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égale à une quantité constante. M. l’abbé de Gua dans ses usages de l’analyse de Descartes, a déterminé les principales propriétés de cette courbe. Il y examine les différentes figures qu’elle peut avoir, & dont nous avons rapporté quelques-unes à l’article Conjugué, & il conclud que cette courbe n’a pas été bien connue par ceux qui en ont parlé avant lui, si on en excepte cependant l’illustre M. Grégory. Voyez astron. physiq. & géométr. élément. page 33’. édit. de Geneve, 1726, ou les trans. phil. Sept. 1704.

Pour avoir une idée des propriétés de cette courbe, soit a son demi-axe, f la distance d’un des foyers au centre, x l’abscisse prise depuis le centre, y l’ordonnée, on aura, comme il est aisé de le prouver par le calcul $\scriptstyle (xx-2fx+ff+yy)(xx+2fx+ff+yy)=(aa-ff)^{2}$, par la propriété de cette courbe, ou $\scriptstyle (yy+ff+xx)^{2}-4ffxx=(aa-ff)^{2}$, ou enfin $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {}}[-ff-xx\pm {\sqrt {(aa-ff)^{2}+4ffxx}}]$ ; donc, 1°. cette équation ne donnera jamais que deux valeurs réelles tout au plus pour y, l’une positive, l’autre négative, & égale à la positive ; car les deux valeurs qu’on auroit en mettant le signe − devant $\scriptstyle {\sqrt {(aa-ff)^{2}+4ffxx}}$ seroient imaginaires, puisque y seroit la racine d’une quantité négative. 2°. En supposant même le signe + devant cette derniere quantité, il est visible que la valeur de y ne sera réelle que quand $\scriptstyle (aa-ff)^{2}+4ffxx$ sera > ou $\scriptstyle =(ff+xx)^{2}$, c’est-à dire quand $\scriptstyle a^{4}-2ffaa+2ffxx-x^{4}$ sera > ou = 0. Donc si $\scriptstyle (aa-ff)^{2}$ est $\scriptstyle >(xx-ff)^{2}$ ou $\scriptstyle >(ff-xx)^{2}$, l’ordonnée sera réelle, sinon elle sera imaginaire.

Donc si $\scriptstyle aa=2ff$, l’ordonnée sera nulle au centre, & la courbe aura la figure d’un 8 de chiffre ou lemniscate (Voyez Lemniscate) ; car on aura alors $\scriptstyle xx=$ ou $\scriptstyle >2ff-aa$, condition pour que l’ordonnée soit nulle ou réelle. Si $\scriptstyle 2ff>aa$, les ordonnées réelles ne commenceront qu’au point où $\scriptstyle x=\pm {\sqrt {2ff-aa}}$, & elles finiront au point où $\scriptstyle x=a$ ; car $\scriptstyle (aa-ff)^{2}$ doit aussi être > ou $\scriptstyle =(xx-ff)^{2}$. Ainsi dans ce cas la courbe sera composée de deux courbes conjuguées & isolées, distantes l’une de l’autre de la quantité $\scriptstyle 2{\sqrt {2ff-aa}}$ ; & si dans cette supposition on a de plus $\scriptstyle a={\sqrt {2ff-aa}}$ ou $\scriptstyle f=a$, la courbe se réduira à deux points conjugués uniques. Si $\scriptstyle f>a$, la courbe sera totalement imaginaire. Enfin si $\scriptstyle 2ff<aa$, la courbe sera continue, & aura toutes ses ordonnées réelles, égales & de signe contraire, depuis $\scriptstyle x=0$ jusqu’à $\scriptstyle x=a$.

Cette courbe que M. Cassini avoit voulu introduire dans l’Astronomie, n’est plus qu’une courbe purement géométrique & de simple curiosité, car on sait que les planetes décrivent des ellipses apolloniennes ou ordinaires. On demandera peut-être par quelle raison M. Cassini avoit substitué cette ellipse à celle de Kepler. Voici ma conjecture sur ce sujet. On sait que la plûpart des planetes décrivent des ellipses peu excentriques. On sait aussi, & on peut le conclure de l’article ellipse qui précede, que dans une ellipse peu excentrique les secteurs faits par les rayons vecteurs à un foyer sont proportionnels à très-peu-près aux angles correspondans faits à l’autre foyer ; & c’est sur cette propriété que Ward ou Sethus Wardus a établi sa solution approchée du problème qui consiste à trouver l’anomalie vraie d’une planete, l’anomalie moyenne étant donnée. Voyez Ellipse & Anomalie. Voyez aussi les instit. astronomiq. de M. le Monnier, page 506, & suiv. Le rapport du secteur infiniment petit à l’angle correspondant, est comme le rectangle des deux lignes menées au foyer, & dans une ellipse peu excentrique, ce rectangle est à-peu-près constant : voilà le principe de Ward. Or M. Cas-

