360.Nous allons voir maintenant comment on peut former
effectivement les solutions périodiques du deuxième genre.
Soient
(1)
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un système d’équations canoniques ; et supposons qu’elles admettent
une solution périodique du premier genre
(2)
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Nous nous proposons d’étudier les solutions périodiques du
deuxième genre qui dérivent de la solution du premier genre (2).
L’analyse peut être simplifiée, au moins pour l’exposition, si
l’on amène les équations (1) à une forme convenable par une
série de changements de variables.
Nous supposerons deux degrés de liberté seulement. Quand
augmentera d’une période,
et
augmenteront respectivement de
![{\displaystyle 2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e895f941bd5cab8bb82fcc70cc5504acdd11c3)
et
étant des entiers.
Je puis d’abord supposer
car, s’il n’en était pas ainsi,
j’amènerais
à s’annuler par le changement de variables du
no 202.
Je puis ensuite supposer que la solution périodique (2) se
réduit à
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0,&x_{2}&=0,&y_{1}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a5e9d337f76bb4fbced451cf3ffede206add51)
car, s’il n’en était pas ainsi, je ferais le changement de variables
du no 208.
Cela posé, nous allons voir comment on peut rattacher la
recherche des solutions périodiques du second genre, soit à
l’analyse du no 274, soit à l’analyse du no 44.
361.Rappelons les résultats obtenus aux nos 273 à 277. Soient
des équations canoniques
(1)
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|
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contenant un paramètre
et supposons qu’elles admettent une
solution périodique
(2)
|
|
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de période
correspondant à la valeur
de la constante des
forces vives, et à
On satisfera formellement aux équations (1)
par des séries de la forme suivante ; ces séries procéderont
suivant les puissances des quantités
![{\displaystyle \lambda ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},\quad \mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{k}t}\qquad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc7c719c14cb26b733b525b83e89e0c1ac8260b)
Les coefficients seront des fonctions périodiques de
dépendant en outre de la constante des forces vives
La
période
dépendra aussi de
et des produits
elle se
réduira à
pour
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,\quad \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c5176f2f6f9e31ad74a6782de8b00aeb12ebb2)
Les exposants
sont des constantes développables suivant les
puissances de
et des produits
et dépendent en outre de
ils se réduisent aux exposants caractéristiques de la solution (2)
pour
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,\quad \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c5176f2f6f9e31ad74a6782de8b00aeb12ebb2)
Les
les
et
sont des constantes d’intégration.
Dans l’étude des solutions asymptotiques, nous avons supposé
que les
étaient réels et nous avons annulé une des constantes
sur deux.
Pour appliquer ces mêmes résultats à l’étude des solutions
périodiques du second genre, nous supposerons au contraire que
les exposants
sont purement imaginaires.
Je supposerai deux degrés de liberté seulement, ce qui me permettra
de supprimer l’indice
devenu inutile.
Pour que nous obtenions des solutions périodiques, il faut que
l’exposant
soit commensurable avec
Si nos séries étaient
convergentes, cette condition serait suffisante ; mais elles sont
divergentes et ne satisfont aux équations (2) qu’au point de vue
formel. Une discussion plus approfondie est donc nécessaire ; on
pourrait appliquer un artifice analogue à celui qui a été employé
aux nos 211 et 218. On obtiendrait ainsi des séries qui seraient à
celles des nos 273 et 277 ce que les séries de. M. Bohlin sont à
celles des nos 125 et 127. On retomberait ainsi par une voie indirecte
sur les solutions périodiques du deuxième genre. Mais j’aime
mieux opérer autrement.
362.Par les changements de variables des nos 209, 210, 273,
274, toujours applicables quand on a un système d’équations
canoniques admettant une solution périodique, nous pouvons
amener nos équations à la forme des équations du no 274. Dans
ce numéro nous avons formé les équations suivantes
(3)
|
|
|
où
est un polynôme entier en
qui sera homogène
de degré
si l’on considère
et
comme du premier ordre
et
comme du second ordre. Les coefficients de ce polynôme
sont des fonctions périodiques de
dont la période est ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Nous allons, comme au no 274, supprimer les accents devenus
inutiles et écrire
au lieu de
Nous pouvons alors supposer (Cf. p. 94, 95, 96)
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=\mathrm {H} x_{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e06a3247cd8f79a12ec77d6e14d63fad87b1f4)
où
et
sont des constantes ; je pourrais aussi supposer
mais je ne le ferai pas.
Posons ensuite, comme à la page 96,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b9a2cb04e9a276fcaf039bccd4110fa79badb9)
les équations conserveront la forme canonique et il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=\mathrm {H} x_{2}+2\mathrm {B} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1314ce31c047debbaf14128dbde3e3ec0dff21ca)
les autres termes
seront périodiques de période
tant par rapport à
que par rapport à ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Nos équations ont alors une forme analogue à celle que nous
avons étudiée tant de fois et en particulier aux nos 13, 42, 125, etc.,
le paramètre
jouant le rôle du paramètre
Nous pouvons donc
nous proposer de leur appliquer le procédé du no 44.
Un obstacle se présente toutefois : le hessien de
par rapport
à
et à
est nul, et c’est justement un des cas d’exception
du no 44.
Cette circonstance m’obligera à supposer que
dépend d’un
certain paramètre
et nous développerons à la fois suivant les
puissances de
et celles de
Du reste nous avons vu au Chapitre XXVIII que dans l’étude des solutions périodiques du
second genre, il convient toujours d’introduire un semblable
paramètre, puisque ce qui caractérise les solutions du second
genre, c’est de se réduire à une solution du premier genre
pour
et d’en différer pour
Seulement, pour plus de facilité dans l’exposition, au lieu d’un
paramètre arbitraire j’en introduirai deux que j’appellerai
et
Nous supposerons donc que les différents coefficients de
sont
développables suivant les puissances de deux paramètres
et
et que pour
et
se réduisent à
et à
étant un nombre réel commensurable.
Je supposerai que
et
peuvent se développer suivant les
puissances croissantes de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}\varepsilon +\lambda _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots \,;&\mu &=\mu _{1}\varepsilon +\mu _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbd94bb9b429e5b08943e4771261bbf998553ac)
où
sont des constantes que je laisse provisoirement
indéterminées, mais que je me réserve de déterminer dans la
suite du calcul.
Cela posé, suivons pas à pas le calcul du no 44. Nous poserons
(4)
|
|
|
Ces formules sont analogues aux formules (2) du no 44.
Les
les
les
les
sont donc des fonctions périodiques
de
et
sont des constantes, et l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=nt+\varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52afa12f575df3d4d4f682119517cd3ea1a20510)
étant une constante d’intégration que je me réserve de déterminer
plus complètement dans la suite.
Substituons alors dans
à la place de
de
de
et
leurs développements suivant les puissances de
alors
sera également développable suivant les puissances de
et nous
aurons
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Phi _{0}+\varepsilon \,\Phi _{0}+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46736c5e8a837d145227b7959ad193f56dadb3ab)
Je remarquerai d’abord que
est homogène de degré
si l’on regarde
et
comme de degré
et
comme
de degré
et
comme de degré
C’est d’ailleurs un polynôme entier par rapport à
![{\displaystyle \xi _{p},\quad u_{p},\quad \eta _{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p>0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f067423508348a95484420d0ee0d54caca7672)
et, par rapport à
![{\displaystyle {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{v_{0}},{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-v_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a494f7ed69c1f22373421c1ff0f521a0a06955e)
Ces deux dernières quantités sont regardées comme d’ordre 1.
Enfin les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques
de
dont la période est
Nous trouverons d’autre part
![{\displaystyle \Phi _{k}=\Theta _{k}-\xi _{k}-inu_{k}+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{k}u_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4d01553441bf003279c1a1a06d3689c68fea62)
où
et
sont les valeurs de
et
pour
Nous
pouvons supposer que pour
on a
D’autre part,
dépend seulement de
![{\displaystyle \xi _{p},\quad \eta _{p},\quad u_{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p\leqq k-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129d08d5762fe2fb7418f330af832b2423f2efb3)
Nos équations différentielles s’écrivent alors
(5)
|
|
|
Pour
elles se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{0}}{dt}}={\frac {du_{0}}{dt}}&=0\,;&{\frac {d\eta _{0}}{dt}}&=1\,;&{\frac {dv_{0}}{dt}}=in.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c73abc25772b7b4e6a22c7d757d4e93d4961f06)
Elles montrent que
et
sont des constantes, et que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=int+\varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec40d292082c9a5480c1288b5a77fb0fd79dae2)
étant une constante à déterminer.
