Théorie du mouvement des corps célestes/L2S1

Carl Friedrich Gauss

Théorie du mouvement des corps célestes

Traduction par Edmond Dubois.
1864 (p. 173-248).

LIVRE SECOND.

RECHERCHE DES ORBITES DES CORPS CÉLESTES D’APRÈS LES OBSERVATIONS GÉOCENTRIQUES.

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PREMIÈRE SECTION.

DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

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Sept éléments sont exigés pour la connaissance complète du mouvement d’un corps céleste dans son orbite, nombre qui peut être diminué d’un, si la masse du corps céleste est connue ou négligée ; on peut à peine éviter de négliger la masse dans la détermination d’une orbite entièrement inconnue, où il convient d’écarter, pour un moment, toutes les quantités de l’ordre des perturbations, jusqu’à ce que les masses dont elles dépendent aient été connues d’autre part. C’est pourquoi, la masse du corps céleste étant négligée dans la présente recherche, nous réduisons à six le nombre des éléments, et il est alors évident que, pour la détermination de l’orbite inconnue, il est nécessaire d’avoir un même nombre de quantités fonctions des éléments, mais indépendantes l’une de l’autre. Ces quantités ne peuvent être que les positions du corps céleste observé de la Terre ; et comme chacune de ces positions fournit deux quantités, à savoir la longitude et la latitude ou l’ascension droite et la déclinaison, il sera certainement le plus simple d’adopter trois lieux géocentriques, qui, en général, suffiront à la détermination des six éléments inconnus. Ce problème doit être considéré comme le plus important de cet ouvrage, et, pour cette raison, sera traité avec le plus grand soin dans cette section.

Mais dans le cas spécial, où le plan de l’orbite coïncide avec l’écliptique, et par suite où toutes les latitudes, soit héliocentriques, soit géocentriques, s’évanouissent naturellement, il ne sera plus permis de considérer les trois latitudes géocentriques nulles, comme trois quantités données indépendantes l’une de l’autre ; ce problème resterait alors indéterminé, et l’on pourrait satisfaire aux trois lieux géocentriques par un grand nombre d’orbites. C’est pourquoi, dans un pareil cas, il faudra nécessairement que quatre longitudes soient données, pour qu’on puisse déterminer les quatre autres éléments inconnus (l’inclinaison de l’orbite et la longitude du nœud étant écartées). Mais quoique, par un principe qu’on ne saurait discerner, on ne puisse pas s’attendre qu’un tel cas doive jamais s’offrir dans la nature des choses, néanmoins, on présumera facilement que le problème qui, pour une orbite coïncidant entièrement avec le plan de l’écliptique, devient absolument indéterminé, doit, à cause de la précision limitée des observations, rester presque indéterminé, dans une orbite très-peu inclinée sur l’écliptique, où même de très-légères erreurs d’observations doivent altérer entièrement la valeur des inconnues. C’est pourquoi, afin d’examiner aussi ce cas, il sera nécessaire de choisir six autres données ; dans ce but, nous montrerons, dans la seconde section, comment déterminer une orbite inconnue au moyen de quatre observations, dont deux sont complètes, mais les deux autres incomplètes, les latitudes ou les déclinaisons manquant.

Enfin, puisque toutes nos observations, en raison de l’imperfection des instruments et de nos sens, ne sont que des approximations de la vérité, l’orbite établie seulement par les six données absolument nécessaires, pourra encore être sujette à des erreurs considérables. Afin de les affaiblir autant qu’il est réellement permis de le faire, et pour que nous puissions atteindre à toute la précision possible, on n’aura pas d’autres moyens que d’amasser le plus grand nombre d’observations parfaites, et de perfectionner les éléments de telle sorte, non pas qu’ils satisfassent à celles-ci ou à celles-là avec une précision absolue, mais qu’ils s’accordent le mieux possible avec toutes les observations. Nous ferons voir, dans la troisième section, de quelle manière on peut obtenir, d’après les règles du calcul des probabilités, un pareil accord, sinon absolu nulle part, du moins partout le plus étroit possible.

De cette manière donc, la détermination des orbites, en tant que les corps célestes s’y meuvent suivant les lois de Képler, sera portée à toute la perfection qui peut être désirée. On pourra alors enfin, réellement entreprendre un dernier perfectionnement en tenant compte des perturbations que les autres planètes produisent dans le mouvement. Nous indiquerons brièvement, dans la quatrième section, de quelle manière on peut en tenir compte, en tant, il est vrai, que cette question paraîtra se rattacher à notre plan.

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Avant d’entreprendre la détermination d’une orbite quelconque à l’aide d’observations géocentriques, celles-ci devront subir quelques corrections relatives à la nutation, la précession, la parallaxe et l’aberration, si toutefois une grande précision est demandée ; dans un calcul approché, il sera en effet permis de négliger ce3 petites quantités.

Les observations des planètes et des comètes sont habituellement effectuées par les ascensions droites et les déclinaisons apparentes, c’est-à-dire rapportées à la position apparente de l’équateur. Puisque cette position est variable à cause de la précession et de la nutation, et par suite différente pour les différentes observations, il conviendra avant tout, d’introduire quelque plan fixe à la place du plan variable ; dans ce but, on pourra employer, ou l’équateur à sa position moyenne pour une époque déterminée, ou l’écliptique. On a coutume, le plus souvent, de choisir ce dernier plan, mais le premier se recommande par des avantages particuliers qui ne doivent pas être dédaignés.

Toutes les fois donc qu’il a plu de choisir le plan de l’équateur, les observations doivent d’abord être purgées de la nutation, et, après cela, la précession étant appliquée, elles devront être réduites à une époque quelconque arbitraire ; cette opération s’accorde entièrement avec celle par laquelle, de la position observée d’une étoile fixe on passe à la position moyenne pour une époque donnée, et par conséquent ne demande aucune explication. Mais, si l’on est convenu d’adopter le plan de l’écliptique, une double méthode se présentera, à savoir : des ascensions droites et déclinaisons corrigées de la nutation et de la précession, on pourra déduire les longitudes et latitudes au moyen de l’obliquité moyenne, d’où seront obtenues les longitudes rapportées à l’équinoxe moyen ; ou, plus facilement, d’après les ascensions droites et les déclinaisons apparentes seront calculées les longitudes et latitudes que l’on corrigera ensuite de la nutation et de la précession.

Les différentes positions de la Terre correspondant aux observations seront calculées par les tables solaires, mais il est évident qu’elles devront être rapportées au même plan auquel sont rapportées les observations du corps céleste. C’est pourquoi, dans le calcul de la longitude du Soleil, la nutation sera négligée, mais après cela, la précession étant appliquée, cette longitude sera réduite à une époque fixe, et augmentée de 180° ; on attribuera à la latitude du Soleil un signe contraire, si l’on trouve utile d’en tenir compte ; on aura ainsi la position héliocentrique de la Terre, qui, si l’équateur est choisi pour plan fondamental, pourra être transformée en ascension droite et déclinaison à l’aide de l’obliquité moyenne.

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La position de la Terre calculée de cette manière à l’aide des tables se rapporte au centre de la Terre, mais la position observée du corps céleste concerne un point de la surface terrestre ; on peut avoir égard à cette différence de trois manières :

Ou l’observation peut, en effet, être ramenée au centre de la Terre, c’est-à-dire corrigée de la parallaxe ; ou le lieu héliocentrique de la Terre peut être réduit au lieu même de l’observation, ce qui se fait en appliquant convenablement la parallaxe à la position du Soleil déduite des tables ; ou enfin, l’une et l’autre position peuvent être transportées à un troisième point quelconque, qui est déterminé le plus convenablement par l’intersection du rayon visuel avec le plan de l’écliptique ; l’observation elle-même reste alors invariable, et nous avons enseigné dans l’art. 72 la réduction de la position de la Terre à ce point. La première méthode ne peut être employée, à moins que la distance du corps céleste à la Terre ne soit connue ; mais alors elle est assez commode, surtout toutes les fois que l’observation est faite dans le méridien même, cas dans lequel la déclinaison seulement est affectée de la parallaxe. Il sera, en outre, préférable d’appliquer immédiatement cette correction à la position observée, avant de s’occuper des transformations de l’article précédent. Mais si la distance à la Terre est encore entièrement inconnue, on devra avoir recours à la seconde ou à la troisième méthode, et la seconde devra être employée toutes les fois que l’équateur est choisi pour plan fondamental ; mais la troisième doit être préférée lorsqu’il convient de rapporter toutes les positions à l’écliptique.

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Si la distance du corps céleste à la Terre correspondant à quelque observation est déjà approximativement connue, on peut affranchir cette observation de l’effet de l’aberration, de plusieurs manières, qui reposent sur les différentes méthodes enseignées dans l’art. 71. Soit $t$ le temps vrai d’une observation ; $\theta$ l’intervalle de temps que met la lumière à venir de l’astre à la Terre, ce qui s’obtient en multipliant la distance par 493^s ; $l$ le lieu observé, $l'$ le même lieu réduit au temps $t+\theta$ au moyen du mouvement diurne géocentrique ; $l''$ le lieu $l$ corrigé de cette partie de l’aberration qui est commune aux planètes et aux étoiles ; $\mathrm {L}$ le lieu vrai de la Terre correspondant à l’époque $t$ (c’est-à-dire, le lieu déduit des tables augmenté de 20″,25), et enfin, $'\!\mathrm {L}$ le lieu vrai de la Terre correspondant à l’époque $t-\theta .$ Ceci posé, on aura :

I. $l$ lieu vrai du corps céleste vu de $'\!\mathrm {L}$ à l’époque $t-\theta .$

II. $l'$ lieu vrai du corps céleste vu de $\mathrm {L}$ à l’époque $t.$

III. $l''$ lieu vrai du corps céleste vu du lieu $\mathrm {L}$ à l’époque $t-\theta .$

Par la méthode I, le lieu observé ne change donc pas, mais à la place de l’époque vraie on substitue l’époque fictive $t-\theta ,$ pour laquelle est calculée la position de la Terre ; la méthode II applique à l’observation seule une modification, mais, en outre de la distance, elle exige encore le mouvement diurne ; dans la méthode III, l’observation subit une correction indépendante de la distance ; à l’époque vraie est substituée l’époque fictive $t-\theta ,$ mais la position correspondante de la Terre est calculée pour l’époque vraie. De ces méthodes, la première est de beaucoup la plus commode, toutes les fois que la distance est déjà assez connue pour que la réduction du temps $\theta$ puisse être calculée avec une précision suffisante.

Mais si cette distance est encore entièrement inconnue, aucune de ces méthodes ne pourra être immédiatement appliquée. Dans la première, en effet, on connaît il est vrai la position géocentrique du corps céleste, mais on a besoin d’un intervalle et d’une position de la Terre dépendant tous deux d’une distance inconnue ; dans la seconde, au contraire, celles-ci sont déterminées, celui-là manque ; dans la troisième enfin, on connaît le lieu géocentrique du corps céleste et la position de la Terre ; mais le temps auquel ces données sont liées manque.

Que faut-il donc faire dans notre problème si, dans ce cas, la solution est demandée exacte, même en égard à l’aberration ? Le plus simple est certainement de déterminer l’orbite en négligeant l’aberration, puisqu’elle ne peut jamais produire un effet considérable ; les distances seront obtenues par là avec assez de précision pour corriger alors les observations, de l’aberration, par quelques-unes des méthodes exposées tout à l’heure, et pour qu’il soit permis de recommencer avec plus d’exactitude la détermination de l’orbite. Maintenant, dans ce travail, la troisième méthode devra de beaucoup être préférée ; dans la première méthode, en effet, toutes les opérations relatives à la position de la Terre doivent être recommencées de nouveau, depuis le commencement ; dans la seconde (qui n’est réellement applicable que si l’on possède un nombre suffisant d’observations pour pouvoir en déduire le mouvement diurne), il faut reprendre de nouveau toutes les opérations relatives à la position géocentrique du corps céleste ; dans la troisième, au contraire (si à la vérité un premier calcul a été établi sur les lieux géocentriques affranchis de l’aberration des fixes), toutes les opérations préliminaires relatives à la position de la Terre et au lieu géocentrique du corps céleste pourront, dans le nouveau calcul, être conservées invariables. De plus, on pourra de cette manière comprendre aussitôt l’aberration dans le premier calcul, si la méthode employée pour la détermination de l’orbite est établie de manière, que les valeurs des distances soient obtenues avant qu’on ait besoin d’introduire dans le calcul les époques corrigées. Alors le double calcul, à cause de l’aberration, ne sera pas réellement nécessaire, ainsi que cela se verra plus clairement en traitant plus longuement notre problème.

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Il ne serait pas difficile, d’après la liaison qui existe entre les données et les inconnues de notre problème, de réduire son établissement à six équations, ou même à un plus petit nombre, puisqu’il serait permis d’éliminer l’une ou l’autre inconnue assez facilement ; mais puisque cette liaison est très-compliquée, ces équations deviendraient fort difficiles à résoudre ; une séparation des inconnues telle que l’on puisse arriver à une équation contenant seulement une inconnue, peut, généralement parlant^[1], être considérée comme impossible, et par conséquent, encore moins sera-t-il permis d’obtenir la solution complète du problème par les seules opérations directes.

Mais on peut certainement réduire notre problème, et même de plusieurs manières, à la solution de deux équations, $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ dans lesquelles deux inconnues seulement, $x$ et $y,$ se trouvent mêlées. Il n’est pas, à la vérité, nécessaire que $x$ et $y$ soient deux des éléments eux-mêmes ; elles pourront être des quantités liées d’une manière quelconque avec les éléments, pourvu qu’une fois ces quantités trouvées, on puisse en déduire facilement les éléments. En outre, il n’est évidemment pas besoin que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ soient exprimées par des fonctions explicites de $x$ et $y,$ il suffit qu’elles soient liées avec celles-ci par un système d’équations tel, que des valeurs données de $x$ et $y$ il soit possible de passer aux valeurs correspondantes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

120

Puisque la nature du problème ne permet pas une réduction ultérieure au système de deux équations contenant pêle-mêle deux inconnues, le point important consiste donc réellement d’abord dans le choix convenable de ces inconnues et dans la disposition des équations, afin que non-seulement $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ soient des fonctions les plus simples de $x$ et de $y,$ mais aussi, que de leurs valeurs déterminées les éléments eux-mêmes s’en déduisent le plus facilement ; mais, après cela, il faudra voir de quelle manière on pourra déterminer, sans opérations trop pénibles, les valeurs des inconnues satisfaisant au équations. Si l’on n’y arrivait que par des tâtonnements aveugles, cela exigerait un travail considérable et à peine tolérable, qui, néanmoins, a souvent été à peu près entrepris par les astronomes qui ont déterminé les orbites des comètes par la méthode qu’ils nomment indirecte ; dans une telle question, le travail est certainement grandement diminué par la raison que, dans les premiers essais, des calculs plus grossiers suffisent, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à des valeurs approchées des inconnues. Mais aussitôt qu’on a obtenu une détermination déjà approchée, on peut terminer la solution par des méthodes toujours sûres et promptes que je crois devoir expliquer ici avant d’aller plus loin.

Si pour $x$ et $y,$ on a pris les véritables valeurs elles-mêmes, on satisfera immédiatement d’une manière exacte aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0\,;$ si au contraire, à la place de $x$ et $y$ on substitue des valeurs différentes des véritables, les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ qui s’en déduiront seront différentes de zéro. Mais, plus $x$ et $y$ approcheront près des véritables valeurs, plus les valeurs de $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y}$ devront aussi être moindres ; et lorsque leurs différences avec les valeurs exactes seront très-petites, on pourra supposer que les variations des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont à peu près proportionnelles aux variations de $x,$ si $y$ ne change pas, ou aux variations de $y,$ si $x$ ne change pas. C’est pourquoi, si les valeurs de $x$ et $y$ sont respectivement désignées par $\xi ,$ $\eta ,$ les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ correspondant à l’hypothèse $x=\xi +\lambda ,$ $y=\eta +\mu ,$ se présenteront sous la forme $\mathrm {X} =\alpha \lambda +\beta \mu ,$ $\mathrm {Y} =\lambda \gamma +\delta \mu ,$ dans lesquelles les coefficients $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ peuvent être considérés comme constants, tant que $\lambda$ et $\mu$ restent très-petits. De là on conclut, que si pour trois systèmes de valeurs de $x$ et $y,$ peu différentes des véritables, les valeurs correspondantes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ont été déterminées, les vraies valeurs de $x$ et $y$ pourront s’en déduire, en tant qu’il soit réellement permis d’admettre l’hypothèse ci-dessus.

Admettons que

pour 	$x=a,$	$y=b$	on ait 	$\mathrm {X} =\mathrm {A} ,$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} ,$
	$x=a',$	$y=b'$		$\mathrm {X} =\mathrm {A} ',$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} ',$
	$x=a'',$	$y=b''$		$\mathrm {X} =\mathrm {A} '',$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} '',$

et nous aurons

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} &=\alpha (a-\xi )&{}+{}&\beta (b-\eta ),&\qquad \mathrm {B} &=\gamma (a-\xi )&{}+{}&\delta (b-\eta ),\\\mathrm {A} '&=\alpha (a'-\xi )&{}+{}&\beta (b'-\eta ),&\qquad \mathrm {B} '&=\gamma (a'-\xi )&{}+{}&\delta (b'-\eta ),\\\mathrm {A} ''&=\alpha (a''-\xi )&{}+{}&\beta (b''-\eta ),&\qquad \mathrm {B} ''&=\gamma (a''-\xi )&{}+{}&\delta (b''-\eta ),\end{alignedat}}$

De là on a, $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ et $\delta$ étant éliminés,

${\begin{aligned}\xi &={\frac {a(\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ')+a'(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+a''(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\\[0.75ex]\eta &={\frac {b(\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ')+b'(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+b''(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\end{aligned}}$

ou, sous une forme plus commode pour le calcul,

${\begin{aligned}\xi &=a+{\frac {(a'-a)(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+(a''-a)(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\\[0.75ex]\eta &=b\,+\;{\frac {(b'-b)(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+(b''-b)(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\end{aligned}}$

Il est évident aussi, que l’on peut changer, dans ces formules, les quantités $a,\,b,\,\mathrm {A} ,\,\mathrm {B}$ avec $a',\,b',\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',$ ou avec $a'',\,b'',\,\mathrm {A} '',\,\mathrm {B} ''.$

Au reste, le dénominateur commun de toutes ces expressions, que l’on peut aussi écrire sous la forme

$(\mathrm {A} '-\mathrm {A} )(\mathrm {B} ''-\mathrm {B} )-(\mathrm {A} ''-\mathrm {A} )(\mathrm {B} '-\mathrm {B} )$

devient égal à

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[(a'-a)(b''-b)-(a''-a)(b'-b)\right]\,;$

d’où il est évident, que $a,\,a',\,a'',\,b,\,b',\,b''$ doivent être pris de telle sorte que l’on n’ait pas

${\frac {a''-a}{b''-b}}={\frac {a'-a}{b'-b}}\,;$

autrement, en effet, cette méthode ne serait pas applicable, mais fournirait pour $\xi$ et $\eta$ des valeurs fractionnaires, dont les numérateurs et les dénominateurs s’évanouiraient ensemble. De là, il est en même temps évident, que si par hasard on a

$\alpha \delta -\beta \gamma =0,$

la même défectuosité de la méthode en défend entièrement l’usage, de quelque manière que l’on choisisse $a,$ $a',$ $a'',$ $b,$ $b',$ $b''.$ Dans un tel cas, il faudrait supposer aux valeurs de $\mathrm {X}$ une forme telle que

$\alpha \lambda +\beta \mu +\varepsilon \lambda ^{2}+\zeta \lambda \mu +\theta \mu ^{2},$

cl de même pour les valeurs de $\mathrm {Y} \,;$ d’après quoi, l’analyse fournirait des méthodes analogues à la précédente pour trouver, au moyen des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ calculées pour quatre systèmes de valeurs de $x$ et $y,$ les valeurs exactes de ces dernières. Mais, de cette manière, le calcul deviendrait très-pénible, et, en outre, on peut faire voir que dans un tel cas, la détermination de l’orbite, par la nature même de la question n’admet pas la précision nécessaire ; puisque cet inconvénient ne peut être évité autrement qu’en obtenant de nouvelles observations plus convenables, nous ne nous arrêterons pas ici davantage à cette question.

121

Toutes les fois que l’on connaîtra les valeurs approchées des inconnues, on pourra donc en déduire les valeurs exactes, par la méthode que nous venons d’expliquer, avec toute la précision qu’on peut désirer. D’abord, en effet, seront calculées les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ correspondant à ces valeurs approchées $(a,b)\,;$ à moins que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne s’évanouissent déjà immédiatement, on fera un second calcul avec deux autres valeurs $(a',b')$ un peu différentes des premières, et ensuite, au moyen d’un troisième système $(a'',b'')\,;$ à moins que, par hasard, $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne s’annulent par le second système. Alors, par les formules de l’article précédent, les véritables valeurs seront obtenues, en tant que l’hypothèse sur laquelle reposent ces formules ne s’éloigne pas sensiblement de la vérité. Afin de juger de cela avec plus de certitude, le calcul des valeurs de $\mathrm {X,\,Y}$ sera recommencé avec ces valeurs corrigées, qui, si elles ne satisfont pas encore aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ détermineront certainement des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ beaucoup plus petites que par les trois premières hypothèses, et par suite, les éléments de l’orbite qui en résulteront seront beaucoup plus exacts que ceux qui correspondent aux premières hypothèses. Si nous ne voulons pas nous en tenir à ces éléments, le plus sage sera, après avoir négligé l’hypothèse qui avait produit les plus grandes différences, de joindre de nouveau les deux autres à la quatrième, et de former, suivant les principes de l’article précédent, un cinquième système de valeurs de $x$ et $y\,;$ et de la même manière, lorsqu’on en verra l’utilité, on pourra déterminer une sixième hypothèse et ainsi de suite, jusqu’à ce que les équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0$ soient satisfaites aussi exactement que le permettent les tables trigonométriques et logarithmiques. Très-rarement cependant, on aura besoin d’aller plus loin que le quatrième système, à moins que les premières hypothèses ne soient encore trop écartées de la vérité.

122

Puisque les valeurs des inconnues, dans la seconde et la troisième hypothèse, sont en quelque sorte prises arbitrairement, pourvu seulement qu’elles ne diffèrent pas trop de la première hypothèse, et qu’en outre on évite que le rapport $(a''-a):(b''-b)$ ne tende à devenir égal au rapport $(a'-b):(b'-b),$ on a généralement l’habitude de poser $a'=a,$ $b''=b.$

De là on retire un double avantage ; car, non-seulement les formules relatives à $\xi ,$ $\eta$ deviennent encore un peu plus simples, mais aussi, une partie du premier calcul restera le même dans la seconde hypothèse, et une autre partie dans la troisième.

