CHAPITRE XX.
SÉRIES DE M. BOHLIN.
213.Dans le Chapitre précédent, nous avons montré comment
on pouvait construire la fonction pour en déduire les coordonnées
en fonctions du temps, il suffit d’appliquer la méthode de Jacobi.
Supposons, pour simplifier un peu, que l’entier que nous avons
appelé soit égal à 1 et que les autres entiers soient nuls ;
c’est ce que nous avons fait dans les nos 205 et 206, et nous savons
qu’on peut ramener le cas général à ce cas particulier par le changement
de variables (3) de la page 339.
La fonction définie dans les nos 204 et suivants, dépend des
variables elle contient de plus constantes arbitraires
et ; d’autres constantes pourraient s’introduire dans
nos calculs ; à savoir les les mais nous supposerons :
1o Que est lié aux autres par la relation (4) de la page 344 ;
2o Que les satisfont à la condition (10) de la page 349 ;
3o Que les sont exprimés d’une manière quelconque, d’ailleurs
arbitraire jusqu’à nouvel ordre, en fonctions des autres constantes.
Ainsi sera fonction de
Posons alors
(1)
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On tirera de là les et les en fonctions des des et de et si, dans les expressions ainsi obtenues, on considère
les et les comme constantes arbitraires et les comme des
fonctions linéaires du temps, on aura les coordonnées et
exprimées en fonctions du temps. C’est ce que nous apprend le
théorème du no 3.
Mais il est préférable de modifier un peu la forme des équations (1)
et d’écrire
(2)
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les étant des fonctions arbitraires de et des
Il est clair que si l’on remplace les équations (1) par les équations (2),
les resteront des fonctions linéaires du temps ; car les
ne dépendant que de et des seront des constantes.
Voici d’ailleurs l’usage que je ferai de ces fonctions arbitraires
je les choisirai de telle sorte que les les et les
soient des fonctions périodiques des de période
Plaçons-nous d’abord dans le premier cas, celui où est toujours
réel et ne s’annule jamais et voyons quelle est la forme des
séries ainsi obtenues.
Dans ce cas, les sont des fonctions des périodiques et
de période quant à c’est une fonction de la forme suivante
étant une fonction périodique des et les étant des fonctions
de et des
De plus, et les sont développables suivant les puissances
de
Comme, d’après les hypothèses faites sur les entiers les
conditions (10) de la page 349 se réduisent à
on aura tout simplement
Si l’on développe suivant les puissances de le premier
terme se réduit de même à
Je veux que quand
se changent en
les étant des entiers, les et les se changent en
et
J’obtiendrai ce résultat en faisant
Il en résulte que et les sont développables suivant les puissances
de Pour se réduit à or est lié aux
autres par la relation (4) de la page 344 qui, dans le cas qui
nous occupe, se réduit à
Donc, pour et se réduisent à
Des équations (2) on tirera alors les puis les sous la forme
de fonctions des des de et de développables suivant
les puissances de pour la première et la troisième équation (2) deviennent
quant à la seconde, elle se réduirait à mais, si on la divise
par et qu’on fasse ensuite elle devient
étant le premier terme du développement de Si nous reprenons les notations du Chapitre précédent, nous pouvons écrire
Le second membre peut se développer sous la forme suivante
étant une constante dépendant de et des et une fonction
périodique.
Nous déterminerons conformément à la convention faite plus
haut en faisant
d’où
D’autre part, il vient
Comme est toujours de même signe, sera toujours
positif, de sorte que sera une fonction de toujours croissante
et qui augmente de quand augmente de
Il en résulte inversement que est une fonction de toujours
croissante et qui augmente de quand augmente de
Nous pouvons donc écrire
étant une fonction de de période
Si donc nous ne supposons plus les premiers termes du
développement de
seront respectivement
Les termes suivants seront périodiques par rapport aux de sorte que les et les seront des fonctions périodiques
des
Nous avons vu que les doivent être des fonctions linéaires du
temps de sorte que
les étant des constantes d’intégration arbitraires.
Il nous reste à déterminer les
Pour cela reprenons l’équation (2) de la page 343 ; le second
membre est égal à
est une fonction des sont des fonctions de
et des que nous avons choisies arbitrairement, mais une fois
pour toutes.
