CHAPITRE XXIV.
USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.
Procédés de vérification.
266.Dans le Tome II nous avons exposé différents procédés
pour trouver des séries qui satisfont formellement aux équations
du problème des trois Corps. Comme ces séries peuvent avoir une
grande importance pratique et qu’on ne les obtient qu’au prix de
calculs longs et difficiles, tous les moyens que l’on peut trouver
de vérifier ces calculs peuvent être précieux ; la considération des
invariants intégraux nous en fournit un qui n’est pas sans intérêt.
Appelons
les coordonnées des deux
planètes (qui doivent être rapportées, comme nous l’avons dit
au no 11 et comme nous l’avons toujours fait depuis, la première
au Soleil, la seconde au centre de gravité de la première et du
Soleil) ; appelons, d’autre part,
les composantes de leurs
quantités de mouvement ; ces quantités
et
peuvent être
développées en séries de la manière suivante :
Rappelons les résultats des Chapitres XIV et XV, et en particulier
ceux du no 155. Dans ces Chapitres, au lieu des douze
variables
et
que je viens de définir, nous avons employé,
pour définir les positions des deux planètes, douze autres variables
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d184de653ad4d00ffe93a5db15259f538e276e2d)
Nous avons introduit en outre six arguments
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}w_{1},&w_{2},&w_{1}',&w_{2}',&w_{3}',&w_{4}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4130306ac0298d3a66fc44f884bbea83bb11b997)
en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}\,;&w_{i}'&=n_{i}'t+\varpi _{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ab0c492d8b8d9e8c0bc3f280b91ebe4d19f1d5)
et six autres constantes d’intégration
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda _{0},&\Lambda _{0}',&x_{1}'^{0},&x_{2}'^{0},&x_{3}'^{0},&x_{4}'^{0},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed0297504ca96591c4ae42204ae586bc1c2e4d7)
et nous avons vu alors que l’on peut satisfaire aux équations du
mouvement de la manière suivante.
Les quantités
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1}-w_{1},\quad \lambda _{1}'-w_{2},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f8d7d41ef7276490efcb5908b1aba90c7c3f10)
sont développables suivant les puissances de
et des
Chaque
terme est périodique par rapport aux
et aux
et dépend en
outre des deux constantes d’intégration
et ![{\displaystyle \Lambda _{0}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55515cae7ca76186e4e820509ad30e079ddba6e3)
Les constantes
et
sont développables suivant les puissances
de
et des
et dépendent en outre de
et
Les
et les
sont six constantes d’intégration.
Enfin
![{\displaystyle \Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda _{1}'+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050615aba76954bf45a704c5db7902ca8e4847a7)
est une différentielle exacte lorsqu’on y remplace les douze
variables
et
par leurs développements et que dans ces
développements on regarde les
et les
comme six variables
indépendantes et les six quantités
comme des constantes.
Nos quantités
et
que je viens de définir s’expriment aisément
à l’aide des douze variables
,
et
On conclura que
et
peuvent être développés en séries
procédant suivant les puissances de
et des
ainsi que suivant
les cosinus et les sinus des multiples des
et des
chaque
coefficient dépendant en outre de
et
De plus l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47f74fe288a8e8df440eb38a93518d08198d4a9)
sera une différentielle exacte si l’on regarde les
et les
comme
six variables indépendantes et
comme des constantes.
Les séries ainsi obtenues, il est à peine besoin de le rappeler,
ne sont pas convergentes ; elles n’ont de valeur qu’au point de
vue du calcul formel, ce qui leur donne cependant une certaine
utilité pratique, comme je l’ai expliqué au Chapitre VIII.
Néanmoins si l’on substitue ces développements aux
et
aux
dans l’expression d’un invariant intégral, le résultat de
cette substitution devra encore, au moins au point de vue formel,
satisfaire aux conditions auxquelles doit satisfaire un invariant
intégral, et c’est ce qui va me fournir le procédé de vérification
sur lequel je désire attirer l’attention.