Il est cependant un cas où d’autres raisons engagent à s’écarter de cette manière de faire ; supposons en effet, que $\mathrm {X}$ ait la forme $\mathrm {X} '-x,$ et $\mathrm {Y}$ celle $\mathrm {Y} '-y,$ et que les fonctions $\mathrm {X} ',$ $\mathrm {Y} '$ soient établies, par la nature du problème, de telle sorte qu’elles soient très-peu affectées par des erreurs médiocres commises dans les valeurs de $x$ et $y,$ ou que $\left({\frac {d\mathrm {X} '}{dx}}\right),$ $\left({\frac {d\mathrm {X} '}{dy}}\right),$ $\left({\frac {d\mathrm {Y} '}{dx}}\right),$ $\left({\frac {d\mathrm {Y} '}{dy}}\right)$ soient des quantités excessivement petites, il est alors évident, que les différences entre les valeurs de ces fonctions correspondant au système $x=\xi ,$ $y=\eta ,$ et celles qui proviennent du système $x=a,$ $y=b,$ peuvent être considérées comme d’un ordre plus élevé que les différences $\xi -a,$ $\eta -b\,;$ mais ces valeurs-là sont $\mathrm {X} '=\xi ,$ $\mathrm {Y} '=\eta ,$ et celles-ci $\mathrm {X} '=a+\mathrm {A} ,$ $\mathrm {Y} '=b+\mathrm {B} ,$ d’où il suit, que $a+\mathrm {A} ,$ $b+\mathrm {B}$ sont des valeurs de $x$ et $y$ beaucoup plus exactes que $a,$ $b.$ Si la seconde hypothèse est établie sur ces valeurs, elle satisfait très-souvent, déjà si exactement aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ qu’il est inutile d’aller au delà ; s’il en est autrement, on formera de la même manière la troisième hypothèse, au moyen de la seconde, en faisant

$a''=a'+\mathrm {A} '=a+\mathrm {A} +\mathrm {A} ',$  $b''=b'+\mathrm {B} '=b+\mathrm {B} +\mathrm {B} '\,;$

d’où enfin, si on ne la trouve pas encore assez précise, on formera la quatrième d’après la règle de l’art. 120.

123

Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu’on avait déjà obtenu de quelque part les valeurs approchées des inconnues $x,\,y.$ Toutes les fois, assurément, que l’on connaît les dimensions approchées de toute l’orbite (déduites peut-être d’autres observations, par des calculs antérieurs, et devant maintenant être corrigées par de nouvelles), on pourra, sans difficulté, satisfaire à cette condition, quelle que soit la signification que nous attribuions aux inconnues. Au contraire, dans la première détermination d’une orbite encore entièrement inconnue (problème qui est de beaucoup le plus difficile), il n’est nullement indifférent d’employer telles ou telles inconnues ; elles doivent plutôt être choisies avec adresse de manière que de la nature du problème même, il soit permis de déduire les valeurs approchées. Ce qui réussit d’une manière très-satisfaisante toutes les fois que les trois observations employées pour la recherche de l’orbite n’embrassent pas un trop grand mouvement héliocentrique du corps céleste. On devra donc toujours choisir de cette manière les observations pour une première détermination, qu’il conviendra après cela de corriger, à son gré, par des observations plus écartées l’une de l’autre. On aperçoit en effet facilement, que les erreurs inévitables des observations affectent d’autant plus le résultat que les observations ont été prises plus rapprochées. De là nous concluons, que les observations relatives à une première détermination ne doivent pas être prises inconsidérément, mais qu’on doit prendre garde, d’abord qu’elles ne soient trop voisines l’une de l’autre, mais ensuite qu’elles ne soient pas non plus trop écartées. Dans le premier cas, en effet, le calcul des éléments devant satisfaire aux observations s’achève en vérité très-promptement, mais on devrait accorder peu de confiance à ces éléments eux-mêmes ; bien plus, ils pourraient être altérés par des erreurs si considérables qu’ils ne pourraient même pas servir, à leur tour, d’approximation. Dans l’autre cas, nous, abandonnerions les méthodes qui servent à la détermination approchée des inconnues, et nous ne pourrions en obtenir aucune autre détermination, si ce n’est une très-grossière, ou entièrement insuffisante, sans un bien plus grand nombre d’hypothèses, ou des tâtonnements les plus fastidieux. Mais on apprendra bien mieux à juger sûrement des limites de cette méthode par une pratique fréquente que par des règles ; les exemples donnés ci-dessous montrent que les éléments déduits des observations de Junon embrassant seulement un espace de 22 jours, et comprenant un mouvement héliocentrique de 7° 35′, jouissent déjà d’une grande précision ; et pareillement, que notre méthode peut aussi être appliquée avec un entier succès aux observations de Cérès qui embrassent un espace de 260 jours et comprennent un mouvement héliocentrique de 62° 55′ ; et peut fournir, avec l’emploi de quatre hypothèses, ou mieux, d’approximations successives, des éléments s’accordant parfaitement bien avec les observations.

124

Nous procédons maintenant à l’énumération des méthodes les plus convenables basées sur les principes précédents, dont nous avons, par le fait, exposé déjà, dans le premier livre, les parties principales, et qui doivent seulement ici être appliquées à notre but.

La méthode qui paraît la plus simple est de prendre pour $x$ et $y$ les distances du corps céleste à la Terre dans les deux observations, ou plutôt, les logarithmes de ces distances, ou les logarithmes de ces distances projetées sur l’écliptique ou sur l’équateur. De là, par l’art. 64, V, seront déduits les lieux héliocentriques et les distances au Soleil correspondant aux mêmes positions ; de là encore, par l’art. 110, la position du plan de l’orbite et les longitudes héliocentriques dans ce plan ; et de là, au moyen des rayons vecteurs et des intervalles de temps correspondants, suivant le problème traité longuement dans les art. 85-105, tous les autres éléments, par lesquels ces observations doivent évidemment être exactement représentées, quelles que soient les valeurs qui aient été attribuées à $x$ et $y.$ Si maintenant, on calcule, à l’aide de ces éléments, le lieu géocentrique pour l’époque de la troisième observation, l’accord ou le désaccord de cette position calculée avec la position observée déterminera si les valeurs supposées sont les vraies, ou en diffèrent : comme il en résultera une double comparaison, une différence (en longitude ou ascension droite) pourra être prise pour $\mathrm {X} ,$ et l’autre (en latitude ou en déclinaison) pour $\mathrm {Y} .$ À moins donc que les valeurs de ces différences $\mathrm {X,\,Y}$ ne soient spontanément nulles, on pourra déterminer les véritables valeurs de $x$ et $y,$ par la méthode développée dans les art. 120 et suivants. Il est du reste par soi-même arbitraire, que nous partions de l’une ou de l’autre des trois observations ; le plus souvent, cependant, il est préférable d’adopter la première et la dernière, excepté le cas spécial dont nous allons de suite parler.

Cette méthode doit être préférée à la plupart de celles expliquées ci-après, par la raison qu’elle admet une application plus générale. Il faut excepter le cas dans lequel les deux observations extrêmes embrassent un mouvement héliocentrique de 180, de 360 ou de 540 degrés ; alors, en effet, la position du plan de l’orbite ne peut être déterminée d’après les deux positions héliocentriques (art. 110).

De même, il ne conviendra pas d’appliquer la méthode toutes les fois que le mouvement héliocentrique entre les deux observations extrêmes est peu différent de 180° ou 360°, etc., parce que, dans ce cas, la détermination exacte de la position de l’orbite ne peut être obtenue, ou plutôt, parce que de légères variations dans les valeurs supposées des inconnues produiraient des variations si grandes dans la position de l’orbite, et par conséquent aussi dans les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ que les variations de ces dernières quantités ne pourraient plus être considérées comme proportionnelles à celles des premières. Cependant un remède est ici en présence : c’est de ne pas partir, dans un tel cas, des deux observations extrêmes, mais de la première et de celle du milieu, ou de celle-ci et de la dernière, et par suite, de prendre pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ la différence entre le calcul et l’observation pour le troisième lieu ou pour le premier. Mais si le premier et le troisième lieux étaient tous deux distants du second d’à peu près 180°, cet inconvénient ne pourrait pas être écarté de cette manière ; il vaut alors mieux ne pas employer, pour le calcul des éléments, des observations de ce genre, d’après lesquelles, par la nature même de la question, il est complètement impossible d’obtenir une détermination exacte de la position de l’orbite.

En outre, cette méthode se recommande aussi en ce que, sans travail, on peut estimer quelles variations subissent les éléments quand, les lieux extrêmes étant supposés invariables, le lieu intermédiaire éprouve un petit changement ; on pourra donc juger, de cette manière, du degré de précision que l’on pourra attribuer aux éléments trouvés.

125

Par un léger changement apporté à la méthode précédente nous déduirons la seconde. Nous déterminerons, de même que dans celle-là, tous les éléments, en partant des distances dans deux observations. Cependant, d’après ces éléments, nous ne calculerons pas le lieu géocentrique pour la troisième observation, mais nous irons seulement jusqu’à la position héliocentrique dans l’orbite ; d’un autre côté, nous déduirons le même lieu héliocentrique d’après le lieu géocentrique observé et la position du plan de l’orbite, à l’aide du problème traité dans les art. 74, 75 ; les différences entre ces deux déterminations (à moins, par hasard, que les valeurs supposées de $x$ et $y$ ne soient les vraies), nous fourniront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ elles-mêmes, en prenant pour $\mathrm {X}$ la différence entre les deux valeurs des longitudes dans l’orbite, et pour $\mathrm {Y}$ la différence entre les deux valeurs du rayon vecteur, ou mieux de son logarithme. Cette méthode est sujette aux mêmes conseils que ceux que nous avons touchés dans l’article précédent ; il convient d’en ajouter un autre, à savoir, que le lieu héliocentrique dans l’orbite ne peut être déduit du lien géocentrique toutes les fois que la position de la Terre coïncide avec l’un ou l’autre des nœuds de l’orbite ; alors donc, il n’est pas permis d’appliquer cette méthode. Mais dans le cas où la position de la Terre est très-peu éloignée de l’un ou l’autre nœud, il convient aussi de s’abstenir de cette méthode, puisque l’hypothèse qu’à de petites variations de $x,\,y$ correspondent des variations proportionnelles de $\mathrm {X,\,Y} ,$ deviendrait trop fautive, par une raison semblable à celle que nous avons indiquée dans l’article précédent. Mais ici aussi, on pourra y remédier en changeant le lieu moyen avec l’un des lieux extrêmes, auquel doit correspondit une position de la Terre plus écartée des nœuds, à moins que, par hasard, la Terre, dans les trois observations, ne soit placée dans le voisinage des nœuds.

126

La méthode précédente prépare immédiatement la voie à la troisième. De la même manière que précédemment, sont déterminés, d’après les distances de l’astre à la Terre dans les observatius extrêmes, les longitudes dans l’orbite correspondantes ainsi que les rayons vecteurs. Avec la position du plan de l’orbite, que ce calcul aura fourni, on déduira de l’observation moyenne la longitude dans l’orbite et le rayon vecteur. Mais alors, à l’aide de ces trois lieux héliocentriques, les autres éléments seront calculés suivant le problème traité dans les art. 82, 83, opération qui sera indépendante des temps des observations. De cette manière, trois anomalies moyennes et le mouvement diurne seront alors connus ; on pourra donc d’après cela, calculer les intervalles de temps eux-mêmes compris entre la première et la seconde observation et entre la seconde et la troisième. Les différences entre ces intervalles calculés et les intervalles vrais seront pris pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

Cette méthode est moins convenable toutes les fois que le mouvement héliocentrique n’embrasse qu’un petit arc. Dans un tel cas, en effet, cette détermination de l’orbite (ainsi que nous l’avons déjà fait voir dans l’art. 82) dépend de quantités du troisième ordre et, par suite, n’admet pas une précision suffisante. Les plus légères variations dans les valeurs de $x,\,y$ peuvent produire des variations très-grandes dans les éléments et, par conséquent, dans les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ aussi, et l’on ne pourrait supposer ces dernières variations proportionnelles aux premières. Mais quand les trois lieux embrassent un mouvement héliocentrique considérable, l’emploi de la méthode réussit certainement le mieux, pourvu qu’elle ne soit pas troublée par les exceptions expliquées dans l’article précédent, exceptions auxquelles, dans cette méthode, on devra évidemment avoir aussi égard.

127

Après que les trois lieux héliocentriques auront été obtenus de la manière que nous venons de l’indiquer dans l’article précédent, on pourra continuer de la manière suivante : Les autres éléments devront être déterminés par le problème traité dans les art. 85-105, d’abord, d’après le premier et le second lieu avec l’intervalle correspondant, et ensuite, de la même manière, d’après le second et le troisième lieu et l’intervalle correspondant : on obtiendra ainsi deux valeurs pour chaque élément dont on pourra prendre deux différences quelconques pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$ Un avantage qu’on ne doit pas dédaigner recommande beaucoup cette méthode ; c’est que dans les premières hypothèses on peut négliger entièrement, en dehors des deux éléments choisis pour déterminer $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ tous les autres, qui seront déterminés à la fin, dans le dernier calcul basé sur les valeurs corrigées de $x,$ $y,$ soit seulement par la première combinaison, soit seulement par la seconde, ou ce qui est le plus souvent préférable, par la combinaison du premier lieu avec le troisième.

Le choix de ces deux éléments qui, généralement parlant, est arbitraire, fournit une grande variété de solutions : on pourra adopter, par exemple, le logarithme du demi-paramètre avec le logarithme du demi grand axe, ou le premier avec l’excentricité, ou celle-ci avec le dernier, ou la longitude du périhélie avec l’un de ces éléments ; l’un ou l’autre de ces quatre éléments pourra aussi être combiné avec l’anomalie excentrique correspondante du lieu moyen, dans l’un ou l’autre calcul, si à la vérité l’orbite se trouve elliptique, cas dans lequel les formules 27-30, art. 96, fourniront un calcul très-rapide. Mais dans des cas spéciaux ce choix exige une certaine circonspection ; ainsi, par exemple, dans les orbites s’approchant de la parabole, le demi grand axe ou son logarithme serait moins convenable, car leurs trop grandes variations ne peuvent être considérées comme proportionnelles aux variations de $x$ et $y\,:$ dans un pareil cas il serait plus convenable de prendre ${\frac {1}{a}}.$ Mais nous nous arrêtons d’autant moins à ces subtilités que la cinquième méthode expliquée dans l’article suivant l’emporte, dans presque tous les cas, sur les quatre exposées jusqu’à présent.

128

Désignons par $r,\,r',\,r''$ trois rayons vecteurs obtenus de la même manière que dans les art. 125, 126 ; le mouvement angulaire héliocentrique dans l’orbite, du second lieu au troisième par $2f,$ du premier au troisième par $2f',$ du premier au second par $2f'',$ de telle sorte que l’on ait

$f'=f+f''.$

Soient ensuite.

$r'r''\sin 2f=n,\qquad rr''\sin 2f'=n',\qquad rr'\sin 2f''=n''\,;$

et enfin, soient respectivement $\theta ,\,\theta ',\,\theta ''$ le produit de la quantité constante $k$ (art. 2) par les intervalles de temps de la seconde observation à la troisième, de la première à la troisième, de la première à la seconde. Le double calcul des éléments est commencé (de même que dans l’article précédent) d’après $r,\,r',\,f''$ et $\theta ''$ et d’après $r'r''f,$ $\theta \,;$ dans l’un et l’autre calcul on n’ira pas jusqu’à la détermination des éléments mêmes, mais on s’arrêtera aussitôt qu’on aura obtenu cette quantité qui exprime le rapport du secteur elliptique au triangle, et que nous avons désignée ci-dessus (art. 91) par $y$ ou $-\mathrm {Y} .$ Soit $\eta ''$ la valeur de cette quantité dans le premier calcul, et $\eta$ dans le second. Nous aurons alors, au moyen de la formule 18, art. 95, pour le demi-paramètre $p$ les deux valeurs :

${\sqrt {\overset {}{p}}}={\frac {\eta ''n''}{\theta ''}},$  et  ${\sqrt {\overset {}{p}}}={\frac {\eta n}{\theta }}.$

Mais nous avons en outre, par l’art. 82, la troisième valeur

$p={\frac {4rr'r''\sin f\sin f'\sin f''}{n-n'+n''}}\,;$

ces trois valeurs devraient évidemment être identiques, si pour $x$ et $y$ on avait pris, dès le commencement, leurs valeurs exactes. C’est pourquoi on devrait avoir

${\begin{aligned}{\frac {\theta ''}{\theta }}&={\frac {\eta ''n''}{\eta n}},\\[0.75ex]n-n'+n''&={\frac {4\theta \theta ''rr'r''\sin f\sin f'\sin f''}{\eta \eta ''nn''}},\\&={\frac {n'\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}.\end{aligned}}$

À moins donc, que dans le premier calcul ces équations ne soient spontanément satisfaites, on pourra poser

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\log {\frac {\eta n\theta ''}{\eta ''n''\theta }},\\\mathrm {Y} &=n-n'+n''-{\frac {n'\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}.\end{aligned}}.$

Cette méthode, comme la seconde expliquée dans l’art. 125, souffre aussi une application générale, mais c’est un grand avantage que dans cette cinquième méthode, les premières hypothèses n’exigent pas la détermination des éléments mêmes, mais s’arrêtent à peu près à moitié chemin. Du reste, aussitôt que dans cette opération, on est parvenu à ce point où l’on peut prévoir que la nouvelle hypothèse ne sera pas sensiblement différente de la vérité, il sera suffisant de déterminer dans cette hypothèse les éléments eux-mêmes, soit d’après $r,\,r',\,f'',\,\theta ''$ seulement, ou d’après $r',\,r'',\,f,\,\theta ,$ ou, ce qui est préférable, d’après $r,\,r'',\,f',\,\theta '.$

129

Les cinq méthodes exposées jusqu’ici mettent aussitôt sur la voie pour autant d’autres qui diffèrent seulement de celles-ci, en ce que, au lieu de prendre pour $x$ et $y$ les distances à la Terre, on prend l’inclinaison de l’orbite et la longitude du nœud. Ces nouvelles méthodes sont donc les suivantes :

I. Au moyen de $x$ et $y$ et des deux lieux géocentriques extrêmes sont déterminés, suivant les art. 74, 75, les longitudes héliocentriques dans l’orbite et les rayons vecteurs, et de là, au moyen des intervalles correspondants, tous les autres éléments ; de ceux-ci, enfin, le lieu géocentrique pour l’époque de l’observation moyenne, dont les différences en longitude et en latitude avec la position observée fourniront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

Les quatre autres méthodes ont cela de commun, que les trois longitudes héliocentriques dans l’orbite et les rayons vecteurs correspondants sont tous calculés au moyen de la position du plan de l’orbite et des lieux géocentriques. Mais après cela :

II. Les autres éléments sont déterminés au moyen des deux lieux extrêmes seulement, et des temps correspondants ; avec ces éléments, la longitude dans l’orbite et le rayon vecteur sont calculés pour l’époque de l’observation moyenne ; les différences de ces quantités avec celles trouvées précédemment, c’est-à-dire, déduites du lieu géocentrique, produiront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$

III. Ou, les autres dimensions de l’orbite sont déduites des trois lieux héliocentriques (art. 82, 83), calcul dans lequel n’entrent point les temps : après cela, on déduit les intervalles de temps qui, dans l’orbite ainsi trouvée, devraient s’être écoulés entre la première observation et la seconde, et entre celle-ci et la troisième ; leurs différences avec les vrais intervalles nous donneront $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$

IV. Les autres éléments sont calculés de deux manières, à savoir : par la combinaison du premier lieu avec le second, et par la combinaison du second et du troisième, les intervalles de temps correspondants étant employés : deux différences quelconques de ces deux systèmes d’éléments comparés entre eux, pourront être prises pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$

V. Ou enfin, le même double calcul est seulement prolongé jusqu’aux valeurs de la quantité désignée par $y$ dans l’art. 91, et alors, les expressions données dans l’article précédent seront adoptées pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$

Pour qu’on puisse employer avec sûreté les quatre dernières de ces méthodes, les positions de la Terre dans les trois observations ne doivent pas être trop voisines des nœuds de l’orbite : d’un autre côté, l’emploi de la première méthode exige seulement que la même condition existe dans les deux observations extrêmes, ou plutôt (puisque le lieu moyen peut être substitué à l’un quelconque des lieux extrêmes) que, des trois positions de la Terre, il ne s’en trouve pas plus d’une dans le voisinage des nœuds.

130

Les dix méthodes expliquées depuis l’art. 124, reposent sur l’hypothèse que l’on connaît déjà des valeurs approchées des distances du corps céleste à la Terre, ou la position du plan de l’orbite.

Toutes les fois en vérité qu’il s’agit de corriger par des observations plus écartées l’une de l’autre, les dimensions d’une orbite dont les valeurs approchées ont déjà été obtenues, d’autre part, par exemple par un calcul antérieur reposant sur d’autres observations, cette hypothèse ne sera évidemment sujette à aucune difficulté. Mais on n’aperçoit pas encore, d’après cela, comment on peut entreprendre un premier calcul lorsque tous les éléments d’une orbite sont encore entièrement inconnus : ce cas de notre problème est de beaucoup le plus important et le plus difficile, ainsi qu’on peut déjà le prévoir, d’après le problème analogue dans la théorie des comètes, qui, cela est assez connu, a longtemps tourmenté les géomètres et a donné lieu à bien des essais infructueux. Pour que notre problème puisse être considéré comme convenablement résolu, il faut évidemment, si à la vérité la solution est donnée selon la règle expliquée depuis l’art. 119, satisfaire aux conditions suivantes : Premièrement, les quantités $x$ et $y$ doivent être choisies de telle sorte que l’on puisse trouver leurs valeurs approchées par la nature même du problème, du moins, tant que le mouvement héliocentrique de l’astre entre les observations n’est pas trop grand. Secondement, il est nécessaire qu’à de petites variations dans les quantités $x,\,y,$ ne correspondent pas des variations trop grandes dans les quantités qui s’en déduisent, afin que les erreurs introduites accidentellement dans les valeurs supposées de ces premières quantités n’empêchent pas les dernières d’être considérées comme approchées. Et troisièmement enfin, nous demandons que les opérations par lesquelles on passe successivement des quantités $x,\,y$ aux quantités $\mathrm {X} ,\,\mathrm {Y} ,$ ne soient pas trop compliquées.

Ces conditions fourniront le critérium d’après lequel on pourra juger d’une méthode quelconque ; ce qui se montrera encore plus clairement par de fréquentes applications. La méthode que nous nous préparons maintenant à exposer, et que l’on peut en quelque sorte considérer comme la partie la plus importante de cet ouvrage, satisfait tellement à ces conditions qu’elle semble ne rien laisser à désirer. Avant de commencer à l’expliquer dans la forme la plus convenable pour la pratique, nous développerons quelques considérations préliminaires, et nous éclairerons et lui ouvrirons, pour ainsi dire, la route qui, autrement, paraîtrait peut-être plus obscure et moins facile.