Il en résulte que est une fonction de nos constantes et
Maintenant la méthode de Jacobi nous apprend que l’on a
(3)
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|
Comme les et sont donnés en fonctions de et des ces
équations nous donneront les en fonctions de ces mêmes
variables.
J’observe d’abord que et les étant développables suivant les
puissances de il doit en être de même des
Le premier terme du développement de est le premier
terme du développement de est le premier terme du développement
de sera
de sorte que s’annule pour comme on devait s’y attendre ;
au contraire, pour la seconde équation (3) nous donne
Le premier terme du développement de est donc
Cas de la libration.
214.Passons au second cas, celui où peut s’annuler et n’est
pas toujours réel.
Voyons d’abord, ce qui nous sera d’ailleurs surtout utile dans
le numéro suivant, quelle est alors la forme de la fonction je
dis que les dérivées
seront de la forme
(α)
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étant des entiers et une fonction périodique
de ne devenant pas infinie.
Il est clair d’abord :
1o Que la somme ou le produit de deux fonctions de la forme (α)
sera encore de la forme (α) ;
2o Que la dérivée d’une fonction de la forme (α) soit par rapport
à soit par rapport à ou sera encore de la
forme (α).
Supposons donc que les dérivées
soient toutes de la forme (α) et cherchons à démontrer qu’il en
sera encore de même des
En effet, ces dérivées nous seront données par une équation de
la forme
(β)
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étant une combinaison de fonctions de la forme (α) sera encore de la même forme. On déduira de cette équation
et l’on voit que toutes ces fonctions sont de la forme (α).
Il vient ensuite
(γ)
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étant de la forme (α) ; il en sera de même de et par
conséquent de
C.Q.F.D.
Malgré la complication de la forme de on pourrait former
directement les équations (2) du numéro précédent et en tirer
les et les en fonctions des mais il est plus simple d’opérer
autrement.
Nous avons vu en effet au no 206 qu’en faisant un changement
de variables et en passant des variables et aux variables
et on arrive à des équations qui sont tout à fait de même
forme que celles du no 134. Les conclusions de ce numéro sont
donc applicables, ainsi que tout ce que nous avons dit dans les
Chapitres XIV et XV au sujet du problème du no 134.
Il en résulte qu’on peut résoudre ces équations en égalant
les et à des fonctions de constantes d’intégration et de
fonctions linéaires du temps
Et cela de telle sorte que
et
soient fonctions périodiques des développables d’ailleurs suivant
les puissances de
Revenant ensuite aux variables primitives nous voyons que
et
sont fonctions périodiques des
On aura d’ailleurs
les étant des constantes d’intégration et les étant développables
suivant les puissances de
Le premier terme du développement de est et comme
est nul, le développement de commence par un terme en
Toutes ces séries se déduisent de la fonction définie au no 206.
Cette fonction dépend elle-même des variables de la deuxième série
et en outre de constantes d’intégration
et cela de telle sorte que
soit une fonction périodique de et des
On trouvera ensuite les variables et en fonctions
des et des à l’aide des équations
(4)
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La manière de déduire les équations (4) des équations (2) du
numéro précédent est assez compliquée pour que j’y insiste un peu.
Nous avons
Il demeure convenu que l’indice varie de 2 à et l’indice
de 1 à
D’autre part,
et
d’où
Si nous posons
(5)
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il viendra, par un calcul facile,
de sorte que, si nous exprimons en fonction des et des nous
aurons
(6)
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Ces changements continuels de variables pouvant engendrer
quelque confusion, j’insiste un peu :
est exprimé en fonction de
est exprimé en fonction de
est exprimé en fonction de et
Nous avons donc variables, à savoir
Mais ces variables étant liées par les relations
il n’y a en réalité que variables indépendantes, ce qui nous
permet d’exprimer chacune de nos fonctions par le moyen
de variables convenablement choisies.
La fonction jouit de la propriété caractéristique suivante :
Quand l’un des augmente de les autres variables
et ne changent pas, augmente de
Nous savons en effet que les dérivées de par rapport à et
aux sont périodiques par rapport à ces variables.
Or quand se change ainsi en les autres et ne
changent pas ; qu’arrive-t-il ?
