Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.20

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 394-426).

CHAPITRE XX.

SÉRIES DE M. BOHLIN.

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213.Dans le Chapitre précédent, nous avons montré comment on pouvait construire la fonction $\mathrm {S} \,;$ pour en déduire les coordonnées en fonctions du temps, il suffit d’appliquer la méthode de Jacobi.

Supposons, pour simplifier un peu, que l’entier que nous avons appelé $m_{1}$ soit égal à 1 et que les autres entiers $m_{i}$ soient nuls ; c’est ce que nous avons fait dans les n^os 205 et 206, et nous savons qu’on peut ramener le cas général à ce cas particulier par le changement de variables (3) de la page 339.

La fonction $\mathrm {S} ,$ définie dans les n^os 204 et suivants, dépend des $n$ variables $y_{i}\,;$ elle contient de plus $n$ constantes arbitraires $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0},$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}$ et $\mathrm {C} _{2}$ ; d’autres constantes pourraient s’introduire dans nos calculs ; à savoir $x_{1}^{0},$ les $\mathrm {C} _{p},$ les $\alpha _{i}^{p}\,;$ mais nous supposerons :

1^o Que $x_{1}^{0}$ est lié aux autres $x_{i}^{0}$ par la relation (4) de la page 344 ;

2^o Que les $\alpha _{i}^{p}$ satisfont à la condition (10) de la page 349 ;

3^o Que les $\mathrm {C} _{p}$ sont exprimés d’une manière quelconque, d’ailleurs arbitraire jusqu’à nouvel ordre, en fonctions des autres constantes.

Ainsi $\mathrm {S}$ sera fonction de

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n}\,;\qquad \mathrm {C} _{2},\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

Posons alors

(1)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\,;&w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}\,;&w_{k}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}\end{aligned}}$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;\;k=2,\,3,\,\ldots ,\,n).$

On tirera de là les $x_{i}$ et les $y_{i}$ en fonctions des $w,$ des $x_{k}^{0}$ et de $\mathrm {C} _{2},$ et si, dans les expressions ainsi obtenues, on considère les $x_{k}^{0}$ et les $\mathrm {C} _{2}$ comme constantes arbitraires et les $w$ comme des fonctions linéaires du temps, on aura les coordonnées $x_{i}$ et $y_{i}$ exprimées en fonctions du temps. C’est ce que nous apprend le théorème du n^o 3.

Mais il est préférable de modifier un peu la forme des équations (1) et d’écrire

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&\theta _{1}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}},&w_{k}+\theta _{k}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}},\end{aligned}}$

les $\theta$ étant des fonctions arbitraires de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}.$

Il est clair que si l’on remplace les équations (1) par les équations (2), les $w$ resteront des fonctions linéaires du temps ; car les $\theta$ ne dépendant que de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}$ seront des constantes.

Voici d’ailleurs l’usage que je ferai de ces fonctions arbitraires $\theta \,;$ je les choisirai de telle sorte que les $x_{i},$ les $\cos {}y_{i}$ et les $\sin {}y_{i}$ soient des fonctions périodiques des $w$ de période $2\pi .$

Plaçons-nous d’abord dans le premier cas, celui où ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ est toujours réel et ne s’annule jamais et voyons quelle est la forme des séries ainsi obtenues.

Dans ce cas, les ${\frac {d\mathrm {S} _{q}}{dy_{i}}}$ sont des fonctions des $y$ périodiques et de période $2\pi \,;$ quant à $\mathrm {S} ,$ c’est une fonction de la forme suivante

$\mathrm {S} =\mathrm {S} '+\beta _{1}y_{1}+\beta _{2}y_{2}+\ldots +\beta _{n}y_{n},$

$\mathrm {S} '$ étant une fonction périodique des $y$ et les $\beta$ étant des fonctions de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}.$

De plus, $\mathrm {S} '$ et les $\beta$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Comme, d’après les hypothèses faites sur les entiers $m_{i},$ les conditions (10) de la page 349 se réduisent à

$\alpha _{i}^{p}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),$

on aura tout simplement

${\begin{aligned}\beta _{2}&=x_{2}^{0},&\beta _{3}&=x_{3}^{0},&&\ldots ,&\beta _{n}&=x_{n}^{0},&\end{aligned}}$

Si l’on développe $\beta _{1}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ le premier terme se réduit de même à $x_{1}^{0}.$

Je veux que quand

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}$

se changent en

$w_{1}+2k_{1}\pi ,\quad w_{2}+2k_{2}\pi ,\quad \ldots ,\quad w_{n}+2k_{n}\pi$

les $k_{i}$ étant des entiers, les $x_{i}$ et les $y_{i}$ se changent en

$x_{i}$et$y_{i}+2k_{i}\pi .$

J’obtiendrai ce résultat en faisant

${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {d\beta _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}}\,;&\theta _{k}&={\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Il en résulte que $\theta _{1}$ et les $\theta _{k}$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ Pour $\mu =0,$ $\beta _{1}$ se réduit à $x_{1}^{0}\,;$ or $x_{1}^{0}$ est lié aux autres $x_{k}^{0}$ par la relation (4) de la page 344 qui, dans le cas qui nous occupe, se réduit à

$n_{1}^{0}=0.$

Donc, pour $\mu =0,$ $\theta _{1}$ et $\theta _{k}$ se réduisent à

${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {dx_{1}^{0}}{d\mathrm {C} _{2}}}=0,&\theta _{k}&={\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}.\end{aligned}}$

Des équations (2) on tirera alors les $y_{i}$ puis les $x_{i}$ sous la forme de fonctions des $w,$ des $x_{0}^{k},$ de $\mathrm {C} _{2}$ et de $\mu$ développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ pour $\mu =0,$ la première et la troisième équation (2) deviennent

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&w_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,w_{k}&=y_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,y_{k}\,;\end{aligned}}$

quant à la seconde, elle se réduirait à $0=0\,;$ mais, si on la divise par ${\sqrt {\mu }}$ et qu’on fasse ensuite $\mu =0,$ elle devient

$\theta _{1}'w_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}},$

$\theta _{1}'{\sqrt {\mu }}$ étant le premier terme du développement de $\theta _{1}.$ Si nous reprenons les notations du Chapitre précédent, nous pouvons écrire

$\theta _{1}'w_{1}={\frac {d}{d\mathrm {C} _{2}}}\int {\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{\mathrm {A} }}}\,dy_{1}={\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}\cdot$

Le second membre peut se développer sous la forme suivante

$\gamma y_{1}+\psi (y_{1}),$

$\gamma$ étant une constante dépendant de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}$ et $\psi$ une fonction périodique.

Nous déterminerons $\theta _{1}'$ conformément à la convention faite plus haut en faisant

$\theta _{1}'=\gamma ,$

d’où

$\gamma (w_{1}-y_{1})=\psi .$

D’autre part, il vient

${\frac {dw_{1}}{dy_{1}}}={\frac {1}{2\gamma {\sqrt {\mathrm {A} }}}}{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}={\frac {1}{2\gamma \mathrm {A} {\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\cdot$

Comme ${\frac {d\mathrm {S} _{i}}{dy_{1}}}$ est toujours de même signe, ${\frac {dw_{1}}{dy_{1}}}$ sera toujours positif, de sorte que $w_{1}$ sera une fonction de $y_{1}$ toujours croissante et qui augmente de $2\pi$ quand $y_{1}$ augmente de $2\pi .$

Il en résulte inversement que $y_{1}$ est une fonction de $w_{1}$ toujours croissante et qui augmente de $2\pi$ quand $y_{1}$ augmente de $2\pi .$

Nous pouvons donc écrire

$y_{1}=w_{1}+\eta ,$

$\eta$ étant une fonction de $w_{1}$ de période $2\pi .$

Si donc nous ne supposons plus $\mu =0,$ les premiers termes du développement de

$x_{i},\quad y_{1},\quad y_{k}$

seront respectivement

$x_{i}^{0},\quad w_{1}+\eta ,\quad w_{k}-{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,\eta .$

Les termes suivants seront périodiques par rapport aux $w,$ de sorte que les $x_{i}$ et les $y_{i}-w_{i}$ seront des fonctions périodiques des $w_{i}.$

Nous avons vu que les $w$ doivent être des fonctions linéaires du temps de sorte que

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

les $\varpi _{i}$ étant des constantes d’intégration arbitraires.

