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PRINCIPE DE HUYGHENS

Par conséquent pour que l’équation du mouvement soit satisfaite, il faut que l’on ait

${\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d}{dt}}\cdot {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d}{dt}}\Delta \xi ,$

ou

${\frac {d}{dt}}\cdot {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {d}{dt}}\Delta \xi .$

Cette égalité sera satisfaite puisqu’on l’obtient en différentiant par rapport à $t$ l’équation (1) à laquelle $\xi$ satisfait identiquement.

Pour avoir la valeur initiale de $\xi '$ il suffit de chercher ce que devient la relation (6) quand on y fait $t=0.$ D’après ce que nous avons dit précédemment dans la recherche de la valeur initiale de ${\frac {d\xi }{dt}},$ on aura

(10)

$\left(\xi '\right)_{0}=4\pi \mathrm {F} (x,y,z).$

On peut donc prendre une valeur quelconque pour la valeur initiale du déplacement, puisque la fonction $\mathrm {F}$ est arbitraire.

La valeur initiale de ${\frac {d\xi '}{dt}}$ se déduira de la relation (8). On a

${\frac {d\xi '}{dt}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {V} }{r}}\int \Delta \mathrm {F} .d\omega \,;$

par conséquent la valeur initiale de la vitesse ${\frac {d\xi '}{dt}}$ est nulle.

74. La somme des deux solutions particulières $\xi$ et $\xi '$ que nous venons de trouver sera la solution la plus générale de l’équation du mouvement. Cette solution est

$\xi =\int {\frac {\mathrm {F} (x',y',z')}{r}}\,d\omega +\int \mathrm {F} _{1}(x',y',z')\,d\sigma +{\frac {1}{r}}\int \Delta \mathrm {F} _{1}\,d\tau$