Les dérivées de étant périodiques, ainsi que je viens de le
dire, et les ne changeront pas.
Pour voir ce que deviendront les nous nous servirons des
équations
Ces équations, qui ne sont autre chose que les équations (16) du
no 206, montrent que, si augmente de augmente de
pendant que les autres ne changent pas.
Dans les mêmes conditions augmente de
augmente de et par conséquent de
Il résulte de là que les dérivées de par rapport aux sont
périodiques par rapport à
La fonction définie par l’équation (5) jouit donc de la propriété
caractéristique des fonctions étudiées aux nos 204, 205
et 207.
Elle en diffère toutefois par un point important.
La fonction du numéro précédent dépend non seulement des
variables mais de constantes
D’ailleurs l’analyse des nos 204 et 205 prouve que l’on peut en
déduire toutes les fonctions dont les dérivées sont périodiques,
en remplaçant ces constantes par des fonctions arbitraires de
autres constantes.
La fonction définie par l’équation (5) dépend des variables
des constantes mais elle dépend en outre des constantes
car les figurent dans la fonction et, par conséquent, dans le
changement de variables du no 206 ; seulement dans le no 206,
ainsi que dans le calcul qui précède, nous avons traité les comme
des constantes absolues ; c’est pour cette raison que les différentielles
figurent dans l’expression de tandis que les différentielles
n’y figurent pas.
J’observe en outre que, quand augmente de la fonction
du numéro précédent augmente de tandis que celle qui est
définie par l’équation (5) augmente de
J’en conclus que l’on obtiendra la fonction déduite de l’équation (5) en remplaçant dans celle du numéro précédent les constantes
par et la constante par une certaine
fonction
Comparons maintenant les équations (2) et les équations (6). On
trouve
d’où, en tenant compte des équations (2) et (6),
d’où
(7)
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|
On passera donc des équations (2) aux équations (6) en remplaçant
les et par et et les par leurs valeurs (7).
Cas limite.
215.Passons enfin au cas limite, celui où est égal au maximum
de
J’observe d’abord que nous pouvons toujours supposer que, pour
on a
et que, par conséquent, le développement de suivant
les puissances de des et de ne contient ni terme de degré zéro, ni d’autre terme du premier degré que des termes en
Si, en effet, cela n’était pas, on ferait le changement de variables
des nos 208 et 210 et on serait ramené au cas où cette supposition
est vraie.
Il résulte de là que, si l’on donne aux constantes arbitraires les
valeurs suivantes
on se trouve précisément dans le cas limite et que la fonction
est. telle que les ont un zéro simple et les un zéro
double pour Il suffit pour s’en convaincre de se rappeler
que, dans le calcul des nos 208 et 210, on est conduit après le changement
de variables à des équations tout à fait analogues aux
équations (3) du no 204 et qui n’en diffèrent que parce que les
lettres y sont accentuées et que les constantes sont toutes nulles
(Cf. p. 371).
Donnons maintenant aux constantes d’autres
valeurs voisines de 0. On pourra encore choisir
de telle façon que soit égal au maximum de et que, les
conditions (28) du no 207 étant remplies, les fonctions
restent finies.
Les valeurs de qui satisfont à ces conditions
seront des fonctions holomorphes de de sorte que
Ces fonctions, d’après ce que nous venons de voir, devront s’annuler pour
Nous avons ainsi défini une fonction dépendant de constantes arbitraires
Cette fonction est de la forme
(8)
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étant une constante et étant développable suivant les sinus
et les cosinus des multiples de
Cette fonction est d’ailleurs holomorphe par rapport aux et,
quand on y fait
la dérivée admet un zéro simple pour et les autres dérivées
admettent un zéro double.
Pour obtenir une fonction dépendant de constantes arbitraires,
je ferai
J’aurai ainsi une fonction contenant les constantes
D’après ce que nous avons vu au commencement du numéro
précédent, les dérivées de cette fonction seront de la forme (α).
