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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

ou

[15∗]

${\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {L} -{\dfrac {5}{6}}-\zeta }}=\mathrm {H} ,$

les équations 13 et 13^∗ prennent la forme suivante,

[16]

${\frac {(y-1)y^{2}}{y+{\dfrac {1}{9}}}}=h,$

[16∗]

${\frac {(\mathrm {Y} +1)\mathrm {Y} ^{2}}{\mathrm {Y} -{\dfrac {1}{9}}}}=\mathrm {H} ,$

et deviennent par suite, entièrement identiques avec celles (15, 15^∗, art. 91) auxquelles on est parvenu dans l’ellipse. De là, en tant que $h$ ou $\mathrm {H}$ peut être considéré comme connu, on pourra donc déduire $y$ ou $\mathrm {Y} ,$ et l’on aura ensuite

[17]

$z=l-{\frac {m^{2}}{y^{2}}},$

[17∗]

$z={\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {Y} ^{2}}}-\mathrm {L} .$

De ces dernières équations on conclut que toutes les opérations prescrites ci-dessus pour l’ellipse conviennent aussi à l’hyperbole jusqu’à cet endroit où, d’une valeur approchée de $h$ ou $\mathrm {H} ,$ la quantité $y$ ou $\mathrm {Y}$ aura été déterminée ; mais après cela, la quantité

${\frac {m^{2}}{y^{2}}}-l,$ ou $\mathrm {L} -{\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {Y} ^{2}}}$

qui doit être positive dans l’ellipse et égale à zéro dans la parabole, doit être négative dans l’hyperbole ; c’est pourquoi, par ce critérium, le genre de la section conique sera défini. Une fois $z$ trouvé, notre table donnera $\zeta ,$ de là on déduira la valeur corrigée de $h$ ou $\mathrm {H}$ avec laquelle le calcul devra être refait jusqu’à ce que toutes les quantités s’accordent exactement.

Après que la véritable valeur de $z$ aura été trouvée, on pourra en déduire $c$ par la formule

$c=1+2z+2{\sqrt {z+z^{2}}}$