Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814/Éléments - Livre 5
F. Peyrard, 1814.
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Proposition première. Si lʼon a tant de grandeurs que l’on voudra, égales en nombre à dʼautres grandeurs, chacune des premières étant le même équimultiple de chacune des secondes, une des premières grandeurs sera le même multiple d’une des secondes que la somme des premières l’est de la somme des secondes.
Proposition 2. Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si la cinquième est le même multiple de la seconde que la sixième l'est de la quatrième, la somme de la première et de la cinquième sera le même multiple de la seconde que la somme de la troisième et de la sixième l’est de la quatrième.
Proposition 3. Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si l’on prend des équimultiples de la première et de la troisième, le multiple de la première sera, par égalité, le même multiple de la seconde que le multiple de la troisième l’est de la quatrième.
Proposition 4. Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, des équimultiples quelconques de la première et de la troisième comparés à des équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième, auront entre eux la même raison.
Proposition 5. Si une grandeur est le même multiple d’une grandeur que la grandeur retranchée l’est de la grandeur retranchée , le reste sera le même multiple du reste que le tout l’est du tout.
Proposition 6. Si deux grandeurs sont des équimultiples de deux grandeurs ; et si certaines grandeurs retranchées sont des équimultiples des dernières, les grandeurs restantes seront égales à ces dernières, ou des équimultiples de ces dernières.
Proposition 7. Des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur, et une même grandeur a la même raison avec des grandeurs égales.
Proposition 8. Deux grandeurs étant inégales, la plus grande a avec une même grandeur une plus grande raison que la plus petite, et une même grandeur a avec la plus petite une plus grande raison qu’avec la plus grande.
Proposition 9. Les grandeurs qui ont une même raison avec une même grandeur sont égales entr’elles, et les grandeurs avec lesquelles une même grandeur a une même raison sont aussi égales entr’elles.
Proposition 10. Des grandeurs ayant une raison avec une même grandeur, celle qui a une plus grande raison est la plus grande, et celle avec laquelle cette même grandeur a une plus grande raison est la plus petite.
Proposition 11. Les raisons qui sont les mêmes avec une même raison sont égales entr’elles.
Proposition 12. Si tant de grandeurs qu’on voudra sont proportionnelles, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.
Proposition 13. Si la première a la même raison avec la seconde que la troisième avec la quatrième, et si la troisième a avec la quatrième une raison plus grande que la cinquième avec la sixième, la première aura avec la seconde une raison plus grande que la cinquième avec la sixième.
Proposition 14. Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, et si la première est plus grande que la troisième, la seconde sera plus grande que la quatrième ; si la première est égale à la troisième, la seconde sera égale à la quatrième, et si la première est plus petite que la troisième, la seconde sera plus petite que la quatrième.
Proposition 15. Les parties comparées entr’elles ont la même raison que leurs équimultiples.
Proposition 16. Si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront proportionnelles par permutation.
Proposition 17. Si des grandeurs étant composées sont proportionnelles, ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles.
Proposition 18. Si des grandeurs étant divisées sont proportionnelles, ces grandeurs état composées seront encore proportionnelles.
Proposition 19. Si une grandeur entière est à une autre grandeur entière comme la grandeur retranchée de la première est à la grandeur retranchée de la seconde, la grandeur restante sera à la grandeur restante comme la première grandeur entière est à la seconde grandeur entière.
Proposition 20. Si l’on a trois grandeurs et d’autres grandeurs égales en nombre aux pré- micres, ces grandeurs, étant prises deux à deux, et en même raison ; si, par égalité, la première est plus grande que la troisième, la quatrième sera plus grande que la sixième ; si la première est égale à la troisième, la quatrième sera égale à la sixième ; et si la première est plus petite que la troisième, la quatrième sera plus petite que la sixième.
Proposition 21. Si l’on a trois grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison, si leur proportion est troublée, et si par égalité la première est plus grande que la troisième, la quatrième sera plus grande que la sixième ; et si la première est égale à la troisième, la quatrième sera égale à la sixième ; et si la première ést plus petite que la troisième, la quatrième sera plus petite que la sixième.
Proposition 22. Si l’on a tant de grandeurs que l’on voudra, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, et si ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, elles auront la même raison par égalité.
Proposition 23. Si lʼon a trois grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières ; si ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, et si leur proportion est troublée, ces grandeurs auront la même raison par égalité.
Proposition 24. Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, ec si la cinquième a avec la seconde la même raison que la sixième avec la quatrième, la somme de la première et de la cinquième aura la même raison avec la seconde que la somme de la troisième et de la sixième avec la quatrième.
Proposition 25. Si quatre grandeurs sont proportionnelles, la plus grande et la plus petite sont plus grandes que les deux autres.