Nous pouvons avec avantage adjoindre aux équations (4) et (5)
d’autres équations d’une forme analogue et qui n’en sont que des
transformations.
Développons
et
suivant les puissances de
et soient
(4 bis)
|
|
|
Les développements (4 bis) se déduisent d’ailleurs immédiatement
des deux derniers développements (4).
Nous voyons alors que
est un polynôme entier, par rapport
aux quantités
(6)
|
(en mettant à part ),
|
|
et que ce polynôme est homogène de degré
si l’on regarde
|
comme de degré |
|
|
comme de degré |
|
s
|
comme de degré |
.
|
Nous aurons alors les équations
(5 bis)
|
|
|
équivalentes aux deux dernières équations (5).
Nous observerons que
sont des polynômes
de même forme que
par rapport aux quantités (6), et qu’avec
les conventions faites plus haut au sujet des degrés, ils sont homogènes, le premier d’ordre
le second d’ordre
et les deux
derniers d’ordre
Nous avons d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}'&={\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{nit+\varpi },&\eta _{0}'&={\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-(nit+\varpi )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d445af97c30f567119b843a703615a9ff24e20)
Remplaçons
par ces valeurs, et en même temps
par
dans les équations (5) et (5 bis) où l’on doit supposer que l’on a
fait k=1, et servons-nous-en pour déterminer
Nous avons ainsi les six équations suivantes
(7)
|
|
|
Considérons d’abord la seconde de ces équations ; le second
membre est un polynôme entier homogène et du troisième degré
par rapport à
![{\displaystyle {\sqrt {\xi _{0}}},\quad \xi _{0}',\quad \eta _{0}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3650ba5a9b0e8d81bb6fa8265d53345a5ae53ec8)
dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
de
période
Comme
est commensurable, notre second membre
sera aussi une fonction périodique de
dont il dépend de deux
manières, par
qui est égal à
par
et
qui sont des fonctions
de ![{\displaystyle nt+\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4662f8359f448530e54cd2d41a52cc4fbc7ee8f2)
La période sera multiple de
c’est-à-dire égale à autant de
fois
qu’il y a d’unités dans le dénominateur de
Notre second membre pourra donc se développer en série de
Fourier sous la forme
(8)
|
|
|
où
et
sont des entiers. Mais
ne peut dépasser 3 en valeur
absolue puisque notre second membre est un polynôme du troisième degré.
Il résulte de là qu’en général la valeur moyenne du second membre est nulle. En effet, cette valeur moyenne s’obtiendra en
conservant dans la série (8) les termes indépendants de
c’est-à-dire
tels que
![{\displaystyle p+qn=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261fe7a850d64a93681a285b09137f752a3dc01d)
J’ai dit que
ne pouvait surpasser 3 ; j’aurais pu ajouter que
notre second membre étant un polynôme entier et homogène de
degré 3 en
et
si l’on considère
comme de degré 2, ne
peut contenir
et
qu’à un degré impair, c’est-à-dire que
doit
être impair et ne peut prendre que l’une des valeurs ±1 ou ±3.
On ne peut donc avoir
![{\displaystyle p+qn=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e7ddb908597035600a369b2c75d413c5c0211f)
que si le dénominateur de
est égal à 1 ou à 3.
Nous exclurons la première hypothèse qui ferait de
un
nombre entier, mais il nous reste deux cas à considérer :
1o Le dénominateur de
n’est pas égal à 3. Dans ce cas, le
second membre ayant sa valeur moyenne nulle, l’équation nous
donnera immédiatement
par une simple quadrature ; alors
est déterminé à une constante près que j’appelle
, et cette constante
reste indéterminée jusqu’à nouvel ordre ; il est à remarquer
qu’il en est de même de
2o Le dénominateur de
est égal à 3. Alors, pour que l’équation
soit intégrable, il faut rendre la valeur du second membre nulle ;
nous disposerons pour cela de la constante
Soit
la valeur moyenne de
remarquons que l’on a
![{\displaystyle -n\left[{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}}\right]={\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199a2148c92b4e98e356836fe5798541b23bb8e3)
nous déterminerons donc
par l’équation
(9)
|
|
|
et une quadrature nous donnera ensuite
à une constante
près ![{\displaystyle \gamma _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc43450526f36601407890110d88b76d20af155d)
Prenons maintenant la première équation (7) ; nous pourrons
raisonner sur elle de la même manière. Seulement comme
n’est plus un polynôme du troisième, mais du premier ordre, et que
n’est pas un entier, nous serons certains que la valeur moyenne
de
est nulle.
Il nous suffira donc de prendre
pour que le second
membre ait sa valeur moyenne nulle et pour que
soit déterminé
à une constante près
Passons maintenant aux deux dernières équations (7) ; elles
peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}+in\xi _{1}'&={\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\xi _{0}',\\-{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}-in\eta _{1}'&=-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\eta _{0}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dac8243acf19e31d82853747cd3678b3dad9490)
Les seconds membres sont des fonctions périodiques connues
de
pour que l’intégration soit possible, il suffit donc que le
second membre de la première ne contienne pas de terme en
ni celui de la seconde de terme en
La discussion de cette double condition se fera plus aisément
en considérant les troisième et quatrième équations (7) qui sont
équivalentes aux deux dernières et qui s’écrivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}&={\frac {d\Theta _{1}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d3d88266542689386e451d545c1af979753fc3)
Il faut que les valeurs moyennes des seconds membres soient
nulles.
En ce qui concerne la première de ces équations, la condition
est remplie d’elle-même, et en effet
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{1}'}{dv_{0}}}\right]={\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a786edd5d7a0d2c010a1f3c3ad69c76e19dec4)
Cette dernière expression est nulle à cause de l’équation (9) si
le dénominateur de
est égal à 3, et dans le cas contraire parce
que
est identiquement nul.
La seconde condition s’écrit
![{\displaystyle {\frac {d[\Theta _{1}]}{du_{0}}}=-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7333bdd2637ffd2a967616f72d6018d6f2a190f6)
Si le dénominateur de
est égal à 3, elle nous donnera
Si au contraire le dénominateur n’est pas égal à 3, elle
donnera
parce que
est identiquement nul.
Ainsi, nous voyons que
sont des fonctions périodiques
de
et de
Ils seront donc développables en séries de
Fourier de la forme
![{\displaystyle \sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f18512d01dabb85c22e37e7a46800bb0137af)
Mais on peut ajouter quelque chose de plus ; nous avons à
traiter des équations de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {X} &=\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},&{\frac {d\eta }{dt}}+in\eta =\mathrm {Y} &=\sum \mathrm {B} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269de4c4fd1bb274fd9f637839277a0980e70f30)
nous en tirerons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\sum {\frac {\mathrm {A} }{i(p+qn)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma ,\\\eta &=\sum {\frac {\mathrm {B} }{i(p+qn+n)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma 'e^{-int},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64d52f03c7786406daf0e0ec62596ad5f75fa91)
où
et
sont des constantes d’intégration.
Si donc
et
sont des polynômes entiers et homogènes par
rapport à
![{\displaystyle {\sqrt {\xi _{0}}},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{i(nt+\varpi )},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{-i(nt+\varpi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c254f2b39195f4b0d7f8e8b3fb74d9813ff617f0)
il en sera de même de
et de
au moins si l’on suppose nulles
les constantes
et
Si l’on ne suppose pas ces constantes nulles,
et
seront encore des polynômes entiers, mais non homogènes.