Il nous reste à déterminer les $n_{i}.$

Pour cela reprenons l’équation (2) de la page 343 ; le second membre $\mathrm {C}$ est égal à

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\mathrm {C} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .$

$\mathrm {C} _{0}$ est une fonction des $x_{k}^{0}\,;$ $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ sont des fonctions de $C_{2}$ et des $x_{k}^{0}$ que nous avons choisies arbitrairement, mais une fois pour toutes.

Il en résulte que $\mathrm {C}$ est une fonction de nos constantes $\mathrm {C} _{2}$ et $x_{k}^{0}.$

Maintenant la méthode de Jacobi nous apprend que l’on a

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\theta _{1}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {C} _{2}}},\\n_{k}+\theta _{k}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Comme les $\theta$ et $\mathrm {C}$ sont donnés en fonctions de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0},$ ces équations nous donneront les $n_{i}$ en fonctions de ces mêmes variables.

J’observe d’abord que $\mathrm {C}$ et les $\theta$ étant développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ il doit en être de même des $n_{i}.$

Le premier terme du développement de $\theta _{1}$ est $\gamma {\sqrt {\mu }}\,;$ le premier terme du développement de ${\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {C} _{2}}}$ est $\mu \,;$ le premier terme du développement de $n_{1}$ sera

${\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma }},$

de sorte que $n_{1}$ s’annule pour $\mu =0,$ comme on devait s’y attendre ; au contraire, pour $\mu =0,$ la seconde équation (3) nous donne

$n_{k}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}=n_{k}^{0}.$

Le premier terme du développement de $n_{k}$ est donc $n_{k}^{0}.$

Cas de la libration.

214.Passons au second cas, celui où ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ peut s’annuler et n’est pas toujours réel.

Voyons d’abord, ce qui nous sera d’ailleurs surtout utile dans le numéro suivant, quelle est alors la forme de la fonction $\mathrm {S} ;$ je dis que les dérivées

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}}$

seront de la forme

(α)

$\sum {\frac {\mathrm {A} }{\left({\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{q}}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{2}y_{2}+p_{3}y_{3}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),$

$q,\,p_{2},\,p_{3}\,\ldots ,\,p_{n}$ étant des entiers et $\mathrm {A}$ une fonction périodique de $y_{1}$ ne devenant pas infinie.

Il est clair d’abord :

1^o Que la somme ou le produit de deux fonctions de la forme (α) sera encore de la forme (α) ;

2^o Que la dérivée d’une fonction de la forme (α) soit par rapport à $y_{1},$ soit par rapport à $y_{2},$ $y_{3},\,\ldots$ ou $y_{n},$ sera encore de la forme (α).

Supposons donc que les dérivées

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{i}}}$

soient toutes de la forme (α) et cherchons à démontrer qu’il en sera encore de même des ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\cdot$

En effet, ces dérivées nous seront données par une équation de la forme

(β)

$\sum _{k=2}^{k=n}n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{k}}}=\Phi ,$

$\Phi$ étant une combinaison de fonctions de la forme (α) sera encore de la même forme. On déduira de cette équation

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]},$

et l’on voit que toutes ces fonctions sont de la forme (α).

Il vient ensuite

(γ)

${\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}={\big [}\Phi {\big ]},$

${\big [}\Phi {\big ]}$ étant de la forme (α) ; il en sera de même de ${\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}$ et par conséquent de ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}\cdot$

C.Q.F.D.

Malgré la complication de la forme de $\mathrm {S} ,$ on pourrait former directement les équations (2) du numéro précédent et en tirer les $x$ et les $y$ en fonctions des $w\,;$ mais il est plus simple d’opérer autrement.

Nous avons vu en effet au n^o 206 qu’en faisant un changement de variables et en passant des variables $x_{i}$ et $y_{i}$ aux variables $u_{1}$ $v_{1},$ $x_{k}'$ et $z_{k},$ on arrive à des équations qui sont tout à fait de même forme que celles du n^o 134. Les conclusions de ce numéro sont donc applicables, ainsi que tout ce que nous avons dit dans les Chapitres XIV et XV au sujet du problème du n^o 134.

Il en résulte qu’on peut résoudre ces équations en égalant $u_{1},$ $v_{1}$ les $x_{i}'$ et $z_{i}$ à des fonctions de $n$ constantes d’intégration et de $n$ fonctions linéaires du temps

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

Et cela de telle sorte que

$u_{1},\quad v_{1}-w_{1},\quad x_{k}'$et$z_{k}-w_{k}$

soient fonctions périodiques des $w,$ développables d’ailleurs suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Revenant ensuite aux variables primitives nous voyons que

$x_{i},\quad y_{1}$et$y_{k}-w_{k},\quad (k>1)$

sont fonctions périodiques des $w.$

On aura d’ailleurs

$w_{i}=n_{i}v+\varpi _{i},$

les $\varpi _{i}$ étant des constantes d’intégration et les $n_{i}$ étant développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Le premier terme du développement de $n_{i}$ est $n_{i}^{0}$ et comme $n_{1}^{0}$ est nul, le développement de $n_{1}$ commence par un terme en ${\sqrt {\mu }}.$

Toutes ces séries se déduisent de la fonction $\mathrm {V}$ définie au n^o 206.

Cette fonction $\mathrm {V}$ dépend elle-même des variables de la deuxième série

$v_{1},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{n},$

et en outre de $n$ constantes d’intégration

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \lambda _{3},\quad \ldots ,\quad \lambda _{n},$

et cela de telle sorte que

$\mathrm {V} -\lambda _{1}v_{1}-\lambda _{2}z_{2}-\lambda _{3}z_{3}-\ldots -\lambda _{n}z_{n},$

soit une fonction périodique de $v_{1}$ et des $z_{k}.$

On trouvera ensuite les variables $u_{1},$ $v_{1},$ $x_{k}'$ et $z_{k}$ en fonctions des $\lambda$ et des $w$ à l’aide des équations

(4)

${\begin{aligned}u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{k}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{k}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

La manière de déduire les équations (4) des équations (2) du numéro précédent est assez compliquée pour que j’y insiste un peu.