267.Nous avons vu plus haut que
(1)
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|
est un invariant intégral.
Nous allons, pour nous servir de cet invariant, faire un changement
de variables analogue à celui du no 237.
Posons, pour plus de symétrie dans les notations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}'&=w_{i+2}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4),&n_{i}'&=n_{i+2},&\varpi _{i}'&=\varpi _{i+2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1def37414187bfd5ac8e1c4fc4496c2d325aaff7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\xi _{1},&\Lambda _{0}'&=\xi _{2}\,;&x_{i}'^{0}&=\xi _{i+2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e9cbd5483282afa5bc44ebb0442f73875b4749)
Nous avons vu que l’on pouvait développer les
et les
en
séries dépendant des
des
de
et des
c’est-à-dire,
avec nos nouvelles notations, des
et des
Nous pouvons alors prendre pour variables nouvelles les
et
les
et alors les équations différentielles du mouvement prendront
la forme
(2)
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|
[de même qu’au no 237 les équations (1) devenaient, après le
changement de variables,
![{\displaystyle {\frac {dy_{i}}{0}}={\frac {dz}{1}}=dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e407e6ebed5e39654ea6c87e408d7ed4ae2fd2a)
ainsi que nous l’avons vu].
Les
sont fonctions des
seulement.
Mais il vaut mieux encore prendre d’autres variables ; en effet,
les six
étant fonctions des six
seulement, rien n’empêche, au
lieu des
et des
de prendre comme variables les
et les
de sorte que les équations différentielles deviennent
(3)
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|
Un invariant intégral du premier ordre prendra la forme
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int \left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dw_{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f424a41e7a0c2cb6f5b90eb2b77e1356a31e5a)
les
et les
étant des fonctions des
et des ![{\displaystyle w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0f650d2bd33c7ab6ec1f0a25fbf56bef18bb01)
Je pourrai supposer que la figure
est un arc de courbe dont
les équations, variables avec le temps, sont de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}&=f_{i}(\alpha ,t)\,;&w_{i}&=f_{i}'(\alpha ,t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d4d849499c1af9ff0a7d646c17bfd3a687b4d9)
les variables
et
étant exprimées en fonctions du temps
et
d’un paramètre
qui varie de
à
quand on parcourt l’arc
tout entier. L’équation de l’arc
sera alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}&=f_{i}(\alpha ,0)\,;&w_{i}&=f_{i}'(\alpha ,0).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5e151e589805512cef14783f80de0140a10e58)
Ces conventions faites, je puis écrire
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {dn_{i}}{d\alpha }}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,{\frac {dw_{i}}{d\alpha }}\right)\,d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb43d6e16631693d5a37f60e79c7b5159b9100)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int d\alpha \,\sum \left({\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}{\frac {dn_{i}}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}{\frac {dw_{i}}{d\alpha }}+\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d^{2}n_{i}}{dt\,d\alpha }}+\mathrm {B} _{i}\,{\frac {d^{2}w_{i}}{dt\,d\alpha }}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa264a23679d25909ff8b4f0f4dbf23dded240c)
Or, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}},\\{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca841cab0964b68c88eed37fc3e0997fe56ae565)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}n_{i}}{dt\,d\mathrm {A} }}&=0\,;&{\frac {d^{2}w_{i}}{dt\,d\mathrm {A} }}&={\frac {dn_{i}}{d\alpha }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0632cc8733f9e3894c118c55edd01fd922255591)
d’où enfin
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }_{i}\left[dn_{i}\,\left({\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}+\mathrm {B} _{i}\right)+dw_{i}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed11d5f50b0a21eabeb59b1edf203cf2442cca0)
Si
est un invariant intégral absolu, on devra donc avoir
(4)
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(5)
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|
Examinons maintenant ce qui arrive dans le cas où les
et
les
sont des fonctions périodiques des
et peuvent, par conséquent,
être développés en séries trigonométriques.
