L’Encyclopédie/1re édition/CONE

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CONE, s. m. on donne ce nom en Géometrie, à un corps solide, dont la base est un cercle, & qui se termine par le haut en une pointe, que l’on appelle sommet. Voyez Pl. des coniq. fig. 2. Voyez aussi Solide, & Tronqué.

Le cone peut être engendré par le mouvement d’une ligne droite KM, qui tourne autour d’un point immobile K, appellé sommet, en rasant par son autre extrémité la circonférence d’un cercle MN, qu’on nomme sa base.

On appelle en général axe du cone, la droite tirée de son sommet au centre de sa base.

Quand l’axe du cone est perpendiculaire à sa base, alors ce solide prend le nom de cone droit ; si cet axe est incliné ou oblique, c’est un cone scalene : les cones scalenes se divisent encore en obtusangles & acutangles.

Si l’axe AB (fig. 3.) est plus grand que le rayon CB de la base, le cone est acutangle ; s’il est plus petit, le cone est obtusangle ; enfin c’est un cone rectangle, quand l’axe est égal au rayon de la base.

Quelques auteurs définissent en général, le cone une figure solide, dont la base est un cercle comme CD, (fig. 3.) & qui est produite par la révolution entiere du plan d’un triangle rectangle CAB, autour du côté perpendiculaire AB ; mais cette définition ne peut regarder que le cone droit, c’est-à-dire, celui dont l’axe tombe à angles droits sur sa base.

Afin donc d’avoir une description du cone, qui convienne également au cone droit & à l’oblique, supposons un point immobile A, (fig. 4.) au dehors du plan du cercle BDEC ; & soit tirée par ce point une ligne droite AE, prolongée indéfiniment de part & d’autre, qui se meuve tout autour de la circonférence du cercle : les deux surfaces engendrées par ce mouvement, sont appellées surfaces coniques ; & quand on les nomme relativement l’une à l’autre, elles s’appellent des surfaces verticalement opposées ou opposées par le sommet ; ou simplement des surfaces opposées.

Voici les principales propriétés du cone. 1°. L’aire ou la surface de tout cone droit, faisant abstraction de la base, est égale à un triangle, dont la base est la circonférence de celle du cone, & la hauteur le côté du cone. Voyez Triangle. Ou bien, la surface courbe d’un cone droit est à l’aire de sa base circulaire, comme la longueur de l’hypoténuse AC (fig. 3.) du triangle rectangle générateur est à CB, base du même triangle, c’est-à-dire, comme le côté du cone au demi-diametre de la base.

D’où il suit que la surface d’un cone droit est égale à un secteur de cercle, qui a pour rayon le côté du cone, & dont l’arc est égal à la circonférence de la base de ce solide : d’où il est aisé de conclure que cet arc est à 360 degrés, comme le diametre de la base est au double du côté du cone.

On a donc une méthode très-simple de tracer une surface ou un plan, qui enveloppe exactement celle d’un cone droit proposé. Car sur le diametre de la base AB, l’on n’a qu à décrire un cercle (Pl. des coniq. fig. 6.) ; prolonger le diametre jusqu’en C, en sorte que AC, soit égal au côté du cone ; chercher ensuite une quatrieme proportionnelle aux trois grandeurs 2 AC, AB, 360d ; & du centre C, avec le rayon CA, décrire un arc DE, qui ait le nombre de degrés trouvés par la quatrieme proportionnelle ; alors le secteur CDE, avec le cercle AB, sera une surface propre à envelopper exactement le cone proposé.

A-t-on un cone droit tronqué, dont on voudroit avoir le dévelopement ? que l’on porte le côté de ce cone de A en F ; que l’on décrive un arc GH avec le rayon F ; & que l’on cherche ensuite une quatrieme proportionnelle à 360d, au nombre de degrés de l’arc GH, & au rayon CF ; afin de déterminer par ce moyen le diametre du cercle IF, & l’on aura une figure plane, dont on pourra envelopper le cone tronqué.

Car CDBAE, enveloppera le cone entier ; CGFIH enveloppera le cone retranché ; il faut donc que DBEHIG soit propre à envelopper le cone tronqué.

2°. Les cones de même base & de même hauteur sont égaux en solidité. Voyez Pyramide.

Or il est démontré que tout prisme triangulaire peut être divisé en trois pyramides égales ; & qu’ainsi une pyramide triangulaire est la troisieme partie d’un prisme de même base & de même hauteur.

Puis donc que tout corps multangulaire ou polygone, peut être résolu en solides triangulaires ; que toute pyramide est le tiers d’un prisme de même base & de même hauteur ; qu’un cone peut être consideré comme une pyramide infinitangulaire, c’est-à-dire, d’un nombre infini de côtés ; & le cylindre comme un prisme infinitangulaire, il est évident qu’un cone est le tiers d’un cylindre de même base & de même hauteur.