Appliquons ces principes aux quantités que nous venons de
calculer ; nous voyons que
![{\displaystyle {\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02ab57d6d39a6e4d541266556dbfb2d74ed67e8)
étant des polynômes, qui, d’après les conventions que nous avons
faites sur les degrés, sont respectivement de degrés
![{\displaystyle 1,\quad 3,\quad 2,\quad 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0908eb45bd97d15af578ea43f34ffe0a883494ea)
il en sera donc de même de
![{\displaystyle \eta _{1},\quad \xi _{1},\quad \eta _{1}',\quad \xi _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d420dd6d569a4c0cd5e81288f41abb77ecdeabfd)
Quand on aura substitué dans
à la place de ces quantités
leurs valeurs qui sont respectivement des degrés 1, 3, 2, 2, on voit que
deviendra un polynôme du 4e degré et que
![{\displaystyle {\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98582501e032001b83c901ee9a39b3bf0a00c9f4)
seront respectivement des polynômes de degrés
![{\displaystyle 2,\,\quad 4,\quad 3,\quad 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d5eb26ac5790a4517ce92ffbd1403f4d1ae9fe)
Nous pouvons généraliser ce résultat.
Les équations (5) et (5 bis) nous permettent de calculer de
proche en proche les inconnues
on ne serait arrêté
que si la valeur moyenne du second membre de l’une des équations (5)
était différente de zéro.
Supposons que cette circonstance ne se présente pas ; je dis que
![{\displaystyle \xi _{k},\quad \eta _{k},\quad \xi _{k}',\quad \eta _{k}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f36714e87e20b1b0078681608cb9519310b64e1)
seront des polynômes de degrés
![{\displaystyle k+2,\quad k,\quad k+1,\quad k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da1de16920fbc1889d442701b384f9fd2a30e73)
par rapport à
(10)
|
|
|
les coefficients de ces polynômes étant eux-mêmes des fonctions
périodiques de
de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Supposons, en effet, que cela soit vrai pour toutes les valeurs
de l’indice inférieures à
Nous savons que
est un polynôme entier de degré
par rapport à
(11)
|
|
|
en supposant ces quantités respectivement de degré
Si donc nous substituons à la place des quantités (11)
des polynômes dont le degré par rapport aux quantités (10)
soit précisément
il est évident
que le résultat de la substitution sera un polynôme de degré
par rapport aux quantités (10).
Donc
est un polynôme de degré
par rapport aux
quantités (10) et pour la même raison
![{\displaystyle {\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91c58652d25ad71bcf2c95781456879fdd3259d)
seront des polynômes de degrés
![{\displaystyle k,\quad k+2,\quad k+1,\quad k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5436b5b913fe2686f8ef9a1428ec1c557a6b96d0)
par rapport à ces mêmes quantités.
Il en est donc de même des seconds membres des première,
deuxième, cinquième et sixième équations (7) ; et, par conséquent,
en répétant le raisonnement qui précède, nous verrions
aisément qu’il en est encore de même de
C. Q. F. D.
L’intégration des équations (7) a introduit quatre nouvelles
constantes d’intégration. En effet, elles nous font connaître
à des termes près
![{\displaystyle \gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}'e^{+i(nt+\varpi )},\quad \delta _{1}'e^{-i(nt+\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcba5eb7e573282a7e73aef53a59a14125763c9b)
contenant les quatre constantes arbitraires
![{\displaystyle \gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}',\quad \delta _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a90faf9273d60cfa33720d5fa3de5db514eed5)
Nous ne conserverons qu’une de ces constantes et nous poserons
![{\displaystyle \gamma _{1}=\delta _{1}=0,\qquad \delta _{1}'=-\gamma _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67516a8e49fd05b272c2217ead4a11e2b34c676e)
Cela posé, cherchons à déterminer
![{\displaystyle \xi _{2},\quad \eta _{2},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ded318bc73ef62750f9ec5e436965f64af774e5)
à l’aide des équations (5) et (5 bis) et en y faisant ![{\displaystyle k=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090a4d3b2c87ca76bab993bdfc89426e26a7a509)
Il faut d’abord que le second membre de la première équation (5)
ait sa valeur moyenne nulle ; cette valeur moyenne est
égale à
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e464bfe2a1739a3be78cb2f9e092827b2d5cae8)
en employant toujours les crochets pour représenter la valeur
moyenne d’une fonction. On devra donc avoir
(9 bis)
|
|
|
Supposons
développé en série de Fourier sous la forme
![{\displaystyle \sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f18512d01dabb85c22e37e7a46800bb0137af)
Comme
est un polynôme du quatrième degré,
ne pourra dépasser 4 en valeur absolue et, par conséquent, si le dénominateur
de
est plus grand que 4,
sera identiquement nul et
la condition (9 bis) sera remplie d’elle-même ; la constante
demeurera indéterminée.
Si le dénominateur de
est égal à 2 ou à 4, la condition (9 bis)
déterminera
Si le dénominateur de
est égal à 3, la constante
a déjà été
déterminée par la condition (9) et la condition (9 bis) nous
servira à déterminer la constante
Calculons dans
les termes qui dépendent de cette constante
Nous trouverons évidemment
![{\displaystyle \gamma _{1}'\left({\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}e^{i(nt+\varpi )}-{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}e^{-i(nt+\varpi )}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a653700dfc1a0cd3c2132e0ccc94725ac52a8f5)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d\Theta _{1}}{d\varpi }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c97800d970b589451b3e013d6466a38896bf0e)
La valeur moyenne en sera
![{\displaystyle {\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a75e2dc4672157463e2f7e3db3818cda708dba)
La condition (9 bis) peut donc s’écrire
si l’on observe que
![{\displaystyle -n\left[{\frac {d^{2}\Theta _{1}}{d\eta _{0}\,d\varpi }}\right]={\frac {d^{2}[\Theta _{1}]}{d\varpi ^{2}}}{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cae8589d5213befde9cccb268e2fadba53f43d)
![{\displaystyle {\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d^{2}[\Theta _{1}]}{d\varpi ^{2}}}+\mathrm {H} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bed72f62240d4a5cf73de1352fe8ca763f9977)
dépendant de
mais pas de ![{\displaystyle \gamma _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cdfce331cbe18e968e512788569f6c8f69bd13)
Si le dénominateur de
n’est pas égal à 3,
est nul et la
condition (9 bis) est indépendante de
Si donc ce dénominateur
est égal à 2 ou à 4, l’équation (9 bis) dépendra de
et non de
et déterminera
Si le dénominateur est égal à 3, la condition (9 bis) dépend
de
et déterminera
(elle donnerait d’ailleurs
).
En tout cas, ayant ainsi déterminé
cherchons à calculer
à l’aide de la seconde équation (5). Nous disposerons de
de
façon que le second membre ait sa valeur moyenne nulle.
Remarquons que
ne sera pas nul en général et, en effet,
![{\displaystyle {\frac {d[\Theta _{2}]}{d\xi _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbf9f79d99c7018f174546ff7e4029b8b0008e5)
ne sera pas nul en général. Car
étant un polynôme de degré 4,
contiendra un terme en
indépendant des
et des
Le
coefficient de ce terme sera une fonction périodique de
de période
et la valeur moyenne n’en sera pas nulle en général.
Passons aux équations (5 bis) ou, ce qui revient au même, aux
deux dernières équations (5). Les seconds membres de ces deux
dernières équations devront avoir leurs valeurs moyennes nulles.
On devra donc avoir
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]=-2\mu _{2}\mathrm {B} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbce6da7c4e884fecb4924c46605d0eedcdf4fff)
ce qui détermine
Or
![{\displaystyle u_{0}{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}=\eta _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}}+\xi _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4225840b2a7a03617663d872edf6b3d38235b4)
est un polynôme du quatrième ordre.
contient donc des
termes en
et, par conséquent,
contient un terme en
![{\displaystyle u_{0}^{2}=\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{i(nt+\varpi )}\right)^{2}\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-i(nt+\varpi )}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1c2ed711e6185c0874334cf6b46c59eaec0dc4)
Le coefficient de ce terme est une fonction périodique de
dont
la valeur moyenne n’est pas nulle en général, Donc, en général,
et, par conséquent,
ne sont pas nuls. C’est le même raisonnement
que pour ![{\displaystyle \lambda _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b172dd98cbd3da10eb199060523f640a6f1acc5b)
On doit avoir ensuite
(12)
|
|
|
Mais je dis que cette condition est remplie d’elle-même.