Considérons d’abord l’équation (4) et soient
![{\displaystyle \mathrm {B} _{i}={\textstyle \sum }\left[b\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})+b'\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3de01b51ed28875cde345d08daf29ad7cb87881)
les
et les
dépendant des ![{\displaystyle n_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ebb140df365bcc7a5b990ca37dfb37bd723d47)
L’équation (4) devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }(m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6})&\left[-b\sin(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right.\\&\left.+b'\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68ed153f3c142ad5a694a522b9fc33e2b59140a)
ce qui ne peut avoir lieu que si
(6)
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|
ou si
![{\displaystyle b=b'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f1955ca66a976dbe0b5ecdf6b018b6cbac7b11)
Or, les
sont des entiers constants, les
sont nos variables
indépendantes entre lesquelles il ne peut y avoir aucune relation
linéaire ; l’équation (6) entraîne donc
![{\displaystyle m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{6}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe69305799e1b6e7c9c6f812840346b0e2a4779f)
Cela signifie que le développement trigonométrique de
se
réduit à son terme tout connu ; c’est-à-dire que
est une fonction
des
seulement, indépendante des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Passons maintenant à l’équation (5) ; soit
![{\displaystyle \mathrm {A} _{i}={\textstyle \sum }\left(a\cos \omega +a'\sin \omega \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b940ed08bc456fdba78a56bdf52a57a4b7276a71)
en écrivant, pour abréger,
au lieu de
![{\displaystyle m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7ab15563a71198633074823a327f12bb01f0b9)
L’équation (5) s’écrit alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }(m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6})(-a\sin \omega +a'\cos \omega )=-\mathrm {B} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d0a3b451f77eb20a8b9dc125fb8fb7efd03830)
Considérons d’abord un terme dépendant des
c’est-à-dire
tel que
ne s’annulent pas à la fois. On aura
![{\displaystyle m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6}\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d08138ad616c1e3f0ad84744cd7250f21df4fdd)
Dans le second membre
ne dépend pas des
ce second
membre ne contient donc ni terme en
ni terme en
Il résulte de là que
![{\displaystyle a=a'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9748a84509356169db8d96386fdb327bc9efde7e)
Donc
ne dépend pas des
et se réduit au terme tout connu
de son développement trigonométrique, terme qui dépend seulement
des
Mais alors l’équation (5) se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {B} _{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d245438d8b583e2400d30a65fdf5ba041f29f)
En général, tout invariant intégral absolu linéaire et du premier
ordre, où l’expression sous le signe
est algébrique par
rapport aux
et aux
et, par conséquent, périodique par rapport
aux
devra être de la forme
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea091b24e14c822f64ae7a64881d434ea6c17c1f)
les
ne dépendant que des
c’est, en effet, ce qui arrive pour
les invariants absolus que nous connaissons et qui s’obtiennent
d’ailleurs en différentiant les intégrales des aires, celles des forces
vives ou du mouvement du centre de gravité.
Mais l’invariant relatif
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,(2x\,dy+y\,dx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cfa4c6b6e9fad4ba126ef04e9a71b343ad3078)
mérite plus d’attention. Nous avons vu que
![{\displaystyle \mathrm {J} -3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bec5e4537e39a4b3f48217db244e68d0b17206)
(où
et
sont les valeurs de la constante des forces vives aux
deux extrémités de l’arc
) est un invariant intégral. On aura
donc
(7)
|
|
|
Si nous posons encore
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int +(\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+\mathrm {B} _{i}\,sw_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3b6f675c1472cc94447d370c78fe88c3447a6c)
l’équation (7) deviendra
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }_{i}\left[dn_{i}\left({\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}+\mathrm {B} _{i}\right)+dw_{i}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}\right]=3\int {\sum }_{i}{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dn_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3732a5582e5615622166144ffba67492fb3980c9)
car la constante des forces vives
est fonction des
seulement.