Mais il y a plus ; soit
un terme d’une de ces dérivées mises sous la forme (α) ; je dis que
le numérateur ne dépend pas de
Cela tient à ce que les constantes ne dépendent pas
de
Pour démontrer le point en question, convenons, pour abréger
le langage, de dire qu’une expression est de la forme (α′) lorsqu’elle
est de la forme (α) et que de plus les numérateurs sont indépendants
de
Supposons que
soient de la forme (α′), je dis qu’il en sera de même de
En effet, dans l’équation (β) du numéro précédent, le second
membre sera de la forme (α′) : il en sera donc encore de même de
Je dis qu’il en sera encore de même de
c’est-à-dire que la dérivée par rapport à d’une expression de la
forme (α′) sera encore de la forme (α′), Soit, en effet,
cette expression où j’ai mis pour abréger à la place de
Sa dérivée est
(9)
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Si est indépendant de il en sera de même de D’autre
part, est égal, à un facteur constant près, à
Sa dérivée
est donc indépendante de de sorte que l’expression (9) est de
la forme (α′).
C.Q.F.D.
Alors dans l’équation (γ) du numéro précédent, le second
membre est de la forme (α′). Il en est donc de même de
et de
C.Q.F.D.
La fonction va donc être de la forme
(10)
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Quand dans cette expression on annule les constantes
admet un zéro d’ordre et un zéro d’ordre
pour cela est nécessaire pour que ait un zéro double
et un zéro simple.
Cela posé, nous allons avoir à envisager les équations suivantes,
analogues aux équations (2)
(2 bis)
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Dans ces expressions on devra, après la différentiation, faire
Mais on peut aussi, même avant la différentiation, faire
dans la première équation (2 bis),
dans la seconde,
dans la troisième.
L’essentiel est de ne pas annuler avant la différentiation la
variable par rapport à laquelle on différentie.
La première équation (2 bis) nous apprend que les sont développables suivant les sinus et les cosinus des multiples de
Considérons maintenant la troisième équation (2 bis) ; si l’on y
fait on voit que est de la forme (8) et en différentiant
l’équation (8), on trouve
d’où
(11)
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Le dernier terme du second membre est développable suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
Passons à la deuxième équation (2 bis) ; pour avoir je
différentie l’équation (10) après avoir fait
Il vient alors
( étant une constante) ; car devient nul.
On a donc
(12)
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Nous ferons après la différentiation alors, pour
admet un zéro simple, un zéro d’ordre et un zéro
d’ordre
Il en résulte que le premier terme du second membre de (12)
reste fini, mais que dans le second terme la quantité sous le
signe admet un infini simple pour de sorte qu’on peut la mettre sous la forme
étant une fonction finie et périodique.
L’intégrale elle-même devient donc logarithmiquement infinie
pour je veux dire qu’on peut la mettre sous
la forme
étant une fonction de qui reste finie pour toutes les valeurs
de et une constante.
On a donc
étant une nouvelle constante et une fonction développée suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
d’où
(13)
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Il s’agit maintenant de se servir des équations (11) et (13) pour
trouver les en fonctions des
Les seconds membres de ces équations (11) et (13) étant développables
suivant les puissances de cherchons les premiers
termes du développement.
Le terme indépendant de se réduit à zéro dans le second
membre de (13) et à
dans le second membre de (11).
Quant au terme en il doit se réduire dans (11) et dans (13)
respectivement à
et
pour la première de ces quantités je me bornerai à remarquer
qu’elle dépend seulement de et pas de
Quant à la seconde on trouve, en faisant,
après la différentiation
Cela posé, considérons les seconds membres des équations (11) et (13).
Ce sont fonctions leur déterminant fonctionnel
par rapport à est divisible par mais
si on le divise par , puis qu’après la division on fasse
ce déterminant fonctionnel se réduit à
Cette expression ne s’annule pour aucun système de valeurs
des puisque n’est jamais infini.
Si donc est suffisamment petit, ne s’annule pas.
En revanche, peut devenir infini ; en effet, les seconds membres
des équations (11) et (13) deviennent infinis pour
Il résulte de là que, quand on donnera à toutes
les valeurs possibles et qu’on fera varier de zéro à ne
changera pas de signe.
