Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 13.djvu/748

Ainsi si l’équation est a² + b² = x², la racine de l’équation est la racine quarrée de a²+b², ainsi $\scriptstyle {\sqrt {(}}a^{2}+b^{2})$.

C’est une vérité reçue en Algebre, qu’une équation a toujours autant de racines qu’il y a d’unités dans la plus haute dimension de l’inconnue ; par exemple, une équation du deuxieme degré a deux racines, une du troisieme en a trois : ainsi l’équation x² = a² + b², que nous venons de donner, a deux racines ou deux valeurs de x ; savoir $\scriptstyle x\ =\ +\ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, & $\scriptstyle x\ =\ -\ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Cette propriété générale des équations peut se démontrer de la maniere suivante.

Soit $\scriptstyle x^{n}+ax^{n+1}+bx^{n-1}+\ \dots \ p=1$, une équation d’un degré quelconque ; & soit c une valeur de l’inconnue x, telle que substituant c au lieu de x dans l’équation, tous les termes se détruisent par des signes contraires, je dis que $\scriptstyle x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}\ \dots \ +p$, se divisera exactement par $\scriptstyle x=c$. Car soit Q le quotient de cette division, le reste r, s’il y en a un, ne contiendra point de x, puisque x ne passe pas le premier degré dans le diviseur, & on aura $\scriptstyle (x-c)xQ+r$ égal & identique à $\scriptstyle x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}....+p$. Donc substituant c pour x dans $\scriptstyle (x-c)xQ+r$, tous les termes doivent se détruire, & le résultat être $\scriptstyle c=0$. Donc cette substitution donnera $\scriptstyle (c-c)xQ+r=0$ & $\scriptstyle r=0$. Donc la division se fait sans reste.

On aura donc un quotient $\scriptstyle x^{n-1}+Ax^{n-2}+Bx^{n-3}+....+p$. Et s’il y a une petite quantité C qui étant substituée par x dans ce quotient, fasse évanouir tous les termes, on prouvera de même que ce quotient peut se diviser exactement par $\scriptstyle x-c$. En continuant ainsi, on trouvera que la quantité $\scriptstyle x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}$, &c. peut être regardée comme le produit d’un nombre n d’équations simples $\scriptstyle x-c$, $\scriptstyle x-C$, $\scriptstyle x-D$, $\scriptstyle x-E$, &c. Donc puisque $\scriptstyle x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}....$ &c. = o, on aura $\scriptstyle {\overline {x-c}}\times {\overline {x-C}}\times {\overline {x-D}}\times {\overline {x-E}}$, &c. $\scriptstyle =0$. Or ce produit sera $\scriptstyle =0$ dans tous les cas suivans : 1°. $\scriptstyle x=c$ ; 2°. $\scriptstyle x=C$ ; 3°. $\scriptstyle x=D$ ; 4°. $\scriptstyle x=E$, &c. Donc x a autant de valeurs qu’il y a de facteurs linéaires $\scriptstyle x-cx-C$, &c. c’est-à-dire autant qu’il y a d’unités dans n.

Au reste, il ne faut pas croire que toutes ces valeurs soient ni toujours réelles, ni toujours positives. On les distingue en vraies, fausses, & imaginaires.

Racine vraie. Si la valeur de x est positive, c’est-à-dire si x est égale à une quantité positive ; par exemple, si $\scriptstyle x=r$, la racine est appellée racine vraie ou positive. Voyez Positif.

Racine fausse. Si la valeur de x est négative, par exemple si $\scriptstyle x=-5$, on dit que la racine est fausse ou négative. Voyez Négatif. Par exemple, l’équation $\scriptstyle xx+3x-10-0$, a deux racines, l’une vraie, l’autre fausse, savoir $\scriptstyle x=2$ & $\scriptstyle x=-5$.

Racine imaginaire. Si la valeur de x est la racine quarrée d’une quantité négative, par exemple, si $\scriptstyle x={\sqrt {-5}}$, on dit alors que la racine est imaginaire.

C’est ce qui arrive dans l’équation x x + 5 = o, qui a deux racines imaginaires $\scriptstyle x=+{\sqrt {-5}}$, & $\scriptstyle x=-{\sqrt {-5}}$. Si on multiplioit l’équation $\scriptstyle xx+5=0$ par l’équation $\scriptstyle xx+3x-10=0$, on formeroit une équation du quatrieme degré, qui auroit deux racines imaginaires $\scriptstyle x=+{\sqrt {-5}}$ & $\scriptstyle x=-{\sqrt {-5}}$ & deux racines réelles, l’une vraie + 2, l’autre fausse-5.