Les équations (4) et (5) devront donc être remplacées par les suivantes
(4 bis)
|
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(5 bis)
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Les
et les
doivent être des fonctions périodiques des
Si nous traitons les équations (4 bis) et (5 bis) comme nous
avons traité les équations (4) et (5), nous reconnaîtrons :
1o Que les
sont indépendants des
2o Que les
sont indépendants des
3o Que
![{\displaystyle 3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}=\mathrm {B} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89468182d0c79d62425fa1216d39b1af5434b23d)
On trouve donc, en définitive,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }(2x\,dy+y\,dx)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+3\sum {\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dw_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c00fb1c8dd40a9fc081835333d744a37c83c1b2)
les
dépendant des
seulement.
En d’autres termes, les expressions
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dn_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dn_{k}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0903e82e002e10bc93aa9fdcade82e1cfc01efe)
ou
(8)
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ne dépendent pas des
et sont fonctions seulement, soit des
soit des
suivant qu’on exprime tout en fonction des
et des
ou en fonction des
et des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
De même, on aura
(9)
|
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Les
les
et
sont, comme je l’ai dit, développés suivant
les puissances de
et des
Les expressions (8) et les deux
membres des égalités (9) sont donc aussi développables suivant
les puissances de ces quantités.
Tous les termes des développements des expressions (8), suivant les puissances de
et des
devront donc être indépendants
des
D’autre part, chaque terme de développement du premier
membre de (9) devra être égal au terme correspondant du second
membre.
Nous avons ainsi un très grand nombre de procédés de vérification
pour nos calculs.
268.J’ai dit que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47f74fe288a8e8df440eb38a93518d08198d4a9)
est une différentielle exacte si l’on regarde les
comme des constantes,
et les
comme des variables indépendantes.
Nous trouvons, en effet, alors
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy+y\,dx\right)=3\,\int {\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dw_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b87edf1c6af99a1526ed3372efaf24e9a62d01)
ou comme les
ne dépendent que des
et doivent être, par
conséquent, regardés comme des constantes
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy+y\,dx\right)=3\,{\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5f63684bb3608a829e10c41cc976f356dc4216)
d’où
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,x\,dy+\int {\textstyle \sum }(x\,dy+y\,dx)=3{\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3df1a1d6d77c043c69ead3d76e2555027d2554)
d’où enfin
(10)
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|
Revenons pour un instant aux notations du no 162. Dans ce
numéro, comme dans le no 152, nous avons pris comme variables
(11)
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nous avons posé
![{\displaystyle d\mathrm {S} =(\Lambda -\Lambda _{00})\,d\lambda _{1}+(\Lambda '-\Lambda _{00}')\,d\lambda '_{1}+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}-d(\sigma _{i}^{01}\tau _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ea2558aaf032a6d1db1646506b9a470a4b797e)
D’un autre côté les variables (11), de même que les variables
sont des variables conjuguées. Il en résulte, ainsi que j’ai eu
plusieurs fois l’occasion de l’expliquer, que l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}-\Lambda \,d\lambda _{1}-\Lambda '\,d\lambda _{1}'-{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}=d\mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bae418364943a094afaf0dd1095b909c275a5ad)
est une différentielle exacte. J’ajouterai qu’on formera facilement
la fonction
qui peut, par conséquent, être regardée comme une
fonction connue des
et des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
On a alors
(12)
|
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|
Comme dans l’application du procédé du Chapitre XV on est
conduit à former la fonction
l’équation (12) nous fournit, sous
une forme nouvelle, la vérification cherchée.
Rapport avec un théorème de Jacobi.
269.On sait que Jacobi a démontré au début de ses
Vorlesungen über Dynamik que, dans le cas de l’attraction newtonienne,
la valeur moyenne de l’énergie cinétique est égale, à un
facteur constant près, à la valeur moyenne de l’énergie potentielle,
en admettant, bien entendu, que les coordonnées puissent être
exprimées par des séries trigonométriques de même forme que
celles que nous étudions ici.
Ce théorème de Jacobi se rattache directement à ce qui précède.