131

On a fait voir dans l’art. 114, que si l’on connaissait le rapport entre les quantités désignées en cet endroit et dans l’art. 128 par $n,\,n',\,n'',$ on pourrait, par des formules très-simples, déterminer les distances de l’astre à la Terre. Si donc nous prenons pour $x$ et $y$ les quotients

${\frac {n}{n'}},\qquad {\frac {n''}{n'}},$

les quantités

${\frac {\theta }{\theta '}},\qquad {\frac {\theta ''}{\theta '}},$

(en donnant aux lettres $\theta ,$ $\theta ',$ $\theta ''$ la même signification que dans l’article 128), s’offrent immédiatement comme une valeur approchée de ces quotients, dans le cas où le mouvement héliocentrique entre les observations n’est pas très-considérable ; de là, on voit donc se dérouler une solution facile de notre problème, si deux distances à la Terre sont obtenues d’après $x$ et $y,$ et qu’après cela nous procédions d’après l’une quelconque des cinq méthodes des art. 124-128. En effet, les lettres $\eta ,\,\eta ''$ étant prises aussi avec la signification de l’art. 128 et, par analogie, en désignant par $\eta '$ le quotient obtenu en divisant le secteur compris entre les deux rayons vecteurs par l’aire du triangle compris entre les mêmes rayons, nous aurons

${\frac {n}{n'}}={\frac {\theta }{\theta '}}.{\frac {\eta '}{\eta }},\qquad {\frac {n''}{n'}}={\frac {\theta ''}{\theta '}}.{\frac {\eta '}{\eta ''}},$

et l’on voit facilement que si $n,\,n',\,n''$ sont considérées comme de petites quantités du premier ordre, $\eta -1,\,\eta '-1,\,\eta ''-1$ seront, généralement parlant, des quantités du second ordre, et par suite, que ${\frac {\theta }{\theta '}},\,{\frac {\theta ''}{\theta '}},$ valeurs approchées de $x$ et $y,$ différeront seulement des véritables, de quantités du second ordre. Néanmoins, en considérant la chose de près, cette méthode-ci est trouvée complètement impropre, phénomène dont nous expliquerons la cause en peu de mots. On s’aperçoit en effet, facilement, que la quantité ${\text{(0.1.2)}}$ par laquelle les distances sont multipliées dans les formules 9, 10, 11 de l’art. 114, se trouve au moins du troisième ordre, tandis que par exemple, dans l’équation 9, les quantités ${\text{(O.1.2)}},$ ${\text{(I.1.2)}},$ ${\text{(II.1.2)}}$ sont du premier ordre ; mais de là il suit facilement, qu’une erreur du second ordre commise dans les valeurs des quantités ${\frac {n}{n'}},\,{\frac {n''}{n'}},$ produit une erreur de l’ordre zéro dans les valeurs des distances. C’est pourquoi, d’après la manière habituelle de s’exprimer, les distances se trouveraient alors affectées d’une erreur finie, même lorsque les intervalles seraient infiniment petits, et par conséquent, on ne pourrait réellement considérer ni ces distances ni les autres quantités qui s’en déduisent, comme étant approchées, et la méthode serait en opposition avec la seconde condition de l’article précédent.

132

En posant, pour abréger,

${\text{(0.1.2)}}=a,\quad {\text{(0.I.2)}}\mathrm {D'} =-b,\quad {\text{(0.O.2)}}\mathrm {D} =+c,\quad {\text{(0.II.2)}}\mathrm {D''} =+d,$

de telle sorte que l’équation 10, art. 114, devienne

$a\delta '=b+c{\frac {n}{n'}}+d{\frac {n''}{n'}},$

les coefficients $c$ et $d$ seront réellement du premier ordre, mais on peut facilement démontrer que la différence $c-d$ doit se rapporter au second ordre. Or on déduit de là, que la valeur de la quantité

${\frac {cn+dn''}{n+n''}}$

obtenue par la supposition approchée que $n:n''=\theta :\theta ''$ est seulement affectée d’une erreur du quatrième ordre, et même du cinquième seulement lorsque l’observation moyenne est faite à intervalles égaux des observations extrêmes. Cette erreur est en effet,

${\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta +\theta ''}}-{\frac {cn+dn''}{n+n''}}={\frac {\theta \theta ''(d-c)(\eta ''-\eta )}{(\theta +\theta '')(\eta ''\theta +\eta \theta '')}}$

où le dénominateur est du second ordre, un des facteurs $\theta \theta ''(d-c)$ du numérateur, du quatrième, l’autre $(\eta ''-\eta )$ du second, ou, dans ce cas spécial, du troisième ordre. C’est pourquoi la première équation étant mise sous cette forme,

$a\delta '=b+{\frac {cn+dn''}{n+n''}}.{\frac {n+n''}{n'}},$

il est évident que le défaut de la méthode proposée dans l’article précédent ne vient pas de ce que les quantités $n$ et $n''$ ont été supposées proportionnelles aux quantités $\theta$ et $\theta '',$ mais de ce que $n'$ avait en outre été posée proportionnelle à $\theta '.$ Car, de cette manière, on introduit, à la place du facteur ${\frac {n+n''}{n'}},$ la valeur moins exacte ${\frac {\theta +\theta ''}{\theta '}}=1,$ de laquelle la véritable valeur

$1+{\frac {\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}$

diffère d’une quantité du second ordre, (art. 128).

133

Puisque les cosinus des angles $f,\,f',\,f'',$ de même que les quantités $\eta ,\,\eta ''$ diffèrent de l’unité d’une quantité du second ordre, il est évident, que si à la place de

${\frac {n+n''}{n'}}$

on introduit la valeur approchée

$1+{\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}$

on commettra une erreur du quatrième ordre. Si donc, à la place de l’équation de l’art, 114, on prend la suivante

$a\delta '=b+{\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta '}}\left(1+{\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}\right),$

il rejaillira une erreur du second ordre dans la valeur de la distance $\delta '$ quand les observations extrêmes sont équidistantes de celles du milieu, ou du premier ordre dans les autres cas. Mais cette nouvelle forme de cette équation n’est pas propre à la détermination de $\delta '$ parce qu’elle contient les quantités $r,$ $r',$ $r''$ encore inconnues.

Maintenant, en parlant d’une manière générale, les quantités ${\frac {r}{r'}},\,{\frac {r''}{r'}}$ diffèrent de l’unité d’une quantité du premier ordre ; il en est de même du produit ${\frac {rr''}{r'^{2}}}.$ On s’aperçoit facilement que dans le cas spécial mentionné fréquemment, ce produit diffère de l’unité d’une quantité du second ordre seulement. Et même, toutes les fois que l’orbite de l’ellipse est peu excentrique, de manière que l’excentricité puisse être considérée comme une quantité du premier ordre, la différence de ${\frac {rr''}{r'^{2}}}$ avec l’unité pourra être rapportée à un ordre encore plus élevé d’un degré. Il est donc évident que cette erreur reste du même ordre qu’auparavant si, dans notre équation, on substitue ${\frac {\theta \theta ''}{2r'^{3}}}$ à la place de ${\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}\,;$ on obtient de là, la forme suivante,

$a\delta '=b+{\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta '}}\left(1+{\frac {\theta \theta ''}{2r'^{3}}}\right).$

Cette équation contient encore, par le fait, la quantité inconnue $r',$ qui néanmoins, peut évidemment être éliminée, puisqu’elle dépend seulement de $\delta '$ et de quantités connues. Si l’équation était ensuite ordonnée convenablement, elle monterait jusqu’au huitième degré.

134

D’après ce qui précède, on comprendra maintenant le motif pour lequel, dans notre méthode, nous allons prendre pour $x$ et $y,$ respectivement, les quantités

${\frac {n''}{n}}=\mathrm {P} ,$ et $2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{2}=\mathrm {Q} .$

Car, premièrement, il est évident que si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont considérées comme des quantités connues, on pourra en déduire $\delta '$ au moyen de l’équation

$a\delta '=b+{\frac {c+d\mathrm {P} }{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right),$

et après cela, $\delta$ et $\delta ''$ par les équations 4 et 6 de l’art. 114, puisqu’on a

${\frac {n}{n'}}={\frac {1}{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right),\qquad {\frac {n''}{n'}}={\frac {\mathrm {P} }{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right).$

Secondement, il est évident que, dans une première hypothèse, à la place des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ dont les valeurs exactes sont

${\frac {\theta ''}{\theta }}.{\frac {\eta }{\eta ''}},\qquad {\frac {r'^{2}\theta \theta ''}{rr''\eta \eta ''\cos f\cos f'\cos f''}},$

se présentent aussitôt les valeurs approchées

${\frac {\theta ''}{\theta }},\quad \theta \theta '',$

hypothèse de laquelle résulteront, dans la détermination de $\delta ',$ et par suite aussi de $\delta$ et $\delta '',$ des erreurs du premier ordre, ou du second ordre dans le cas spécial plusieurs fois mentionné. Quoiqu’on puisse, généralement parlant, se fier en toute assurance à ces conclusions, elles peuvent cependant, dans un cas particulier, perdre de leur valeur ; c’est toutes les fois que la quantité ${\text{(0.1.2)}},$ qui, par sa nature, est du troisième ordre, devient accidentellement égale à zéro, ou si petite, quelle doit être reportée à un ordre plus élevé. Ceci se présente quand le mouvement géocentrique dans la sphère céleste contient un point d’inflexion près du lieu moyen. Enfin, il semble que pour que notre méthode puisse être employée pratiquement, il est nécessairement exigé que le mouvement héliocentrique, entre les trois observations, ne soit pas trop grand ; mais cette restriction, par la nature du problème très-compliqué, ne peut en aucune manière être évitée, ni non plus, être considérée comme un désavantage, puisqu’on souhaitera toujours d’obtenir le plus tôt possible une première détermination de l’orbite inconnue d’un astre nouveau. En outre, cette restriction peut être prise dans un sens assez large, comme le feront voir les exemples donnés ci-dessous.

135

Les recherches précédentes ont été introduites afin que les principes sur lesquels repose notre méthode, et sa véritable force, pour ainsi dire, s’aperçoivent plus clairement ; mais l’usage pratique présentera la méthode sous une forme entièrement différente, que nous pouvons recommander, après de très-nombreuses applications, comme la plus convenable entre plusieurs autres que nous avons essayées. Puisqu’en déterminant une orbite inconnue, d’après trois observations, toute la question se réduit toujours à quelques hypothèses, ou plutôt à des approximations successives, on devra considérer comme un grand avantage d’avoir réussi à disposer le calcul de telle sorte que, dès le principe, on puisse séparer de ces hypothèses le plus grand nombre possible des calculs qui dépendent, non de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q} ,$ mais uniquement de la combinaison des quantités connues. Évidemment, alors, il faut effectuer, une fois seulement, ces opérations préliminaires, communes à chaque hypothèse, et les hypothèses elles-mêmes sont réduites au plus petit nombre possible d’opérations. Ce sera également un grand avantage, s’il n’y a pas besoin, pour chaque hypothèse, d’aller jusqu’aux éléments mêmes, et si le calcul de ces éléments peut être réservé pour la dernière hypothèse. Sous ces deux points de vue, notre méthode, dont nous allons maintenant entreprendre l’exposition, semble ne rien laisser à désirer.

136

Il faut avant tout joindre par des arcs de grand cercle les trois lieux héliocentriques $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ (fig. 4) de la Terre dans la sphère céleste, avec les trois lieux géocentriques correspondants $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ du corps céleste, et calculer alors, non-seulement la position de ces grands cercles relativement à l’écliptique (si nous adoptons l’écliptique comme plan fondamental), mais encore la position des points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ sur ces cercles.

Soient $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha ''$ les trois longitudes géocentriques du corps céleste, $\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$ les latitudes ; $l,\,l',\,l''$ les longitudes héliocentriques de la Terre, dont nous supposerons les latitudes égales à zéro (art. 117, 72). Soient ensuite, $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$ les inclinaisons, sur l’écliptique, des grands cercles menés des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ respectivement aux points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''\,;$ afin de suivre toujours une règle fixe dans la détermination de ces combinaisons, nous les mesurerons toujours relativement à cette partie de l’écliptique qui, partant des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} '',$ est située suivant l’ordre des signes, de telle sorte que leur grandeur sera comptée de 0 à 360°, ou, ce qui revient au même, de 0 à 180° dans la partie boréale, et de 0 à −180° dans la partie australe. Nous désignons par $\delta ,\,\delta ',\,\delta ''$ les arcs $\mathrm {AB} ,\,\mathrm {A'B'} ,\,\mathrm {A''B''} ,$ que l’on peut toujours supposer compris entre 0° et 180° Nous avons alors, pour la détermination de $\gamma$ et $\delta ,$ les formules

[1]

$\operatorname {tang} \gamma ={\frac {\operatorname {tang} \beta }{\sin(\alpha -l)}},$

[2]

$\operatorname {tang} \delta ={\frac {\operatorname {tang} (\alpha -l)}{\cos \gamma }},$

auxquelles, si on le désire pour la confirmation du calcul, pourront être ajoutées les suivantes :

$\sin \delta ={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }},\qquad \cos \delta =\cos \beta \cos(\alpha -l).$

Pour la détermination de $\gamma ',\,\delta ',\,\gamma '',\,\delta ''$ on aura évidemment des formules entièrement analogues. Si maintenant, on avait en même temps $\beta =0,$ $\alpha -l=0$ ou $180^{\circ }\!,$ c’est-à-dire, si le corps céleste était en même temps en opposition ou en conjonction, et dans le plan de l’écliptique, $\gamma$ serait indéterminé ; mais nous supposons que ce cas ne se présente pour aucune des trois positions observées.

Si, à la place de l’écliptique, l’équateur est adopté comme plan fondamental, alors, pour déterminer les positions des trois grands cercles par rapport à l’équateur, il faudra, en outre des inclinaisons, les ascensions droites de leurs intersections avec l’équateur ; et l’on devra aussi calculer, outre les distantes des points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ à ces intersections, les distances des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ à ces mêmes intersections. Puisque ces quantités dépendent du problème traité dans l’article 110, nous ne nous arrêterons pas ici au développement de ces formules.

137

Le second travail sera la détermination de la position relative de ces trois grands cercles entre eux, détermination qui dépendra de la position de leurs intersections mutuelles et de leurs inclinaisons.

Si nous désirons réduire, sans ambiguïté, cette détermination à des notions claires et générales, de manière qu’il n’y ait pas besoin, pour chaque cas différent, de recourir à des figures particulières, il conviendra de donner préalablement quelques éclaircissements préliminaires. Premièrement, dans tout grand cercle, deux directions opposées doivent être distinguées d’une manière quelconque, ce qui se fera en considérant l’une comme directe ou positive, et l’autre comme rétrograde ou négative. Puisque ceci est par soi-même entièrement arbitraire, dans le but d’établir une règle certaine, nous considérerons comme positives les directions de $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ vers $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''\,;$ ainsi, par exemple, si l’intersection du premier cercle avec le second est représentée par une distance positive comptée du point $\mathrm {A} ,$ il sera compris que cette distance doit être prise de $\mathrm {A}$ vers $\mathrm {B}$ (comme $\mathrm {D} ''$ dans notre figure) ; mais si elle était négative, il faudrait la compter à partir du même point $\mathrm {A} ,$ mais de l’autre côté. Et secondement, les deux hémisphères, suivant lesquels tout grand cercle divise la sphère, doivent aussi être distingués par des dénominations convenables ; d’après cela, nous appellerons hémisphère supérieur celui qui est à droite pour qui marche sur la surface intérieure de la sphère, dans une direction positive, le long d’un grand cercle ; l’autre sera l’inférieur. La région supérieure sera donc analogue à l’hémisphère boréal relativement à l’écliptique ou à l’équateur, la région inférieure sera analogue à l’hémisphère austral.

Ces définitions étant convenablement comprises, on pourra facilement distinguer l’une de l’autre, les deux intersections de deux grands cercles. Dans l’une, en effet, le premier cercle passe de l’hémisphère inférieur du second cercle vers le supérieur, ou, ce qui est la même chose, le second cercle passe de l’hémisphère supérieur du premier à l’hémisphère inférieur ; à l’autre intersection, les choses se passent dans l’ordre inverse. Par soi-même, il est en vérité entièrement arbitraire, quelles intersections nous devons choisir dans notre problème ; mais, pour que nous procédions ici également, d’après une règle invariable, nous adopterons toujours ceux ($\mathrm {D,\,D',\,D'',}$ fig. 4), où respectivement, le troisième cercle $\mathrm {A''B''}$ passe dans la région supérieure du second $\mathrm {A'B'} ,$ le troisième dans la région supérieure du premier $\mathrm {AB} ,$ et le second dans la région supérieure du premier. La position de ces intersections sera déterminée par leurs distances aux points $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {A''} ,\,\mathrm {A}$ et $\mathrm {A''} ,\,\mathrm {A}$ et $\mathrm {A'} ,$ distances que nous désignerons simplement par $\mathrm {A'D,\,A''D} ,$ $\mathrm {AD',\,A''D'} ,$ $\mathrm {AD'',\,A'D''} .$

Ces choses étant posées, les inclinaisons mutuelles des cercles seront les angles qui, à ces points d’intersection $\mathrm {D,\,D',\,D''} ,$ sont respectivement compris entre ces parties des cercles se coupant deux à deux, qui se trouvent suivant la direction positive ; nous désignerons ces inclinaisons, toujours comprises entre 0 et 180°, par $\varepsilon ,\,\varepsilon ',\,\varepsilon ''.$ La détermination de ces neuf quantités au moyen des quantités connues dépend évidemment du problème que nous avons traité dans l’art. 55 ; nous avons donc les équations suivantes :

[3]

$\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )=\sin {\frac {1}{2}}(l''-l')\sin {\frac {1}{2}}(\gamma ''+\gamma '),$

[4]

$\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )=\cos {\frac {1}{2}}(l''-l')\sin {\frac {1}{2}}(\gamma ''-\gamma '),$

[5]

$\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )=\sin {\frac {1}{2}}(l''-l')\cos {\frac {1}{2}}(\gamma ''+\gamma '),$

[6]

$\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )=\cos {\frac {1}{2}}(l''-l')\cos {\frac {1}{2}}(\gamma ''-\gamma ').$

À l’aide des équations 3 et 4, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D+\mathrm {A''D} } )$ et $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ seront déterminés, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D-\mathrm {A''D} } )$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ le seront au moyen des deux autres ; de là $\mathrm {A'D} ,$ $\mathrm {A''D}$ et $\varepsilon .$ L’ambiguïté dans la détermination des arcs ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )$ et ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )$ par le moyen des tangentes, sera écartée par la condition que $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ doivent être positifs, et l’accord entre $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ servira à confirmer tout le calcul.

La détermination des quantités $\mathrm {AD} ',$ $\mathrm {A''D} ',$ $\varepsilon ',$ $\mathrm {AD} '',$ $\mathrm {A'D} '',$ $\varepsilon ''$ s’effectuera d’une manière entièrement semblable, et il n’y aura pas besoin de transcrire ici les huit équations employées dans ce calcul, puisqu’elles se déduisent immédiatement des équations 3 — 6, si l’on change respectivement,

$\mathrm {A'D}$	$\mathrm {A''D}$	$\varepsilon$	$l''-l'$	$\gamma ''$	$\gamma '$
avec $\mathrm {AD'}$	$\mathrm {A''D'}$	$\varepsilon '$	$l''-l$	$\gamma ''$	$\gamma$
ou avec $\mathrm {AD''}$	$\mathrm {A'D''}$	$\varepsilon ''$	$l'-l$	$\gamma '$	$\gamma$

Une nouvelle vérification du calcul entier peut se déduire de la relation mutuelle qui existe entre les côtés et les angles du triangle sphérique formé entre les points $\mathrm {D} ,\,\mathrm {D} ',\,\mathrm {D} '',$ d’où dérivent les équations suivantes, vraies d’une manière générale, quelle que soit la position de ces points,

${\frac {\sin(\mathrm {AD} '-\mathrm {AD} '')}{\sin \varepsilon }}={\frac {\sin(\mathrm {A'D} -\mathrm {A'D} '')}{\sin \varepsilon '}}={\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ')}{\sin \varepsilon ''}}.$

Enfin, si, au lieu de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental, le calcul ne subit pas de changement, si ce n’est qu’à la place des lieux héliocentriques $\mathrm {A,\,A',\,A''}$ de la Terre, il faut substituer ces points où l’équateur est coupé par les cercles $\mathrm {AB} ,\,\mathrm {A'B'} ,\,\mathrm {A''B''} \,;$ par conséquent, les ascensions droites de ces intersections devront être prises à la place de $l,\,l',\,l'',$ et, à la place de $\mathrm {A'D} ,$ la distance du point $\mathrm {D}$ à la seconde intersection, etc.

138

Le troisième travail consiste maintenant à joindre les deux lieux géocentriques extrêmes du corps céleste, c’est-à-dire les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '',$ par un grand cercle, et à déterminer son intersection avec le grand cercle $\mathrm {A'B} .$ Soient $\mathrm {B} ^{\star }$ cette intersection, et $\delta '-\sigma$ sa distance au point $\mathrm {A} \,;$ soient aussi $\alpha ^{\star }$ sa longitude, et $\beta ^{\star }$ sa latitude. Nous avons alors, puisque les points $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ^{\star },$ $\mathrm {B} ''$ sont situés sur le même grand cercle, l’équation bien connue

$0=\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ^{\star })-\operatorname {tang} \beta ^{\star }\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!\alpha ),$

qui, en substituant $\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ^{\star }-l')$ à la place de $\operatorname {tang} \beta ^{\star },$ prend la forme suivante :

${\begin{aligned}0=\cos(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l'){\big ]}\;\;&\\-\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')+\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )&\\-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')&{\big ]}.\end{aligned}}$

C’est pourquoi, puisque $\operatorname {tang} (\alpha ^{\star }-l')=\cos \gamma '\operatorname {tang} (\delta '-\sigma ),$ nous aurons

$\operatorname {tang} (\delta '\!\!-\!\sigma )={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l')}{\cos \gamma '\left[\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')\right]+\sin \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )}}.$

De là dérivent les formules suivantes, accommodées le mieux au calcul numérique. En posant

[7]

$\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha -l')=\mathrm {S} ,$

[8]

$\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha -l')=\mathrm {T} \sin t,$

[9]

$\sin(\alpha ''-\alpha )=\mathrm {T} \cos t,$

on aura (art. 14, II),

[10]

$\operatorname {tang} (\delta '-\sigma )={\frac {\mathrm {S} }{\mathrm {T} \sin(t+\gamma ')}}.$

L’ambiguïté dans la détermination de l’arc $(\delta '-\sigma )$ par la tangente provient de ce que les grands cercles $\mathrm {A'B} ',$ $\mathrm {BB} ''$ se coupent en deux points ; nous adopterons toujours pour $\mathrm {B} ^{\star }$ l’intersection voisine du point $\mathrm {B} ',$ de telle sorte que $\sigma$ tombe toujours entre les limites $-90^{\circ }$ et $+90^{\circ },$ d’après quoi cette ambiguïté est écartée.