Dans une équation quelconque, les racines imaginaires, s’il y en a, sont toujours en nombre pair. Cette proposition assez mal démontrée dans les livres d’Algebre, l’est beaucoup plus exactement dans une dissertation que j’ai imprimée au tome II. des Mém. françois de l’académie de Berlin. Voyez aussi Imaginaire & Equation. Delà il s’ensuit que dans toute équation d’un degré impair, il y a au-moins une racine réelle.

L’Algebre est principalement d’usage pour mettre les problèmes en équations, & ensuite pour réduire ces équations, ou les présenter dans la forme la plus simple qu’elles puissent avoir. Voyez Réduction.

Quand l’équation est réduite à la forme la plus simple, il ne reste plus, pour achever la solution du problème, que de chercher par les nombres ou par une construction géométrique, les racines de l’équation. Voyez Equation & Construction.

M. l’abbé de Gua, dans les mémoires de l’académie royale des sciences de Paris, année 1741, nous a donné deux excellentes dissertations sur les racines des équations. Le premier de ces mémoires a pour titre : Démonstration de la regle de Descartes pour connoître le nombre des racines positives & négatives dans les équations qui n’ont point de racines imaginaires ; nous allons rapporter en entier l’espece de préface que M. l’abbé de Gua a mise à la tête de cet ouvrage : elle contient une discussion historique très-intéressante.

« Descartes, dit M. l’abbé de Gua, a donné sans démonstration, à la pag. 108. de sa géométrie, édit. de Paris, année 1705, la fameuse regle que j’entreprens de démontrer. On connoît de ceci, dit cet auteur, combien il peut y avoir de racines vraies & combien de fausses en chaque équation ; à savoir, il y en peut avoir autant de vraies que les signes + &-s’y trouvent de fois être changés, & autant de fausses qu’il s’y trouve de fois deux signes +, ou deux signes-qui s’entresuivent, &c.

Ces mots il peut y avoir, que Descartes repete deux fois dans cette proposition, évitant au contraire constamment l’expression il y a, marquent assez qu’il n’a pas regardé la regle qu’il avoit découverte, comme absolument générale, & qu’il a vu au contraire qu’elle devroit seulement avoir lieu, lorsque les racines que les équations peuvent avoir seroient toutes réelles ». M. l’abbé de Gua prouve cette vérité par d’autres endroits du même ouvrage, & il ajoute : « cet auteur s’est expliqué lui-même dans la suite de ce point, d’une maniere précise. Il trouve cette explication dans la lxvij. lettre du troisieme tome. Sa seconde objection, dit Descartes dans cette lettre, en parlant de Fermat, est une fausseté manifeste ; car je n’ai pas dit dans l’article 8. du troisieme livre ce qu’il veut que j’aie dit, à savoir qu’il y a autant de vraies racines que les signes + &-se trouvent de fois changés, ni n’ai eu aucune intention de le dire : j’ai dit seulement qu’il y en peut autant avoir, & j’ai montré expressément, art. 17. du III. liv. quand c’est qu’il n’y en a pas tant, à savoir, quand quelques-unes de ces vraies racines sont imaginaires ».

Quelque nombre de disciples & de commentateurs qu’ait eu ce grand géometre dans l’espace de près d’un siecle, il paroît néanmoins que personne, avant M. l’abbé de Gua, n’étoit encore parvenu à démontrer la regle dont nous parlons.

C’est sans doute le xlj. chapitre du traité d’Algebre de Wallis, qui a été l’occasion de l’erreur de M. Wolf & de M. Saunderson, qui attribuent l’un & l’autre l’invention de cette regle à Harriot, algébriste anglois. On n’ignore pas que Wallis n’a rien oublié dans cet ouvrage pour arracher en quelque façon à Viete & à Descartes leurs découvertes algébriques, dont il se plait au contraire à revêtir Harriot son compatriote.

« Pour réfuter Wallis, sur l’article dont il est principalement question, nous ne nous servirons, continue M. l’abbé de Gua, que du témoignage de Wallis lui-même, & de Wallis parlant dans le même ouvrage. Il conteste, dans l’endroit que nous venons de citer, que la regle pour le discernement des racines, appartient à Descartes ; plus bas, au chap. lxiij. pag. 215. il continue à la vérité de