Les équations du mouvement peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}m_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}&=y_{i},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fec45ebf9158a14720b2dd3c391658c4622795)
d’où
![{\displaystyle \sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}-\mathrm {V} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00632fb222c34d46173769d65a5a74c4f7ba5cd6)
Alors
représente l’énergie potentielle,
l’énergie totale, et
![{\displaystyle \sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d87abc0c35619102ad4c020a06d05f3c631ed9)
l’énergie cinétique.
D’autre part,
étant homogène de degré −1, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\mathrm {V} =\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\,x_{i}&={\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}},\\\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}&={\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6e3d259db997c1c49fe05433915f7ea3be044)
L’équation des forces vives peut donc s’écrire
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b16fddbba3b4b00870c1bb871718b030510d4e)
Reprenons, d’autre part, les équations (9) du no 267 et ajoutons-les,
après les avoir respectivement multipliées par
; il
viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4ab14cbc9140dfba76de10ff14fc2c808ac830)
Si l’on observe que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {dx}{dw_{k}}}={\frac {dx}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8561ff7aa7cf150d0fba64d419e0b4aa4242b141)
(puisque
), on conclura que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae23b6a09476b7f3cbb3a7907b12b881313aff7)
En comparant avec l’équation des forces vives, on trouve
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}={\frac {2}{3}}\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b791e3d49d887cc6e8a42206633af017dd839f3)
ce qui montre que
doit être homogène de degré
par rapport
aux
ce qui pourrait se voir d’ailleurs directement. Maintenant,
la valeur moyenne d’une fonction
que je représenterai
par la notation
sera nulle si
est la dérivée d’une fonction
périodique ; on aura donc
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left[y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3d1860c322a394763d4fa06646eda7c13e3202)
et, en rapprochant de l’équation des forces vives, on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right]&=-\mathrm {C} ,\\\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]&=2\mathrm {C} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c7600d429e849b9f1283b645aa811d41c61c7e)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\left[\sum {\dfrac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}\right]}{\left[-\mathrm {V} \right]}}=-{\frac {1}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c93e43d07edd7f332b3dcadcebe67222acf61af)
C’est le théorème de Jacobi.
En considérant les dérivées partielles
au Lieu des dérivées
totales
on arriverait à des résultats analogues. On trouverait
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85341ac63f12e22983d7f60525e525b1f417c18c)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right]&=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\left[{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right]&=-3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b98d633c53b75c8b4fe55452b0ee906f7fd9d09)
Application au problème des deux corps.
270.Les considérations précédentes s’appliquent en particulier
au problème des deux corps. Considérons une planète et le Soleil
et rapportons la planète à des axes de direction fixe passant par le
Soleil ; envisageons par conséquent le mouvement relatif de la
planète, par rapport au Soleil.
Soient
les trois coordonnées de la planète ;
les trois composantes de la quantité de mouvement.
Soient
les trois coordonnées de la planète, rapportées à
des axes particuliers, à savoir : le grand axe de l’orbite, une
parallèle au petit axe et une perpendiculaire au plan de l’orbite,
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=h_{1}\xi +h_{1}'\eta +h_{1}''\zeta ,\\x_{2}&=h_{2}\xi +h_{2}'\eta +h_{2}''\zeta ,\\x_{3}&=h_{3}\xi +h_{3}'\eta +h_{3}''\zeta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba5643b0d21f156c05abd8957d3041e2b1f17f7)
les
étant des constantes liées par les relations bien connues qui
expriment que la transformation des coordonnées est orthogonale.
On aura de même
![{\displaystyle y_{i}=\mu h_{i}{\frac {d\xi }{dt}}+\mu h_{i}'{\frac {d\eta }{dt}}+\mu h_{i}''{\frac {d\zeta }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba07d7b6e7d79f70203d765896d0841a0b10e4fd)
étant la masse de la planète.