Le plus souvent alors, la valeur de l’arc $\sigma$ (qui dépend de la courbure du mouvement géocentrique) sera une quantité assez petite, et même, généralement parlant, du second ordre, si les intervalles de temps sont considérés comme des quantités de premier ordre.

D’après la remarque de l’article précédent, on verra immédiatement quelles modifications devra subir le calcul si, à la place de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental.

Il est de plus évident que la situation du point $\mathrm {B} ^{\star }$ resterait indéterminée si les cercles $\mathrm {BB} ''\!,$ $\mathrm {A'B} '$ coïncidaient entièrement ; nous excluons de notre recherche ce cas où les quatre points $\mathrm {A} '\!,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} '\!,$ $\mathrm {B} ''$ se trouveraient dans le même grand cercle. Mais il sera convenable d’éviter aussi, dans le choix des observations, ce cas où le lieu de ces quatre points est peu différent d’un grand cercle ; alors, en effet, la position du point $\mathrm {B} ^{\star },$ qui, dans les opérations suivantes, est d’une grande importance, serait trop affectée par les plus petites erreurs d’observation, et ne pourrait être déterminée avec la précision nécessaire. De même, il est évident que le point $\mathrm {B} ^{\star }$ reste indéterminé toutes les fois que les points $\mathrm {B,\,B} ''$ se confondent en un seul^[2], cas dans lequel la position du cercle $\mathrm {BB} ''$ lui-même deviendrait indéterminée. C’est pourquoi nous excluons aussi ce cas ; de même, par des raisons semblables aux précédentes, on devra aussi éviter les observations dans lesquelles le premier lieu géocentrique et le dernier tombent en des points de la sphère voisins l’un de l’autre.

139

Soient $\mathrm {C,\,C'\!,\,C} ''$ les trois positions héliocentriques de l’astre dans la sphère céleste, positions qui se trouveront, respectivement, dans les grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A'B} '\!,$ $\mathrm {A''B} ''\!,$ et même entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} '\!,$ $\mathrm {A} ''$ et $\mathrm {B} ''$ (art. 64, III) ; les points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''$ se trouveront en outre dans le même grand cercle, c’est-à-dire dans celui qui est la projection de l’orbite sur la sphère céleste. Nous désignerons par $r,$ $r'\!,$ $r''$ les trois distances de l’astre au Soleil ; par $\rho ,$ $\rho '\!,$ $\rho ''$ ses distances à la Terre ; par $\mathrm {R} ,$ $\mathrm {R} '\!,$ $\mathrm {R} ''$ les distances de la Terre au Soleil. Posons ensuite les arcs $\mathrm {C'C} ''\!,$ $\mathrm {CC} ''\!,$ $\mathrm {CC} '\!,$ respectivement égaux à $2f,$ $2f'\!,$ $2f''\!,$ et

${\begin{aligned}r'r''\sin 2f&=n&rr''\sin 2f'&=n'&rr'\sin 2f''&=n''\end{aligned}}.$

Nous avons donc

$f'\!=f\!+\!f''\!,\;\;\;\mathrm {AC} +\mathrm {CB} =\delta ,\;\;\;\mathrm {A'C} '\!+\mathrm {C'B} '\!=\delta '\!,\;\;\;\mathrm {A''C} ''\!+\mathrm {C''B} ''\!=\delta '';$

et aussi,

${\frac {\sin \delta }{r}}={\frac {\sin \mathrm {AC} }{\rho }}={\frac {\sin \mathrm {CB} }{\mathrm {R} }}$

${\frac {\sin \delta '}{r'}}={\frac {\sin \mathrm {A'C} '}{\rho '}}={\frac {\sin \mathrm {C'B} '}{\mathrm {R} '}}$

${\frac {\sin \delta ''}{r''}}={\frac {\sin \mathrm {A''C} ''}{\rho ''}}={\frac {\sin \mathrm {C''B} ''}{\mathrm {R} ''}}$

De là il est évident, qu’aussitôt qu’on a obtenu la position des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''\!,$ les quantités $r,$ $r'\!,$ $r''\!,$ $\rho ,$ $\rho '\!,$ $\rho ''$ peuvent être déterminées. Nous ferons voir maintenant comment on peut déduire la première, d’après les quantités

${\frac {n''}{n}}=\mathrm {P} ,\qquad 2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{3}=\mathrm {Q} ,$

sur lesquelles, ainsi que nous l’avons déjà dit, notre méthode est établie.

140

Nous observons d’abord, que si $\mathrm {N}$ est un point quelconque du grand cercle $\mathrm {CC'C} ''\!,$ et que si les distances des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''$ au point $\mathrm {N}$ sont comptées suivant la même direction, qui va de $\mathrm {C}$ en $\mathrm {C} ',$ de telle sorte que l’on ait, généralement,

$\mathrm {NC} ''-\mathrm {NC} '=2f,\quad \mathrm {NC} ''-\mathrm {NC} =2f'\!,\quad \mathrm {NC} '-\mathrm {NC} =2f'',$

on aura l’équation

(I)

$0=\sin 2f\sin \mathrm {NC} -\sin 2f'\sin \mathrm {NC} '+\sin 2f''\sin \mathrm {NC} ''\dots$

Nous supposerons, maintenant, que $\mathrm {N}$ est pris à l’intersection des grands cercles $\mathrm {BB'B} ''\!,$ $\mathrm {CC'C} ''\!,$ comme au nœud ascendant du premier cercle sur le second.

Désignons par ${\mathfrak {C}},\,{\mathfrak {C'}},\,{\mathfrak {C''}},$ ${\mathfrak {D}},\,{\mathfrak {D'}},\,{\mathfrak {D''}},$ respectivement les distances des points $\mathrm {C,\,C'\!,\,C} ''\!,$ $\mathrm {D,\,D'\!,\,D} ''\!,$ au grand cercle $\mathrm {BB'B} ''\!,$ prises positivement d’un côté de ce cercle et négativement de l’autre. Alors $\sin {\mathfrak {C}},$ $\sin {\mathfrak {C'}},$ $\sin {\mathfrak {C''}},$ seront respectivement proportionnels à $\sin \mathrm {NC} ,$ $\sin \mathrm {NC} '\!,$ $\sin \mathrm {NC} ''\!,$ d’où l’équation (I) prend la forme suivante :

$0=\sin 2f\sin {\mathfrak {C}}-\sin 2f'\sin {\mathfrak {C'}}+\sin 2f''\sin {\mathfrak {C''}}$

ou, en multipliant par $rr'r'',$

(II)

$0=nr\sin {\mathfrak {C}}-n'r'\sin {\mathfrak {C'}}-n''r''\sin {\mathfrak {C''}}\dots$

Il est de plus évident, que $\sin {\mathfrak {C}}$ est à $\sin {\mathfrak {D'}}$ comme le sinus de la distance du point $\mathrm {C}$ au point $\mathrm {B} ,$ est au sinus de la distance du point $\mathrm {D} '$ au point $\mathrm {B} ,$ les deux distances étant comptées dans le même sens.

Nous avons donc

$-\sin {\mathfrak {C}}={\frac {\sin {\mathfrak {D'}}\sin \mathrm {CB} }{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}},$

et l’on déduit, entièrement de la même manière,

${\begin{aligned}-\sin {\mathfrak {C}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D''}}\sin \mathrm {CB} }{\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}}\\[0.75ex]-\sin {\mathfrak {C'}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D}}\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}={\frac {\sin {\mathfrak {D''}}\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )}}\\[0.75ex]-\sin {\mathfrak {C''}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D}}\sin \mathrm {C''B} ''}{\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}}={\frac {\sin {\mathfrak {D'}}\sin \mathrm {C''B} ''}{\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}}.\end{aligned}}$

En divisant donc l’équation (II) par $r''\!\sin {\mathfrak {C}}'',$ il vient.

${\begin{aligned}0&=n.{\frac {r\sin \mathrm {CB} }{r''\sin \mathrm {C''B} ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}\\&-n'{\frac {r'\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{r''\sin \mathrm {C''B} ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}+n''.\end{aligned}}$

Si nous désignons l’arc $\mathrm {C'B} '$ par $z,$ qu’à la place de $r,\,r',\,r''$ nous substituions leurs valeurs de l’article précédent, et que, pour abréger, nous posions

[11]

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}=a$

[12]

${\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {A'D} -\delta '\!+\sigma )}}=b,$

notre équation deviendra

(III)

$0=an-bn'.{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}+n''\dots$

On pourra aussi calculer le coefficient $b$ par la formule suivante, qui se déduit facilement des équations que nous venons d’introduire :

[13]

$a\times {\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}{\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )}}=b.$

Pour vérifier le calcul, il ne sera pas inutile d’employer l’une et l’autre des formules 12 et 13. Quand $\sin(\mathrm {A'D} ''\!-\delta '\!+\sigma )$ est plus grand que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '\!+\sigma ),$ la dernière formule est moins affectée par les erreurs inévitables des tables que la première, et par suite devra lui être préférée, si une petite différence, expliquée par là, résulte dans les valeurs de $b\,;$ on devra au contraire, accorder plus de confiance à la première formule toutes les fois que $\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )$ est moindre que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )\,;$ si on le préfère, on adoptera une moyenne convenable entre les deux valeurs.

Les formules suivantes peuvent servir à la vérification du calcul ; pour être plus bref, nous supprimons cependant leur déduction, qui n’est pas assurément difficile :

${\begin{aligned}0&={\frac {a\sin(l''-l')}{\mathrm {R} }}-{\frac {b\sin(l''-l)}{\mathrm {R} '}}.{\frac {\sin(\delta '-\sigma )}{\sin \delta '}}+{\frac {\sin(l'-l)}{\mathrm {R} ''}}\\b&={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}.{\frac {\mathrm {U} \cos \beta \cos \beta ''}{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )\sin \varepsilon '}};\end{aligned}}$

dans cette formule, $\mathrm {U}$ exprime le quotient

${\frac {\mathrm {S} }{\sin(\delta '-\sigma )}}={\frac {\mathrm {T} \sin(t+\gamma ')}{\cos(\delta '-\sigma )}}\,;$ (art. 138, éq. 10).

141

De $\mathrm {P} ={\frac {n''}{n}},$ et de l’équation III de l’article précédent, on déduit

$(n+n''){\frac {\mathrm {P} +a}{\mathrm {P} +1}}=bn'{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}\,;$

mais de là, et au moyen de

$\mathrm {Q} =2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{2}$ et $r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}$

on trouve

$\sin z+{\frac {\mathrm {Q} \sin ^{4}z}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '}}=b\,{\frac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}\sin(z-\sigma ),$

ou

${\frac {\mathrm {Q} \sin ^{4}z}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '}}=\left(b\,{\frac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}-\cos \sigma \right)\sin(z-\sigma )-\sin \sigma \cos(z-\sigma ).$

En posant donc, pour abréger,

[14]

${\frac {1}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '\sin \sigma }}=c,$

et en introduisant l’angle auxiliaire $\omega ,$ tel que l’on ait

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\sin \sigma }{b{\dfrac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}-\cos \sigma }},$

il vient l’équation

(IV)

$c\mathrm {Q} \sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-\omega -\sigma )$

de laquelle il faudra tirer l’inconnue $z.$ Afin de pouvoir calculer le plus commodément l’angle $\omega ,$ il conviendra de présenter la formule précédente relative à $\operatorname {tang} \omega ,$ sous la forme

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {(\mathrm {P} +a)\operatorname {tang} \sigma }{\mathrm {P} \left({\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1\right)+\left({\dfrac {b}{\cos \sigma }}-a\right)}}.$

C’est pourquoi, en posant

[15]

${\frac {{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-a}{{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1}}=d,$

[16]

${\frac {\operatorname {tang} \sigma }{{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1}}=e,$

nous aurons, pour déterminer $\omega ,$ la formule très-simple

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {e(\mathrm {P} +a)}{\mathrm {P} +d}}.$

Nous considérerons comme le quatrième travail le calcul des quantités $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ à l’aide des formules 11-16, calcul qui ne dépend que des seules quantités données. Les quantités $b,$ $c,$ $e$ ne seront pas elles-mêmes nécessaires, mais leurs logarithmes.

Il existe un cas spécial où ces principes demandent quelque changement. Toutes les fois, en effet, que le grand cercle $\mathrm {BB} ''$ coïncide avec $\mathrm {A''B} '',$ et par suite, les points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ^{\star }$ avec $\mathrm {D} ',\,\mathrm {D} ,$ respectivement, les quantités $a$ et $b$ acquièrent des valeurs infinies. En posant, dans ce cas,

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} ''-\delta '+\sigma )}{\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}}=\pi ,$

nous aurons, à la place de l’équation III,

$0=\pi n-{\frac {n'\sin(z-\sigma )}{\sin z}}$

d’où, en faisant

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\pi \sin \sigma }{\mathrm {P} +(1-\pi \cos \sigma )}},$

on retrouve la même équation IV.

De même, dans le cas spécial où $\sigma =0,$ $c$ devient infini et $\omega =0,$ d’où le facteur $c\sin \omega ,$ dans l’équation IV, semble indéterminé ; néanmoins, il est réellement déterminé, et avec un peu d’attention, on verra que sa valeur est

${\frac {\mathrm {P} +a}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '(b-1)(\mathrm {P} +d)}}.$

Dans ce cas, il vient donc

$\sin z=\mathrm {R} '\sin \delta '={\sqrt[{3}]{\frac {2(b-1)(\mathrm {P} +d)}{\mathrm {Q} (\mathrm {P} +a)}}}.$

142

L’équation IV, qui étant développée monterait au huitième degré, est très-promptement résolue, sans changer sa forme, à l’aide de tâtonnements. Au reste, d’après la théorie des équations, on peut facilement démontrer (ce que nous omettons cependant de développer ici plus longuement, afin d’être plus concis) que cette équation admet deux ou quatre solutions de valeurs réelles. Dans le premier cas, une valeur de $\sin z$ sera positive, l’autre négative devra être rejetée, parce que, par la nature du problème, $r'$ ne peut être négatif. Dans le dernier cas, parmi les valeurs de $\sin z,$ une sera positive et les trois autres négatives — il n’y aura donc pas alors d’incertitude pour savoir laquelle adopter — ou il y en aura trois positives avec une négative ; dans ce cas, il faut aussi rejeter parmi ces valeurs positives celles, s’il s’en trouve, qui donnent $z$ plus grand que $\delta ',$ puisque, par une autre condition essentielle du problème, $\rho ',$ et par suite $\sin(\delta '-z)$ aussi, doit être une quantité positive.

Toutes les fois que les observations sont distantes l’une de l’autre d’intervalles de temps médiocres, le dernier cas où trois valeurs positives de $\sin z$ satisfont à l’équation se présentera le plus souvent. Parmi ces solutions, on trouve habituellement, outre la vraie, une autre dans laquelle $z$ diffère peu de $\delta ',$ soit en excès, soit en défaut ; ce phénomène est expliqué de la manière suivante. Le développement analytique de notre problème est basé sur cette seule condition que les trois positions du corps céleste dans l’espace, doivent se trouver sur les droites dont la situation est déterminée par le lieu absolu de la Terre et la position observée de l’astre. Maintenant, par la nature même de la question, ces positions doivent être évidemment situées aux points de ces droites, d’où la lumière arrive à la Terre. Mais les équations analytiques ne reconnaissent pas cette restriction, et elles doivent également embrasser tous les systèmes de lieux qui s’accordent réellement avec les lois de Képler, soit qu’ils se trouvent sur cette droite de ce côté-ci de la Terre, ou de celui-là, ou, enfin, qu’ils coïncident avec la Terre elle-même. Ce dernier cas satisfera déjà certainement notre problème puisque la Terre se meut d’après ces lois. De là il est évident, que les équations doivent comprendre la solution dans laquelle les points $\mathrm {C,\,C',\,C} ''$ coïncident avec les points $\mathrm {A,\,A',\,A} ''$ (en tant que nous négligions les très-petites variations du lieu elliptique de la Terre produites par les perturbations et les parallaxes). L’équation IV devra donc toujours admettre la solution $z=\delta ',$ si les vraies valeurs correspondant aux positions de la Terre sont adoptées pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$ Mais, tant que les valeurs de ces quantités se trouvent très-peu différentes de celles-ci (ce qu’il est toujours permis de supposer, quand les intervalles de temps sont petits), parmi les solutions de l’équation IV, on doit nécessairement en trouver une qui est voisine de la valeur $z=\delta '.$

Le plus souvent, en vérité, dans ce cas où l’équation IV admet trois solutions par le moyen de valeurs positives de $\sin z,$ la troisième de ces valeurs (outre la vraie et celle dont nous venons à l’instant de parler) donne une valeur de $z$ plus grande que $\delta ',$ et par suite est seulement possible analytiquement, mais physiquement est impossible ; il n’y aura donc alors aucune incertitude pour savoir laquelle adopter. Il peut cependant certainement arriver, que cette équation admette deux solutions convenables différentes, et par suite, qu’il soit permis de satisfaire à notre problème par deux orbites entièrement différentes. Mais, dans un tel cas, l’orbite véritable sera facilement distinguée de la fausse dès qu’il sera possible de soumettre à l’examen d’autres observations plus écartées.

143

Aussitôt que l’angle $z$ est obtenu, on a immédiatement $r'$ par l’équation

$r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}.$

De plus, au moyen de l’équation $\mathrm {P} ={\frac {n''}{n}}$ et de l’équation III nous obtenons

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&={\frac {(\mathrm {P} +a)\mathrm {R} '\sin \delta '}{b\sin(z-\sigma )}},\\{\frac {n'r'}{n''}}&={\frac {1}{\mathrm {P} }}.{\frac {n'r'}{n}}.\end{aligned}}$

Maintenant, pour que les formules, d’après lesquelles les positions des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} ''$ sont déterminées relativement à la position du point $\mathrm {C} ',$ soient traitées de manière que leur exactitude générale se montre immédiatement aussi relativement à ces cas que la figure 4 ne représente pas, nous observons que le sinus de la distance du point $\mathrm {C} '$ au grand cercle $\mathrm {CB}$ (prise positivement dans la région supérieure, négativement dans l’inférieure) est égal au produit du sinus $\varepsilon ''$ par le sinus de la distance du point $\mathrm {C} '$ au point $\mathrm {D} '',$ distance mesurée suivant la direction directe, et par suite est égal à

$-\sin \varepsilon ''\sin \mathrm {C'D} ''=-\sin \varepsilon ''\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ')\,;$

de même, le sinus de la distance du point $\mathrm {C} ''$ au grand cercle $=-\sin \varepsilon '\sin \mathrm {C''D} '.$ Mais il est évident, que ces mêmes sinus sont entre eux comme $\sin \mathrm {CC} '$ est à $\sin \mathrm {CC} '',$ ou comme ${\frac {n''}{rr'}}$ est à ${\frac {n'}{rr''}},$ ou comme $n''r''$ est à $n'r'.$

En posant donc $\mathrm {C''D} '=\zeta '',$ nous avons

V.

$r''\sin \zeta ''={\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \varepsilon ''}{\sin \varepsilon '}}\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ').$

D’une manière entièrement semblable, on obtient, en posant $\mathrm {CD} '=\zeta ,$

VI.

$r\sin \zeta ={\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon '}}\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta '),$

VII.

$r\sin(\zeta +\mathrm {AD} ''-\mathrm {AD} ')=r'\mathrm {P} {\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon ''}}\sin(\zeta ''+\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ').$

En combinant les équations V et VI avec les équations suivantes transcrites de l’art. 139,

VIII.

$r''\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '+\delta '')=\mathrm {R} ''\sin \delta '',$

IX.

$r\sin(\zeta -\mathrm {AD} '+\delta )=\mathrm {R} \sin \delta ,$

les quantités $\zeta ,$ $\zeta '',$ $r,$ $r''$ s’en déduiront d’après la méthode de l’art. 78. Pour effectuer ce calcul plus commodément, il ne sera pas désagréable de rapporter ici les formules elles-mêmes. Posons

[17]

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta }{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}=\varkappa ,$

[18]

${\frac {\mathrm {R} ''\sin \delta ''}{\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}}=\varkappa '',$

[19]

${\frac {\cos(\mathrm {AD} '-\delta )}{\mathrm {R} \sin \delta }}=\lambda ,$

[20]

${\frac {\cos(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}=\lambda ''.$

Le calcul de ces quantités, ou plutôt de leurs logarithmes, encore indépendantes de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ est considéré comme le cinquième et dernier travail des opérations quasi-préliminaires, et s’effectue en même temps facilement avec le calcul de $a,$ $b,$ ou avec le quatrième travail dans lequel $a$ devient égal à ${\frac {\varkappa }{\varkappa ''}}.$

En faisant ensuite,

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon '}}&\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta ')=p,\\{\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \varepsilon ''}{\sin \varepsilon '}}&\sin(z+\mathrm {A'D''} \!-\delta ')=p'',\\[0.75ex]\varkappa (\lambda p&-1)=q,\\\varkappa (\lambda ''p''&-1)=q'',\end{aligned}}$

nous obtenons $\zeta$ et $r$ de

$r\sin \zeta =p,\qquad r\cos \zeta =q\,;$

puis, $\zeta ''$ et $r'',$ de

$r''\sin \zeta ''=p''\qquad r''\cos \zeta ''=q''.$

Il ne peut exister ici d’ambiguïté dans la détermination de $\zeta$ et $\zeta '',$ parce que $r$ et $r''$ doivent être nécessairement des quantités positives. Le calcul entier pourra, si l’on veut, être confirmé par l’équation VII.