L’on a donc une méthode très-simple pour mesurer la surface & la solidité d’un cone : par exemple pour avoir la solidité d’un cone, il n’y a qu’à trouver celle d’un prisme ou d’un cylindre de même base & de même hauteur que le cone (Voyez Prisme & Cylindre) ; après quoi l’on en prendra le tiers, qui sera la solidité du cone ou de la pyramide. Si la solidité d’un cylindre est 605592960 piés cubes, on trouvera que celle du cone vaut 201864320 piés cubes.

Quant aux surfaces, on a celle d’un cone droit en multipliant la moitié de la circonférence de la base par le côté de ce cone, & ajoûtant à ce produit l’aire de la base.

Si l’on veut avoir la surface & la solidité d’un cone droit tronqué ABCD (fig. 7.) ; sa hauteur CH & les diametres des bases AB, CD, étant donnés, on déterminera d’abord leurs circonférences : ensuite on ajoûtera au quarré de la hauteur CH le quarré de la différence AH des rayons ; & extrayant la racine quarrée de cette somme, on aura le côté AC du cone tronqué : on multipliera ensuite la demi-somme des circonférences par le côté AC, & cette multiplication donnera la surface du cone tronqué.

Pour en avoir la solidité, on fera d’abord cette proportion ; la différence AH des rayons est à la hauteur CH du cone tronqué, comme le plus grand rayon AF est à la hauteur FE du cone entier : cette hauteur étant trouvée, on en soustrayera celle du cone tronqué, & l’on aura la hauteur EG du cone supérieur. Que l’on détermine présentement la solidité du cone CED & celle du cone AEB, & que l’on ôte la premiere de la seconde, il restera la solidité du cone tronqué ACDB.

Sur les sections du cone, voyez Conique ; sur le rapport des cones & des cylindres, voyez Cylindre ; & sur les centres de gravité & d’oscillation du cone, voyez Centre.

Le nom de cone se donne encore à d’autres solides qu’à ceux dont les surfaces sont produites par le mouvement d’une ligne autour de la circonférence d’un cercle ; il s’étend à toutes les especes de corps que l’on peut former de la même maniere, en prenant une courbe quelconque pour circonférence de la base.

La méthode pour déterminer la solidité d’un cone oblique, est la même que celle pour déterminer la solidité du cone droit ; tout cone en général est le produit de sa base par le tiers de sa hauteur, c’est-à-dire par le tiers de la ligne menée du sommet perpendiculairement à la base. Dans les cones droits, cette ligne est l’axe même ; dans les autres, elle est différente de l’axe.

Mais la surface du cone oblique est beaucoup plus difficile à trouver que celle du cone droit ; on ne peut la réduire à la mesure d’un secteur de cercle, parce que dans le cone oblique toutes les lignes tirées du sommet à la base, ne sont pas égales. Voy. le mémoire que M. Euler a donné sur ce sujet, dans le tome I. des nouv. mém. de Petersbourg. Barrow, dans ses lectiones geometricæ, donne une méthode ingénieuse pour trouver la surface d’un cone qui a pour base une ellipse, lorsque ce cone fait portion d’un cone droit. Voici en deux mots sa méthode. Du point où l’axe du cone droit coupe l’ellipse, il imagine des perpendiculaires sur les différens côtés du cone ; & comme ces perpendiculaires sont égales, il n’a pas de peine à prouver que la solidité de cone elliptique est égale au produit de sa surface par le tiers de l’une de ces perpendiculaires. Or cette même solidité est aussi égale au tiers de la hauteur du cone, multiplié par la base elliptique. Donc comme la perpendiculaire ci-dessus désignée est à la hauteur du cone, ainsi la base elliptique est à la surface cherchée.

On appelle, en Optique, cone de rayons, l’assemblage des rayons qui partent d’un point lumineux quelconque, & tombent sur la prunelle ou sur la surface d’un verre ou d’un miroir. Voy. Rayon. (O)

Cone, terme de Botanique ; voyez ci-après Conifere.

Cone, (Chimie.) espece de moule de fer fondu, dans lequel les Chimistes versent les substances métalliques (appellées régules dans ce cas), qu’ils se proposent de séparer de leurs scories par l’opération qu’ils nomment en Latin precipitatio fusoria. Voyez Régule, Précipitation, & Fusion.

Ce moule a la forme d’un cone renversé ; & c’est de cette forme qu’il tire son nom & son usage. Une substance métallique quelconque étant plus pesante que les scories dont on la sépare, & étant immiscible avec ces scories, doit lorsque l’un & l’autre de ces corps sont en belle fonte dans un même vaisseau, en gagner le fond, dès que le feu ne les agite plus. Et la forme conique du moule dont nous parlons, est très-propre à rassembler le régule en une masse qu’on peut facilement séparer des scories. (b)