Nous avons

$d\mathrm {V} =u_{1}\,dv_{1}+{\textstyle \sum }\,x_{k}'\,dz_{k}+{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{1}.$

Il demeure convenu que l’indice $k$ varie de 2 à $n$ et l’indice $i$ de 1 à $n.$

D’autre part,

$d\mathrm {T} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,z_{i}\,dx_{i}'$

et

$v_{1}\,du_{1}=z_{1}\,dx_{1}',$

d’où

$d\mathrm {T} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,z_{k}\,dx_{k}'+{\sqrt {\mu }}\,v_{1}\,du_{1}.$

Si nous posons

(5)

$\mathrm {S} =\mathrm {V} {\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} -{\sqrt {\mu }}\,\left({\textstyle \sum }\,z_{k}x_{k}'+u_{1}v_{1}\right),$

il viendra, par un calcul facile,

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{i},$

de sorte que, si nous exprimons $S$ en fonction des $y_{i}$ et des $\lambda _{i},$ nous aurons

(6)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}{\sqrt {\mu }}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Ces changements continuels de variables pouvant engendrer quelque confusion, j’insiste un peu :

$\mathrm {V}$ est exprimé en fonction de $v_{1},$ $z_{k},$ $\lambda _{i}.$

$\mathrm {T}$ est exprimé en fonction de $u_{1},$ $x_{k}',$ $y_{i}.$

$\mathrm {S}$ est exprimé en fonction de $\lambda _{i}$ et $y_{i}.$

Nous avons donc $6n$ variables, à savoir

$x_{i},\quad y_{i},\quad u_{1},\quad v_{1},\quad x_{k}',\quad z_{k},\quad \lambda _{i},\quad w_{i}.$

Mais ces variables étant liées par les $4n$ relations

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}},&{\sqrt {\mu }}\,z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{k}'}},&{\sqrt {\mu }}\,v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{du_{1}}},\\[0.75ex]u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{k}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{k}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda _{i}}},\end{aligned}}$

il n’y a en réalité que $2n$ variables indépendantes, ce qui nous permet d’exprimer chacune de nos fonctions $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {T}$ par le moyen de $2n$ variables convenablement choisies.

La fonction $\mathrm {V}$ jouit de la propriété caractéristique suivante :

Quand l’un des $z_{k}$ augmente de $2\pi ,$ les autres variables $v_{1},$ $z$ et $\lambda$ ne changent pas, $\mathrm {V}$ augmente de $2\pi \lambda _{k}.$

Nous savons en effet que les dérivées de $\mathrm {V}$ par rapport à $v_{1}$ et aux $z_{k}$ sont périodiques par rapport à ces variables.

Or quand $z_{k}$ se change ainsi en $z_{k}+2\pi ,$ les autres $z,$ $v_{1}$ et $\lambda$ ne changent pas ; qu’arrive-t-il ?

Les dérivées de $\mathrm {V}$ étant périodiques, ainsi que je viens de le dire, $u_{1}$ et les $x_{k}'$ ne changeront pas.

Pour voir ce que deviendront les $y_{i},$ nous nous servirons des équations

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\,z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{k}'}},&{\sqrt {\mu }}\,v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{du_{1}}}\cdot \end{aligned}}$

Ces équations, qui ne sont autre chose que les équations (16) du n^o 206, montrent que, si $z_{k}$ augmente de $2\pi ,$ $y_{k}$ augmente de $2\pi ,$ pendant que les autres $y_{i}$ ne changent pas.

Dans les mêmes conditions $\mathrm {T}$ augmente de $2\pi \left(x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,x_{k}'\right),$ $z_{k}x_{k}'$ augmente de $2\pi x_{k}',$ et par conséquent $\mathrm {S}$ de

$2\pi \left(x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}\right).$

Il résulte de là que les dérivées de $\mathrm {S}$ par rapport aux $y$ sont périodiques par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

La fonction $\mathrm {S}$ définie par l’équation (5) jouit donc de la propriété caractéristique des fonctions étudiées aux n^os 204, 205 et 207.

Elle en diffère toutefois par un point important.

La fonction $\mathrm {S}$ du numéro précédent dépend non seulement des variables $y_{i},$ mais de $n$ constantes

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},\quad \mathrm {C} _{2}.$

D’ailleurs l’analyse des n^os 204 et 205 prouve que l’on peut en déduire toutes les fonctions $\mathrm {S}$ dont les dérivées sont périodiques, en remplaçant ces $n$ constantes par des fonctions arbitraires de $n$ autres constantes.

La fonction $\mathrm {S}$ définie par l’équation (5) dépend des variables $y_{i}$ des $n$ constantes $\lambda _{i}\,;$ mais elle dépend en outre des constantes $x_{i}^{0},$ car les $x_{i}^{0}$ figurent dans la fonction $\mathrm {T}$ et, par conséquent, dans le changement de variables du n^o 206 ; seulement dans le n^o 206, ainsi que dans le calcul qui précède, nous avons traité les $x_{i}^{0}$ comme des constantes absolues ; c’est pour cette raison que les différentielles $d\lambda _{i}$ figurent dans l’expression de $d\mathrm {V} ,$ tandis que les différentielles $dx_{i}^{0}$ n’y figurent pas.

J’observe en outre que, quand $y_{k}$ augmente de $2\pi ,$ la fonction $\mathrm {S}$ du numéro précédent augmente de $2\pi x_{k}^{0},$ tandis que celle qui est définie par l’équation (5) augmente de $2\pi \left(x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}\right).$

J’en conclus que l’on obtiendra la fonction $\mathrm {S}$ déduite de l’équation (5) en remplaçant dans celle du numéro précédent les constantes $x_{k}^{0}$ par $x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}$ et la constante $\mathrm {C} _{2}$ par une certaine fonction

$\varphi (x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{n}).$

Comparons maintenant les équations (2) et les équations (6). On trouve

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{1}}}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{1}}},\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{k}}}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}},\end{aligned}}$

d’où, en tenant compte des équations (2) et (6),

${\begin{aligned}w_{1}{\sqrt {\mu }}&=\theta _{1}w_{1}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{1}}},\\w_{k}{\sqrt {\mu }}&=\theta _{1}w_{1}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}+{\sqrt {\mu }}(w_{k}+\theta _{k}w_{1}),\end{aligned}}$

d’où

(7)

${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {\mu }{\left({\dfrac {d\varphi }{d\lambda _{1}}}\right)}},&\theta _{k}&=-{\frac {\left({\dfrac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}\right)}{\left({\dfrac {d\varphi }{d\lambda _{1}}}\right)}}\cdot \end{aligned}}$

On passera donc des équations (2) aux équations (6) en remplaçant les $x_{k}^{0}$ et $\mathrm {C} _{2}$ par $x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}$ et $\varphi$ et les $\theta$ par leurs valeurs (7).

Cas limite.

215.Passons enfin au cas limite, celui où $\mathrm {C} _{2}$ est égal au maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.$

J’observe d’abord que nous pouvons toujours supposer que, pour

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0,$

on a

$\mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0,$

et que, par conséquent, le développement de $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ suivant les puissances de $x_{1},$ des $x_{i}$ et de $y_{1}$ ne contient ni terme de degré zéro, ni d’autre terme du premier degré que des termes en $x_{2},$ $x_{3},$ $\ldots ,\,x_{n}.$

Si, en effet, cela n’était pas, on ferait le changement de variables des n^os 208 et 210 et on serait ramené au cas où cette supposition est vraie.

Il résulte de là que, si l’on donne aux constantes arbitraires les valeurs suivantes

${\begin{alignedat}{3}x_{2}^{0}&=x_{3}^{0}&=\ldots &=x_{n}^{0}&&=0\quad (\mathrm {d'o{\grave {u}}} \;x_{1}^{0}=\mathrm {C} _{2}=0),\\\mathrm {C} _{2}^{0}&=\mathrm {C} _{4}^{0}&=\ldots &=\mathrm {C} _{6}^{0}&&=0,\end{alignedat}}$

on se trouve précisément dans le cas limite et que la fonction $\mathrm {S}$ est. telle que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ ont un zéro simple et les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\;(i>1)$ un zéro double pour $y_{1}=0.$ Il suffit pour s’en convaincre de se rappeler que, dans le calcul des n^os 208 et 210, on est conduit après le changement de variables à des équations tout à fait analogues aux équations (3) du n^o 204 et qui n’en diffèrent que parce que les lettres y sont accentuées et que les constantes $\mathrm {C} _{p}$ sont toutes nulles (Cf. p. 371).