Il existe cependant deux cas où il faut suivre une autre méthode. Toutes les fois, en effet, que le point $\mathrm {D} '$ coïncide avec $\mathrm {B}$ ou lui est diamétralement opposé sur la sphère, ou bien lorsque $\mathrm {AD} '-\delta =0$ ou $180^{\circ }\!,$ les équations VI et IX doivent nécessairement être identiques, et l’on aurait $\varkappa =\infty ,$ $\lambda p-1=0,$ et par suite, $q$ indéterminé. Dans ce cas, $\zeta ''$ et $r''$ seront déterminés de la manière que nous l’avons enseignée, mais ensuite il faudra obtenir $\zeta$ et $r$ par la combinaison de l’équation VII avec VI ou IX. Nous nous dispensons d’écrire ici les formules mêmes, que l’on peut tirer de l’art. 78 ; nous observons simplement, que dans le cas aussi où $\mathrm {AD} '-\delta$ n’est pas réellement égal à 0 ni à 180°, mais est, cependant, un arc très-petit, il est préférable de suivre la même méthode, puisque la première méthode n’admettrait pas alors une précision suffisante. Et l’on adoptera même la combinaison de l’équation VII avec VI, ou avec IX, selon que $\sin(\mathrm {AD} ''-\mathrm {AD} ')$ est plus grand ou plus petit que $\sin(\mathrm {AD} '-\delta ).$

De même, dans le cas où le point $\mathrm {D} ',$ ou son opposé, coïncide avec $\mathrm {B} ''$ ou en est peu écarté, la détermination de $\zeta ''$ et $r''$ par la méthode précédente serait ou impossible ou peu sûre. C’est pourquoi $\zeta$ et $r$ seront alors déterminés par cette méthode, mais ensuite $\zeta ''$ et $r''$ le seront par la combinaison de l’équation VII avec V ou avec VIII, suivant que $\sin(\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ')$ est plus grand ou plus petit que $\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '').$ Au reste, on ne doit pas craindre que le point $\mathrm {D} '$ coïncide en même temps avec les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} ''$ ou avec les points opposés, ou en soit peu distant, car nous avons déjà, dans l’article 138, exclu de notre recherche le cas dans lequel $\mathrm {B}$ coïncide avec $\mathrm {B} ''.$

144

Les arcs $\zeta$ et $\zeta ''$ étant trouvés, la position des points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} ''$ sera donnée, et l’on pourra obtenir la distance $\mathrm {CC} ''=2f',$ au moyen de $\zeta ,$ $\zeta ''$ et $\varepsilon '.$

Soient $u,$ $u''$ les inclinaisons des grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A''B} ''$ sur le grand cercle $\mathrm {CC} ''$ (qui, dans la figure 4, seront respectivement les angles $\mathrm {C''CD} '$ et $180^{\circ }\!-\mathrm {CC''D} '$), et nous aurons alors les équations suivantes, entièrement analogues aux équations 3−6 (art. 137) :

${\begin{aligned}\sin f'\sin {\frac {1}{2}}(u''+u)&=\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon '\sin {\frac {1}{2}}(\zeta +\zeta ''),\\\sin f'\cos {\frac {1}{2}}(u''+u)&=\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon '\sin {\frac {1}{2}}(\zeta -\zeta ''),\\\cos f'\sin {\frac {1}{2}}(u''-u)&=\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon '\cos {\frac {1}{2}}(\zeta +\zeta ''),\\\sin f'\cos {\frac {1}{2}}(u''-u)&=\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon '\cos {\frac {1}{2}}(\zeta -\zeta '').\end{aligned}}$

Les deux premières donneront ${\frac {1}{2}}(u''+u)$ et $\sin f',$ les deux dernières ${\frac {1}{2}}(u''-u)$ et $\cos f'\,;$ de $\sin f'$ et $\cos f'$ on aura $f'.$ On pourra négliger dans les premières hypothèses les angles ${\frac {1}{2}}(u''+u)$ et ${\frac {1}{2}}(u''-u),$ qui seront seulement employés, dans la dernière hypothèse, pour déterminer la situation du plan de l’orbite.

Exactement de la même manière, $f$ pourra se déduire de $\varepsilon ,$ $\mathrm {C'D}$ et $\mathrm {C''D} \,;$ et aussi $f'$ de $\varepsilon '',$ $\mathrm {CD} ''$ et $\mathrm {C'D} ''\,;$ mais à ce sujet, il sera beaucoup plus commode d’employer les formules suivantes :

${\begin{aligned}\sin 2f&=r\sin 2f'.{\frac {n}{n'r'}},\\\sin 2f''&=r''\sin 2f'.{\frac {n''}{n'r'}}\end{aligned}}$

dans lesquelles les logarithmes des quantités ${\frac {n}{n'r'}},$ ${\frac {n''}{n'r'}}$ sont déjà donnés par les calculs précédents.

Enfin, le calcul entier trouve une nouvelle confirmation par cette considération que l’on doit avoir

$2f+2f''=2f'\,;$

si par hasard il existe quelque différence, elle ne sera certainement d’aucune importance, si toutes les opérations ont été faites avec le plus de soin possible. Quelquefois, cependant, le calcul étant effectué partout avec sept figures décimales, cette différence pourra s’élever à quelques dixièmes de seconde, que nous distribuerons le plus facilement, si l’on trouve la chose utile, entre $2f$ et $2f''$ de manière que les logarithmes des sinus soient augmentés ou diminués également ; par ce fait, on satisfera à l’équation

$\mathrm {P} ={\frac {r\sin 2f''}{r''\sin 2f}}={\frac {n''}{n}}$

avec toute la précision que permettent les tables.

Quand $f$ et $f''$ diffèrent peu, il sera suffisant de distribuer cette différence également entre $2f$ et $2f''.$

145

Après que les positions du corps céleste dans l’orbite auront été déterminées de cette manière, le double calcul des éléments sera commencé non-seulement par la combinaison du second lieu avec le troisième, mais encore par la combinaison du premier avec le second, avec les intervalles de temps correspondants.

Mais avant d’entreprendre cette opération, les intervalles de temps eux-mêmes réclament une correction, si l’on a décidé de tenir compte de l’aberration suivant la troisième méthode de l’art. 118. Dans ce cas, en effet, il faut substituer aux véritables époques, des époques qui leur sont antérieures, respectivement de $493^{\mathrm {s} }.\rho ,$ $493^{\mathrm {s} }.\rho ',$ $493^{\mathrm {s} }.\rho ''.$ Pour le calcul des distances $\rho ,$ $\rho ',$ $\rho '',$ nous avons les formules

${\begin{aligned}\rho &={\frac {\mathrm {R} \sin(\mathrm {AD} '-\zeta )}{\sin(\zeta -\mathrm {AD} '+\delta )}}={\frac {r\sin(\mathrm {AD} '-\zeta )}{\sin \delta }},\\\rho '&={\frac {\mathrm {R} '\sin(\delta '-z)}{\sin z}}={\frac {r'\sin(\delta '-z)}{\sin \delta '}},\\\rho ''&={\frac {\mathrm {R} ''\sin(\mathrm {A''D} '-\zeta '')}{\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '+\delta '')}}={\frac {r''\sin(\mathrm {A''D} '-\zeta '')}{\sin \delta ''}},\end{aligned}}$

Au reste, si dès le commencement les observations avaient été corrigées de l’aberration par la première ou par la seconde méthode de l’art. 118, ce calcul-ci devant être omis, il ne serait pas alors nécessaire d’obtenir les valeurs des distances $\rho ,$ $\rho ',$ $\rho '',$ à moins que ce ne soit peut-être pour s’assurer que celles d’après lesquelles le calcul d’aberration a été effectué, étaient suffisamment exactes. Enfin, il est évident de soi-même que tout ce calcul doit aussi être supprimé ; quand on trouve préférable de négliger entièrement l’aberration.

146

Le calcul des éléments — d’une part au moyen de $r',$ $r'',$ $2f$ et de l’intervalle de temps corrigé entre la seconde observation et la troisième, dont nous avons désigné par $\theta$ le produit par la quantité $k$ (art. 1), d’autre part, au moyen de $r,$ $r',$ $2f''$ et de l’intervalle de temps entre la première et la seconde observation, dont le produit par $k$ sera égal à $\theta ''$ — sera effectué, d’après la méthode exposée dans les art. 88-105, seulement jusqu’à la quantité désignée en cet endroit par $y,$ dont nous désignerons la valeur, par $\eta$ dans la première combinaison, par $\eta ''$ dans la seconde. Que l’on fasse ensuite,

${\frac {\theta ''\eta }{\theta \eta ''}}=\mathrm {P} ',\qquad {\frac {r'^{2}\theta \theta ''}{rr''\eta \eta ''\cos f.\cos f'.\cos f''}}=\mathrm {Q} ',$

et il est évident que si les valeurs des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ sur lesquelles tout le calcul jusque-là est établi, étaient les véritables, on devrait avoir $\mathrm {P} '=\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {Q} '=\mathrm {Q} .$ Réciproquement, on aperçoit facilement que si l’on trouve que $\mathrm {P} '=\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {Q} '=\mathrm {Q} ,$ le double calcul des éléments, conduit de part et d’autre jusqu’au bout, doit fournir des nombres entièrement égaux, par lesquels les trois observations seront donc exactement représentées, et le problème sera alors exactement résolu. Mais lorsque l’on n’a pas $\mathrm {P} '=\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} '=\mathrm {Q} ,$ on prendra $\mathrm {P} '-\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} '-\mathrm {Q}$ pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ pourvu que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ aient été pris pour $x$ et $y\,;$ il sera encore plus convenable de poser

${\begin{aligned}\log \mathrm {P} &=x,&\log \mathrm {Q} &=y,\\\log \mathrm {P} '-\log \mathrm {P} &=\mathrm {X} ,&\log \mathrm {Q} '-\log \mathrm {Q} &=\mathrm {Y} .\end{aligned}}$

Le calcul sera ensuite répété avec d’autres valeurs de $x$ et $y.$

147

À proprement parler, il serait ici, de même que dans les dix méthodes données précédemment, réellement arbitraire de supposer telles ou telles valeurs pour $x$ et $y,$ dans la seconde hypothèse, pourvu qu’elles ne soient pas opposées aux conditions générales développées ci-dessus ; cependant, puisqu’il est évident que l’on doit considérer comme un grand avantage de pouvoir partir de valeurs plus exactes, on agirait, dans cette méthode, d’une manière peu prudente, si l’on adoptait presque inconsidérément les secondes valeurs, puisqu’on voit facilement, d’après la nature de la question, que si les premières valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étaient affectées de légères erreurs, les valeurs de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ représenteraient des valeurs beaucoup plus exactes, pourvu que le mouvement héliocentrique soit peu considérable. C’est pourquoi, nous adopterons toujours $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ elles-mêmes pour secondes valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ ou $\log \mathrm {P} ',$ $\log \mathrm {Q} '$ pour secondes valeurs de $x,$ $y,$ si $\log \mathrm {P}$ et $\log \mathrm {Q}$ sont supposés représenter les premières valeurs.

Maintenant, dans cette seconde hypothèse, où toutes les opérations préliminaires effectuées d’après les formules 1−20 sont conservées sans modification, le calcul sera répété d’une manière entièrement semblable, c’est-à-dire que, d’abord, l’angle $\omega$ sera déterminé ; après cela, $z,$ $r',$ ${\frac {n'r'}{n}},$ ${\frac {n'r'}{n''}},$ $\zeta ,$ $r,$ $\zeta '',$ $r'',$ $f',$ $f,$ $f''.$ De la différence, plus ou moins considérable, entre les nouvelles valeurs de ces quantités et les premières, on estimera facilement s’il est utile ou non de calculer la correction du temps relative à l’aberration : dans le dernier cas, les intervalles de temps et par suite aussi les quantités $\theta ,$ $\theta ''$ resteront les mêmes qu’auparavant. Enfin, de $f,$ $r',$ $r'',$ de $f',$ $r,$ $r'$ et des intervalles de temps seront obtenus $\eta$ et $\eta '',$ et de là les nouvelles valeurs de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} ',$ qui le plus souvent diffèrent beaucoup moins de celles fournies par la première hypothèse que celles-ci ne diffèrent elles-mêmes des premières valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$ Les secondes valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront donc beaucoup plus petites que les premières, et les secondes valeurs de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ seront adoptées comme des troisièmes valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et avec elles le calcul sera de nouveau recommencé.

De cette manière donc, de même que de la seconde hypothèse il était résulté des nombres plus exacts que de la première, ainsi de la troisième résulteront des nombres plus exacts que de la seconde, et les valeurs de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ de la troisième hypothèse pourront être adoptées comme une quatrième valeur de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et le calcul sera ainsi recommencé jusqu’à ce qu’on arrive à une hypothèse dans laquelle on puisse considérer les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ comme insignifiantes ; mais lorsque la troisième hypothèse paraît encore insuffisante, il sera préférable de déduire des trois premières hypothèses les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ à adopter pour la quatrième, d’après la méthode expliquée dans les art. 120, 121 ; de cette manière, on obtiendra une approximation plus rapide, et l’on aura rarement besoin de recourir à une cinquième hypothèse.

148

Quand les éléments, devant se déduire des trois observations, sont encore entièrement inconnus (cas auquel s’applique particulièrement notre méthode), on doit prendre, dans la première hypothèse, ainsi que nous l’avons déjà dit, ${\frac {\theta ''}{\theta }}$ et $\theta \theta ''$ pour valeurs approchées de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} \,;$ dans ces valeurs, $\theta$ et $\theta ''$ sont, pour le moment, déduits des intervalles de temps non corrigés. En exprimant respectivement par $\mu :1$ et $\mu '':1,$ le rapport de ces intervalles aux intervalles corrigés, nous aurons, dans la première hypothèse,

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\log \mu -\log \mu ''+\log \eta -\log \eta '',\\\mathrm {Y} &=\log \mu +\log \mu ''-\log \eta -\log \eta ''\\&+\mathrm {comp^{t}\!.log\,cos} \,f+\mathrm {comp^{t}\!.log\,cos} \,f'+\mathrm {comp^{t}\!.log\,cos} \,f''\\&+2\log r'-\log r-\log r''.\end{aligned}}$

Les logarithmes des quantités $\mu ,$ $\mu '',$ ne sont, relativement aux autres termes, d’aucune importance ; $\log \eta$ et $\log \eta '',$ qui sont tous deux positifs, se détruisent en quelque sorte dans $\mathrm {X} ,$ surtout quand les intervalles de temps sont presque égaux, d’où l’on obtient pour $\mathrm {X}$ une valeur peu considérable, tantôt positive, tantôt négative ; d’un autre côté, dans $\mathrm {Y}$ il peut en réalité s’établir une compensation entre les quantités positives $\mathrm {comp^{t}\!.log\,cos} \,f,$ $\mathrm {comp^{t}\!.log\,cos} \,f',$ $\mathrm {comp^{t}\!.log\,cos} \,f''$ et les quantités négatives $\log \eta ,$ $\log \eta '',$ mais moins parfaite, car le plus souvent les premières surpassent considérablement les dernières. En général, on ne pourra rien déterminer concernant le signe de $\log {\frac {r'^{2}}{rr''}}.$

Maintenant, toutes les fois que le mouvement héliocentrique entre les observations est peu considérable, il sera rarement nécessaire de recourir à la quatrième hypothèse ; le plus souvent la troisième, souvent la seconde, fourniront une précision suffisante, et quelquefois il sera même permis de se contenter des nombres résultant de la première hypothèse. Il sera toujours avantageux de considérer le degré de précision plus ou moins grand suivant lequel les observations sont satisfaites ; ce serait un travail stérile de chercher une précision cent ou mille fois plus grande que celle que permettent les observations. Mais, dans ces questions, le jugement est mieux ouvert par une pratique fréquente que par des règles, et les savants acquerront facilement la faculté particulière de bien juger où il convient de s’arrêter.

149

Enfin, dans la dernière hypothèse, les éléments seront calculés, soit au moyen de $f,$ $r'\!,$ $r''\!,$ soit au moyen de $f'\!,$ $r,$ $r'$ en conduisant jusqu’à la fin l’un ou l’autre calcul, qui, dans les hypothèses précédentes, n’avait été conduit que jusqu’à $\eta$ ou $\eta ''\,;$ si l’on trouvait plus convenable d’achever l’un et l’autre, l’accord des résultats fournirait une nouvelle confirmation de tout le travail. Il vaut cependant mieux, aussitôt que $f,$ $f'\!,$ $f''$ sont obtenus, déterminer les éléments par la seule combinaison du premier intervalle avec le troisième, c’est-à-dire au moyen de $f'\!,$ $r,$ $r''$ et de l’intervalle de temps, et enfin, pour la meilleure confirmation du calcul, déterminer le lieu moyen dans l’orbite, d’après les éléments trouvés.

De cette manière donc, les dimensions de la section conique sont déterminées, à savoir : l’excentricité, le demi grand axe ou le demi-paramètre, la position du périhélie relativement aux lieux héliocentriques $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''\!,$ le mouvement moyen, et l’anomalie moyenne pour une époque arbitraire, si l’orbite est elliptique, ou l’époque du passage au périhélie, si l’orbite est hyperbolique ou parabolique. Il reste donc seulement à déterminer la position des lieux héliocentriques relativement au nœud ascendant, la position de ce nœud par rapport au point équinoxial, et l’inclinaison de l’orbite sur l’écliptique (ou l’équateur). Toutes ces quantités peuvent être obtenues par la solution d’un triangle sphérique. Soit ${\text{☊ }}$ la longitude du nœud ascendant ; $i$ l’inclinaison de l’orbite ; $g$ et $g''$ les arguments de la latitude dans la première et la troisième observations ; et enfin $(l-{\text{☊ }})=h,$ $(l''-{\text{☊ }})=h''.$ En représentant, dans la figure 4, le nœud ascendant par ${\text{☊ }},$ les côtés du triangle ${\text{☊ AC}}$ seront $\mathrm {AD} '-\zeta ,$ $g,$ $h,$ et les angles qui leur sont respectivement opposés, $i,$ $180^{\circ }\!-\gamma ,$ $u.$ Nous aurons donc

$\sin {\frac {1}{2}}i\sin {\frac {1}{2}}(g+h)=\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {AD} '-\zeta )\sin {\frac {1}{2}}(\gamma +u)$

$\sin {\frac {1}{2}}i\cos {\frac {1}{2}}(g+h)=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {AD} '-\zeta )\sin {\frac {1}{2}}(\gamma -u)$

$\cos {\frac {1}{2}}i\sin {\frac {1}{2}}(g-h)=\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {AD} '-\zeta )\cos {\frac {1}{2}}(\gamma +u)$

$\,\cos {\frac {1}{2}}i\cos {\frac {1}{2}}(g-h)=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {AD} '-\zeta )\cos {\frac {1}{2}}(\gamma -u).$

Les deux premières équations donneront ${\frac {1}{2}}(g+h)$ et $\sin {\frac {1}{2}}i,$ les deux autres, ${\frac {1}{2}}(g-h)$ et $\cos {\frac {1}{2}}i\,;$ au moyen de $g$ on connaîtra la situation du périhélie relativement au nœud ascendant, et au moyen de $h$ la position du nœud dans l’écliptique ; enfin $i$ sera déterminé, le sinus et le cosinus se vérifiant mutuellement. Nous pouvons atteindre le même but, à l’aide du triangle ${\text{☊ }}\mathrm {A''C''}$ pour lequel il faut seulement changer, dans les formules précédentes, les lettres $g,$ $h,$ $\mathrm {A} ,$ $\zeta ,$ $\gamma ,$ $u,$ en $g'',$ $h'',$ $\mathrm {A} '',$ $\zeta '',$ $\gamma '',$ $u''.$ Pour acquérir encore une autre confirmation du calcul entier, il ne sera pas inutile d’achever le calcul de deux manières ; alors, si quelques légères différences entre les valeurs de $i,$ de ${\text{☊ }}$ et de la longitude du périhélie se produisent, il sera convenable d’adopter les valeurs moyennes. Rarement cependant, ces différences montent jusqu’à $0''\!,1$ ou $0''\!,2,$ si toutefois les calculs ont été effectués soigneusement avec sept figures décimales.

Lorsqu’à la place de l’écliptique, on adopte l’équateur comme plan fondamental, il n’en résulte pour le calcul aucun changement, si ce n’est qu’à la place des points, $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A} ''$ on devra prendre les intersections de l’équateur avec les grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A''B} ''.$

150

Nous procédons maintenant à l’éclaircissement de cette méthode par quelques exemples largement expliqués, qui montreront en même temps, de la manière la plus évidente, quelle généralité elle admet, et combien elle conduit toujours facilement et promptement au résultat désiré^[3].

La nouvelle planète Junon nous fournira un premier exemple, pour lequel nous choisissons les observations suivantes, faites à Greenwich, et qui nous ont été communiquées par le célèbre Maskelyne.

TEMPS MOYEN DE GREENWICH.	ASCENSION DROITE apparente.	DÉCLINAISON Australe apparente.
1804, Oct. 05… 10h 51m 06s	357° 10′ 22,35″	06° 40′ 08″
17… 09h 58m 10s	355° 43′ 45,30″	08° 47′ 25″
27… 09h 16m 41s	355° 11′ 10,95″	10° 02′ 28″

À l’aide des tables, on trouve pour les mêmes époques :

	LONGITUDE du Soleil de l’équinoxe apparent.	NUTATION.	DISTANCE de la Terre.	LATITUDE du Soleil.	OBLIQUITÉ apparente de l’écliptique.
Oct. 5	192° 28′ 53,72″	+ 15″,43	0,9988839	− 0″,49	23° 27′ 59,48″
17	204° 20′ 21,54″	+ 15″,51	0,9953968	+ 0″,79	59,26″
27	214° 16′ 52,21″	+ 15″,60	0,9928340	− 0″,15	59,06″

Nous établirons le calcul comme si l’orbite était encore complètement inconnue ; c’est pourquoi l’on ne pourra pas corriger de la parallaxe les lieux de Junon, mais il faudra transporter cette correction aux positions de la Terre. Nous réduisons donc d’abord les positions observées, de l’équateur à l’écliptique, en employant l’obliquité apparente ; il en résulte :

	LONGITUDE apparente de Junon.	LATITUDE apparente de Junon.
Oct. 5	354° 44′ 54,27″	− 4° 59′ 31,59″
17	352° 34′ 44,51″	− 6° 21′ 56,25″
27	351° 34′ 51,57″	− 7° 17′ 52,70″

Nous joignons aussitôt à ce calcul la détermination de la longitude et de la latitude du zénith du lieu de l’observation dans les trois observations ; l’ascension droite s’accorde, par le fait, avec l’ascension droite de Junon (parce que les observations ont été faites dans le méridien), mais la déclinaison est égale à l’élévation du pôle =51° 28′ 39″. Nous obtenons ainsi :

	LONGITUDE du zénith.	LATITUDE du zénith.
Oct. 5	24° 29′	46° 53′
17	23° 25′	47° 24′
27	23° 01′	47° 36′

Maintenant, d’après les principes établis dans l’art. 72, nous déterminerons les lieux fictifs de la Terre dans le plan même de l’écliptique, d’où le corps céleste apparaîtrait de la même manière que des lieux vrais des observations. De cette manière, on trouve, en supposant la parallaxe moyenne du Soleil =8″,6.

	RÉDUCTION de la longitude.	RÉDUCTION de la distance.	RÉDUCTION du temps.
Oct. 5	− 22″,39	+ 0,0003856	− 0s,19
17	− 27″,21	+ 0,0002329	− 0s,12
27	− 35″,82	+ 0,0002085	− 0s,12

La réduction du temps est seulement ajoutée pour qu’on voie qu’elle est entièrement insensible.

Après ceci, toutes les longitudes, tant de la planète que de la Terre, sont réduites à l’équinoxe vernal moyen pour quelque époque, pour laquelle nous adopterons le commencement de l’année 1805 ; c’est pourquoi, la nutation étant retranchée, la précession doit encore être ajoutée, laquelle est, pour les trois observations, respectivement 11″,87, 10″,23, 8″,86 ; de manière qu’il faut ajouter −3″,56 pour la première observation, −5″,28 pour la seconde, −6″,74 pour la troisième.