Nous avons, en effet, l’intégrale des forces vives,
d’où nous déduisons la série d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{0}&=const.,&\Phi _{1}&=const.,&\Phi _{2}&=const.,&\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839417f12ecfdff9b8bce62824e9a8b1ff01dc0)
Considérons la troisième de ces équations
![{\displaystyle \Phi _{2}=\Theta _{2}-\xi _{2}-inu_{2}+\lambda _{2}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{2}u_{0}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67ac3fa486850c446cce659eb1cc812289f067e)
Cette équation peut remplacer la quatrième équation (5) et, quand
on aura déterminé
et
à l’aide des trois premières
équations (5), elle déterminera
sans aucune intégration. On
peut donc être assuré que la détermination de
est possible et,
par conséquent, que la condition (12) est remplie.
Nous aurons ainsi déterminé
à des termes près
![{\displaystyle \gamma _{2},\quad \delta _{2},\quad \gamma _{2}'e^{i(nt+\varpi )},\quad \delta _{2}'e^{-i(nt+\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e419bf39d55fcdb4df6de77ee5667aa561ab0a)
dépendant de quatre constantes arbitraires. Nous ne conserverons
qu’une seule de ces constantes et nous ferons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{2}=\delta _{2}&=0,&\delta _{2}'&=-\gamma _{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46352fe469683e386e30d7ce3cb2b51a44fa62aa)
363.Le calcul se poursuivrait de la même façon. L’intégrabilité
des équations (5) exige les conditions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]&=0,&\left[{\frac {d\Theta _{k}}{dv_{0}}}\right]&=0;\\\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}&=0,&\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]+2\mu _{k}\mathrm {B} _{0}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73e88ef613b41790f5192c28c0eda0ffd1a298b)
Les deux dernières de ces conditions détermineront
et
la
seconde sera une conséquence de la première, d’après ce que nous
avons vu à propos de la condition (12). Il nous reste donc à étudier
la première.
L’expression
est un polynôme d’ordre
si on le développe
en série de Fourier
![{\displaystyle \sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e29ba5bb845fbfadd2b0f980541bb084ad15116)
l’entier
ne peut dépasser
en valeur absolue. Si donc
est plus petit que le dénominateur de
on ne pourra avoir
![{\displaystyle p+qn=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e7ddb908597035600a369b2c75d413c5c0211f)
et la valeur moyenne de notre expression sera nulle. La condition
(13)
|
|
|
sera donc remplie d’elle-même.
Nous avons introduit les constantes arbitraires suivantes :
(14)
|
|
|
et
peut dépendre de
![{\displaystyle \varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k-1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cadbfdf90c1f51326610e259ecf2184369def242)
Voyons de quelle manière. Supposons que l’on considère le développement
(15)
|
|
|
et que dans ce développement on remplace les
les
les
et
les
par leurs valeurs ; les divers termes du développement dépendront
alors des constantes (14). Dans ce développement (15),
annulons toutes les constantes
en conservant seulement
nous obtiendrons ainsi un nouveau développement
(16)
|
|
|
Dans le développement (16), remplaçons maintenant la constante
par le développement
![{\displaystyle \varpi +\varepsilon \,\varpi _{1}+\varepsilon ^{2}\varpi _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e08aadfd3f77d9b1cdfa3cae3b167d7ea2b98c1)
où
sont de nouvelles constantes. Chacun des termes du
développement (16) peut à son tour se développer suivant les
puissances de
ordonnant de nouveau suivant les puissances
de
nous obtenons un développement nouveau
(17)
|
|
|
Ce développement doit être identique au développement (15) à la
condition de remplacer les constantes
par des fonctions convenablement
choisies des constantes ![{\displaystyle \gamma _{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2ba161517211c7bab1b875a8938f3b120b20d1)
Il est aisé de voir que
dépend seulement de
![{\displaystyle \varpi ,\quad \varpi _{1},\quad \ldots ,\quad \varpi _{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92305163c1408e3a22a886a69b7b4d5b124adcdb)
et que
dépend seulement de
![{\displaystyle \varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k-1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3deb962ffc93190c893646a41ca284d537cf46)
Nous en conclurons que
dépend seulement de
![{\displaystyle \gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba55c85df59a6da7e9beb16e55a721f2dad1964)
et
de
![{\displaystyle \varpi _{1},\quad \varpi _{2},\quad \ldots ,\quad \varpi _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20aeefee0b59833531cf490dbc26d91eb296390)
Il est aisé de voir que
![{\displaystyle \Phi _{k}''=\sum \mathrm {A\,D} \Phi _{m}'\,\varpi _{1}^{\alpha _{1}}\varpi _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \varpi _{k}^{\alpha _{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a12c4a1cf7523a447ad2162cc784ed5f623ec4e)
où
est un coefficient numérique et où
est une dérivée
de
par rapport à
l’ordre de cette dérivée est égal à
![{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8091068c18ac6cf0fc362cff7f1b0eb4d5e8b82d)
et l’on a d’ailleurs
![{\displaystyle k=m+\alpha _{1}+2\alpha _{2}+\ldots +k\alpha _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b47c5ab407b89c53469196cdb875b42e13c20f)
Comme
est au moins égal à 1, puisque
ne dépend pas de
on voit d’abord que
est nul, ce que d’ailleurs nous savions déjà.
Considérons un terme quelconque où
soient
nuls, mais où
ne soit pas nul ; on devra avoir
![{\displaystyle m\leqq k-h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591b44b8efbf44860e17e0cbe3c5f0973e2dd73a)
Si le dénominateur de
est plus grand que
la valeur
moyenne de
sera nulle ; ce qui veut dire que ceux des termes
de
qui dépendent de
ont leur valeur moyenne nulle.
Nous pouvons déduire de là un résultat important en ce qui
concerne la valeur moyenne de
et par conséquent celle de
Si le dénominateur de
est égal à
dépendra seulement
de
Si le dénominateur de
est égal à
dépendra de
et
Si le dénominateur de
est égal à
dépendra de
et
Si le dénominateur de
est égal à
dépendra de
et
Ce que je viens de dire de
s’applique d’ailleurs à
Donc, si le dénominateur de
est égal à
la relation (13),
où n’entrera que
déterminera
Si le dénominateur est égal à
la relation (13) contiendra
et
mais
aura été préalablement déterminé par la relation
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{k-1}}{d\eta _{0}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3648edf6f436f679b8af314d4507e2d311471a9)
La relation (13) déterminera donc
et par conséquent ![{\displaystyle \gamma _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cdfce331cbe18e968e512788569f6c8f69bd13)
Si le dénominateur est égal à
la relation (13) contiendra
et
mais
et
auront été préalablement déterminés par
des relations de même forme que (13). Donc (13) déterminera
et par conséquent
Et ainsi de suite.
Discussion.
364.Dans la solution à laquelle nous sommes parvenus figurent
encore les constantes arbitraires suivantes
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad u_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb25d15bcbb2f04f5e00ddd636995c4df486438)
Quant aux paramètres
et
ils nous sont donnés par leurs
développements suivant les puissances croissantes de
développements
dont nous avons calculé successivement les coefficients.