Donnons maintenant aux constantes $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0},$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}$ d’autres valeurs voisines de 0. On pourra encore choisir $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots ,$ de telle façon que $\mathrm {C} _{2}$ soit égal au maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ et que, les conditions (28) du n^o 207 étant remplies, les fonctions $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,\,\mathrm {S} _{p}$ restent finies.

Les valeurs de $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ qui satisfont à ces conditions seront des fonctions holomorphes de $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0},$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}$ de sorte que

$\mathrm {C} _{p}=\varphi _{p}\left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right).$

Ces fonctions, d’après ce que nous venons de voir, devront s’annuler pour

$x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0.$

Nous avons ainsi défini une fonction $\mathrm {S}$ dépendant de $n-1$ constantes arbitraires

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

Cette fonction est de la forme

(8)

$\mathrm {S} =\beta _{1}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n}+\mathrm {S} ',$

$\beta _{1}$ étant une constante et $\mathrm {S} '$ étant développable suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Cette fonction est d’ailleurs holomorphe par rapport aux $x_{k}^{0}$ et, quand on y fait

$x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0,$

la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ admet un zéro simple pour $y_{1}=0$ et les autres dérivées ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ admettent un zéro double.

Pour obtenir une fonction $\mathrm {S}$ dépendant de $n$ constantes arbitraires, je ferai

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{0}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{2}&=\lambda +\varphi _{2}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{4}&=\varphi _{4}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{6}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

J’aurai ainsi une fonction $\mathrm {S}$ contenant les $n$ constantes

$\lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

D’après ce que nous avons vu au commencement du numéro précédent, les dérivées de cette fonction $\mathrm {S}$ seront de la forme (α).

Mais il y a plus ; soit

${\frac {\mathrm {A} }{\left({\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{2}y_{2}+p_{3}y_{3}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),$

un terme d’une de ces dérivées mises sous la forme (α) ; je dis que le numérateur $\mathrm {A}$ ne dépend pas de $\lambda .$

Cela tient à ce que les constantes $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ ne dépendent pas de $\lambda .$

Pour démontrer le point en question, convenons, pour abréger le langage, de dire qu’une expression est de la forme (α′) lorsqu’elle est de la forme (α) et que de plus les numérateurs $\mathrm {A}$ sont indépendants de $\lambda .$

Supposons que

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{i}}}$

soient de la forme (α′), je dis qu’il en sera de même de ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\cdot$

En effet, dans l’équation (β) du numéro précédent, le second membre sera de la forme (α′) : il en sera donc encore de même de

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]}.$

Je dis qu’il en sera encore de même de

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}-{\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}},$

c’est-à-dire que la dérivée par rapport à $y_{1}$ d’une expression de la forme (α′) sera encore de la forme (α′), Soit, en effet,

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\left(\omega \right)$

cette expression où j’ai mis $\omega$ pour abréger à la place de

$p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n}.$

Sa dérivée est

(9)

$\;\sum {\frac {d\mathrm {A} }{dy_{1}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\!\left(\omega \right)-\sum {\frac {q}{2}}\mathrm {A} {\frac {d}{dy_{1}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q-2}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\!\left(\omega \right).$

Si $\mathrm {A}$ est indépendant de $\lambda ,$ il en sera de même de ${\frac {d\mathrm {A} }{dy_{1}}}\cdot$ D’autre part, $\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}$ est égal, à un facteur constant près, à

$\lambda +\varphi _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.$

Sa dérivée

${\frac {d}{dy_{1}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}$

est donc indépendante de $\lambda ,$ de sorte que l’expression (9) est de la forme (α′).

C.Q.F.D.

Alors dans l’équation (γ) du numéro précédent, le second membre est de la forme (α′). Il en est donc de même de

${\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}$et de${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}\cdot$

C.Q.F.D.

La fonction $\mathrm {S}$ va donc être de la forme

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} =&{\textstyle \sum }\,\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\!\left(\omega \right)\\&+\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}\,dy_{1}+x_{2}^{0}+x_{3}^{0}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n}.\end{aligned}}\right.$

Quand dans cette expression on annule les constantes

$\lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},$

$\mathrm {A}$ admet un zéro d’ordre $q+2$ et $\mathrm {A} _{1}$ un zéro d’ordre $q+1$ pour $y_{1}=0\,;$ cela est nécessaire pour que ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{k}}}$ ait un zéro double et ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$un zéro simple.

Cela posé, nous allons avoir à envisager les équations suivantes, analogues aux équations (2)

(2 bis)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\\[0.75ex]\theta _{1}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }},\\[0.75ex]w_{k}+\theta _{k}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Dans ces expressions on devra, après la différentiation, faire

$\lambda =x_{k}^{0}=0.$

Mais on peut aussi, même avant la différentiation, faire

$\lambda =x_{k}^{0}=0$

dans la première équation (2 bis),

$x_{k}^{0}=0$

dans la seconde,

$\lambda =0$

dans la troisième.

L’essentiel est de ne pas annuler avant la différentiation la variable par rapport à laquelle on différentie.

La première équation (2 bis) nous apprend que les $x_{i}$ sont développables suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Considérons maintenant la troisième équation (2 bis) ; si l’on y fait $\lambda =0,$ on voit que $\mathrm {S}$ est de la forme (8) et en différentiant l’équation (8), on trouve

${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},$

d’où

(11)

$w_{1}\theta _{k}+w_{k}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}}\cdot$

Le dernier terme du second membre est développable suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Passons à la deuxième équation (2 bis) ; pour avoir ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}$ je différentie l’équation (10) après avoir fait $x_{k}^{0}=0.$

Il vient alors

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}=\mathrm {D} {\sqrt {\lambda -[\mathrm {F} _{1}]}}$

($\mathrm {D}$ étant une constante) ; car $\varphi _{2}$ devient nul.

On a donc

(12)

$\;{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}=-\!{\sum }^{q}{\frac {\mathrm {AD} ^{2}}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q-2}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\!\left(\omega \right)+\!\int \!{\sum }^{q}{\frac {\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} ^{2}}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q-2}dy_{1}.$

Nous ferons après la différentiation $\lambda =0\,;$ alors, pour $y_{1}=0,$ ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ admet un zéro simple, $\mathrm {A}$ un zéro d’ordre $q+2$ et $\mathrm {A} _{1}$ un zéro d’ordre $q+1.$

Il en résulte que le premier terme du second membre de (12) reste fini, mais que dans le second terme la quantité sous le signe $\textstyle \int$ admet un infini simple pour $y_{1}=2k\pi ,$ de sorte qu’on peut la mettre sous la forme

${\frac {\alpha }{2\sin {\dfrac {y_{1}}{2}}}}+f(y_{1}),$

$f(y_{1})$ étant une fonction finie et périodique.

L’intégrale elle-même devient donc logarithmiquement infinie pour $y_{1}=0,$ $y_{1}=2\pi ,\,\ldots ;$ je veux dire qu’on peut la mettre sous la forme

$\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\psi ,$

$\psi$ étant une fonction de $y_{1}$ qui reste finie pour toutes les valeurs de $y_{1}$ et $\alpha$ une constante.