Enfin, les longitudes et latitudes de Junon doivent être corrigées de l’aberration des étoiles ; on trouve ainsi, d’après les principes connus, que l’on doit retrancher des longitudes, respectivement 19″,12, 17″,11, 14″,82, et ajouter aux latitudes 0″,53, 1″,18, 1″,75. Par cette addition les valeurs absolues éprouvent une diminution, puisque les latitudes australes sont considérées comme négatives.

151

Toutes ces réductions étant convenablement appliquées, les véritables données du problème sont alors :

Époques des observations réduites au méridien de Paris	Oct. 5,458644	17,421885	27,393077
Longitudes de Junon, $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$	354° 44′ 31,60″	352° 34′ 22,12″	351° 34′ 30,01″
Latitudes, $\beta ,\beta ',\beta ''$	− 4° 59′ 31,06″	− 6° 21′ 55,07″	− 7° 17′ 50,95″
Longitudes de la Terre, $l,l',l''$	12° 28′ 27,76″	24° 19′ 49,05″	34° 16′ 09,65″
Logarithmes des distances $\mathrm {R} ,\,\mathrm {R} ',\,\mathrm {R} ''$	9,9996826	9,9980979	9,9969678

De là, les calculs des art. 136, 137 produisent les nombres suivants :

$\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$	196° 00′ 08,36″	191° 58′ 00,33″	190° 41′ 40,17″
$\delta ,\,\delta ',\,\delta ''$	18° 23′ 59,20″	32° 19′ 24,93″	43° 11′ 42,05″
logarithmes des sinus	9,4991995	9,7281105	9,8353631
$\mathrm {A'D,\,AD',\,AD} ''\,$	232° 06′ 26,44″	213° 12′ 29,82″	209° 43′ 07,47″
$\mathrm {A''D,\,A''D',\,A'D} ''$	241° 51′ 15,22″	234° 27′ 00,90″	221° 13′ 57,87″
$\varepsilon ,\,\varepsilon ',\,\varepsilon ''$	2° 19′ 34,00″	7° 13′ 37,70″	4° 55′ 46,19″
logarithmes des sinus	8,6083885	9,0996915	8,9341440
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\varepsilon '$		8,7995259
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\varepsilon '$		9,9991357

De plus, d’après l’art. 138, nous avons :

$\log \operatorname {tang} \beta$	8,9412494$n$		$\log \operatorname {tang} \beta ''$	9,1074080$n$
$\log \sin(\alpha ''-l')$	9,7332391$n$		$\log \sin(\alpha -l')$	9,6935181$n$
$\log \cos(\alpha ''-l')$	9,9247904		$\log \cos(\alpha -l')$	9,9393180

De là,

$\log \left[\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha -l')\right]=\log \mathrm {T} \sin t\,..$	8,5786513
$\log \sin(\alpha ''-\alpha )=\log \mathrm {T} \cos t$	8,7423191$n$

d’où  $t={}$ 145° 32′ 57,78″		$\log \mathrm {T}$	8,8260683
$t+\gamma '={}$ 337° 30′ 58,11″		$\log \sin(t+\gamma ')$	9,5825441$n$

Enfin,	$\log \left[\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha -l')\right]=\log \mathrm {S} ..$	8,2033319$n$
	$\log \mathrm {T} \sin(t+\gamma ')....................................$	8,4086124$n$
d’où	$\log \operatorname {tang} (\delta '-\sigma )................................$	9,7947195

$\delta '-\sigma ={}$ 31° 56′ 11,81″, et par suite  $\sigma ={}$ 0° 23′ 13,12″.

Suivant l’art. 140, nous avons

$\mathrm {A''D} '-\delta ''={}$	191° 15′ 18,85″		$\log \sin$	9,2904352$n$		$\log \cos$	9,9915661$n$
$\mathrm {AD} '-\delta ={}$	194° 48′ 30,62″		»»	9,4075427$n$		»»	9,9853301$n$
$\mathrm {A''D} -\delta ''={}$	198° 39′ 33,17″		»»	9,5050667$n$
$\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma ={}$	200° 10′ 14,63″		»»	9,5375909$n$
$\mathrm {AD} ''-\delta ={}$	191° 19′ 08,27″		»»	9,2928554$n$
$\mathrm {AD} ''-\delta '+\sigma ={}$	189° 17′ 46,06″		»»	9,2082723$n$

De là, on trouve

$\log a.............$	9,5494437,	$\quad a=+$	0,3543592
$\log b.............$	9,8613533.

La formule 13 donnerait $\log b={}$9,8613531, mais nous avons préféré la première valeur, parce que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )$ est plus grand que $\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma ).$

Il vient ensuite, d’après l’art. 141,

$3\log \mathrm {R} '\sin \delta '.....$	9,1786252
$\log 2\dots ..........$	0,3010300
$\log \sin \sigma ..........$	7,8295601
	7,3092153	 et par suite $\log c={}$2,6907847
$\log b..............$	9,8613533
$\log \cos \sigma \,.........$	9,9999901
	9,8613632

d’où

${\frac {b}{\cos \sigma }}={}$ 0,7267135.

On déduit de là

$d={}$ −1,3625052, $\log e={}$ 8,3929518$n.$

On trouve enfin, au moyen des formules de l’art. 143,

$\log \varkappa ................$	0,0913394$n$
$\log \varkappa ''...............$	0,5418957$n$
$\log \lambda ................$	0,1864480$n$
$\log \lambda ''...............$	0,1592352$n.$

152

Les calculs préliminaires étant résolus de cette manière, nous passons à la première hypothèse. L’intervalle de temps (non corrigé) entre la seconde et la troisième observations est de 9,971192 jours, et entre la première et la seconde de $11,963241.$ Les logarithmes de ces nombres sont $0,0087471,$ et $1,0778489,$ d’où

$\log \theta =9,2343285,$  $\log \theta ''=9,3134303.$

Nous poserons donc, pour la première hypothèse,

${\begin{aligned}x&=\log \mathrm {P} =0,0791018\\y&=\log \mathrm {Q} =8,5477588.\end{aligned}}$

De là, nous avons

	$\mathrm {P} ={}$ 1,1997804,  $\mathrm {P} +a={}$ 1,5541396,  $\mathrm {P} +d={}$ − 0,1627248 ;
	$\log e........$	8,3929518$n$
	$\log(\mathrm {P} +a)..$	0,1914900
$\mathrm {c^{t}}$	$\log(\mathrm {P} +d)..$	0,7885463$n$
	$\log \operatorname {tang} \omega \,..$	9,3729881,	 d’où $\omega =+$13° 16′ 51.89″, $\omega =+$13° 40′ 5,01″
	$\log \mathrm {Q} .......$	8,5477588
	$\log c........$	2,6907847
	$\log \sin \omega ....$	9,3612147
	$\log \mathrm {Q} c\sin \omega .$	0,5997582

Après quelques tâtonnements, on trouve qu’on satisfait à l’équation

$\mathrm {Q} c\sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-13^{\circ }40'5''\!,01)$

par la valeur $z=14^{\circ }35'4''\!,90,$ d’où l’on a $\log \sin z=9,4010744,$ $\log r'=0,3251340.$ Cette équation admet, en outre, trois autres solutions, à savoir

${\begin{alignedat}{6}z&={}&32^{\circ }&&2'&&28''\\z&={}&137^{\circ }&&27'&&59''\\z&={}&193^{\circ }&&4'&&18''.\end{alignedat}}$

La troisième doit être rejetée parce que $\sin z$ est négatif ; la seconde parce que $z$ est plus grand que $\delta '\,;$ la première répond approximativement à l’orbite de la Terre. Nous avons parlé de cette solution dans l’art. 142.

Nous avons ensuite, d’après l’art. 143,

	$\log {\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{b}}..............$	9,8648551
	$\log(\mathrm {P} +a)...............$	0,1914900
$\mathrm {c^{t}}$	$\log \sin(\varepsilon -\sigma )............$	0,6103578
	$\log {\frac {n'r'}{n}}.................$	0,6667029
	$\log \mathrm {P} ....................$	0,0791018
	$\log {\frac {n'r'}{n''}}.................$	0,5876011

$z+\mathrm {A'D} \;-\delta '=z+$199° 47′ 01,51″ $=$ 214° 22′ 06,41″ ;	$\log \sin ={}$ 9,7516730$n$
$z+\mathrm {A'D} ''-\delta '=z+$188° 54′ 32,94″ $=$ 203° 29′ 37,84″ ;	$\log \sin ={}$ 9,6005923$n$

De là, nous avons

$\log p=$ 9,9270735$n,\quad \log p''=$ 0,0226459$n$

et alors

$\log q=$ 0,2930977$n,\quad \log q''=$ 0,2580086$n$

d’où l’on déduit

${\begin{aligned}\zeta \;&=203^{\circ }17'31''\!,22&\log r\;&=0,3300178\\\zeta ''&=210^{\circ }10'58''\!,88&\log r''&=0,3212819.\end{aligned}}$

Enfin, d’après l’art. 144, nous obtenons

${\tfrac {1}{2}}(u''+u)={}$			205° 18′ 10,53″
${\tfrac {1}{2}}(u''-u)={}$			00−3° 14′ 02,02″
$f'={}$			00 3° 48′ 14,06″.
	$\log \sin 2f'......$	9,1218791			$\log \sin 2f'......$	9,1218791
	$\log r...........$	0,3300178			$\log r''..........$	0,3212819
$\mathrm {c^{t}}$	$\log {\frac {n'r'}{n}}.......$	9,3332971		$\mathrm {c^{t}}$	$\log {\frac {n'r'}{n''}}.......$	9,4123989
	$\log \sin 2f\;......$	8,7851940			$\log \sin 2f''......$	8,8555599
$2f={}$ 3° 29′ 46,03″				$2f''={}$ 4° 06′ 43,28″

La somme $2f+2f''$ ne diffère ici de $2f'$ que de 0″,01.

Maintenant, pour que les temps soient corrigés de l’aberration, il faut calculer les distances $\rho ,\,\rho ',\,\rho ''$ par les formules de l’art. 145, et ensuite les multiplier par le temps 493^s, ou 0^j,005706. Voici ce calcul :

$\log r\;..........$	0,33002		$\log r'\,........$	0,32513		$\log r''............$	0,32128
$\log \sin(\mathrm {AD} '\!-\!\zeta )$	9,23606		$\log \sin(\delta '\!-\!z).$	9,48384		$\log \sin(\mathrm {A''D} '\!-\!\zeta '')\;$	9,61384
$\mathrm {c^{t}} \log \sin \delta \;.....$	0,50080		$\mathrm {c^{t}} \log \sin \delta '\,...$	0,27189		$\mathrm {c^{t}} \log \sin \delta ''.......$	0,16464
$\log \rho \;..........$	0,06688		$\log \rho '\,........$	0,08086		$\log \rho ''............$	0,09976
$\log \mathrm {const.} ......$	7,75633			7,75633			7,75633
$\log$ de la réduct.	7,82321			7,83719			7,85609
réduction $=$ 0,006656			0,006874			0,007179

Observations.	Époques corrigées.	Intervalles.	 Logarithmes.
I.	Oct. 5.451988
II.	17.415011	11j,963023	1,0778409
III.	27.385898	9j,970887	0.9987339

Les logarithmes corrigés des quantités $\theta ,\,\theta ''$ deviennent donc 9,2343153 et 9,3134223. En commençant maintenant la détermination des éléments d’après $f,$ $r',$ $r'',$ $\theta ,$ on trouve $\log \eta =0,0002285,$ et de la même manière, au moyen de $f'',$ $r,$ $r',$ $\theta '',$ on a $\log \eta ''=0,0003191.$ Nous négligeons d’ajouter ici ce calcul longuement expliqué dans le premier livre, section III.

Nous avons enfin, par l’art. 146,

$\log \theta ''\,.........$	9,3134223		$2\log r'\,..........$	0,6502680
$\mathrm {c^{t}} \log \theta ........$	0,7656847		$\mathrm {c^{t}} \log rr''........$	9,3487003
$\log \eta ..........$	0,0002285		$\log \theta \theta ''..........$	8,5477376
$\mathrm {c^{t}} \log \eta ''.......$	9,9996809		$\mathrm {c^{t}} \log \eta \eta ''........$	9,9994524
$\log \mathrm {P} '.........$	0,0790164		$\mathrm {c^{t}} \log \cos f.......$	0,0002022
			$\mathrm {c^{t}} \log \cos f'......$	0,0009579
			$\mathrm {c^{t}} \log \cos f''.....$	0,0002797
			$\log \mathrm {Q} '.........$	8,5475981

De la première hypothèse résulte donc, $\mathrm {X} =-\ 0,0000854$ et $\mathrm {Y} =-\ 0,0001607.$

153

Dans la seconde hypothèse, nous attribuerons à $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ les valeurs mêmes que nous avons trouvées pour $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ dans la première. Nous

poserons donc

${\begin{aligned}x&=\log \mathrm {P} =0,0790164\\y&=\log \mathrm {Q} =8,5475981\end{aligned}}$

Puisque le calcul doit être traité entièrement de la même manière que dans la première hypothèse, il suffira de placer ici ses principaux résultats :

$\omega ..............$	13° 15′ 38,13″		$\zeta ''.............$	210° 08′ 24,98″
$\omega +\sigma ..........$	13° 38′ 51,25″		$\log r...........$	0,3307676
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega .....$	0,5989389		$\log r''..........$	0,3222280
$z...............$	14° 33′ 19,00″		${\tfrac {1}{2}}(u''+u)......$	205° 22′ 15,58″
$\log r'...........$	0,3259918		${\tfrac {1}{2}}(u''-u)......$	− 3° 14′ 04,79″
$\log {\frac {n'r'}{n}}........$	0,6675193		$2f'.............$	7° 34′ 53,32″
$\log {\frac {n'r'}{n''}}........$	0,5885029		$2f.............$	3° 29′ 00,18″
$\zeta \,..............$	203° 16′ 38,16″		$2f''\,............$	4° 05′ 53,12″

Il ne serait d’aucune utilité de calculer de nouveau les réductions du temps relatives à l’aberration, car elles diffèrent à peine d’une seconde de celles que nous avons trouvées dans la première hypothèse.

Les calculs ultérieurs fournissent $\log \eta =0,0002270,$ $\log \eta ''=0,0003173,$ d’où l’on déduit

${\begin{aligned}\log \mathrm {P} '&=0,0790167&\mathrm {X} &=+0,0000003\\\log \mathrm {Q} '&=8,5476110&\mathrm {Y} &=+0,0000129\end{aligned}}$

De là ressort combien la seconde hypothèse est encore plus exacte que la première.

154

Pour qu’il ne reste rien à désirer, nous établirons encore la troisième hypothèse, dans laquelle nous adopterons pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ les valeurs de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ trouvées dans la seconde hypothèse. En posant donc

${\begin{aligned}x&=\log \mathrm {P} =0,0790107\\y&=\log \mathrm {Q} =8,5476110\end{aligned}}$

$\omega ..............$	13° 15′ 38,39″		$\zeta ''.............$	210° 08′ 25,65″
$\omega +\sigma ..........$	13° 38′ 51,51″		$\log r...........$	0,3307640
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega .....$	0,5989542		$\log r''..........$	0,3222239
$z...............$	14° 33′ 19,50″		${\tfrac {1}{2}}(u''+u)......$	205° 22′ 14,57″
$\log r'...........$	0,3259878		${\tfrac {1}{2}}(u''-u)......$	− 3° 14′ 04,78″
$\log {\frac {n'r'}{n}}........$	0,6675154		$2f'.............$	7° 34′ 53,73″
$\log {\frac {n'r'}{n''}}........$	0,5884987		$2f\,.............$	3° 29′ 00,39″
$\zeta \,..............$	203° 16′ 38,41″		$2f''\,............$	4° 05′ 53,34″

Tous ces nombres diffèrent si peu de ceux fournis par la seconde hypothèse, qu’il est certainement permis de conclure que la troisième n’exige plus aucune correction^[4]. C’est pourquoi l’on peut procéder à la détermination même des éléments, au moyen de $2f,$ $r,$ $r'',$ $\theta ',$ détermination que nous nous dispensons de transcrire ici, puisqu’elle a été déjà développée en détail dans l’exemple de l’art. 07. Il ne reste donc plus rien à calculer que la position du plan de l’orbite par la méthode de l’art. 149, et à transporter l’époque au commencement de l’année 1805. Ce calcul doit être établi sur les nombres suivants :

$\mathrm {AD} '-\zeta ={}$	9° 55′ 51,41″
${\tfrac {1}{2}}(\gamma +u)={}$	202° 18′ 13,855″
${\tfrac {1}{2}}(\gamma -u)={}$	− 6° 18′ 05,495″

d‘où nous déduisons

${\tfrac {1}{2}}(g+h)={}$	196° 43′ 14,62″
${\tfrac {1}{2}}(g-h)={}$	− 4° 37′ 24,41″
${\tfrac {1}{2}}i={}$	6° 33′ 22,05″.

Nous avons donc, $h=$201° 20′ 39,03″, et par suite, ${\text{☊ }}=l-h=$ 171° 7′ 48,73″ ; ensuite, $g=$192° 5′ 50,21″, et par conséquent, puisque l’anomalie vraie pour la première observation a été trouvée, dans l’art. 97, égale à 310° 55′ 29,64″, la distance du périhélie au nœud ascendant dans l’orbite $=$ 241° 10′ 20,57″, la longitude du périhélie $=52^{\circ }18'9''\!,30\,;$ enfin, l’inclinaison de l’orbite $=13^{\circ }6'44''\!,10.$

Si, pour le même calcul, nous aimons mieux employer le troisième lieu, nous avons

$\mathrm {A''D'} -\zeta ''={}$	24° 18′ 35,25″
${\tfrac {1}{2}}(\gamma ''+u'')={}$	196° 24′ 54,98″
${\tfrac {1}{2}}(\gamma ''-u'')={}$	− 5° 43′ 14.81″

De là on déduit

${\tfrac {1}{2}}(g''+h'')={}$	211° 24′ 32.45″
${\tfrac {1}{2}}(g''-h'')={}$	−11° 43′ 48,48″
${\tfrac {1}{2}}i={}$	6° 33′ 22,05″

et de là, la longitude du nœud ascendant $l''-h''=171^{\circ }7'48''\!,72,$ la longitude du périhélie $52^{\circ }18'9''\!,30,$ l’inclinaison de l’orbite $13^{\circ }6'44''\!,10,$ entièrement la même qu’auparavant.

L’intervalle de temps compris entre la dernière observation et le commencement de l’année 1805 est de $64^{\mathrm {j} }\!,614102\,;$ le mouvement moyen héliocentrique qui lui correspond est de $53293''\!,66=14^{\circ }48'13''\!,66\,;$ d’après cela, l’anomalie moyenne, pour le commencement de l’année 1805 et pour le méridien de Paris est $349^{\circ }34'12''\!,38,$ et la longitude moyenne de l’époque est $41^{\circ }52'21''\!,68.$

155

Pour faire voir plus clairement de quelle précision jouissent les éléments que nous venons de trouver, nous calculerons d’après eux le lieu moyen. Pour le 17,415011 Octobre, l’anomalie moyenne est trouvée $=332^{\circ }28'54''\!,77\,:$ de là, l’anomalie vraie est $315^{\circ }1'23''\!,02$ et $\log r'=0,3259877$ (voyez les exemples des art. 13 et 14) ; cette anomalie vraie devrait être égale à l’anomalie vraie dans la première observation augmentée de l’angle $2f'',$ ou à l’anomalie vraie dans la troisième diminuée de l’angle $2f,$ c’est-à-dire égale à $315^{\circ }1'22''\!,98\,;$ et le logarithme du rayon vecteur serait $0,3259878\,:$ les différences doivent être considérées comme insignifiantes. Si le calcul, pour l’observation moyenne, est continué jusqu’au lieu géocentrique, les résultats diffèrent de l’observation, seulement de quelques centièmes de seconde (art. 63). Ces différences sont presque confondues avec les erreurs inévitables qui naissent de la précision limitée des tables.

Nous avons traité l’exemple précédent avec la plus grande précision, pour faire voir combien par notre méthode on peut obtenir facilement la solution la plus exacte possible. Dans la pratique on aura rarement besoin de suivre strictement ce type : le plus souvent, il suffira d’employer partout six figures décimales ; et dans notre exemple, la seconde hypothèse eût déjà fourni une précision non inférieure, et la première une précision largement suffisante. Nous pensons qu’il ne sera pas désagréable à nos lecteurs d’établir la comparaison des éléments obtenus d’après la troisième hypothèse, avec ceux que l’on eût obtenus si la seconde hypothèse ou même la première avait été employée pour le même objet.