Maintenant il est clair que
est nul et que
et
sont des fonctions
d’un seul argument
qui est l’anomalie moyenne, et de
deux constantes, qui sont le grand axe
et l’excentricité
D’autre part les
sont des fonctions des trois angles d’Euler, ou, plus généralement, de trois fonctions quelconques
de ces trois angles.
Ainsi les
et les
sont fonctions de
de
de
et des
On aura alors, en appelant
la constante des forces vives et
le moyen mouvement,
![{\displaystyle \sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)=3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592bc6dcdbdf22630c7e22088b8655edac705b89)
et, d’autre part, les expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{da}}\,\,+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{da}}\right)\\\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}\,\,+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)\\\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e131da6317f6e99d288c3d24f2b7e9219b1af932)
doivent être indépendantes de ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Quelques-uns de ces énoncés étaient évidents d’avance et ne
nous fournissent pas de vérification nouvelle.
En effet, les
sont des fonctions linéaires des
dont les
coefficients dépendent des
et qui sont telles que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}x_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da087d30c8ce35ba9a5e09a1d290cd73b6651da)
Il en résulte que nous pouvons écrire l’identité suivante
![{\displaystyle \alpha _{1}{\frac {dx_{1}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{2}{\frac {dx_{2}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{3}{\frac {dx_{3}}{d\omega _{k}}}=\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b908c3a0c2ae964cadcb18813beda0a45fdb90a4)
les
étant des constantes quelconques et les
des fonctions
données des
on aura de même
![{\displaystyle \alpha _{1}{\frac {dy_{1}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{2}{\frac {dy_{2}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{3}{\frac {dy_{3}}{d\omega _{k}}}=\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1233a4267310112aa9254ad39a8ea7054cce8b83)
Il en résulte que l’on a
![{\displaystyle \sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)=\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673d1625f15a5d0f0c80b45ddda75a666a47e563)
Cette expression doit se réduire à une constante indépendante de
et, comme nous avons trois relations analogues que l’on obtient en
faisant
nous pouvons écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{3}x_{2}-y_{2}x_{3}&=\mathrm {const.} \\y_{1}x_{3}-y_{3}x_{1}&=\mathrm {const.} \\y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}&=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b33c69d1a87d2a82893e583e114b6d8be74de54)
Mais ce n’est pas là un résultat nouveau ; ce sont les équations des
aires.
Examinons maintenant l’expression
![{\displaystyle \sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0458e24c2c54dbba83f22426e10b4bf21b278280)
Voyons comment les
et les
dépendent de
Les
contiennent
en facteur et les
contiennent
car on a
![{\displaystyle y_{i}=\mu \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\mu \,n\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a5b242d7d58a12af67e096bfbdf7564a35881e)
On a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{da}}&={\frac {x_{i}}{a}}\,;&{\frac {dy_{i}}{da}}&={\frac {y_{i}}{a}}+{\frac {y_{i}}{n}}{\frac {dn}{da}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d94f10dc07aa9a112236d9fe18ac652e6403d70)
Notre expression devient donc
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}y_{i}\left({\frac {3}{a}}+{\frac {2}{n}}{\frac {dn}{da}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c0bbca14085903b1d7a15073409bdd4369736a)
Il est aisé de vérifier qu’elle est nulle ; on a en effet, d’après la
troisième loi de Képler,
![{\displaystyle n^{2}a^{3}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30198d27dad6e1d871233073ac230e856f459a71)
d’où
![{\displaystyle {\frac {2\,dn}{n}}+{\frac {3\,da}{a}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32a468b01191746141a5a7a04cb86e5c6d237ea)
Nous n’obtenons pas encore ainsi un procédé nouveau de vérification.