On a donc

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta ,$

$\gamma$ étant une nouvelle constante et $\Theta$ une fonction développée suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

d’où

(13)

$w_{1}\theta _{1}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta .$

Il s’agit maintenant de se servir des équations (11) et (13) pour trouver les $y$ en fonctions des $w.$

Les seconds membres de ces équations (11) et (13) étant développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ cherchons les premiers termes du développement.

Le terme indépendant de ${\sqrt {\mu }}$ se réduit à zéro dans le second membre de (13) et à

${\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y_{1}+y_{k}$

dans le second membre de (11).

Quant au terme en ${\sqrt {\mu }},$ il doit se réduire dans (11) et dans (13) respectivement à

${\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx_{k}^{0}}}$et${\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\lambda }}\,;$

pour la première de ces quantités je me bornerai à remarquer qu’elle dépend seulement de $y_{1},$ et pas de $y_{2},$ $y_{3},\,\ldots y_{n}.$

Quant à la seconde on trouve, en faisant,

$\lambda =x_{k}^{0}=0,$

après la différentiation

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\lambda }}={\frac {\mathrm {D} }{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {-\mathrm {F} _{1}}}}\cdot$

Cela posé, considérons les seconds membres des équations (11) et (13).

Ce sont $n$ fonctions $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}\,;$ leur déterminant fonctionnel $\Delta$ par rapport à $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}$ est divisible par ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais si on le divise par ${\sqrt {\mu }},$, puis qu’après la division on fasse $\mu =0,$ ce déterminant fonctionnel se réduit à

${\frac {\mathrm {D} }{2{\sqrt {-\mathrm {F} _{1}}}}}\cdot$

Cette expression ne s’annule pour aucun système de valeurs des $y,$ puisque $\mathrm {F} _{1}$ n’est jamais infini.

Si donc $\mu$ est suffisamment petit, $\Delta$ ne s’annule pas.

En revanche, $\Delta$ peut devenir infini ; en effet, les seconds membres des équations (11) et (13) deviennent infinis pour

$y_{1}=2k\pi .$

Il résulte de là que, quand on donnera à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ toutes les valeurs possibles et qu’on fera varier $y_{1}$ de zéro à $2\pi ,$ $\Delta$ ne changera pas de signe.

Nous prendrons pour simplifier

${\begin{aligned}\theta _{1}&=1,&\theta _{k}&=0,\end{aligned}}$

de sorte que les équations (11) et (13) s’écriront

(11)

$w_{k}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},$

(13)

$w_{1}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta .$

À cause de la présence du terme logarithmique, quand $y_{1}$ variera de zéro à $2\pi ,$ $w_{1}$ variera de $-\infty$ à $+\infty .$

Donc, quand, donnant aux $y_{k}$ toutes les valeurs possibles, on fera varier $y_{1}$ de zéro à $2\pi ,$ les $w$ prendront toutes les valeurs possibles. De plus, dans ces conditions, nous avons vu que $\Delta$ ne change pas de signe.

Donc les $y$ sont des fonctions uniformes des $w$ pour toutes les valeurs réelles des $w.$ En effet, on peut, en parlant de (11) et de (13) et en appliquant le théorème du n^o 30, développer les $y$ suivant les puissances de

$w_{1}-h_{1},\quad w_{2}-h_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}-h_{n},$

$h_{1},\,h_{2},\,\ldots ,\,h_{n}$ étant des constantes quelconques, puisque le déterminant fonctionnel ne s’annule jamais.

J’ajoute que

$y_{1},\quad y_{2}-w_{2},\quad y_{3}-w_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}-w_{n}$

sont des fonctions périodiques de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}\,;$

et, en effet, quand $y_{k}$ augmente de $2\pi ,$ $w_{k}$ augmente de $2\pi .$ La première équation (2 bis) nous montre ensuite que les $x_{i}$ sont aussi des fonctions uniformes des $w$ périodiques par rapport à

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

Quand $w_{1}$ tend vers $\pm \infty ,$ $y_{1}$ tend vers zéro ou vers $2\pi \,;$ il faut voir ce que deviennent les équations (11) et (13) quand on y fait, par exemple,

$w_{1}=\infty ,\qquad y_{1}=0.$

L’équation (13) devient illusoire et l’équation (11) s’écrit

$w_{k}=y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}}\cdot$

On tire de là $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ en fonctions des $n-1$ arguments

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

On voit sans peine que $y_{k}-w_{k}$ est périodique par rapport aux $w_{2},$ $w_{3},$ $\ldots ,\,w_{n}.$ Soit donc

$y_{k}=w_{k}+\eta _{k}(w_{2},w_{3},\ldots ,w_{n}).$

Si dans la première équation (2 bis) nous faisons $y_{1}=0,$ elle se réduit à

$x_{i}=0.$

Nous trouvons donc une solution particulière des équations (2 bis) en faisant

(14)

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{i}=y_{1}=0,&y_{k}&=w_{k}+\eta _{k}.\end{aligned}}$

La signification de ces équations (14) est évidente.

Au n^o 209, nous avons trouvé une généralisation des solutions périodiques. Nous avons, en effet, formé les relations invariantes

${\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i}.\end{aligned}}$

Grâce à l’hypothèse que nous avons faite au début du présent numéro, ces relations invariantes se réduisent ici à

$x_{1}=y_{1}=x_{i}=0.$

Nous reconnaissons là les trois premières équations (14).

Ces quatre équations (14) nous fournissent donc, sous une forme nouvelle, la généralisation des solutions périodiques. On voit que les $x_{i},$ $y_{1}$ et les $y_{k}-w_{k}$ sont exprimés en fonctions périodiques de $n-1$ arguments de la forme

$w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k}.$

Dans le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté, il ne reste plus qu’un seul argument $w_{2}.$

Alors $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1}$ et $y_{2}-w_{2}$ sont exprimés en fonctions périodiques de $w_{2},$ et, par conséquent, du temps. Nous retrouverons alors simplement les solutions périodiques telles qu’elles ont été définies au Chapitre III.

Une conséquence remarquable, c’est que, s’il n’y a que deux degrés de liberté, les développements (14) sont convergents, tandis qu’ils n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel si le nombre des degrés de liberté est supérieur à 2.

216.Examinons, en particulier, ce qui se passe quand $w_{1}$ est, par exemple, négatif et très grand ; les valeurs correspondantes de $y_{1}$ seront très petites, le second membre de (11) sera donc développable suivant les puissances croissantes de $y_{1}.$

Quant à l’équation (13), nous la transformerons comme il suit

(13 bis)

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}=\mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{2}}e^{\frac {\gamma y_{1}}{\alpha }}e^{\frac {\Theta }{\alpha }}.$

Si $\alpha$ est positif, ainsi que je le suppose pour fixer les idées et si $w_{1}$ est négatif et très grand, l’exponentielle

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}$

sera très petite. Quant au second membre de (13 bis) il est développable suivant les puissances de $y_{1}.$

Écrivons donc nos équations sous la forme

(11 bis)

$w_{k}=y_{k}+\psi _{k},$

(13 bis)

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}=\psi _{1}.$

Les $\psi$ seront développables suivant les puissances de $y_{1}$ et de ${\sqrt {\mu }},$ et chacun des termes du développement sera périodique par rapport à

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Les deux membres des équations (11 bis) et (13 bis) peuvent donc être regardés comme développés suivant les puissances de $y_{1},$ de ${\sqrt {\mu }}$ et de $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}.$

Observons que $\alpha$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ et soit

$\alpha _{1}\,{\sqrt {\mu }}$

le premier terme du développement.