Nous montrons ces trois systèmes d’éléments dans le tableau suivant :

	DE L’HYPOTHÈSE III.	DE L’HYPOTHÈSE II.	DE L’HYPOTHÈSE I.
Longitude moyenne de l’époque 1805	41° 52′ 21,68″	41° 52′ 18,40″	42° 12′ 37,83″
Mouvement moyen diurne	824″,7989	824″,7983	823″,5025
Périhélie	52° 18′ 09,30″	52° 18′ 06,66″	52° 41′ 09,81″
$\varphi$	14° 12′ 01,87″	14° 11′ 59,94″	14° 24′ 27,49″
Logarithme du demi grand axe	0,4224389	0,4224392	0,4228944
Nœud ascendant	171° 07′ 48,73″	171° 07′ 49,15″	171° 05′ 48,86″
Inclinaison de l’orbite	13° 06′ 44,10″	13° 06′ 45,12″	13° 02′ 37,50″

En calculant le lieu héliocentrique dans l’orbite pour l’observation moyenne, à l’aide du second système d’éléments, on trouve que l’erreur du logarithme du rayon vecteur est égale à zéro, et l’erreur de la longitude dans l’orbite à $0''\!,03\,;$ mais en calculant ce lieu par le système déduit de la première hypothèse, l’erreur du logarithme du rayon vecteur est $0,0000002,$ et l’erreur de la longitude dans l’orbite, $1''\!,31.$ En continuant le calcul jusqu’au lieu géocentrique on trouve :

	DE L’HYPOTHÈSE II.	DE L’HYPOTHÈSE I.
Longitude géocentrique	352° 34′ 22,26″	352° 34′ 19,97″
Erreur	0″,14	2″,15
Latitude géocentrique	6° 21′ 55,06″	6° 21′ 54,47″
Erreur	0″,01	0″,60

156

Nous prendrons le second exemple de Pallas, dont nous extrayons les observations suivantes, faites à Milan, de la « Correspondance astronomique du célèbre de Zach, vol. XIV, p. 90. »

TEMPS MOYEN DE MILAN.		ASCENSION DROITE apparente.	DÉCLINAISON apparente.
1805, Novembre..	5j 14h 14m 04s	78° 20′ 37,8″	27° 16′ 56,7″	sud.
1805, Décembre..	6j 11h 51m 27s	73° 08′ 48,8″	32° 52′ 44,3″
1806, Janvier.......	15j 08h 50m 36s	67° 14′ 11,1″	28° 38′ 08,1″

Nous prendrons ici, à la place de l’écliptique, l’équateur comme plan fondamental, et nous exécuterons le calcul comme si l’orbite était encore entièrement inconnue. Nous extrayons, d’abord, des tables du Soleil, les quantités suivantes pour les époques données :

	LONGITUDE DU SOLEIL comptée de l’équinoxe moyen.	DISTANCE À LA TERRE.	LATITUDE DU SOLEIL.
Novembre.. 15	223° 14′ 07,61″	0,9804311	+ 0″,59
Décembre.. 16	254° 28′ 42,59″	0,9846753	+ 0″,12
Janvier....... 15	295° 05′ 47,62″	0,9838153	− 0″,10

En ajoutant les précessions $+7''\!,59,$ $+3''\!,36,$ $-2''\!,11,$ nous réduisons les longitudes du Soleil au commencement de l’année 1806, et ensuite, en prenant pour obliquité moyenne $23^{\circ }27'53''\!,53$ et en tenant compte des latitudes, nous déduisons les ascensions droites et les déclinaisons. De cette manière nous trouvons :

	ASCENSION DROITE du Soleil.	DÉCLINAISON du Soleil.
Novembre....... 15	220° 46′ 44,65″	15° 49′ 43,94″
Décembre....... 16	253° 09′ 23,26″	22° 33′ 39,45″
Janvier............ 15	297° 02′ 51,11″	21° 08′ 12,98″

Ces positions sont rapportées au centre de la Terre et doivent par suite, au moyen de la parallaxe, être réduites au lieu de l’observation, puisqu’il n’est pas permis de corriger de la parallaxe les positions de la planète. Les ascensions droites du zénith qui doivent être employées dans ce calcul, s’accordent avec les ascensions droites de la planète (puisque les observations ont été faites dans le méridien), mais la déclinaison sera partout l’élévation du pôle, 45° 28′. De là s’obtiennent les nombres suivants :

	ASCENSION DROITE de la Terre.	DÉCLINAISON de la Terre.		LOGARITHME de la distance du Soleil.
Novembre.. 15	040° 46′ 48,51″	15° 49′ 48,59″	nord	9,9958375
Décembre.. 16	073° 09′ 23,26″	22° 33′ 42,83″		9,9933099
Janvier....... 15	117° 02′ 46,09″	21° 08′ 17,29″		9,9929259

Les positions observées de Pallas doivent être corrigées de la nutation et de l’aberration des fixes, et ensuite réduites au commencement de l’année 1806, en appliquant la précession. D’après ces raisons, il faudra faire subir les corrections suivantes aux positions observées :

	OBSERVATION I.		OBSERVATION II.		OBSERVATION III.
	Ascension droite	Décli- naison	Ascension droite	Décli- naison	Ascension droite	Décli- naison
Nutation.........	−12″,86	− 3″,08	−13″,68	− 3″,42	−13″,06	− 3″,75
Aberration.....	−18″,13	− 9″,89	−21″,51	− 1″,63	−15″,60	+ 9″,76
Précession....	+05″,43	+ 0″,62	+02″,55	+ 0″,39	−01″,51	− 0″,33
Somme....	−25″,56	−12″,35	−32″,64	− 4″,66	−30″,17	+ 5″,68

De là résultent les positions suivantes de Pallas, qui doivent servir de base au calcul :

TEMPS MOYEN DE PARIS.	ASCENSION DROITE.	DÉCLINAISON.
1805, Novembre............  5,574074	78° 20′ 12,24″	− 27° 17′ 49,05″
36,475035	73° 28′ 16,16″	− 32° 52′ 48,96″
76,349444	67° 13′ 40,93″	− 28° 38′ 42,42″

157

Maintenant, nous déterminerons d’abord, la position des grands cercles menés des lieux héliocentriques de la Terre aux positions géocentriques de la planète. Nous concevons les lettres ${\mathfrak {A}},\,{\mathfrak {A}}',\,{\mathfrak {A}}'',$ marquées aux intersections de ces cercles avec l’équateur, ou, si l’on aime mieux, à leurs nœuds ascendants, et nous désignons par $\Delta ,\,\Delta ',\,\Delta ''$ les distances des points $\mathrm {B,\,B',\,B} ''$ à ces points. Dans la plus grande partie du calcul il faudra alors substituer les lettres ${\mathfrak {A}},\,{\mathfrak {A}}',\,{\mathfrak {A}}'',$ aux lettres $\mathrm {A,\,A',\,A} '',$ et aussi $\Delta ,\,\Delta ',\,\Delta ''$ à la place de $\delta ,\,\delta ',\,\delta ''\,;$ mais le lecteur attentif comprendra facilement, même sans l’indiquer, en quel endroit il faudra conserver $\mathrm {A,\,A',\,A} '',$ $\delta ,\,\delta ',\,\delta ''.$

Le calcul étant fait, nous trouvons

Ascensions droites des points $\,{\mathfrak {A}},\,{\mathfrak {A}}',\,{\mathfrak {A}}''....$	233° 54′ 57,10″	253° 28′ 57,01″	276° 40′ 25,87″
$\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''...........$	251° 17′ 15,74″	290° 51′ 43,19″	131° 59′ 58,03″
$\Delta ,\,\Delta ',\,\Delta ''.........$	215° 58′ 49,27″	212° 52′ 48,96″	220° 59′ 12,96″
$\delta ,\,\delta ',\,\delta ''............$	256° 26′ 34,19″	255° 26′ 31,79″	269° 10′ 57,84″
${\mathfrak {A}}'\mathrm {D} ,\,{\mathfrak {A}}\mathrm {D} ',\,{\mathfrak {A}}\mathrm {D} ''....$	223° 54′ 52,13″	230° 18′  3,25″	229° 18′ 43,32″
${\mathfrak {A}}''\mathrm {D} ,\,{\mathfrak {A}}''\mathrm {D} ',\,{\mathfrak {A}}'\mathrm {D} ''..$	233° 53′ 26,35″	231° 59′ 21,14″	222° 20′ 46,91″
$\varepsilon ,\,\varepsilon ',\,\varepsilon ''............$	247° 51′ 51,69″	289° 34′ 57,17″	242° 33′ 41,17″
Logarithmes des sinus $.$	9,8643525	9,9999885	9,8301910
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\varepsilon '..........$		9,8478971
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\varepsilon '..........$		9,8510614

Dans le calcul de l’art. 138 on emploiera, à la place de $l',$ l’ascension droite du point ${\mathfrak {A}}'.$ On trouve ainsi,

$\log \mathrm {T} \sin t\,.........$	8,4868236$n$
$\log \mathrm {T} \cos t.........$	9,2818162$n.$

De là,

$t={}$189° 2′ 48,83″, $\log \mathrm {T} ={}$ 9,2902527 ; ensuite $t+\gamma '={}$279° 3′ 52,02″

$\log \mathrm {S} \,.............$	9,0110566$n$
$\log \mathrm {T} \sin(t+\gamma ')...$	9,2847950$n$

d’où

$\Delta '-\sigma ={}$ 208° 1′ 55,64″,  et  $\sigma ={}$ 4° 50′ 53,32″.

Dans les formules de l’art. 140, il faudra conserver $\sin \delta ,$ $\sin \delta ',$ $\sin \delta ''$ dans les expressions de $a,$ $b$ et ${\frac {a}{b}}\,;$ il en sera de même dans celles de l’art. 143. Pour ces calculs nous avons

${\mathfrak {A}}''\mathrm {D} '-\Delta ''={}$ 171° 50′  8,18″	$\log \sin$	9,1523306	$\log \cos$	9,9955759$n$
${\mathfrak {A}}\mathrm {D} '-\Delta \;\,={}$ 174° 19′ 13,98″	»	8,9954722	»	9,9978629$n$
${\mathfrak {A}}''\mathrm {D} -\Delta ''={}$ 172° 54′ 13,39″	»	9,0917972
${\mathfrak {A}}'\mathrm {D} -\Delta '+\sigma ={}$ 175° 52′ 56,49″	»	8,8561520
${\mathfrak {A}}\mathrm {D} ''-\Delta ={}$ 173°  9′ 54,05″	»	9,0755844
${\mathfrak {A}}''\mathrm {D} ''-\Delta '+\sigma ={}$ 174° 18′ 41,27″	»	8,9967978.

De là nous déduisons

$\log \varkappa \;\,={}$ 0,9211850		$\log \lambda \;\,={}$	0,0812057	$n$
$\log \varkappa ''={}$ 0,8112762		$\log \lambda ''={}$	0,0319691	$n$
$\log a={}$ 0,1099088		$a={}$	+1,2879790
$\log b={}$ 0,1810404
$\log {\frac {b}{a}}={}$ 0,0711314	, d’où	$\log b={}$	0,1810402.

De ces deux valeurs, presque égales, nous adopterons la moyenne $\log b={}$0,1810403. Il vient enfin,

$\log c={}$	1,0450295
$d={}$	+0,4489906
$\log e={}$	9,2102894

ce qui complète les calculs préliminaires.

L’intervalle de temps entre la seconde observation et la troisième est de 39^j,874409, et entre la première et la seconde de 30^j,900961 ; on déduit de là, $\log \theta ={}$9,8362757, $\log \theta ''={}$9,7255533.

Nous posons donc, pour première hypothèse,

$x=\log \mathrm {P} =$	9,8892776
$y=\log \mathrm {Q} =$	9,5618290.

Les principaux résultats du calcul sont ceux-ci :

$\omega +\sigma =$	20°  8′ 46,72″
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega =$	0,0282028.

D’après cela, la valeur exacte de $z$ est 21° 11′ 24,30″, et $\log r'={}$0,3509379. Les trois autres valeurs de $z,$ satisfaisant à l’équation IV, sont, dans ce cas,

$z={}$	63° 41′ 12″
$z={}$	101° 12′ 58″
$z={}$	199° 24′ 57″

La première de ces valeurs doit être considérée comme une approximation de celle relative à l’orbite terrestre, dont l’écart est cependant ici, à cause du trop grand intervalle de temps, beaucoup plus considérable que dans l’exemple précédent. Les nombres suivants résultent de la suite du calcul :

$\zeta .............$	195° 12′ 52,48″
$\zeta ''............$	196° 57′ 50,78″
$\log r..........$	0,3647022
$\log r''.........$	0,3355758
${\tfrac {1}{2}}(u''\!+u).....$	266° 47′ 50,47″
${\tfrac {1}{2}}(u''\!-u).....$	− 43° 39′ 45,33″
$2f'\,...........$	22° 32′ 40,86″
$2f\;...........$	13° 35′ 41,17″
$2f''...........$	19° 27′ 40,05″

Nous distribuerons la différence entre $2f$ et $2f+2f'',$ qui est ici de 0″,36, entre $2f$ et $2f'$ de telle sorte que nous ayons $2f={}$13° 5′ 40,96″, $2f'={}-$ 9° 26′ 59,90″.

Les temps doivent maintenant être corrigés de l’aberration, à cet effet, nous poserons dans les formules de l’art. 145,

$\mathrm {AD} '-\zeta ={\mathfrak {A}}\mathrm {D} '\!-\!\Delta \!+\!\delta \!-\!\zeta ,\quad \mathrm {A''D} '-\zeta ''={\mathfrak {A}}''\mathrm {D} '\!-\!\Delta ''\!+\!\delta ''\!-\!\zeta ''.$

Nous avons alors,

$\log r\;..........$	0,36470		$\log r'\,........$	0,35094		$\log r''............$	0,33557
$\log \sin(\mathrm {AD} '\!-\!\zeta )$	9,76462		$\log \sin(\delta '\!-\!z).$	9,75038		$\log \sin(\mathrm {A''D} '\!-\!\zeta '')\;$	9,84220
$\mathrm {c^{t}} \log \sin \delta \;.....$	0,07918		$\mathrm {c^{t}} \log \sin \delta '\,...$	0,08431		$\mathrm {c^{t}} \log \sin \delta ''.......$	0,02932
$\log \mathrm {const.} ......$	7,75633			7,75633			7,75633
	7,96483			7,94196			7,96342
$\left.\;{\begin{array}{l}\mathrm {R{\acute {e}}duction} \\\mathrm {du} \;\mathrm {temps} .\end{array}}\right\}\;$ 0,009222			0,008749			0,009192

Il suit de là,

Temps corrigés.	Intervalles.	Logarithmes.
Nov. 5,564852 36,466286 76,340252	30jours,901434 39jours,873966	1,4899785 1,6006894

d’où dérivent les logarithmes corrigés des intervalles $\theta ,\,\theta '',$ respectivement 9,8362708 et 9,7255599. En commençant alors le calcul des éléments, au moyen de $r',$ $r'',$ $2f,$ $\theta ,$ nous obtenons $\log \eta ={}$0,0031921, et de même, au moyen de $r,$ $r',$ $2f'',$ $\theta ''$ nous avons $\log \eta ''={}$ 0,0017300. On conclut de là

$\log \mathrm {P} '=9,8907512,\qquad \log \mathrm {Q} '=9,5712864,$

et, par suite,

$\mathrm {X} =+0,0014736,\qquad \mathrm {Y} =+0,0094574.$

Les principaux résultats de la seconde hypothèse, pour laquelle nous posons

$x=\log \mathrm {P} =$	9,8907512
$y=\log \mathrm {Q} =$	9,5712864

sont les suivants :

$\omega +\sigma ..........$	20° 18′ 50,87″
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega .....$	0,0373071
$z...............$	21° 12′ 56,09″
$\log r'...........$	0,3507110
$\zeta \;..............$	195° 16′ 59,90″
$\zeta ''..............$	196° 52′ 40,63″
$\log r\;...........$	0,3630642
$\log r''\;..........$	0,3369708
${\tfrac {1}{2}}(u''+u)......$	267° 36′ 10,75″
${\tfrac {1}{2}}(u''-u)......$	− 43° 39′ 14,00″
$2f'.............$	22° 32′ 18,69″
$2f\,.............$	13° 31′ 54,65″
$2f''\,............$	9° 30′ 14,38″

La différence 0″,34, entre $2f'$ et $2f+2f'',$ doit être distribuée de manière que l’on ait $2f={}$ 13° 1′ 54,45″ et $2f''={}$ 9° 30′ 14,24″.

Si l’on trouve avantageux de calculer ici de nouveau les corrections des temps, on trouvera pour la première observation 0,009169, pour la seconde 0,008742, pour la troisième 0,009236, et alors pour les époques corrigées, Novembre 5^j,564905, Novembre 36,466293, Novembre 76,340280. De là, nous avons

$\log \theta ..........$	9,8362703
$\log \theta ''\,.........$	9,7255594
$\log \eta ..........$	0,0031790
$\log \eta ''\,.........$	0,0017413
$\log \mathrm {P} '.........$	9,8907268
$\log \mathrm {Q} '.........$	9,5710593

De cette manière, il résulte donc de la seconde hypothèse,

$\mathrm {X} =-\ 0,0000244,\qquad \mathrm {Y} =-\ 0,0002271.$

Enfin, dans la troisième hypothèse, pour laquelle nous posons

$x=\log \mathrm {P} =$	9,8907268
$y=\log \mathrm {Q} =$	9,5710593

les principaux résultats du calcul sont les suivants :

$\omega +\sigma ...........$	20° 18′ 11,62″		$\log r''\;..........$	0,3369536
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega .....$	0,0370857		${\tfrac {1}{2}}(u''+u)......$	267° 35′ 53,09″
$z...............$	21° 12′ 14,60″		${\tfrac {1}{2}}(u''-u)......$	− 43° 39′ 54,19″
$\log r'...........$	0,3507191		$2f'.............$	22° 32′ 57,67″
$\zeta \;..............$	195° 16′ 54,08″		$2f\;.............$	13° 31′ 57,42″
$\zeta ''\;.............$	196° 52′ 44,45″		$2f''\,............$	9° 30′ 10,63″
$\log r\;...........$	0,3630960

La différence 0",38 se distribuera ici de manière que l’on ait $2f\!=$ 13° 1′ 57,20″ et $2f''\!\!=$ 9° 30′ 10,47″^[5].

Puisque les différences de tous ces nombres avec ceux fournis par la seconde hypothèse sont très-légères, on pourra déjà conclure, en toute sûreté, que la troisième hypothèse n’exige plus aucune correction et par suite, qu’une nouvelle hypothèse serait superflue. C’est pourquoi on pourra maintenant procéder au calcul des éléments d’après $2f',\ \theta ',\ r,\ r''\ ;$ et puisque les procédés que comporte ce calcul ont déjà été amplement expliqués ci-dessus, il suffira de donner ici, pour l’avantage particulier de ceux qui désirent exécuter ce calcul, les éléments qui en résultent :

Ascension droite du nœud ascendant sur l’équateur.	158° 40′ 38,93″
Inclinaison de l’orbite sur l’équateur	11° 42′ 49,13″
Distance du périhélie au nœud ascendant	323° 14′ 56,92″
Anomalie moyenne pour l’époque 1806	335°  4′ 13,05″
Moyen mouvement (sidéral) diurne	770″,2662
$\varphi$	14°  9′  3,91″
Logarithme du demi-grand axe	0,4422438

158

Les deux exemples précédents n’ont pas encore fourni l’occasion d’appliquer la méthode de l’art. 120 ; car les hypothèses successives convergent si rapidement que nous eussions pu déjà nous arrêter à la seconde, et que la troisième diffère de la vérité à peine d’une manière sensible. Nous jouirons toujours, en effet, de cet avantage, et nous pourrons nous dispenser d’une quatrième hypothèse, toutes les fois que le mouvement héliocentrique est médiocre et que les trois rayons vecteurs ne sont pas trop inégaux, surtout si, outre cela, les intervalles de temps ont peu de différence entre eux. Mais plus les conditions du problème s’écartent de là, plus les valeurs supposées des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ différeront des valeurs vraies, et le moins rapidement les valeurs subséquentes s’approcheront de la vérité. C’est pourquoi, dans un pareil cas, les trois premières hypothèses doivent être terminées de la manière que le montrent les deux exemples précédents (avec cette différence seulement que dans la troisième hypothèse il ne faut pas calculer les éléments eux-mêmes, mais, ainsi que dans la première et la seconde hypothèse, les quantités $\eta ,\,\eta '',$ $\mathrm {P} ',\,\mathrm {Q} ',$ $\mathrm {X} ,\,\mathrm {Y}$) ; mais ensuite, dans la quatrième hypothèse, il ne faudra pas prendre les dernières valeurs de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ comme des valeurs nouvelles des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ mais on devra prendre celles qui se déduisent, d’après la méthode de l’art. 120, de la combinaison des trois premières hypothèses. Rarement alors on aura besoin de recourir à une cinquième hypothèse, selon les règles de l’art. 121. Maintenant, nous éclaircirons aussi ces calculs par un exemple, qui montrera en même temps quelle étendue souffre notre méthode.

159

Pour le troisième exemple, nous choisissons les observations suivantes de Cérès, dont la première a été obtenue à Brème par l’illustre Olbers, la seconde à Gœttingue, par le célèbre Harding, et la troisième à Lilienthal, par l’illustre Bessel.

TEMPS MOYEN DU LIEU DE L’OBSERVATION.		ASCENSION DROITE.	DÉCLINAISON BORÉALE.
1805, Septembre .	5j 13h 58m 54s	95° 59′ 25″,6	22° 21′ 25″,6
1806, Janvier	17j 10h 58m 51s	101° 18′ 40,6″	30° 21′ 22,3″
1806, Mai	23j 10h 23m 53s	121° 56′ 47″,6	28° 22′ 45″,0

Puisque les méthodes par lesquelles on peut tenir compte de la parallaxe et de l’aberration, lorsque les distances à la Terre sont considérées comme entièrement connues, ont déjà été suffisamment éclaircies dans les deux exemples précédents, nous renoncerons, dans ce troisième exemple, à cette augmentation superflue de travail, et, dans ce but, nous prendrons les distances approchées dans la « Correspondance astronomique du baron de Zach » (vol. XI, page 284), afin de dégager les observations de l’effet de la parallaxe et de l’aberration. Le tableau suivant montre ces distances avec les réductions qui en dérivent :

Distance de Cérès à la Terre	2,899	1,638	2,964
Temps que met la lumière à venir à la Terre.	23m49s	13m28s	24m21s
Temps réduit de l’observation	12h45m45s	10h45m23s	9h59m32s
Temps sidéral en degrés	355° 55′	97° 59′	210° 41′
Parallaxe d’ascension droite	+ 1″,90	+ 0″,22	− 1″,97
Parallaxe de déclinaison	− 2″,08	− 1″,90	− 2″,04

D’après cela, les données du problème, après avoir été corrigées de la parallaxe et de l’aberration, et après que les époques ont été

ÉPOQUE DE L’OBSERVATION.		ASCENSION DROITE.	DÉCLINAISON.
1805, Septembre .	5j 12h 19m 14s	95° 59′ 23,10″	22° 21′ 27,08″
1806, Janvier	17j 10h 15m 12s	101° 18′ 40,38″	30° 21′ 24,20″
1806, Mai	23j 19h 33m 18s	121° 56′ 48,97″	28° 12′ 47,04″

De ces ascensions droites et déclinaisons ont été déduites les latitudes et les longitudes, en employant pour obliquité de l’écliptique 23° 27′ 55,90″, 23° 27′ 54.99″, 23° 27′ 53,27″ ; les longitudes ont après cela été corrigées de la nutation qui était respectivement, +17″,31, +17″,88, +18″,00, et elles ont ensuite été réduites au commencement de l’année 1806, en appliquant la précession +15″,98, −2″,39, −19″,68. Enfin, les positions du Soleil, pour les époques réduites, ont été déduites des tables, positions dans lesquelles on a omis la nutation relative aux longitudes ; mais la précession a été ajoutée de la même manière que pour les longitudes de Cérès. La latitude du Soleil a été entièrement négligée. De cette manière ont été obtenus les nombres suivants, que l’on doit employer dans le calcul :

Époques, 1805, Septembre.	5,51336	139,42711	265,39813
$\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha ''$	95° 32′ 18,56″	99° 49′ 45,87″	118° 55′ 28,85″
$\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$	− 0° 59′ 34,06″	+ 7° 16′ 36,80″	+ 7° 38′ 49,39″
$l,\,l',\,l''$	342° 54′ 56,00″	117° 12′ 43,25″	241° 58′ 50,71″
$\log \mathrm {R} ,\,\log \mathrm {R} ',\,\log \mathrm {R} ''$	0,0031514	9,9929861	0,0056974

Maintenant, les calculs préliminaires expliqués dans les art. 130-140 fournissent les nombres suivants :

$\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$	358° 55′ 28,09″	156° 52′ 11,49″	170° 48′ 44,79″
$\delta ,\,\delta ',\,\delta ''$	112° 37′ 29,66″	18° 48′ 39,81″	123° 32′ 52,13″
$\mathrm {A'D,\,AD',\,AD} ''$	15° 32′ 41,40″	252° 42′ 19,14″	136° 32′ 22,38″
$\mathrm {A''D,\,A''D',\,A'D} ''$	138° 45′ 24,60″	6° 26′ 41,10″	358° 35′ 57,00″
$\varepsilon ,\,\varepsilon ',\,\varepsilon ''$	29° 18′ 48,21″	170° 32′ 59,08″	156° 36′ 25,25″

$\sigma ={}$ 8° 52′  4,05″		$\log e\;$	$={}$ 0,8568244
$\log a=$	0,1840193$n,$ $\;a={}$− 1,5276340	$\log \varkappa \;$	$={}$ 0,1611012
$\log b=$	0,0040987	$\log \varkappa ''\!$	$={}$ 9,9770819$n$
$\log c=$	2,0066735	$\log \lambda \;$	$={}$ 9,9164090$n$
$d=$	117,50873	$\log \lambda ''\!$	$={}$ 9,7320127$n$

L’intervalle de temps entre la première et la seconde observation est de 133^j,01375, entre la seconde et la troisième de 125^j,97102 ; de là, on a

$\log \theta ={}$	0,3358520,	$\log \theta ''={}$	0,3624066,	$\log {\frac {\theta ''}{\theta \;}}={}$	0,0265546,
$\log \theta \theta ''={}$	0,6982586.