Nous prendrons pour simplifier
de sorte que les équations (11) et (13) s’écriront
(11)
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(13)
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À cause de la présence du terme logarithmique, quand variera
de zéro à variera de à
Donc, quand, donnant aux toutes les valeurs possibles, on
fera varier de zéro à les prendront toutes les valeurs
possibles. De plus, dans ces conditions, nous avons vu que ne
change pas de signe.
Donc les sont des fonctions uniformes des pour toutes les
valeurs réelles des En effet, on peut, en parlant de (11) et
de (13) et en appliquant le théorème du no 30, développer les
suivant les puissances de
étant des constantes quelconques, puisque le déterminant
fonctionnel ne s’annule jamais.
J’ajoute que
sont des fonctions périodiques de
et, en effet, quand augmente de augmente de La
première équation (2 bis) nous montre ensuite que les sont
aussi des fonctions uniformes des périodiques par rapport à
Quand tend vers tend vers zéro ou vers il faut
voir ce que deviennent les équations (11) et (13) quand on y fait,
par exemple,
L’équation (13) devient illusoire et l’équation (11) s’écrit
On tire de là en fonctions des arguments
On voit sans peine que est périodique par rapport aux Soit donc
Si dans la première équation (2 bis) nous faisons elle
se réduit à
Nous trouvons donc une solution particulière des équations (2 bis)
en faisant
(14)
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La signification de ces équations (14) est évidente.
Au no 209, nous avons trouvé une généralisation des solutions
périodiques. Nous avons, en effet, formé les relations invariantes
Grâce à l’hypothèse que nous avons faite au début du présent
numéro, ces relations invariantes se réduisent ici à
Nous reconnaissons là les trois premières équations (14).
Ces quatre équations (14) nous fournissent donc, sous une forme
nouvelle, la généralisation des solutions périodiques. On voit que
les et les sont exprimés en fonctions périodiques
de arguments de la forme
Dans le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté,
il ne reste plus qu’un seul argument
Alors et sont exprimés en fonctions périodiques
de et, par conséquent, du temps. Nous retrouverons
alors simplement les solutions périodiques telles qu’elles ont été
définies au Chapitre III.
Une conséquence remarquable, c’est que, s’il n’y a que deux
degrés de liberté, les développements (14) sont convergents,
tandis qu’ils n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel
si le nombre des degrés de liberté est supérieur à 2.
216.Examinons, en particulier, ce qui se passe quand est,
par exemple, négatif et très grand ; les valeurs correspondantes
de seront très petites, le second membre de (11) sera donc développable
suivant les puissances croissantes de
Quant à l’équation (13), nous la transformerons comme il suit
(13 bis)
|
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Si est positif, ainsi que je le suppose pour fixer les idées et
si est négatif et très grand, l’exponentielle
sera très petite. Quant au second membre de (13 bis) il est développable
suivant les puissances de
Écrivons donc nos équations sous la forme
(11 bis)
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(13 bis)
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|
Les seront développables suivant les puissances de et de
et chacun des termes du développement sera périodique par rapport à
Les deux membres des équations (11 bis) et (13 bis) peuvent
donc être regardés comme développés suivant les puissances de
de et de
Observons que est développable suivant les puissances de
et soit
le premier terme du développement.
D’autre part, le premier terme du développement de et de
sera en de sorte que le développement de et de
commencera par un terme indépendant de
Si dans les équations (11 bis) et (13 bis), nous faisons elles deviennent
Le déterminant fonctionnel des seconds membres de ces équations
par rapport à se réduit à 1 pour
Cela va nous permettre d’appliquer le théorème du no 30.
Il en résulte que, pour toutes les valeurs de
les sont développables suivant les puissances de et de
Les coefficients des développements sont des fonctions de
Pour nous rendre compte de la forme de ces fonctions, observons
que, quand augmente de augmente de
Nous conclurons que
et
est développable en séries procédant suivant les puissances de
et
et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
La première équation (2 bis) nous fait voir ensuite, immédiatement,
que les sont développables en séries de la même forme.
Si, au lieu de supposer négatif et très grand, et très voisin
de zéro, nous avions supposé positif et très grand et très
voisin de nous serions arrivé au même résultat ; seulement, au
lieu de séries procédant suivant les puissances de
et
nous aurions eu des séries procédant suivant les puissances de
et
Revenons au cas où est négatif et très grand et très voisin
de zéro, et supposons qu’il n’y ait que deux degrés de liberté.