Ces coefficients
et
dépendent des deux constantes
et
ces coefficients ont été calculés à l’aide des équations
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}=\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]+2\mu _{k}\mathrm {B} _{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ec0d786a2d756b8ef9ef0f716741a396ff29dd)
et
sont des polynôme entiers en
![{\displaystyle \xi _{0},\,{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{\pm i(nt+\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab09254cd04a949b49ebef79a2861e2605bffbd)
Soit
![{\displaystyle \Theta _{k}=\sum \mathrm {P} \xi _{0}'^{h_{1}}\eta _{0}'^{h_{2}}\xi _{0}^{h_{3}}=\sum \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58f02020220d0b9241986c828eb022b918c860f)
où
est un polynôme entier par rapport à
(18)
|
|
|
dont les coefficients sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle \eta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567f458c000373b4ddd6021e8b897f51bbdd7b72)
Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {Q} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum \left({\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\right)\mathrm {Q} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c33fc88287b6e7a4625e6c89e884c754346ee6)
Remplaçons ensuite les quantités (18) par leurs développements
et soit
![{\displaystyle \mathrm {P} =\sum \mathrm {B} \,\xi _{0}'^{b_{1}}\eta _{0}'^{b_{2}}\xi _{0}^{b_{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205ebcd246762f5e5fe32975a926148c32948a95)
étant une fonction périodique de
de période
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {R} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum {\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b03064fbdeb1d3020ee3bc6c1c6500fb58b1aa6)
On obtiendra
![{\displaystyle \xi _{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right],\quad u_{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d179a9b71eb1a13ae5c876903634b6f2ab7ba73)
en conservant dans ces développements les termes indépendants
de
Or, les divers termes de
contiennent en facteurs les exponentielles
![{\displaystyle e^{ipt}\times e^{i(nt+\varpi )(b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312734f166da7bb77cfca8103722f0454fa7af37)
Pour que ce terme soit indépendant de
il faut que
![{\displaystyle p+n(b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbdfd4b72fe37326bb31a224a0affc3a3fb3978)
ce qui montre que
doit être divisible par le
dénominateur de
Donc
![{\displaystyle b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}>b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2}>{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d772f04f5d8445488740f43c4a1e9b1faab9772)
dénominateur de
![{\displaystyle n\geqq 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acabf05709c6a1ce0e8deba0d9b246d4a4b97936)
ce qui signifie que
est divisible par
puisque
y figure avec
l’exposant ![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74345c829740e0c5209d145927ecbd9ccc2db017)
Il n’y aurait d’exception que si l’on avait
![{\displaystyle b_{1}+h_{1}=b_{2}+h_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fc1a10cb9e722d60ddb7c4d20db883d0a53c70)
mais on aurait alors ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{1}+h_{1}&\leqq 1,\\b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}&\leqq 2,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88d27c82bc9c2befa466b78adc42bdc0cb928fb)
de telle façon que
serait encore divisible par
ou bien
![{\displaystyle b_{1}=h_{1}=b_{2}=h_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5845c2d9fc20aa6583afc8533ae873ea65d07a09)
d’où
![{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3f0171a09212623fe0aa26fa8fe702163eddaa)
mais alors le terme correspondant ne figurerait pas dans ![{\displaystyle u_{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b5e0d0f64c8d4a2298444f0ff1361c59c51854)
De même
sera toujours divisible par
à moins que
auquel cas, le terme ne figurerait pas dans
Donc, en résumé,
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right],\quad \left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2171a397c76e579cc47649fbe15bd3e44523b2f9)
et, par conséquent,
et
sont des polynômes entiers en
et
Donc
et
sont des séries développées suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02743a3fb0952b28bcc217ac8c7da10c6056fee6)
mais ces trois constantes n’y entrent pas d’une façon quelconque.
Rappelons-nous par quel artifice nous avons introduit la constante
auxiliaire
qui n’a servi qu’à simplifier l’exposition ; et
pour cela, reprenons pour un instant les notations du no 274 ; nous avons posé
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a24b588eac34a9999025ad4a4a1ec0f238cd55a)
Donc nos équations ne cessent pas d’être satisfaites quand on
change
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad x_{1}',\quad y_{1}',\quad x_{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262dfedabf037563ece443794fa7687d68d1f2bf)
en
![{\displaystyle \varepsilon k^{-1},\quad x_{1}'k,\quad y_{1}'k,\quad x_{2}'k^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe39f84119f41ab7b07be87b7bd73ada6d2957b)
et que les paramètres
et
conservent leurs valeurs primitives.
Nous avons ensuite supprimé les accents devenus inutiles et
nous avons développé
que nous désignions désormais
par les lettres
suivant les puissances de
Nous avons ainsi trouvé les développements
(19)
|
|
|
Nous ne cesserons pas de satisfaire aux équations si nous
changeons
en
et que nous multipliions les quatre
développements (19) respectivement par
![{\displaystyle k^{2},\quad 1,\quad k,\quad k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d986744d9e87bf27727fcbfa99562bb2259aef3)
ou, ce qui revient au même, si nous changeons
![{\displaystyle \xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0591b504f3d5d848e456b5ae96085b7f76ad447)
en
![{\displaystyle \xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d681849dfe03cf06059cf8bf5026126368a2945)
On doit, par ce changement, retomber sur des développements
identiques aux développements (19), mais avec des valeurs différentes des constantes
et
Mais on voit que par ce changement
et
se sont changés en
et
Donc
![{\displaystyle \xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0591b504f3d5d848e456b5ae96085b7f76ad447)
se changent en
![{\displaystyle \xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{-p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183ce3ad39958f660e0b2fb92602918513b8e40b)
quand
et
se changent en
et ![{\displaystyle k^{2}u_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cfe581f103a7d789a38446bf3630a1f74bc0ec)
En d’autres termes, si l’on multiplie respectivement les quatre
développements (19) par
les quatre produits ainsi
obtenus seront développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}\xi _{0},\quad \varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bae4e01a53a15b8fea9fac3a4d1275947388b8)
et il devra en être de même de
et de
qui n’ont pas dû
changer quand
se changeaient en
![{\displaystyle k^{2}u_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cfe581f103a7d789a38446bf3630a1f74bc0ec)
Supposons donc
et
exprimés en fonctions de
et
il est clair que nous aurons ainsi des relations d’où nous pourrons
inversement tirer
et
fonctions de
365.Soit
le dénominateur de
la constante
sera
alors déterminée par l’équation
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d403b86fad0a52a35a341270d51c571b078925)
Il n’y a d’exception que dans le cas de
où
est déterminée par
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8e25586411bb4fae4dde2af862aefa0dc78d00)
L’expression
est un polynôme entier de degré
par
rapport à
![{\displaystyle e^{\pm i(nt+\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6f9865e6a1e44ed612e287d9580231e123c19a)
Chacun de ces termes contient donc des facteurs de la forme
![{\displaystyle e^{\pm iq(nt+\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2469d094efcf3e0fcd63bccdf6a6bf5f07fa20c1)
Dans la valeur moyenne
il ne restera que les termes indépendants de
et nous avons vu que
doit être divisible par le
dénominateur de
c’est-à-dire par ![{\displaystyle k+2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a6200a5d2c56c544cadb2d230ca967bc0256fc)
Donc notre expression est de la forme suivante
![{\displaystyle ae^{i\varpi (k+2)}+b+ce^{-i\varpi (k+2)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c0c67f7e5bef02e8e3ba8467e7803a2607b1dd)
Je vais montrer maintenant que le coefficient
est nul.
Pour cela, j’emploierai l’artifice suivant : calculons
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\xi _{0},&\xi _{1},&\ldots ,&\xi _{k-1},\\\eta _{0},&\eta _{1},&\ldots ,&\eta _{k-1},\\\xi _{0}',&\xi _{1}',&\ldots ,&\xi _{k-1}',\\\eta _{0}',&\eta _{1}',&\ldots ,&\eta _{k-1}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7001fc7ff99b80390f5d5748f81fc0e06c429f29)
par le procédé exposé plus haut ; mais, dans le calcul de
au
lieu d’attribuer à
une valeur qui annule
je conserverai
à
une valeur arbitraire. Alors l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\xi _{k}}{dt}}={\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cbdac8729292a7459aa8f9a0e038fbe0849d97)
me permettra tout de même de calculer
seulement
au lieu
d’être une fonction périodique de
sera une fonction périodique
de
plus un terme non périodique
![{\displaystyle t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105a871548e599dac4bf353d6ec9128b7bdd5119)
Or, nous avons un autre moyen de calculer
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\xi _{0},&\xi _{1},&\ldots ,&\xi _{k},\\\eta _{0},&\eta _{1},&\ldots ,&\eta _{k-1},\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7611bc3848f1660d721de21c71c09cd2f5375046)
et, par conséquent, ce terme
c’est de refaire le calcul du
no 274.
Nous déterminerons
à l’aide des équations (2) de la page 97.
Le calcul de
se fera sans aucune difficulté ;
mais nous serons arrêtés au moment du calcul de
par l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dv}}=\Phi +\mathrm {C} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b09bbe323e4eddd8d6081184e09f0f0e7be8563)
Le second membre est, en effet, un ensemble de termes de la
forme
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{im_{1}y_{2}+m_{2}v},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb808bce19b5005a3f9b2af98185f4ce2b5ba277)
et
étant entiers ; et l’intégration se fait sans obstacle,
pourvu que l’on n’ait pas
![{\displaystyle im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9304ff0acf582f34f7f2e557c500411de4feebcf)
Or, comme
est égal à
étant un nombre commensurable
dont le dénominateur est égal à
le second membre de
notre équation contiendra des termes satisfaisant à cette condition.