sini paroît avoir raisonné ainsi : Puisque le rapport des secteurs élémentaires aux angles correspondans est comme ce rectangle, il sera constant dans une courbe où le rectangle seroit constant ; il a en conséquence imaginé sa Cassinoïde.

Mais, 1°. quand la Cassinoïde auroit cette propriété de la proportionnalité des secteurs aux angles, ce ne seroit pas une raison pour l’introduire dans l’Astronomie à la place de l’ellipse conique que les planetes décrivent en effet ; que gagne-t-on à simplifier un problème, lorsqu’on change l’état de la question ? 2°. Si dans l’ellipse conique le rapport des secteurs aux angles est comme le rectangle des deux lignes menées aux foyers, c’est que la somme de ces deux lignes est constante (Voyez Ellipse) ; sans cela la proportion n’a plus lieu. Ainsi même dans l’ellipse cassinienne les secteurs ne sont pas comme les angles. J’ai crû cette remarque assez importante pour ne la pas négliger ici. (O)

ELLIPSE, nom que les Horlogers donnent à une piece adaptée sur la roue annuelle d’une pendule d’équation. Voyez la figure 41. Planche d’Horlogerie. C’est une grande plaque de laiton dont la courbure est irréguliere, mais ressemblant à-peu-près à celle d’une ellipse. Cette piece sert à faire avancer ou retarder l’aiguille des minutes du tems vrai selon l’équation du soleil. Voyez là-dessus l’article Pendule d’équation, où l’on explique comment cela se fait, & de quelle maniere on donne à cette plaque la courbure requise. (T)

ELLIPSOIDE, s. m. (Géom.) est le nom que quelques géometres ont donné au solide de révolution que forme l’ellipse en tournant autour de l’un ou de l’autre de ses axes. Voyez Sphéroïde & Conoïde. L’ellipsoïde est allongé, si l’ellipse tourne autour de son grand axe ; & applati, si elle tourne autour de son petit axe. Voyez Allongé, Applati. L’ordonnée de l’ellipse génératrice est toûjours à l’ordonnée correspondante du cercle qui a pour diametre l’axe de révolution, comme l’autre axe est à l’axe de révolution : donc les cercles décrits par ces ordonnées (lesquels cercles forment les élémens de la sphere & de l’ellipsoïde) sont entr’eux comme le quarré de l’axe de révolution est au quarré de l’autre axe : donc la sphere est à l’ellipsoïde comme le quarré de l’axe de révolution est au quarré de l’autre axe. Voyez Axe, Conjugué, Cercle, Conoïde. (O)

ELLIPTICITÉ, s. f. (Géom.) Quelques géometres modernes ont donné ce nom à la fraction qui exprime le rapport de la différence des axes d’une ellipse, au grand ou au petit axe de cette ellipse. Plus cette fraction est grande, plus, pour ainsi dire, l’ellipse est ellipse, c’est-à-dire plus elle s’éloigne du cercle par l’inégalité de ses axes ; ainsi on peut dire que le degré d’ellipticité d’une ellipse est représenté par cette fraction. Il seroit à souhaiter que cette expression fût adoptée ; elle est commode, claire & précise. (O)

ELLIPTIQUE, adjectif formé d’ellipse. Cette phrase est elliptique, c’est-à-dire qu’il y a quelque mot de sous-entendu dans cette phrase. La langue latine est presque toute elliptique, c’est-à-dire que les Latins faisoient un fréquent usage de l’ellipse ; car comme on connoissoit le rapport des mots par les terminaisons, la terminaison d’un mot réveilloit aisément dans l’esprit le mot sous-entendu, qui étoit la seule cause de la terminaison du mot exprimé dans la phrase elliptique : au contraire notre langue ne fait pas un usage aussi fréquent de l’ellipse, parce que nos mots ne changent point de terminaison ; nous ne pouvons en connoître le rapport que par leur place ou position, relativement au verbe qu’ils précedent ou qu’ils suivent, ou bien par les prépositions dont ils sont le complément. Le premier de ces deux cas