Nous mettons actuellement en regard, dans le tableau suivant, les principaux résultats déduits des trois premières hypothèses :

	I.	II.	III.
$\log \mathrm {P} =x$	0,0265546	0,0256968	0,0256275
$\log \mathrm {Q} =y$	0,6982586	0,7390190	0,7481055
$\omega +\sigma$	167° 15′ 13,523″	167° 14′ 47,139″	167° 14′ 45,071″
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega$	1,1546650$n$	1,1973925$n$	1,2066327$n$
$z$	167° 13′ 59,018″	167° 12′ 32,870″	167° 12′ 16,900″
$\log r'$	0,4114726	0,4129371	0,4132107
$\zeta$	160° 10′ 46,74″	160° 20′ 17,82″	160° 22′ 19,42″
$\zeta ''$	262° 16′ 11,03″	262° 12′ 18,26″	262° 14′ 19,49″
$\log r$	0,4323934	0,4291773	0,4281811
$\log r''$	0,4094712	0,4071975	0,4061697
${\tfrac {1}{2}}(u''+u)$	262° 55′ 23,22″	262° 57′ 16,83″	262° 57′ 31,17″
${\tfrac {1}{2}}(u''-u)$	273° 28′ 50,95″	273° 29′ 15,06″	273° 29′ 19,56″
$2f'$	262° 34′ 28,40″	262° 49′ 56,50″	262° 53′ 57,06″
$2f$	231° 18′ 30,03″	231° 15′ 59,09″	231° 18′ 13,83″
$2f''$	231° 25′ 58,43″	231° 33′ 57,32″	231° 35′ 43,32″
$\log \eta$	-0,0202496	-0,0203158	-0,0203494
$\log \eta ''$	-0,0211074	-0,0212429	-0,0212751
$\log \mathrm {P} '$	-0,0256968	-0,0256275	-0,0256289
$\log \mathrm {Q} '$	-0,7390190	-0,7481055	-0,7502337
$\mathrm {X}$	− 0,0008578	− 0,0000693	+ 0,0000014
$\mathrm {Y}$	+ 0,0407604	+ 0,0090865	+ 0,0021282

En désignant maintenant les trois valeurs de $\mathrm {X}$ par $\mathrm {A,\,A',\,A} ''\,;$ les trois valeurs de $\mathrm {Y}$ par $\mathrm {B,\,B',\,B} ''\,;$ les quotients qui résultent de la division des quantités $\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ',$ $\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '',$ $\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} ,$ par la somme de ces quantités, respectivement par $k,\,k,\,k'',$ de manière que l’on ait $k+k'+k''=1\,;$ et enfin, les valeurs de $\log \mathrm {P} '$ et $\log \mathrm {Q} ',$ dans la troisième hypothèse, par $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ (quantités qui seraient les nouvelles valeurs de $x,\,y$ s’il convenait de déduire la quatrième hypothèse de la troisième, de la même manière que la troisième s’est déduite de la seconde) ; on établit facilement, d’après les formules de l’art. 120, que la valeur corrigée de $x=\mathrm {M} -k(\mathrm {A} '\!+\mathrm {A} '')-k'\mathrm {A} '',$ et que la valeur corrigée de $y=\mathrm {N} -k(\mathrm {B} '\!+\mathrm {B} '')-k'\mathrm {B} ''.$ Le calcul étant fait, on trouve la première $=$ 0,0256331, la dernière $=$ 0,7509143.

Au moyen de ces valeurs corrigées nous établissons la quatrième hypothèse, dont les principaux résultats sont les suivants :

$\omega +\sigma$	167° 14′ 45,247″	$\log r''$	0,4062033
$\log \mathrm {Q} c\sin \omega$	1,2094284$n$	${\tfrac {1}{2}}(u''+u)$	262° 57′ 38,78″
$z$	167° 12′ 12,736″	${\tfrac {1}{2}}(u''-u)$	273° 29′ 20,73″
$\log r'$	0,4132817	$2f'$	62° 55′ 16,64″
$\zeta$	160° 22′ 45,38″	$2f$	31° 19′ 11,49″
$\zeta ''$	262° 15′ 43,90″	$2f''$	31° 36′ 15,20″
$\log r$	0,4282792

La différence entre $2f'$ et $2f+2f''$ se trouve $=$ 0.05″, différence que nous distribuerons de manière que l’on ait $2f=$ 31° 19′ 1,47″, $2f''=$ 31° 36′ 15,17″.

Si maintenant, les éléments sont déterminés au moyen des deux lieux extrêmes, il en résulte les nombres suivants :

Anomalie vraie pour le premier lien	289° 47′ 39,75″
Anomalie vraie pour le troisième lieu	352° 42′ 56,39″
Anomalie moyenne pour le premier lieu	297° 41′ 35,65″
Anomalie moyenne pour le troisième lieu	353° 15′ 22,49″
Moyen mouvement diurne sidéral	769,6755″
Anomalie moyenne pour le commencement de  l’année 1806	322° 35′ 52,51″
Angle $\varphi$	324° 37′ 57,78″
Logarithme du demi-grand axe	 0,4424661

En calculant, au moyen de ces éléments, le lieu héliocentrique pour l’époque de l’observation moyenne, on trouve que l’anomalie moyenne est de 326° 19′ 25,72″, le logarithme du rayon vecteur 0,4132825, l’anomalie vraie 320° 43′ 54,87″ ; cette dernière devrait différer de l’anomalie vraie pour le premier lieu, de la quantité $2f'',$ ou de l’anomalie vraie pour le troisième lieu, de la quantité $2f,$ et par suite, devrait être 320° 43′ 54,92″, et aussi le logarithme du rayon vecteur, 0,4132817 ; la différence 0″,05 dans l’anomalie vraie, et les huit unités dans le logarithme peuvent être considérées comme de nulle importance.

Si la quatrième hypothèse était conduite jusqu’à la fin, de la même manière que les trois précédentes, on trouverait $\mathrm {X} ={}$0, $\mathrm {Y} =-$0,0000168, d’où seraient obtenues les valeurs corrigées suivantes de $x$ et $y$ :

$x=\log \mathrm {P} ={}$	0,0256331  (la même que dans la quatrième hypothèse),
$y=\log \mathrm {Q} ={}$	0,7508917.

Si la cinquième hypothèse était établie sur ces valeurs, la solution serait obtenue avec la plus grande précision que permettent les tables ; mais les éléments résultant de là ne différeraient pas sensiblement de ceux fournis par la quatrième hypothèse.

Pour obtenir complètement les éléments, il ne reste plus maintenant à calculer que la position du plan de l’orbite. En suivant les règles de l’article 149, on trouve ici,

	Par le premier lieu.		Par le troisième lieu.
$g$	354° 59′ 44,22″	$g''$	157° 35′ 30,91″
$h$	261° 56′ 36,94″	$h''$	161° 30′ 31,61″
$i$	210° 37′ 33,02″		210° 37′ 33,00″
${\text{☊ }}$	180° 58′ 49,06″		80° 58′ 49,10″
Distance du périhélie au nœud  ascendant	165° 52′ 54,47″		165° 52′ 54,52″
Longitude du périhélie	146° 50′ 53,53″		146° 00′ 53,62″

En prenant la moyenne, on obtiendra $i=10^{\circ }37'33''\!,01,$ ${\text{☊ }}=80^{\circ }68'49''\!,08,$ longitude du périhélie $=146^{\circ }0'53''\!,57.$ Enfin, la longitude moyenne pour le commencement de l’année 1806 sera $108^{\circ }36'46''\!,08.$

160

Dans l’exposition de la méthode à laquelle les précédentes recherches ont été consacrées, nous avons rencontré quelques cas spéciaux auxquels elle ne s’applique point, pas au moins dans la forme sous laquelle nous l’avons exposée. Nous avons vu que ce défaut se présente premièrement, quand l’un des trois lieux géocentriques coïncide ou avec le lieu héliocentrique correspondant de la Terre ou avec le point opposé (le dernier cas peut évidemment se présenter seulement lorsque le corps céleste passe entre le Soleil et la Terre) ; secondement, toutes les fois que le premier lieu géocentrique de l’astre coïncide avec le troisième ; troisièmement, quand les trois lieux géocentriques et aussi le second lieu héliocentrique de la Terre sont situés dans le même grand cercle.

Dans le premier cas, la position de l’un des grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A'B} ',$ $\mathrm {A''B} '',$ dans le second et le troisième la position du point $\mathrm {B} ^{\star }$ resteront indéterminées. Dans ces cas-là, les méthodes exposées ci-dessus, par lesquelles, en considérant les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ comme connues, nous avons appris à déterminer les lieux héliocentriques d’après les lieux géocentriques, perdent de leur efficacité ; on doit cependant faire ici une distinction essentielle qui est, que dans le premier cas ce défaut doit être attribué à la méthode seule, mais dans le second et le troisième à la nature même du problème ; dans le premier cas, cette détermination pourra donc certainement être effectuée, si l’on modifie convenablement la méthode, mais dans le second et le troisième elle sera absolument impossible, et les lieux héliocentriques resteront indéterminés. Il ne sera pas sans intérêt de développer en peu de mots ces relations ; mais il serait moins utile d’épuiser toutes les questions qui touchent à ce sujet, parce que la détermination exacte de l’orbite est impossible dans tous ces cas spéciaux où elle serait considérablement affectée par les plus petites erreurs d’observation. Le même défaut existera aussi toutes les fois que les observations se rapporteront, non en vérité exactement, mais de très-près à l’un de ces cas ; c’est pourquoi, il faut y avoir égard dans le choix des observations, et bien prendre garde de n’employer aucun lieu où l’astre se trouve en même temps dans le voisinage du nœud et de l’opposition ou de la conjonction, ni des observations telles que le corps céleste soit revenu, dans la dernière observation, à peu près dans la même position géocentrique qu’il avait occupée dans la première ; ni, enfin, les observations dans lesquelles le grand cercle mené du lieu héliocentrique moyen de la Terre au lieu géocentrique moyen du corps céleste forme un angle très-aigu avec la direction du mouvement géocentrique, et effleure presque le premier et le troisième lieu.

161

Nous ferons trois subdivisions du premier cas :

I. Si le point $\mathrm {B}$ coïncide avec le point $\mathrm {A}$ ou avec le point opposé, $\delta$ sera égal à zéro ou à 180° ; $\gamma ,$ $\varepsilon ',$ $\varepsilon ''$ et les points $\mathrm {D} ',$ $\mathrm {D} ''$ seront indéterminés ; au contraire, $\gamma ',$ $\gamma '',$ $\varepsilon$ et les points $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {B} ^{\star }$ seront déterminés ; le point $\mathrm {C}$ coïncidera nécessairement avec $\mathrm {A} .$ Par des raisonnements semblables à ceux développés dans l’art. 140, on obtiendra facilement l’équation suivante :

$0=n'{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}.{\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}-n''.$

Il sera donc permis de transporter ici tout ce qui a été exposé dans les art. 141, 142, pourvu que l’on pose $a=0,$ et que $b$ soit déterminé par l’équation 12, art. 140, et les quantités $z,$ $r',$ ${\frac {n'r'}{n}},$ ${\frac {n'r'}{n''}}$ seront calculées comme précédemment. Maintenant, aussitôt que $z$ et par suite la position du point $\mathrm {C} '$ seront connues, on pourra assigner la position du grand cercle $\mathrm {CC} ',$ son intersection avec le grand cercle $\mathrm {A''B} '',$ c’est-à-dire le point $\mathrm {C} '',$ et par conséquent les arcs $\mathrm {CC} ',$ $\mathrm {CC} '',$ $\mathrm {C'C} ''$ ou $2f'',$ $2f',$ $2f\,;$ et de là enfin, on aura

${\begin{aligned}r&={\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin 2f}{\sin 2f'}},&r''&={\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin 2f''}{\sin 2f'}}.\end{aligned}}$

II. Tout ce que nous venons de dire pourra s’appliquer au cas dans lequel $\mathrm {B} ''$ coïncide avec $\mathrm {A} ''$ ou avec le point opposé, si l’on change seulement toutes les quantités qui concernent le premier lieu avec celles qui se rapportent au troisième.

III. Mais il est nécessaire de traiter un peu différemment le cas où $\mathrm {B} '$ coïncide avec $\mathrm {A} '$ ou avec le point opposé. Ici le point $\mathrm {C} '$ coïncidera avec le point $\mathrm {A} '\,;$ $\gamma ',$ $\varepsilon ,$ $\varepsilon ''$ et les points $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {D} '',$ $\mathrm {B} ^{\star }$ seront indéterminés ; on pourra au contraire déterminer l’intersection du grand cercle $\mathrm {BB} ''$ avec l’écliptique^[6], dont la longitude est posée $=l'+\pi .$

Par des raisonnements semblables à ceux développés dans l’art. 140, on obtiendra l’équation

$0=n{\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} ''-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}+n'r'{\frac {\sin \pi }{\mathrm {R} ''\sin(l''-l'-\pi )}}+n''.$

Désignons le coefficient de $n,$ qui s’accorde avec $a$ de l’art. 140, par la même lettre $a,$ et le coefficient de $n'r'$ par $\beta \,;$ $a$ peut aussi être ici déterminé par la formule

$a=-{\frac {\mathrm {R} \sin(l'+\pi -l)}{\mathrm {R} ''\sin(l''-l'-\pi )}}.$

Nous avons donc

$0=an+\beta n'r'+n'',$

équation qui, combinée avec celles-ci,

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {n''}{n}},&\mathrm {Q} &=2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{3},\end{aligned}}$

produit

${\frac {\beta (\mathrm {P} +1)}{\mathrm {P} +a}}r'^{4}+r'^{3}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} =0,$

d’où nous pourrions obtenir la distance $r',$ pourvu qu’on n’ait pas $\beta =0,$ cas dans lequel on ne tire de là rien autre chose que $\mathrm {P} =-a.$ Au reste, quoiqu’on n’ait pas $\beta =0$ (car nous tomberions dans le troisième cas que l’on doit considérer dans l’article suivant), cependant $\beta$ sera toujours une quantité très-petite, et par conséquent $\mathrm {P}$ devra nécessairement différer peu de $-a\,;$ mais de là il est évident que la détermination du coefficient ${\frac {\beta (\mathrm {P} +1)}{\mathrm {P} +a}}$ est très-incertaine, et par suite, que la détermination de $r'$ ne sera d’aucune précision.

De plus, nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&=-{\frac {\mathrm {P} +a}{\beta }},&{\frac {n'r'}{n''}}&=-{\frac {\mathrm {P} +a}{\beta \,\mathrm {P} }}\,:\end{aligned}}$

après cela, de la même manière que dans l’art. 143, sont facilement développées les équations

${\begin{aligned}r\sin \zeta &=\quad {\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \gamma ''}{\sin \varepsilon '}}\sin(l''-l'),\\r''\sin \zeta ''&=-\,{\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \gamma }{\sin \varepsilon '}}\sin(l'-l),\\r\sin(\zeta -\mathrm {AD} ')&=r''\mathrm {P} {\frac {\sin \gamma ''}{\sin \gamma }}\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '),\end{aligned}}$

dont la combinaison avec les équations VIII et IX de l’art. 143 permettra de déterminer les quantités $r,$ $\zeta ,$ $r'',$ $\zeta ''.$ Les autres opérations du calcul s’accordent avec celles décrites auparavant.

162

Dans le second cas où $\mathrm {B} ''$ coïncide avec $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {D} '$ coïncidera aussi avec le même point ou avec son opposé. Où aura donc $\mathrm {AD} '\!-\delta$ et $\mathrm {A} ''\mathrm {D} '\!-\delta ''$ égaux à zéro ou à 180 ; de là nous obtenons, d’après les équations de l’art. 143,

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&=\pm {\frac {\sin \varepsilon '}{\sin \varepsilon }}.{\frac {\mathrm {R} \sin \delta }{\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta ')}},\\{\frac {n'r'}{n''}}&=\pm {\frac {\sin \varepsilon '}{\sin \varepsilon ''}}.{\frac {\mathrm {R''} \sin \delta ''}{\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ')}},\end{aligned}}$

$\mathrm {R} \sin \delta \sin \varepsilon ''\sin(z\!+\!\mathrm {A'D} ''\!\!-\!\delta ')=\mathrm {PR} ''\sin \delta ''\sin \varepsilon \sin(z\!+\!\mathrm {A'D} \!-\!\delta ').$

Il est d’après cela évident que $z$ peut être déterminé d’après $\mathrm {P}$ seul, indépendamment de $\mathrm {Q}$ (à moins qu’on n’ait, par hasard, $\mathrm {AD} ''=\mathrm {A'D}$ ou $=\mathrm {A'D} \pm 180^{\circ },$ ce qui nous ferait retomber dans le troisième cas) ; mais $z$ étant trouvé, $r'$ sera aussi connu, et par conséquent aussi les quantités ${\frac {n}{n'}},$ et ${\frac {n''}{n'}},$ au moyen des quantités ${\frac {n'r'}{n}},$ ${\frac {n'r'}{n''}}\,;$ et enfin, de là aussi,

$\mathrm {Q} =2\left({\frac {n}{n'}}+{\frac {n''}{n'}}-1\right)r'^{3}.$

Il est donc évident que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ ne peuvent être considérés comme des données indépendantes l’une de l’autre, mais représenteront ou une seule donnée ou des données incompatibles. La position des points $\mathrm {C,\,C} ''$ restera dans ce cas arbitraire, pourvu qu’ils soient pris dans le même grand cercle avec $\mathrm {C} '.$

Dans le troisième cas, où $\mathrm {A',\,B,\,B',\,B} ''$ se trouvent sur le même grand cercle, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} ''$ coïncideront respectivement avec les points $\mathrm {B} '',$ $\mathrm {B}$ ou avec les points opposés ; on obtient de là, par la combinaison des équations VII, VIII, IX, art. 143,

$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin \varepsilon ''}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin \varepsilon }}={\frac {\mathrm {R} \sin(l'-l)}{\mathrm {R} ''\sin(l''-l')}}.$

Dans ce cas, la valeur de $\mathrm {P}$ s’obtient donc par les données mêmes du problème, et par conséquent la position des points $\mathrm {C,\,C',\,C} ''$ restera indéterminée.

163

La méthode que nous avons exposée depuis l’art. 136, est en réalité principalement destinée à la détermination d’une orbite encore entièrement inconnue ; elle peut cependant être employée, également avec un grand succès, quand il s’agit de corriger une orbite déjà approximativement connue, à l’aide de trois observations distantes autant qu’on voudra l’une de l’autre. Mais, dans un pareil cas, il sera convenable de faire quelques modifications. Quand, en effet, les observations embrasseront un grand mouvement héliocentrique, il ne sera plus permis de considérer ${\frac {\theta ''}{\theta \;}}$ et $\theta \theta ''$ comme des valeurs approchées de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} \,;$ mais des valeurs beaucoup plus exactes pourront être obtenues au moyen des éléments approximativement connus. D’après cela, on calculera d’un trait de plume, à l’aide de ces éléments, les lieux héliocentriques dans l’orbite pour les trois époques des observations, d’où, en désignant les anomalies vraies par $v,$ $v',$ $v'',$ les rayons vecteurs par $r,$ $r',$ $r'',$ le demi-paramètre par $p,$ on obtiendra les valeurs approchées suivantes :

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {r\sin(v'-v)}{r''\sin(v''-v')}},&\mathrm {Q} &={\frac {4r'^{4}\sin {\dfrac {1}{2}}(v'-v)\sin {\dfrac {1}{2}}(v''-v')}{p\cos {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}}.\end{aligned}}$

Avec ces valeurs, sera donc établie la première hypothèse, et, en les faisant varier un peu à volonté, la seconde et la troisième ; il n’y aurait, en effet, aucun avantage à adopter ici $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ pour les nouvelles valeurs (comme nous l’avons fait ci-dessus), puisqu’il n’est plus permis de supposer que ces valeurs s’obtiennent plus exactes. Par cette raison, les trois hypothèses pourront être résolues en même temps ; la quatrième sera ensuite formée d’après les règles de l’art. 120. Au reste, nous n’objecterons rien, si quelqu’un pense que quelqu’une des dix méthodes expliquées dans les art. 124-129, est, sinon plus, au moins presque également prompte, et préfère par suite s’en servir.

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1. Toutes les fois que les observations sont peu éloignées l’une de l’autre, de manière que l’on puisse traiter les intervalles de temps comme des quantités infiniment petites, la séparation faite de cette manière réussit certainement, et le problème se réduit en entier à la solution d’une équation algébrique du septième ou du huitième degré.
2. Ou aussi toutes les fois qu’ils sont diamétralement opposés ; mais nous ne parlerons pas de ce cas, puisque notre méthode ne doit pas être étendue à des observations embrassant un si grand intervalle.
3. C’est improprement que l’on déclare telle méthode plus ou moins exacte qu’une autre. Elle peut seule passer pour avoir résolu le problème, la méthode par laquelle on peut au moins atteindre un certain degré de précision. C’est pourquoi, une méthode surpasse une autre par la considération seule, que le même degré de précision peut être atteint avec l’une plus promptement, et avec moins de travail, qu’avec l’autre.
4. Si le calcul était exécuté jusqu’au bout de la même manière que dans les hypothèses précédentes, on obtiendrait $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0,0000003,$ valeur qui peut être considérée comme nulle, et qui, par le fait, s’élève à peine au-dessus de l’incertitude inhérente à la dernière figure décimale.
5. Cette différence, en quelque sorte augmentée, et à peu près la même dans toutes les hypothèses, s’est élevée principalement de ce que $\sigma$ a été pris trop petit de presque deux centièmes de seconde, et que le logarithme de $b$ était juste trop grand de quelques unités.
6. Plus généralement, avec le grand cercle $\mathrm {AA} ''\,;$ mais pour être plus bref, nous considérons ici le cas seulement dans lequel l’écliptique est pris comme plan fondamental.