.{\frac {n'r'}{n}}.\end{aligned}}$

Maintenant, pour que les formules, d’après lesquelles les positions des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} ''$ sont déterminées relativement à la position du point $\mathrm {C} ',$ soient traitées de manière que leur exactitude générale se montre immédiatement aussi relativement à ces cas que la figure 4 ne représente pas, nous observons que le sinus de la distance du point $\mathrm {C} '$ au grand cercle $\mathrm {CB}$ (prise positivement dans la région supérieure, négativement dans l’inférieure) est égal au produit du sinus $\varepsilon ''$ par le sinus de la distance du point $\mathrm {C} '$ au point $\mathrm {D} '',$ distance mesurée suivant la direction directe, et par suite est égal à

$-\sin \varepsilon ''\sin \mathrm {C'D} ''=-\sin \varepsilon ''\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ')\,;$

de même, le sinus de la distance du point $\mathrm {C} ''$ au grand cercle $=-\sin \varepsilon '\sin \mathrm {C''D} '.$ Mais il est évident, que ces mêmes sinus sont entre eux comme $\sin \mathrm {CC} '$ est à $\sin \mathrm {CC} '',$ ou comme ${\frac {n''}{rr'}}$ est à ${\frac {n'}{rr''}},$ ou comme $n''r''$ est à $n'r'.$

En posant donc $\mathrm {C''D} '=\zeta '',$ nous avons

V.

$r''\sin \zeta ''={\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \varepsilon ''}{\sin \varepsilon '}}\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ').$

D’une manière entièrement semblable, on obtient, en posant $\mathrm {CD} '=\zeta ,$

VI.

$r\sin \zeta ={\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon '}}\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta '),$

VII.

$r\sin(\zeta +\mathrm {AD} ''-\mathrm {AD} ')=r'\mathrm {P} {\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon ''}}\sin(\zeta ''+\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ').$

En combinant les équations V et VI avec les équations suivantes transcrites de l’art. 139,

VIII.

$r''\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '+\delta '')=\mathrm {R} ''\sin \delta '',$

IX.

$r\sin(\zeta -\mathrm {AD} '+\delta )=\mathrm {R} \sin \delta ,$

les quantités $\zeta ,$ $\zeta '',$ $r,$ $r''$ s’en déduiront d’après la méthode de l’art. 78. Pour effectuer ce calcul plus commodément, il ne sera pas désagréable de rapporter ici les formules elles-mêmes. Posons

[17]

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta }{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}=\varkappa ,$

[18]

${\frac {\mathrm {R} ''\sin \delta ''}{\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}}=\varkappa '',$

[19]

${\frac {\cos(\mathrm {AD} '-\delta )}{\mathrm {R} \sin \delta }}=\lambda ,$

[20]

${\frac {\cos(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}=\lambda ''.$

Le calcul de ces quantités, ou plutôt de leurs logarithmes, encore indépendantes de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ est considéré comme le cinquième et dernier travail des opérations quasi-préliminaires, et s’effectue en même temps facilement avec le calcul de $a,$ $b,$ ou avec le quatrième travail dans lequel $a$ devient égal à ${\frac {\varkappa }{\varkappa ''}}.$

En faisant ensuite,

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon '}}&\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta ')=p,\\{\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \varepsilon ''}{\sin \varepsilon '}}&\sin(z+\mathrm {A'D''} \!-\delta ')=p'',\\[0.75ex]\varkappa (\lambda p&-1)=q,\\\varkappa (\lambda ''p''&-1)=q'',\end{aligned}}$

nous obtenons $\zeta$ et $r$ de

$r\sin \zeta =p,\qquad r\cos \zeta =q\,;$

puis, $\zeta ''$ et $r'',$ de

$r''\sin \zeta ''=p''\qquad r''\cos \zeta ''=q''.$

Il ne peut exister ici d’ambiguïté dans la détermination de $\zeta$ et $\zeta '',$ parce que $r$ et $r''$ doivent être nécessairement des quantités positives. Le calcul entier pourra, si l’on veut, être confirmé par l’équation VII.

Il existe cependant deux cas où il faut suivre une autre méthode. Toutes les fois, en effet, que le point $\mathrm {D} '$ coïncide avec $\mathrm {B}$ ou lui est diamétralement opposé sur la sphère, ou bien lorsque $\mathrm {AD} '-\delta =0$ ou $180^{\circ }\!,$ les équations VI et IX doivent nécessairement être identiques, et l’on aurait $\varkappa =\infty ,$ $\lambda p-1=0,$ et par suite, $q$ indéterminé. Dans ce cas, $\zeta ''$ et $r''$ seront déterminés de la manière que nous l’avons enseignée, mais ensuite il faudra obtenir $\zeta$ et $r$ par la combinaison de l’équation VII avec VI ou IX. Nous nous dispensons d’écrire ici les formules mêmes, que l’on peut tirer de l’art. 78 ; nous observons simplement, que dans le cas aussi où $\mathrm {AD} '-\delta$ n’est pas réellement égal à 0 ni à 180°, mais est, cependant, un arc très-petit, il est préférable de suivre la même méthode, puisque la première méthode n’admettrait pas alors une précision suffisante. Et l’on adoptera même la combinaison de l’équation VII avec VI, ou avec IX, selon que $\sin(\mathrm {AD} ''-\mathrm {AD} ')$ est plus grand ou plus petit que $\sin(\mathrm {AD} '-\delta ).$

De même, dans le cas où le point $\mathrm {D} ',$ ou son opposé, coïncide avec $\mathrm {B} ''$ ou en est peu écarté, la détermination de $\zeta ''$ et $r''$ par la méthode précédente serait ou impossible ou peu sûre. C’est pourquoi $\zeta$ et $r$ seront alors déterminés par cette méthode, mais ensuite $\zeta ''$ et $r''$ le seront par la combinaison de l’équation VII avec V ou avec VIII, suivant que $\sin(\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ')$ est plus grand ou plus petit que $\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '').$ Au reste, on ne doit pas craindre que le point $\mathrm {D} '$ coïncide en même temps avec les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} ''$ ou avec les points opposés, ou en soit peu distant, car nous avons déjà, dans l’article 138, exclu de notre recherche le cas dans lequel $\mathrm {B}$ coïncide avec $\mathrm {B} ''.$

144

Les arcs $\zeta$ et ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^{}$