Il en résulte que
ne sera pas une fonction périodique
de
et
mais pourra être égalé à
![{\displaystyle \mathrm {T} _{k}-y_{2}\mathrm {U} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f6d2930c6b96ee2f825f2c46b569e2117ca725)
et
étant périodiques.
Ayant ainsi déterminé la fonction
et poussé l’approximation
aux quantités près de l’ordre de
on peut employer le procédé
du no 275 et déterminer ainsi
Ces deux modes de calcul doivent conduire au même résultat.
Soit donc
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\mathrm {S} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e49b5aed9d9bcab08c7591b9d70d266a73ca56)
Construisons les équations (Cf. p. 99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\Sigma }{dy_{2}}},&u&={\frac {d\Sigma }{dv}},&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\Sigma }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\Sigma }{d\beta _{0}}},\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f611bf4cfa63454507b5f0f082b23c7ecf8ac1)
et tirons-en
en fonction de
la valeur de
ainsi trouvée
devra être égale à
![{\displaystyle \xi _{0}+\varepsilon \xi _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\xi _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e93257f698481b6ac2459fc2224fae0bd7146f)
aux quantités près de l’ordre de ![{\displaystyle \varepsilon ^{k+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7090134b25f7f6fc356690f835e5f6b6c97e361)
Ce qui nous intéresse, c’est le calcul de
et, en particulier,
celui du terme séculaire
![{\displaystyle t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105a871548e599dac4bf353d6ec9128b7bdd5119)
Ce terme séculaire ne peut provenir que du terme séculaire de
qui est égal à ![{\displaystyle y_{2}\mathrm {U} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48cf26e49e4b06dbe777a5e92d9ab29abc18e2f)
Nous avons donc, à des quantités près de l’ordre de
en
égalant les termes séculaires dans l’équation
(20)
|
|
|
En première approximation, c’est-à-dire aux quantités près de
l’ordre de
on a (Cf. p. 99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=1\,;&n_{2}&=in\,;&n_{2}t+\varpi _{2}&=v=v_{0}=i(nt+\varpi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c93ca466079ab4bf38aff81afd3172f3803cc5)
Nous commettrons donc une erreur de l’ordre de
si, dans le
second membre de (20), nous remplaçons
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \beta _{0},\quad y_{2},\quad v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf5285ff522e8cbce606ae38a78b0dd64b5490d)
par
![{\displaystyle \xi _{0},\quad u_{0},\quad t,\quad i(nt+\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a967b86e63865950d78e45006faf6c502f062576)
Nous obtiendrons donc
en faisant cette même substitution
dans
Mais
ne contient que des termes en
![{\displaystyle im_{1}y_{2}+m_{2}v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898fdd7d93c99a2c8b14709bd9c128d7a45b10cf)
où
![{\displaystyle im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9304ff0acf582f34f7f2e557c500411de4feebcf)
On a donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}=-2\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dv}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e0c7a1231f16589477cece0cd0ec286588a2ec)
Or,
est une fonction périodique de
et
donc
ne
contient pas de terme indépendant de
Donc
ne contient
pas de terme indépendant de
C. Q. F. D.
Pour faciliter l’intelligence du calcul qui précède, je ferai
encore une remarque. Les moyens mouvements
et
sont
donnés par
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aa4fd10ad7a9b7481a9abb0e3fc3a345f510c9)
En général, ils dépendent de
et ils ne se réduisent à 1 et
que pour
Mais ici nous disposons de deux paramètres
et
qui peuvent être remplacés par des fonctions arbitraires de
ou, si l’on préfère,
nous disposons d’une infinité de constantes
Nous pouvons alors disposer de ces constantes de telle
façon que
et
restent égaux à 1 et à
quel que soit
366.Nous avons donc pour déterminer
une équation de la
forme
![{\displaystyle ae^{(k+2)i\varpi }+ce^{-(k+2)i\varpi }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4f87d08b4c8f1c43e5620002fad4d5a2b7a000)
où
et
sont imaginaires conjugués. En général,
et
ne sont
pas nuls, sans quoi
ne pourrait être déterminé qu’à l’approximation
suivante.
L’équation nous donnera donc pour
une série de valeurs
réelles
![{\displaystyle \varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {3\pi }{k+2}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f91358f775eb4e4960c037aebd689efb82472c)
Il est clair que l’on n’a pas deux valeurs réellement distinctes
quand on change
en
mais il y a plus ; je dis que les
deux valeurs
![{\displaystyle \varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723bb6b63e6350b2582686e9a7f7f14619bec779)
ne correspondent pas à deux solutions périodiques réellement
distinctes.
En effet, comme
n’entre pas explicitement dans nos équations,
en changeant
en
on transforme une solution périodique
quelconque en une autre qui n’est pas essentiellement
distincte.
Changeons donc
en
étant entier.
Alors
se change en
et
en
![{\displaystyle i(nt+2nh\pi +\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b5c9f538289f244f3c84b575b38369f243ad4a)
Comme toutes nos fonctions sont périodiques, de période
en
et
nous ne changerons rien à notre solution en
retranchant respectivement de
et
deux multiples de
par
exemple
et
Alors
sera redevenu
et
se sera
changé en
![{\displaystyle i(nt+2nh\pi +\varpi -2h'\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2441ffe583cf40814301e279f2f4d8a05d122f22)
En d’autres termes, nous aurons changé
en
![{\displaystyle \varpi +2\pi (nh-h').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5700a30ecbb6775c6ba80ca2ba12247dca853e)
Mais nous pouvons toujours choisir les entiers
et
de telle
façon que
![{\displaystyle nh-h'={\frac {1}{k+2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3294579f95761752df7e790c26e6c80d6a04ff)
On ne trouve donc pas une solution réellement nouvelle en
changeant
en
C. Q. F. D.
Nous n’avons donc que deux solutions réellement distinctes,
correspondant aux deux valeurs suivantes de
![{\displaystyle \varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c162f6c748aac248938f15e38de664a9794c65)
Il nous reste à déterminer les constantes
et
pour
cela nous nous servirons des équations qui lient ces deux constantes
à
et à
Dans les questions que l’on a habituellement
à traiter, on n’a qu’un seul paramètre arbitraire et nous n’en
avons introduit deux que pour la commodité de l’exposition. Il
conviendra donc de supposer
et
liés par une relation, par
exemple
Le développement de
et celui de
suivant les puissances
de
et
commence en général par des termes en
et
en
(si l’on met à part le cas où le dénominateur de
est
égal à 3).
Si donc on suppose
on tirera de là
et
développés
suivant les puissances de
et, de deux choses l’une, ou
bien les coefficients du développement suivant les puissances
de
seront réels, ou bien au contraire ce seront les coefficients
du développement suivant les puissances de
qui seront
réels.
Dans le premier cas, le problème comportera deux solutions
réelles pour
et n’en comportera aucune pour
dans
le second cas, ce sera le contraire.
Pour savoir lequel de ces deux cas se réalise, examinons l’équation
qui lie
à
en nous bornant aux termes en
il viendra
(21)
|
|
|
J’observe d’abord que
et
sont indépendants non
seulement de
mais de
il n’y a d’exception que pour
![{\displaystyle k+2=2,\,3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca93edbd88b58d65197492ca9dd2e752fe8916bf)
ou
![{\displaystyle \,4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cbec3fffeb27ea4fd68ab3aafa9035578c3621)
Car, pour
les termes de la forme
![{\displaystyle e^{i(pt+qnt+q\varpi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febafd57f079ab4cc0c459982d55b3ab5a5f8b0a)
qui peuvent entrer dans le second membre de l’une des équations (21)
ne peuvent être indépendants de
que si
![{\displaystyle q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482f679ed3ab0438b40d3948d9b5f5c2f413f84a)
puisque
ne peut dépasser 4 et que
doit être entier.
Ainsi les seconds membres des équations (21) sont des fonctions
linéaires et homogènes de
et
et les coefficients de
ces fonctions linéaires sont des constantes absolues indépendantes
de
.