D’autre part, le premier terme du développement de $\gamma$ et de $\Theta$ sera en ${\sqrt {\mu }}\,;$ de sorte que le développement de ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et de ${\frac {\Theta }{\alpha }}$ commencera par un terme indépendant de ${\sqrt {\mu }}.$

Si dans les équations (11 bis) et (13 bis), nous faisons $\mu =0,$ elles deviennent

${\begin{aligned}w_{k}&=y_{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y,\\e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}&=e^{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{\alpha _{1}\,d\lambda }}.\end{aligned}}$

Le déterminant fonctionnel des seconds membres de ces équations par rapport à $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}$ se réduit à 1 pour $y_{1}=0.$

Cela va nous permettre d’appliquer le théorème du n^o 30.

Il en résulte que, pour toutes les valeurs de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},$

les $y$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et de

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}.$

Les coefficients des développements sont des fonctions de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

Pour nous rendre compte de la forme de ces fonctions, observons que, quand $y_{k}$ augmente de $2\pi ,$ $w_{k}$ augmente de $2\pi .$

Nous conclurons que

$y_{1}$et$y_{k}-w_{k}$

est développable en séries procédant suivant les puissances de

${\sqrt {\mu }}$ et $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},$

et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

La première équation (2 bis) nous fait voir ensuite, immédiatement, que les $x_{i}$ sont développables en séries de la même forme.

Si, au lieu de supposer $w_{1}$ négatif et très grand, et $y_{1}$ très voisin de zéro, nous avions supposé $w_{1}$ positif et très grand et $y_{1}$ très voisin de $2\pi ,$ nous serions arrivé au même résultat ; seulement, au lieu de séries procédant suivant les puissances de

${\sqrt {\mu }}$ et $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},$

nous aurions eu des séries procédant suivant les puissances de

${\sqrt {\mu }}$ et $e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}.$

Revenons au cas où $w_{1}$ est négatif et très grand et $y_{1}$ très voisin de zéro, et supposons qu’il n’y ait que deux degrés de liberté.

Nous n’avons plus alors que deux arguments

$w_{1}$ et $w_{2},$

et nos séries procèdent suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et de $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $w_{2}.$ Comme les arguments $w_{1}$ et $w_{2}$ sont des fonctions linéaires du temps, nos séries procèdent suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et d’une exponentielle dont l’exposant est proportionnel au temps, les coefficients des divers termes étant des fonctions périodiques du temps. Elles ne diffèrent donc pas des séries qui ont été étudiées dans le Chapitre VII et qui définissent les solutions asymptotiques.

Il résulte de là une conséquence que le Chapitre VII met en évidence.

Si les séries restent ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et de l’exponentielle, elles ne convergent pas, et n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel. Si on les ordonne par rapport aux puissances croissantes de l’exponentielle seule (en réunissant par conséquent en un seul tous les termes qui contiennent une même puissance de l’exponentielle, mais des puissances différentes de $\mu$), elles deviennent convergentes. Si, au contraire, on faisait cette opération dans le cas où il y a plus de deux degrés de liberté, les séries ne deviendraient pas convergentes.

217.Au début du n^o 215, j’ai fait certaines hypothèses au sujet de la fonction $\mathrm {F} \,;$ j’ai supposé que l’on avait

$\mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0$

pour

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0.$

J’ai ajouté que, si la fonction $\mathrm {F}$ ne satisfait pas à ces conditions, il suffit de faire le changement de variables des n^os 208 et 210.

Supposons donc que la fonction $\mathrm {F}$ ne satisfasse pas à ces conditions. Soient $x_{i}$ et $y_{i}$ les anciennes variables, faisons le changement de variables du n^o 210 et soient $x_{i}'$ et $y_{i}'$ les nouvelles variables. On aura

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,\qquad y_{1}'=y_{1}+\zeta ,\qquad y_{i}'=y_{i},\\x_{i}&=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

(Cf. p. 381.)

Avec les nouvelles variables, les conclusions des deux derniers numéros sont applicables et, par conséquent,

$x_{1}',\quad x_{k}',\quad y_{1}',\quad y_{k}'-w_{k}$

peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et des cosinus et sinus des multiples de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}$

et dont les coefficients sont des fonctions uniformes de $w_{1}\,;$ ces fonctions uniformes sont développables suivant les puissances de $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}$ si $w_{1}$ est négatif et suffisamment grand et suivant celles de $e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}$ si $w_{1}$ est suffisamment grand.

Des relations (1) qui lient les $x_{i}$ et $y_{i}$ aux $x_{i}'$ et $y_{i}',$ il est donc permis de conclure que

$x_{1},\quad x_{k},\quad y_{1},\quad y_{k}-w_{k}$

sont encore développables en séries de la même forme.

La seule différence, c’est que pour $w_{1}=-\infty ,$ $x_{1}',$ $x_{k}'$ et $y_{1}'$ se réduisent à 0 ; tandis que $x_{1},$ $x_{k}$ et $y_{1}$ ne s’annulent pas.

Quand on fait $w_{1}=-\infty ,$ d’où $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}=0,$ on trouve

(2)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1},&x_{k}&=\varphi _{k},&y_{1}&=\varphi _{1}',&y_{k}&=w_{k}+\varphi _{k}',\end{aligned}}$

$\varphi _{i}$ et $\varphi _{i}'$ représentant des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et les lignes trigonométriques des multiples de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

En éliminant $w_{2},$ $w_{3},$ $\ldots ,\,w_{n}$ entre les relations (2) on doit retrouver

${\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{k}&=\xi _{k}.\end{aligned}}$

c’est-à-dire les relations du n^o 209. S’il n’y a que deux degrés de liberté, les relations (2) représentent tout simplement une solution périodique (Cf. n^o 208).

Si nous faisons

$w_{1}=+\infty ,$ d’où $e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}=0,$

il vient de même

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1},&x_{k}&=\varphi _{k},&y_{1}&=\varphi _{1}'+2\pi ,&y_{k}&=w_{k}+\varphi _{k}'.\end{aligned}}$

Les séries étudiées dans ce Chapitre pourraient être obtenues directement par des procédés analogues à ceux des Chapitres XIV et XV. Malgré l’intérêt que présenterait cette question, je ne puis m’y appesantir, cela m’entraînerait trop loin. Je me bornerai à rappeler que, par le changement de variables du n^o 206, on est ramené au problème du n^o 134, auquel les procédés des Chapitres XIV et XV sont directement applicables.

Comparaison avec les séries du n^o 127.

218.Nous avons vu au n^o 211 comment les séries des n^os 204 et suivants pouvaient se déduire de celles du n^o 125. Je me propose de rechercher de même comment les séries du présent Chapitre peuvent se déduire de celles du n^o 127.

Commençons d’abord par traiter le cas le plus simple, celui du n^o 199. Dans ce cas, nos équations peuvent s’écrire (en supprimant l’indice 1 devenu inutile)

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y}}\,,\\\theta \,w&=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y}}},\end{aligned}}\right.$

$2\theta \pi$ désignant la période réelle de l’intégrale du second membre. Ces équations nous permettent de calculer $x$ et $y$ en fonctions de l’argument $w,$ de la constante $\mathrm {C}$ et de $\mu .$

Si nous supposons d’abord que $\mu$ soit très petit par rapport à $\mathrm {C} ,$ nous pourrons développer suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ et nous obtiendrons les séries du n^o 127 ; si, au contraire, $\mathrm {C}$ est comparable à $\mu ,$ nous poserons $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu$ et nous retomberons sur les séries étudiées dans le présent Chapitre.