Il reste à examiner les deux expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)&=\mathrm {W} ,\\\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)&=\mathrm {E} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b09e36dce8eb30e6e0d70f841421ef6dcf63f3d)
Nous n’avons plus à faire varier que
et
nous n’aurons donc plus à faire varier les
c’est-à-dire la direction du grand axe de
l’orbite. Nous pouvons donc choisir des axes particuliers et faire
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\xi =a\left[-{\frac {3}{2}}e+{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe){\frac {\cos pw}{p}}\right],\\x_{2}&=\eta =a{\sqrt {1-e^{2}}}\left[{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe){\frac {\sin pw}{p}}\right],\\x_{3}&=\zeta =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66510f9d2d017a3fd510726880e6e06020b45e29)
Les fonctions
sont les fonctions de Bessel ; sous le signe
l’indice
prend toutes les valeurs entières depuis
jusqu’à
à l’exception de la valeur ![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
Nous déduirons de là
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y_{1}&=&-&\mu an{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe)\sin pw\\y_{2}&=&&\mu an{\sqrt {1-e^{2}}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe)\cos pw.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f2ce159b672e5573bde413ddee666bfd6c0397)
L’expression
devient alors, en supprimant le facteur commun ![{\displaystyle \mu a^{2}n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95846b11b7417025af00049a57ed4fc9e5f443d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}3e{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\cos pw-2{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}{\frac {\cos pw}{p}}{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\cos pw+\left[{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}\sin pw\right]^{2}&\\-2(1-e^{2}){\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}{\frac {\sin pw}{p}}{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\sin pw+(1-e^{2})\left[{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}\cos pw\right]^{2}&=\mathrm {W} '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0205cc8d9b27fc73a8748628aa22a4f7f2f21732)
J’ai écrit partout, pour abréger un peu,
au lieu de ![{\displaystyle \mathrm {J} _{p-1}(pe).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfae65e69e67132dc586528c67cc5b7bb054e157)
On doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {W} =3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e59eb9be35f0fddf626b4ba96eab918334f8b7)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=-{\frac {m\mu }{2a}},&n^{2}a^{3}&=m,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c317bdbc62318de43b91834df4906ae02ef9d43a)
désignant la masse du Soleil plus celle de la planète ; on a donc
![{\displaystyle \mathrm {C} =-{\frac {\mu }{2}}m^{\frac {1}{2}}n^{\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2852173cdad939b1054b4831130388b3754354b9)
et
![{\displaystyle 3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}=-\mu m^{\frac {2}{3}}n^{-{\frac {1}{3}}}=-\mu a^{2}n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c924e8216c4d33cdbc50174f00d7095b5542ae30)
Mais, comme
![{\displaystyle \mathrm {W} =\mu a^{2}n\mathrm {W} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3016ff006cffc580ad781bc856970b954d408d0b)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {W} '=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbccb018406d3728f622009ff09219784924262)
En identifiant les termes semblables on a une série de relations
entre les fonctions de Bessel
L’étude de l’expression
nous conduirait à une série de relations
analogues où entreraient cette fois les fonctions de Bessel
et
leurs dérivées premières.
271.On pourrait multiplier ces applications particulières ; on
pourrait par exemple, après avoir traité comme nous venons de le
faire dans le numéro précédent le cas du mouvement képlérien,
c’est-à-dire après avoir tenu compte des termes du degré 0 par
rapport aux masses troublantes, appliquer les mêmes principes à
l’ensemble des termes du degré 1. On serait sans nul doute conduit
à des relations intéressantes.
On pourrait également étudier, par le même procédé, les équations
des variations séculaires que nous avons traitées au Chapitre X.
On aurait alors avantage, au lieu de l’invariant intégral
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}\,dy_{i}+y_{i}\,dx_{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bb1e2107609f94337d1e9d0ddf44ec80433190)
à se servir des invariants analogues que nous avons définis aux
nos 261, 262, 263.
Nous laisserons toutes ces questions de côté.
Application aux solutions asymptotiques.
272.Appliquons encore ces principes aux solutions asymptotiques.