Mais
doit être positif ; sans quoi
serait Imaginaire. Les
équations (21) jointes à l’inégalité
détermineront le signe
de
Je remarque seulement que ce signe ne dépend pas de
puisque les équations (21) n’en dépendent pas. Or, nous avons
vu que l’équation qui détermine
comporte deux solutions
réellement distinctes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa6776432b07923d56ec0fc6555e867294fb2c4)
À chacune d’elles correspond une solution périodique qui sera
réelle si le signe de
est convenablement choisi, conformément
à ce qui précède. Le choix de ce signe ne dépendant pas de
ces deux solutions seront toutes deux réelles pour
et toutes
deux imaginaires pour
ou bien ce sera le contraire.
Il semble d’abord qu’à chaque solution de l’équation en
correspondent deux solutions périodiques, puisque l’on tire des relations
entre
et
deux systèmes de valeurs pour les
inconnues
et
Il n’en est rien cependant. Nous pouvons
en effet sans restreindre la généralité supposer
positif ; car
nous ne changeons rien à nos formules en changeant
en
et
en
Or, de nos deux systèmes de valeurs il n’y en a qu’un pour
lequel
soit positif.
Donc :
Deux solutions périodiques réelles du deuxième genre pour
(ou pour
).
Aucune solution du deuxième genre pour
(ou pour
).
Reprenons les notations du Chapitre XXVIII et, en particulier,
du no 331.
se réduit à
et correspond au terme en
qui figure
dans
se réduit à un facteur constant multiplié par
correspondant
aux termes provenant de
et
Le premier terme de
qui ne se réduit pas à une puissance
de
est de la forme
![{\displaystyle \rho ^{k+2}\left[\mathrm {A} \cos(k+2)\varphi +\mathrm {B} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6364954c2fee83e5bffacbddf4f63d564aef67f7)
et provient de ![{\displaystyle \Theta _{k+2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b49b61d4e2fa8ee1a577c8f623ca6b8b2a9253b)
La fonction dont nous avons à étudier les maxima et minima et
qui doit jouer le rôle de la fonction
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc14058859a207e8b657cec1da6511a80ea739b)
étudiée à la page 246, cette fonction, dis-je, sera de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \rho ^{k+2}\cos(k+2)\varphi +\mathrm {P} \rho ^{4}-z\rho ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835236fd9eae80c9dae44c4362af59c1d8baeeca)
étant un polynôme entier en
à coefficients constants.
Nous avons laissé de côté les cas particuliers où le dénominateur
de
est égal à 2, 3 ou 4.
Discussion des cas particuliers.
367.Supposons que ce dénominateur soit égal à 4.
Alors
ne seront plus indépendants de
ils contiendront des termes en
L’équation en
donnera toujours deux solutions distinctes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991d34e223405d1e6309fc7e8fbe7c98eac9f612)
qui nous donneront deux solutions périodiques ; seulement le
signe de
pouvant dépendre de
il pourra se faire que l’on ait :
Deux solutions réelles du deuxième genre pour
zéro solution
pour
Une solution réelle du deuxième genre pour
une solution
pour
Zéro solution réelle du deuxième genre pour
deux solutions
pour
La fonction
de la page 246 devient
![{\displaystyle \rho ^{4}\left(\mathrm {A} \cos 4\varphi +\mathrm {B} \right)-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7207a570e646225585c6bc7a6a1764a37d90d4a7)
Supposons maintenant que le dénominateur de
soit égal à 3.
Alors le développement de
suivant les puissances de
commence
par un terme en
de sorte que si l’on suppose µ=λ,
on tirera
et
en séries développées suivant les puissances
de
et non plus de
Le signe de
dépendra de
et s’il est positif pour
il sera négatif pour
Si donc nous convenons toujours de supposer
essentiellement
positif, nous verrons facilement que nous avons :
Une solution du deuxième genre réelle pour
et une solution
du deuxième genre réelle pour
La fonction
de la page 246 devient
![{\displaystyle \mathrm {A} \rho ^{2}\cos 3\varphi -z\rho ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b43ee6544e37dd6c93b3b11c62ea52624c76b8d)
Si enfin le dénominateur de
est égal à 2,
contiennent des termes en
L’équation en
prend la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos(4\varpi +\mathrm {B} )+\mathrm {A} '\cos(2\varpi +\mathrm {B} ')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95edcaedd08930fe9b0c4d8c4d83dd2a1ba1c54d)
et elle admet huit solutions
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\varpi _{0},&\varpi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}},&\varpi _{0}+\pi ,&\varpi _{0}+{\dfrac {3\pi }{2}},\\\varpi _{1},&\varpi _{1}+{\dfrac {\pi }{2}},&\varpi _{1}+\pi ,&\varpi _{1}+{\dfrac {3\pi }{2}}\cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae40acf11f8d033f7eebc8d4ed5abdebe8f72ef)
Des deux quantités
et
une au moins est réelle.
Les hypothèses suivantes restent possibles :
Le premier nombre entre parenthèses représente le nombre des
solutions périodiques pour
et le second est ce même nombre
pour
La fonction de la page 246 devient
![{\displaystyle \mathrm {A} \rho ^{4}\!\cos 4\varphi +\mathrm {B} \rho ^{4}\!\cos 2\varphi +\mathrm {C} \rho ^{4}\!\sin 2\varphi +\mathrm {D} \rho ^{4}-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0897db4b598952f3fb4c8974ff2c98f5537fca4f)
Application aux équations du no 13.
368.Revenons aux équations canoniques de la Dynamique :
(1)
|
|
|
Je suppose comme au no 13, auno 42, au no 125, etc. que
est une fonction périodique des
développable suivant les
puissances d’un paramètre
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0a09b71d0ab876711e058ecacc993e740cea46)
et que
dépend seulement des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Nous avons vu alors au no 42 que ces équations admettent une
infinité de solutions périodiques du premier genre
(2)
|
|
|
les fonctions
et
étant développables suivant les puissances
croissantes de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Considérons l’une de ces solutions (2).
Soit
la période et
l’un des exposants caractéristiques ; il y
en aura deux, différents de zéro, égaux et de signes contraires où
nous supposons deux degrés de liberté.
On a vu au Chapitre IV que
dépend de
et est développable
suivant les puissances de
Quand
variera d’une manière
continue, il en sera de même de
supposons que, pour
soit commensurable avec
et égal à
Nous pourrons en conclure que, pour
voisin de
il existe
des solutions du second genre, dérivées de (2) et dont la période
est
désignant le dénominateur de
Si nous laissons de côté les cas où
est égal à
ou
nous avons vu que deux de ces solutions existent quand
(ici
) a un certain signe, et qu’il n’en existe pas
quand
(ici
) a le signe opposé.
j’ai dit que j’ai laissé de côté les cas où
je
puis le faire sans inconvénient. En effet
![{\displaystyle {\frac {\alpha \mathrm {T} }{2i\pi }}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f703222383eb478e190ba3e51a9570c99584a296)
est développable suivant les puissances de
et s’annule
avec
Pour les petites valeurs de
est donc très petit
et son dénominateur est certainement plus grand que 4.
Nous nous trouvons donc en présence de deux hypothèses :
Ou bien les solutions du second genre existent seulement
pour
ou bien elles existent seulement pour
Quelle est celle de ces deux hypothèses qui est réalisée ?
Tout dépend du signe d’une certaine quantité
dépendant
elle-même des coefficients de
et
0 dans
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\quad \left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd95d33bbe3eb27febb108cf57eb64762423ce6)
Pour déterminer ce signe, nous n’aurons pas besoin de former
effectivement cette quantité et les considérations suivantes suffiront.
369.Prenons d’abord un cas simple qui sera celui du no 199 :
soit
![{\displaystyle \mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af0e7baa7d06c1ea26c881c90dd44c0c405fba2)
avec les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438bc34566b50ec57a2f8f1474e289b6dc5c84b4)
ce qui donne
(1)
|
|
|
La fonction
de Jacobi s’écrit
![{\displaystyle \mathrm {S} =x_{2}^{0}y_{2}+\int {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeadd59a9c2244038610bcc0bfc745f4777a4175)
avec deux constantes
et
et l’on en tire
(2)
|
|
|
et
étant deux nouvelles constantes d’intégration.