Nous n’avons plus alors que deux arguments
et
et nos séries procèdent suivant les puissances de et de et
suivant les sinus et les cosinus des multiples de Comme les
arguments et sont des fonctions linéaires du temps, nos
séries procèdent suivant les puissances de et d’une exponentielle
dont l’exposant est proportionnel au temps, les coefficients
des divers termes étant des fonctions périodiques du temps. Elles
ne diffèrent donc pas des séries qui ont été étudiées dans le
Chapitre VII
et qui définissent les solutions asymptotiques.
Il résulte de là une conséquence que le Chapitre VII met en évidence.
Si les séries restent ordonnées suivant les puissances de et
de l’exponentielle, elles ne convergent pas, et n’ont de valeur qu’au
point de vue du calcul formel. Si on les ordonne par rapport aux
puissances croissantes de l’exponentielle seule (en réunissant par
conséquent en un seul tous les termes qui contiennent une même
puissance de l’exponentielle, mais des puissances différentes de ),
elles deviennent convergentes. Si, au contraire, on faisait cette
opération dans le cas où il y a plus de deux degrés de liberté, les
séries ne deviendraient pas convergentes.
217.Au début du no 215, j’ai fait certaines hypothèses au sujet
de la fonction j’ai supposé que l’on avait
pour
J’ai ajouté que, si la fonction ne satisfait pas à ces conditions,
il suffit de faire le changement de variables des nos 208 et 210.
Supposons donc que la fonction ne satisfasse pas à ces conditions.
Soient et les anciennes variables, faisons le changement
de variables du no 210 et soient et les nouvelles
variables. On aura
(1)
|
|
|
(Cf. p. 381.)
Avec les nouvelles variables, les conclusions des deux derniers
numéros sont applicables et, par conséquent,
peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances
de et des cosinus et sinus des multiples de
et dont les coefficients sont des fonctions uniformes de ces
fonctions uniformes sont développables suivant les puissances
de si est négatif et suffisamment grand et suivant celles
de si est suffisamment grand.
Des relations (1) qui lient les et aux et il est donc
permis de conclure que
sont encore développables en séries de la même forme.
La seule différence, c’est que pour et se
réduisent à 0 ; tandis que et ne s’annulent pas.
Quand on fait d’où on trouve
(2)
|
|
|
et représentant des séries ordonnées suivant les puissances
de et les lignes trigonométriques des multiples de
En éliminant entre les relations (2) on doit retrouver
c’est-à-dire les relations du no 209. S’il n’y a que deux degrés de
liberté, les relations (2) représentent tout simplement une solution
périodique (Cf. no 208).
Si nous faisons
d’où
il vient de même
Les séries étudiées dans ce Chapitre pourraient être obtenues
directement par des procédés analogues à ceux des Chapitres XIV
et XV. Malgré l’intérêt que présenterait cette question, je ne puis
m’y appesantir, cela m’entraînerait trop loin. Je me bornerai à
rappeler que, par le changement de variables du no 206, on est
ramené au problème du no 134, auquel les procédés des
Chapitres XIV et XV sont directement applicables.
Comparaison avec les séries du no 127.
218.Nous avons vu au no 211 comment les séries des nos 204 et
suivants pouvaient se déduire de celles du no 125. Je me propose
de rechercher de même comment les séries du présent Chapitre
peuvent se déduire de celles du no 127.
Commençons d’abord par traiter le cas le plus simple, celui du
no 199. Dans ce cas, nos équations peuvent s’écrire (en supprimant
l’indice 1 devenu inutile)
(1)
|
|
|
désignant la période réelle de l’intégrale du second membre.
Ces équations nous permettent de calculer et en fonctions de
l’argument de la constante et de
Si nous supposons d’abord que soit très petit par rapport à nous pourrons développer suivant les puissances croissantes de
et nous obtiendrons les séries du no 127 ; si, au contraire, est
comparable à nous poserons et nous retomberons sur
les séries étudiées dans le présent Chapitre.
Voyons la chose d’un peu plus près. Les équations (1) prouvent
que et sont des fonctions doublement périodiques
de ou ce qui revient au même de Soient et les deux
périodes (en considérant comme la variable indépendante).