Prenons pour variables les coordonnées
et les
![{\displaystyle y_{i}=m_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c329cc2779dc204f657941a3f567ce6f1178ca)
Considérons l’invariant
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }(2x\,dy+y\,dx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0e6691d70837eabfe59afeb8e2ec03b9db4729)
nous savons que si
est la constante des forces vives, et si
et
sont les valeurs de cette constante aux deux extrémités de la ligne
d’intégration, on aura
(1)
|
|
|
Si nous envisageons un système de solutions asymptotiques, il se présentera sous la forme suivante : les
et les
seront développés
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16986de244f7788d91fdaf3910597f5f75ce7d6b)
les coefficients étant périodiques en
où
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1},\quad \mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k},\quad h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1316a25be18228ca3902e71b77e4e017666ea29a)
sont
constantes arbitraires.
Si l’on substitue ces valeurs des
et des
dans l’équation
des forces vives, le premier membre se trouve aussi développé
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16986de244f7788d91fdaf3910597f5f75ce7d6b)
les coefficients étant périodiques en
et, comme il doit être
indépendant de
il en résulte qu’il le sera également de
et ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Si donc on substitue les valeurs des
et des
dans l’équation (1),
on voit qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bbfd1c5b094df946fcbe8643ec8b54735c4d0b)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {J} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d90d85e02a4134f6484eec4cba5a075a3ef830e)
Dans
l’expression sous le signe
se trouve développée suivant
les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c112e79b9f769827ee4a80344d8b96f252c71235)
les coefficients sont périodiques en
elle dépend linéairement
des
différentielles
![{\displaystyle d\mathrm {A} _{1},\quad d\mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad d\mathrm {A} _{k},\quad dh.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d32cf40789dbc71d4b178a3c1bae0bb57a9d1)
On devra donc avoir
(2)
|
|
|
Les premiers membres des équations (2) se trouvent développés
suivant les puissances des
tous les termes de ce
développement doivent être nuls, sauf le terme tout connu. On obtient ainsi une foule de relations entre les coefficients du développement
des
suivant les puissances des
Je me bornerai, à titre d’exemple, à envisager le premier terme
et j’écrirai
![{\displaystyle x_{i}=\mathrm {X} _{i}+\mathrm {Z} _{i}\mathrm {A} e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40ee032fbe792d1e639731c719055d40ce08e9e)
et
étant périodiques en ![{\displaystyle t+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1f343678941ecd1cdc60f66b499d7e594200a2)
On en déduit
![{\displaystyle y_{i}=m_{i}\left[\mathrm {X} _{i}'+\mathrm {A} e^{\alpha t}\left(\mathrm {Z} _{i}'+\alpha \mathrm {Z} _{i}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ad80931d388a253e7fba9ce048ed63dbb40558)
et
désignent les dérivées de
et ![{\displaystyle \mathrm {Z} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec443e0f8dcb1cb1b7dfab3259b03f80b8886c5)
On a alors, en négligeant toujours les termes en
etc.,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(2x\,{\frac {dy}{d\mathrm {A} }}+y\,{\frac {dx}{d\mathrm {A} }}\right)={\textstyle \sum }\,me^{\alpha t}\left[2\mathrm {X} (\mathrm {Z} '+\alpha \mathrm {Z} )+\mathrm {X'Z} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae9fd0e7222b71ec0ff637fddcfab3e096b14cd)
On a donc
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m\left(2\mathrm {XZ} '+2\alpha \mathrm {XZ} +\mathrm {X'Z} \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9ac172bec5873c3105a25215f729e203cae679)
ce qui nous donne une première relation entre les coefficients
et ![{\displaystyle \mathrm {Z} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec443e0f8dcb1cb1b7dfab3259b03f80b8886c5)
La relation
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(2x\,{\frac {dy}{dh}}+y\,{\frac {dx}{dh}}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14752cbd7582204faf52aab248c6b5bbd6f2895)
nous en fournirait une autre, mais qui, en réalité, ne serait pas
distincte de la première, puisqu’en la combinant avec cette première
relation on trouverait une équation qui est une conséquence
immédiate du principe des forces vives.