On voit s’introduire l’intégrale elliptique
(3)
|
|
|
cette intégrale possède une période réelle, qui est l’intégrale prise
entre
et
si
et deux fois l’intégrale prise entre
![{\displaystyle \pm \operatorname {arc~cos} \left|{\frac {\mathrm {C} }{\mu }}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676a3733f479372b7c79f06cabf3a5f9cdb2e14f)
si ![{\displaystyle |\mathrm {C} |<|\mu |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda1623f8a474866912290a3a98a5b5eef4d800b)
Appelons
cette période réelle.
À toute valeur de
commensurable avec
correspond une
solution périodique ; mais deux cas sont à distinguer.
Si
et
pendant une période augmentent d’un
multiple de
Les solutions périodiques correspondantes sont
des solutions du premier genre.
Si
pendant une période augmente d’un multiple de
et
revient à sa valeur primitive. Les solutions correspondantes
sont des solutions du second genre.
À cette énumération il faut adjoindre deux solutions périodiques
remarquables qui doivent être considérées comme du premier
genre. Soit
ces solutions seront
(4)
|
|
|
J’ai dit que ces dernières solutions devaient être considérées
comme du premier genre et que les solutions correspondant
à
doivent être regardées comme du second genre.
En effet, donnons à
une valeur très peu supérieure à
soit
![{\displaystyle \mathrm {C} =(\varepsilon -1)\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fac8cc74930e70ca4eff1049a2d7ec55cc0aac)
étant très petit ;
ne pourra beaucoup s’écarter de
nous
aurons approximativement
![{\displaystyle \mathrm {C} -\mu \cos y_{1}=\mu \left[\varepsilon -{\frac {(\pi -y_{1})^{2}}{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf35bee65d1ff80cf87d7306c03848f8caf4de3)
et la période
sera sensiblement égale à
![{\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {2\mu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04271f291ee757910ce9365a18717dfe831cce8e)
d’où cette conclusion : soit
un nombre quelconque commensurable
avec
il existe une série de solutions périodiques telles
que
et que
si
est très voisin de
sera
très voisin de
et pour
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}={\frac {\pi }{\sqrt {2\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043f3210c9e251741f0b6b7d4a217c09d891ca29)
ces solutions périodiques se confondront avec la seconde
solution (4) qui est du premier genre. Nous reconnaissons là la propriété
caractéristique des solutions du second genre.
On voit que la seconde solution (4), c’est-à-dire celle des deux
solutions (4) qui est stable, engendre des solutions du second
genre de la façon qui a été expliquée au Chapitre XXVIII.
Si les autres solutions du premier genre, celles qui sont telles que
n’engendrent pas de solutions du second genre,
cela tient à la forme très particulière des équations (1). (Pour ces
solutions, les exposants caractéristiques sont toujours nuls.)
Considérons d’abord les solutions du premier genre, telles
que
Posons
la période
c’est-à-dire l’intégrale (3)
prise entre
et
sera développable suivant les puissances de
et de
et le terme tout connu se réduira à
![{\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2286923a019002b4c6a7193907ee6e7a361d13fa)
Donnons à
une valeur commensurable quelconque ; nous
aurons une solution périodique toutes les fois que nous aurons
![{\displaystyle \omega ={\frac {\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739c2d44af5c441737b3b07608b7c8b352b72f7b)
L’équation est satisfaite pour
et de cette équation
on pourra tirer
et par conséquent
en série procédant suivant
les puissances de
Les équations (2) nous donneront alors
et
développés suivant les puissances de
Ce sont les développements
du Chapitre III.
Passons aux solutions du second genre telles que
Posons
nous aurons
![{\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965d2e3986f1e9cc0b73cea5a51d7abc4afa71f6)
On voit que
est seulement fonction de
d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}&={\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}},&(\mathrm {A} -t){\sqrt {\overset {}{\mu }}}&=\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2994d0b7a3ebe48530b0b30f01ad05dc23b9745f)
ce qui nous montre que
et
sont fonctions
de
et de
doublement périodiques par rapport
à
Ce sont donc aussi des fonctions de
et
de
puisque
est fonction de
si donc nous donnons
à
une valeur constante, commensurable avec
nous obtiendrons une série de solutions périodiques ; pour ces solutions
![{\displaystyle \cos y_{1},\quad \sin y_{1}\;\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abaf6aaf188689bc9bdc7543ac63567ea71d36bc)
et
![{\displaystyle \;\;\;{\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22b24a7fad1377de4f7ab99104094fa1539336)
peuvent se développer en séries de Fourier suivant les sinus et les
cosinus des multiples de
étant le plus petit commun multiple
de
et de
Un coefficient quelconque du développement
est fonction de
et c’est cette fonction que je voudrais étudier.
Pour cela, il faut d’abord étudier la relation entre
et
Nous pouvons faire varier
depuis
jusqu’à
Pour
on a
![{\displaystyle \omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce85acbdf5aecb11c5c3373f75cd4a7399af8d8)
Pour
on a
donc, quand
varie depuis
jusqu’à
augmente de
à
Il n’existe donc de solution périodique correspondant à une
valeur de
donnée, commensurable avec
que si
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6887c1034ed45864ccdfa78cca870ff7b8c5e0d1)
Les coefficients du développement de Fourier sont donc des fonctions
de
qui sont réelles pour
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c5a8327937605c069d564c0f84bcc1b664ca4d)
et imaginaires pour
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6887c1034ed45864ccdfa78cca870ff7b8c5e0d1)
Il est évident que le même raisonnement conduirait au même
résultat si, au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbfc0b515ccd1aef8c6f886b4d11b8558bdc21f)
on avait eu
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu [\mathrm {F} 1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f5fad2e0b82c7b6609480fd29a06ba324d2fe)
dépendant de
et
seulement,
de
et
seulement. Là encore les solutions du second genre auraient été réelles
pour ![{\displaystyle \mu >\mu _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cec12181352f58c38d2dbe533cd2522bd2e5946)
370.Dans le cas général, la quantité
dont il a été question
à la fin du no 368, et dont nous cherchons à déterminer le signe,
dépend évidemment de
et, si
est suffisamment petit, c’est le
premier terme du développement qui donnera son signe.
Déterminons la fonction
par la méthode de Bohlin et soit
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\mu \,\mathrm {S} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3a296defc49faf35080ecb3515a053a9f06cc6)
Si
est assez petit, ce sont évidemment les deux premiers termes
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d958e70423e205118f418a870e1cf022fb2614a6)
qui seront les plus importants. Or, si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfe83ba5688cc6098e9b31a15a34bf3c5c77cae)
nous avons vu au Chapitre XIX que
et
ne dépendent
ni de
ni de
mais seulement de
et de
en
désignant par
la valeur moyenne de ![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19755ffce5cb08033e4489ba9ac587ea992e6533)
Reprenons la quantité
du no 368 ; le premier terme de son
développement dépendra seulement de
et
et par conséquent
de
et
Il sera donc le même que si l’on avait supposé
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \left[\mathrm {F} _{1}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d091cd9028e55799adfaf3aac1ae726e402bd684)
le même par conséquent qu’au numéro précédent.
Or, au numéro précédent nous avons trouvé que les solutions
du second genre existent seulement pour
![{\displaystyle \mu >\mu _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cec12181352f58c38d2dbe533cd2522bd2e5946)
Cette conclusion subsiste donc encore dans le cas général, pourvu
que
soit suffisamment petit.
Quelle est la valeur de
pour laquelle cette conclusion serait
renversée ?
Reprenons les notations du no 361 qui sont celles du no 275 ;
l’exposant
qui y figure est développable suivant les puissances
du produit
Il se réduit à l’exposant caractéristique pour
Comme nous supposons la solution du premier genre stable et
imaginaire,
et
sont imaginaires conjugués et le produit
est positif.
Pour les petites valeurs de
est décroissant quand
croit ; si c’était le contraire, les solutions du second genre existeraient
seulement pour
La valeur de
cherchée est donc celle pour laquelle
cesse
de décroître quand
croît ; c’est donc celle qui annule la dérivée
de
par rapport à