Par exemple, sera égale à l’intégrale du second membre prise
entre et et sera égale à deux fois cette intégrale prise
entre De plus, quand augmente de ne change
pas et quand augmente de augmente de
Si est réel, et on doit prendre Alors et
sont des fonctions périodiques de de période Si
est petit par rapport à on peut développer suivant les puissances
de (ce qui conduit aux séries du no 127) et chacun des
termes sera périodique de période par rapport à
Mais si est du même ordre de grandeur que et que l’on
pose il arrive que, pour une même valeur de la
période et le coefficient sont proportionnels à si alors
nous posons
les équations (1) deviennent
(1 bis)
|
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|
La seconde de ces équations ne dépend plus de Nous tirerons
de là et en séries développées suivant les sinus et les
cosinus des multiples de dépendant de mais indépendantes
de Ce sont les séries du présent Chapitre.
Les séries obtenues d’abord, développées suivant les puissances de et analogues à celles du no 127, étaient, comme il est aisé de
le voir, de la forme suivante
(2)
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|
|
les et les ne dépendant ni de ni de et étant périodiques
de période par rapport à
Si l’on fait ensuite et comme je l’avais annoncé,
ne dépendent plus que de et non plus de
Ainsi, pour passer des séries du no 127 à celles de ce Chapitre,
on fera et on ordonnera ensuite de nouveau suivant les
puissances croissantes de Dans le cas particulier qui nous
occupe, les nouveaux développements ainsi obtenus se réduisent
à un seul terme, puisque ne contient que des termes en et
des termes indépendants de
Tant que est plus grand que 1, est réel, et sont
périodiques de période par rapport à Mais, si est plus
petit que 1, devient imaginaire et c’est qui est réel ; il faut
donc prendre alors et (et non plus ) sont périodiques
de période par rapport à
Si nous considérons comme la variable indépendante, il y a
donc une discontinuité qui tient à ce que la définition de change
quand passe d’une valeur plus grande que 1 à une valeur plus
petite que 1. Cet inconvénient sera évité si l’on prend pour
variable indépendante.
Et en effet, si l’on exprime et en fonctions de et de
les expressions que l’on obtient pour sont la continuation
analytique de celles que l’on obtient pour
Partant donc des séries (2), c’est-à-dire des séries du no 127 et
y faisant il vient
(2 bis)
|
|
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Ces séries sont convergentes si est suffisamment grand ; dans
ce cas il suffit de les sommer ; quand elles deviennent divergentes,
on peut néanmoins prolonger les fonctions et par continuité
analytique ; et il arrive qu’en poursuivant ainsi jusqu’à des valeurs
de plus petite que 1, la forme de ces fonctions est complètement
modifiée, parce que la période réelle devient imaginaire et
inversement.
C’est donc la double périodicité qui explique les cas si différents
que nous avons rencontrés dans cette étude ; la période qui est
réelle dans le cas ordinaire est imaginaire dans le cas de la libration
et inversement. Dans le cas limite, une des périodes devient
infinie.
Mais on peut se demander comment ces résultats peuvent
s’étendre au cas où étant une fonction
quelconque dépendant de seulement et périodique en les
équations (1) deviennent alors
(1 ter)
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Soit le maximum de
On est dans le cas ordinaire si
et, dans le cas de la libration, si
Mais ici et ne sont plus des fonctions elliptiques
de Elles ne sont donc plus uniformes et doublement périodiques
pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de (bien
que, bien entendu, elles restent uniformes pour toutes les valeurs
réelles de ).
Les résultats précédents subsistent néanmoins.
Il suffit de nous restreindre à un domaine tel que la partie
imaginaire de soit suffisamment petite et que d’autre part soit
suffisamment voisin de
Si alors l’on regarde et comme des fonctions de
et de ou de et de ces fonctions sont uniformes
et doublement périodiques pourvu qu’on ne sorte pas du domaine
l’une des périodes est égale à l’intégrale du second
membre (1 ter) prise entre 0 et et l’autre à deux fois cette
même intégrale prise entre deux valeurs de qui rendent
égal à
Cela suffit pour que les circonstances du passage du cas ordinaire
à celui de la libration soient les mêmes que dans le cas particulier
que nous avons étudié d’abord.