Voyons la chose d’un peu plus près. Les équations (1) prouvent que $x,$ $\cos {}y$ et $\sin {}y$ sont des fonctions doublement périodiques de $\theta w,$ ou ce qui revient au même de $w.$ Soient $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ les deux périodes (en considérant $\theta w$ comme la variable indépendante). Par exemple, $\omega _{1}$ sera égale à l’intégrale du second membre prise entre $0$ et $2\pi \,;$ et $\omega _{2}$ sera égale à deux fois cette intégrale prise entre $\pm {}\mathrm {arc} \;\mathrm {cos} {\frac {\mathrm {C} }{\mu }}\cdot$ De plus, quand $\theta w$ augmente de $\omega _{2},$ $y$ ne change pas et quand $\theta w$ augmente de $\omega _{1},$ $y$ augmente de $2\pi .$

Si $\mathrm {C} >|\mu |,$ $\omega _{1}$ est réel, et on doit prendre $\theta ={\frac {\omega _{1}}{2\pi }}\cdot$ Alors $x$ et $y-w$ sont des fonctions périodiques de $w$ de période $2\pi .$ Si $\mu$ est petit par rapport à $\mathrm {C} ,$ on peut développer suivant les puissances de $\mu$ (ce qui conduit aux séries du n^o 127) et chacun des termes sera périodique de période $2\pi$ par rapport à $w.$

Mais si $\mathrm {C}$ est du même ordre de grandeur que $\mu ,$ et que l’on pose $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ il arrive que, pour une même valeur de $\mathrm {C} _{1},$ la période $\omega _{1}$ et le coefficient $\theta$ sont proportionnels à ${\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\,;$ si alors nous posons

$\theta _{0}={\frac {\theta }{\sqrt {\mu }}},$

les équations (1) deviennent

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\sqrt {\mu }}\,{\sqrt {\mathrm {C} _{1}-\mu \cos y}}\,,\\\theta _{0}w&=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} _{1}-\mu \cos y}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

La seconde de ces équations ne dépend plus de $\mu .$ Nous tirerons de là $y-w$ et ${\frac {x}{\sqrt {\mu }}},$ en séries développées suivant les sinus et les cosinus des multiples de $w,$ dépendant de $\mathrm {C} _{1},$ mais indépendantes de $\mu .$ Ce sont les séries du présent Chapitre.

Les séries obtenues d’abord, développées suivant les puissances de $\mu$ et analogues à celles du n^o 127, étaient, comme il est aisé de le voir, de la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\sqrt {\mathrm {C} }}+\mu \,\mathrm {C} ^{-{\frac {1}{2}}}\varphi _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} ^{-{\frac {3}{2}}}\varphi _{2}+\mu ^{3}\mathrm {C} ^{-{\frac {5}{2}}}\varphi _{3}+\ldots ,\\y&=w+{\frac {\mu }{\mathrm {C} }}\,\psi _{1}+\left({\frac {\mu }{\mathrm {C} }}\right)^{2}\psi _{2}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

les $\varphi$ et les $\psi$ ne dépendant ni de $\mu ,$ ni de $\mathrm {C}$ et étant périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w.$

Si l’on fait ensuite $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ $y$ et ${\frac {x}{\sqrt {\mu }}},$ comme je l’avais annoncé, ne dépendent plus que de $\mathrm {C} _{1}$ et non plus de $\mu .$

Ainsi, pour passer des séries du n^o 127 à celles de ce Chapitre, on fera $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ et on ordonnera ensuite de nouveau suivant les puissances croissantes de $\mu .$ Dans le cas particulier qui nous occupe, les nouveaux développements ainsi obtenus se réduisent à un seul terme, puisque $x$ ne contient que des termes en ${\sqrt {\mu }}$ et $y$ des termes indépendants de $\mu .$

Tant que $\mathrm {C} _{1}$ est plus grand que 1, $\omega _{1}$ est réel, $x$ et $y-w$ sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w.$ Mais, si $\mathrm {C} _{1}$ est plus petit que 1, $\omega _{1}$ devient imaginaire et c’est $\omega _{2}$ qui est réel ; il faut donc prendre $\theta ={\frac {\omega _{2}}{2\pi }}\,;$ alors $x$ et $y$ (et non plus $y-w$) sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w.$

Si nous considérons $w$ comme la variable indépendante, il y a donc une discontinuité qui tient à ce que la définition de $\theta$ change quand $\mathrm {C} _{1}$ passe d’une valeur plus grande que 1 à une valeur plus petite que 1. Cet inconvénient sera évité si l’on prend $\theta w{\sqrt {\mu }}$ pour variable indépendante.

Et en effet, si l’on exprime $x$ et $y$ en fonctions de $\theta w{\sqrt {\mu }}$ et de $\mathrm {C} _{1},$ les expressions que l’on obtient pour $\mathrm {C} _{1}<1$ sont la continuation analytique de celles que l’on obtient pour $\mathrm {C} _{1}>1.$

Partant donc des séries (2), c’est-à-dire des séries du n^o 127 et y faisant $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ il vient

(2 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {x}{\sqrt {\mu }}}&=\mathrm {C} _{1}^{\frac {1}{2}}+\mathrm {C} _{1}^{-{\frac {1}{2}}}\varphi _{1}+\mathrm {C} _{1}^{-{\frac {3}{2}}}\varphi _{2}+\ldots ,\\y&=w+{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}}}\,\psi _{1}+{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}^{2}}}\,\psi _{2}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Ces séries sont convergentes si $\mathrm {C} _{1}$ est suffisamment grand ; dans ce cas il suffit de les sommer ; quand elles deviennent divergentes, on peut néanmoins prolonger les fonctions ${\frac {x}{\sqrt {\mu }}}$ et $y$ par continuité analytique ; et il arrive qu’en poursuivant ainsi jusqu’à des valeurs de $\mathrm {C} _{1}$ plus petite que 1, la forme de ces fonctions est complètement modifiée, parce que la période réelle devient imaginaire et inversement.

C’est donc la double périodicité qui explique les cas si différents que nous avons rencontrés dans cette étude ; la période qui est réelle dans le cas ordinaire est imaginaire dans le cas de la libration et inversement. Dans le cas limite, une des périodes devient infinie.

Mais on peut se demander comment ces résultats peuvent s’étendre au cas où $\mathrm {F} =x^{2}+\mu \mathrm {F} _{1}$ $\mathrm {F} _{1}$ étant une fonction quelconque dépendant de $y$ seulement et périodique en $y,$ les équations (1) deviennent alors

(1 ter)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \mathrm {F} _{1}}}\,,\\\theta \,w&=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \mathrm {F} _{1}}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Soit $\mathrm {A}$ le maximum de $\mathrm {F} _{1}.$

On est dans le cas ordinaire si

$\mathrm {C} >\mathrm {A} \,\mu$

et, dans le cas de la libration, si

$\mathrm {C} <\mathrm {A} \,\mu$

Mais ici $x,$ $\cos y$ et $\sin y$ ne sont plus des fonctions elliptiques de $w.$ Elles ne sont donc plus uniformes et doublement périodiques pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de $w$ (bien que, bien entendu, elles restent uniformes pour toutes les valeurs réelles de $w$).

Les résultats précédents subsistent néanmoins.