Pour étendre plus facilement ces résultats au cas général, il
peut y avoir lieu d’introduire le moyen mouvement que j’appellerai
ici simplement puisque j’ai supprimé partout l’indice 1
devenu inutile.
Il vient alors, d’après les principes du no 3,
D’autre part, si l’on développe suivant les puissances de
comme nous l’avons fait dans ce qui précède, de telle sorte que
il viendra, pour
d’où
Nous pouvons donc prendre pour variables et au lieu de
et
Alors les séries (2) procéderont suivant les puissances de et
de ce qui les rend analogues aux séries envisagées au no 201,
qui contenaient des termes en
Passons enfin au cas général.
Envisageons les séries du no 127 ; elles exprimeront les
variables et en fonctions des arguments
et de constantes d’intégration. Nous choisirons par exemple
pour ces constantes d’intégration les quantités que nous avons
appelées
Dans nos séries qui procèdent suivant les puissances entières
de figurent en dénominateurs les petits diviseurs
Supposons maintenant que l’un de ces petits diviseurs devienne
très petit ; et, par exemple, supposons que ce soit (car, si c’en
était un autre, on n’aurait qu’à faire le changement de variables
du no 202). Voyons d’abord quel est l’exposant maximum de
au dénominateur de chacun des termes de nos séries.
D’après ce que nous avons vu aux nos 201 et 211, le développement
de ne contient que des termes en
où
Si nous formons ensuite les équations
on ne trouvera non plus dans la dérivée que des termes en
mais dans la dérivée s’introduiront en outre des termes en
c’est-à-dire des termes en
Des équations
nous tirerons alors les en fonctions des et des ou, si l’on
préfère, en fonctions des et des constantes d’intégration,
On voit d’après cela que le développement des ne contiendra
que des termes en
Substituons ensuite les valeurs de ainsi obtenues dans les équations
(3)
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Avant la substitution, le second membre de (3) ne contient que
des termes en
Soit
un de ces termes, ne devenant pas infini pour Après
la substitution il vient
ne devenant pas infini pour
Le terme général du second membre de (3), après la substitution,
sera donc de la forme
et il est clair que
La conclusion générale de tout ceci, c’est que dans les développements
du no 127, les expressions des ne contiennent que des termes en
et celles des que des termes en
où
Cela posé, supposons que soit très petit et du même ordre de
grandeur que Posons alors
les α étant de nouvelles constantes. C’est ce que nous avons fait
au no 211. On peut, par exemple, poser tout simplement
Après cette substitution, un terme en
n’est plus d’ordre en mais d’ordre
Groupons ensuite ceux des termes de nos séries qui sont devenus
ainsi du même ordre en Chacun des groupes ainsi obtenus
formera une série partielle ; et la série totale sera la somme de
toutes ces séries partielles.
Pour obtenir les séries du présent Chapitre, il suffit de faire
la somme de chacune de ces séries partielles.
Si est assez grand, les séries partielles sont convergentes
(les séries totales restant bien entendu divergentes et n’ayant de
valeur qu’au point de vue du calcul formel). Mais, si est trop
petit pour que les séries partielles convergent, on peut néanmoins
poursuivre par continuité analytique, cela est aisé à comprendre.
C’est ainsi que la fonction
définie par la série
continue à exister après que la série a cessé de converger.
Considérons donc la somme d’une de ces séries partielles. Cette
somme sera d’abord périodique de période en
de plus, ce sera une fonction d’un autre argument uniforme
pour les valeurs réelles de cet argument, et pour les valeurs dont
la partie imaginaire est suffisamment petite ; ou, en d’autres termes,
tant que l’argument reste à l’intérieur d’un certain domaine
comprenant l’axe des quantités réelles tout entier. Quand varie
entre certaines limites, cette fonction est, à l’intérieur de ce domaine,
uniforme et doublement périodique ; l’une des périodes
est réelle, l’autre imaginaire ; pour une certaine valeur de l’une
des périodes devient infinie ; puis la période réelle devient imaginaire
et inversement.
C’est ainsi que s’effectue le passage du cas ordinaire à celui de
la libration.