Il suffit de nous restreindre à un domaine $\mathrm {D}$ tel que la partie imaginaire de $\theta w$ soit suffisamment petite et que d’autre part $\mathrm {C}$ soit suffisamment voisin de $\mathrm {A} \,\mu .$

Si alors l’on regarde $x,$ $\cos {}y$ et $\sin {}y$ comme des fonctions de $\theta w$ et de $\mathrm {C}$ ${\bigg (}$ou de $\theta w{\sqrt {\mu }},$ et de $\mathrm {C} _{1}={\frac {\mathrm {C} }{\mu }}{\bigg )},$ ces fonctions sont uniformes et doublement périodiques pourvu qu’on ne sorte pas du domaine $\mathrm {D} \,;$ l’une des périodes est égale à l’intégrale du second membre (1 ter) prise entre 0 et $2\pi$ et l’autre à deux fois cette même intégrale prise entre deux valeurs de $y_{1}$ qui rendent $\mu \,\mathrm {F} _{1}$ égal à $\mathrm {C} .$

Cela suffit pour que les circonstances du passage du cas ordinaire à celui de la libration soient les mêmes que dans le cas particulier que nous avons étudié d’abord.

Pour étendre plus facilement ces résultats au cas général, il peut y avoir lieu d’introduire le moyen mouvement $n_{1},$ que j’appellerai ici simplement $n,$ puisque j’ai supprimé partout l’indice 1 devenu inutile.

Il vient alors, d’après les principes du n^o 3,

$n={\frac {1}{\theta }}={\frac {2\pi }{\omega _{1}}}\cdot$

D’autre part, si l’on développe $n$ suivant les puissances de $\mu ,$ comme nous l’avons fait dans ce qui précède, de telle sorte que

$n=n^{0}+\mu \,n^{1}+\ldots ,$

il viendra, pour $\mu =0,$

$\omega _{1}=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} }}}={\frac {2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} }}},$

d’où

$n^{0}\Phi ={\sqrt {\mathrm {C} }}.$

Nous pouvons donc prendre pour variables $n^{0}$ et $\mu$ au lieu de $\mathrm {C}$ et $\mu .$

Alors les séries (2) procéderont suivant les puissances de $\mu$ et de ${\frac {1}{n^{0}}},$ ce qui les rend analogues aux séries envisagées au n^o 201, qui contenaient des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}\quad (q\leqq 2p-1).$

Passons enfin au cas général.

Envisageons les séries du n^o 127 ; elles exprimeront les $2n$ variables $x_{i}$ et $y_{i}$ en fonctions des $n$ arguments

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}$

et de $n$ constantes d’intégration. Nous choisirons par exemple pour ces $n$ constantes d’intégration les quantités que nous avons appelées

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.$

Dans nos séries qui procèdent suivant les puissances entières de $\mu ,$ figurent en dénominateurs les petits diviseurs

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}.$

Supposons maintenant que l’un de ces petits diviseurs devienne très petit ; et, par exemple, supposons que ce soit $n_{1}^{0}$ (car, si c’en était un autre, on n’aurait qu’à faire le changement de variables du n^o 202). Voyons d’abord quel est l’exposant maximum de $n_{1}^{0}$ au dénominateur de chacun des termes de nos séries.

D’après ce que nous avons vu aux n^os 201 et 211, le développement de $\mathrm {S}$ ne contient que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}$

où

$q\leqq 2p-1.$

Si nous formons ensuite les équations

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}},\end{aligned}}$

on ne trouvera non plus dans la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ que des termes en ${\frac {\mu ^{q}}{(n_{1}^{0})^{q}}}\,;$ mais dans la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}$ s’introduiront en outre des termes en

$\mu ^{p}\,{\frac {d}{dx_{i}^{0}}}\left[\left(n_{1}^{0}\right)^{-q}\right]=-q\,\mu ^{p}\,{\frac {dn_{1}^{0}}{dx_{i}^{0}}}\left(n_{1}^{0}\right)^{-q-1},$

c’est-à-dire des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).$

Des équations

$w_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}$

nous tirerons alors les $y_{i}$ en fonctions des $w_{i}$ et des $x_{i}^{0},$ ou, si l’on préfère, en fonctions des $w_{i}$ et des $n$ constantes d’intégration,

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.$

On voit d’après cela que le développement des $y$ ne contiendra que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).$

Substituons ensuite les valeurs de $y$ ainsi obtenues dans les équations

(3)

$x_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\cdot$

Avant la substitution, le second membre de (3) ne contient que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}\cdot$

Soit

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}\,\varphi _{\alpha }(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},n_{1}^{0},n_{2}^{0},\ldots ,n_{n}^{0})$

un de ces termes, $\varphi _{\alpha }$ ne devenant pas infini pour $n_{1}^{0}=0.$ Après la substitution il vient

$\varphi _{\alpha }=\sum {\frac {\mu ^{\lambda }}{(n_{1}^{0})^{h}}}\,\psi (w_{i},n_{i}^{0})\quad (h\leqq 2\lambda ),$

$\psi$ ne devenant pas infini pour $n_{1}^{0}=0.$

Le terme général du second membre de (3), après la substitution, sera donc de la forme

${\frac {\mu ^{p+\lambda }}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+h}}}\psi ,$

et il est clair que

$q+h\leqq 2(p+\lambda )-1.$

La conclusion générale de tout ceci, c’est que dans les développements du n^o 127, les expressions des $x_{i}$ ne contiennent que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}$

et celles des $y_{i}$ que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}},$

où

$q\leqq 2p-1.$

Cela posé, supposons que $n_{1}^{0}$ soit très petit et du même ordre de grandeur que ${\sqrt {\mu }}.$ Posons alors

$n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{2}\mu +\alpha _{3}\mu ^{\frac {3}{2}}+\ldots ,$

les α étant de nouvelles constantes. C’est ce que nous avons fait au n^o 211. On peut, par exemple, poser tout simplement

$n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}.$

Après cette substitution, un terme en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}$

n’est plus d’ordre $p$ en $\mu ,$ mais d’ordre $p-{\frac {q}{2}}\cdot$

Groupons ensuite ceux des termes de nos séries qui sont devenus ainsi du même ordre en $\mu .$ Chacun des groupes ainsi obtenus formera une série partielle ; et la série totale sera la somme de toutes ces séries partielles.

Pour obtenir les séries du présent Chapitre, il suffit de faire la somme de chacune de ces séries partielles.

Si $\alpha _{1}$ est assez grand, les séries partielles sont convergentes (les séries totales restant bien entendu divergentes et n’ayant de valeur qu’au point de vue du calcul formel). Mais, si $\alpha _{1}$ est trop petit pour que les séries partielles convergent, on peut néanmoins poursuivre par continuité analytique, cela est aisé à comprendre.

C’est ainsi que la fonction

${\frac {1}{1+x}},$

définie par la série

$1-x+x^{2}-\ldots ,$

continue à exister après que la série a cessé de converger.

Considérons donc la somme d’une de ces séries partielles. Cette somme sera d’abord périodique de période $2\pi$ en $w_{2},$ $w_{3},$ $\ldots ,\,w_{n}\,;$ de plus, ce sera une fonction d’un autre argument $\theta _{1}w_{1},$ uniforme pour les valeurs réelles de cet argument, et pour les valeurs dont la partie imaginaire est suffisamment petite ; ou, en d’autres termes, tant que l’argument $\theta _{1}w_{1}$ reste à l’intérieur d’un certain domaine comprenant l’axe des quantités réelles tout entier. Quand $\alpha _{1}$ varie entre certaines limites, cette fonction est, à l’intérieur de ce domaine, uniforme et doublement périodique ; l’une des périodes est réelle, l’autre imaginaire ; pour une certaine valeur de $\alpha _{1},$ l’une des périodes devient infinie ; puis la période réelle devient imaginaire et inversement.

C’est ainsi que s’effectue le passage du cas ordinaire à celui de la libration.