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nons de parler ; propriété que M. Newton n’avoit fait qu’énoncer sans démonstration. Voyez aussi sur cette proposition l’ouvrage cité de M. l’abbé de Gua, page 198. & suiv. Voyez aussi Ombre.

Usage des courbes pour la construction des équations. L’usage principal des courbes dans la Géométrie, est de donner par leurs points d’intersection la solution des problèmes. Voyez Construction.

Supposons, par exemple, qu’on ait à construire une équation de neuf dimensions, comme $\scriptstyle x^{9}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}$$\scriptstyle +(m+f)x^{3}+gx^{2}+hx+k=0$, dans laquelle b, c, d, &c. signifient des quantités quelconques données, affectées des signes + ou - ; on prendra l’équation à la parabole cubique $\scriptstyle x^{3}=y$, & mettant $\scriptstyle y$ pour $\scriptstyle x^{3}$ dans la premiere équation, elle se changera en $\scriptstyle y^{3}+bxy^{2}+cy^{2}+dx^{2}y$$\scriptstyle +exy+my+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0$, équation à une autre courbe du second genre dans laquelle m ou f peuvent être supposés $\scriptstyle =0$. Si on décrit chacune de ces courbes, leurs points d’intersection donneront les racines de l’équation proposée. Il suffit de décrire une fois la parabole cubique. Si l’équation à construire se réduit à 7 dimensions par le manquement des termes $\scriptstyle hx$ & $\scriptstyle k$, l’autre courbe aura, en effaçant m, un point double à l’origine des abscisses, & pourra être décrite par différentes méthodes. Si l’équation est réduite à six dimensions par le manquement des trois termes $\scriptstyle gx^{2}+hx+k$, l’autre courbe, en effaçant f, deviendra une section conique ; & si par le manquement des six derniers termes l’équation est réduite à trois dimensions, on retombera dans la construction que Wallis en a donnée par le moyen d’une parabole cubique & d’une ligne droite. Voyez Construction, & l’ouvrage de M. Cramer, chap. jv.

Courbe polygone. On appelle ainsi une courbe considérée non comme rigoureusement courbe, mais comme un polygone d’une infinité de côtés. C’est ainsi que dans la géométrie de l’infini on considere les courbes ; ce qui ne signifie autre chose, rigoureusement parlant, sinon qu’une courbe est la limite des polygones, tant inscrits que circonscrits. Voyez Limite, Exhaustion, Infini, Différentiel, &c. & Polygone.

Il faut distinguer, quand on traite une courbe comme polygone ou comme rigoureuse ; cette attention est sur-tout nécessaire dans la théorie des forces centrales & centrifuges ; car quand on traite la courbe comme polvgone, l’effet de la force centrale, c’est-à-dite la petite ligne qu’elle fait parcourir, est égale à la base de l’angle extérieur de la courbe ; & quand on traite la courbe comme rigoureuse, l’effet de la force centrale est égale à la petite ligne, qui est la base de l’angle curviligne formé par la courbe & par sa tangente. Or il est aisé de voir que cette petite ligne n’est que la moitié de la premiere, parce que la tangente rigoureuse de la courbe divise en deux également l’angle extérieur que le petit côté prolongé fait avec le côté suivant. La premiere de ces lignes est égale au quarré du petit côté divisé par le rayon du cercle osculateur, voyez  ; la seconde au quarré du petit côté divisé par le diametre du même cercle. La premiere est censée parcourue d’un mouvement uniforme, la seconde d’un mouvement uniformément accéléré : dans la premiere, la force centrale est supposée n’agir que par une impulsion unique, mais grande ; dans la seconde, elle est supposée agir, comme la pesanteur, par une somme de petits corps égaux ; & ces deux suppositions reviennent à une même ; car l’on sait qu’un corps mû d’un mouvement accéléré parcourroit uniformément avec sa vîtesse finale le double de l’espace qu’il a parcouru d’un mouvement uniformément accéléré, pour

acquérir cette vîtesse. Voyez les articles Acceleration, Central, & Descente. Voyez aussi l’hist. de l’acad. 1722. & mon traité de Dynamique, page 20. article 20. & page 30. article 26.

Rectification d’une courbe, est une opération qui consiste à trouver une ligne droite égale en longueur à cette courbe. Voyez Rectification.

Inflexion d’une courbe. Voyez Inflexion.

Quadrature d’une courbe, est une opération qui consiste à trouver l’aire ou l’espace renfermé par cette courbe, c’est-à-dire à assigner un quarré dont la surface soit égale à un espace curviligne. Voyez Quadrature.

Famille de courbes, est un assemblage de plusieurs courbes de différens genres, représentées toutes par la même équation d’un degré indéterminé, mais différent, selon la diversité du genre des courbes. Voyez Famille.

Par exemple, supposons qu’on ait l’équation d’un degré indéterminé $\scriptstyle a^{m}-1x=y^{m}$ : si $\scriptstyle m=2$, on aura $\scriptstyle ax=y^{2}$ ; si $\scriptstyle m=3$, on aura $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$ ; si $\scriptstyle m=4$, $\scriptstyle a^{3}x=y^{4}$. Toutes les courbes auxquelles ces équations appartiennent sont dites de la même famille par quelques géometres.

Les équations qui représentent des familles de courbes, ne doivent pas être confondues avec les équations exponentielles ; car quoique l’exposant soit indéterminé, par rapport à toute une famille de courbes, il est déterminé & constant par rapport à chacune des courbes qui la composent ; au lieu que dans les équations exponentielles l’exposant est variable & indeterminé pour une seule & même courbe. Voyez Exponentiel.

Toutes les courbes algébriques composent, pour ainsi dire, une certaine famille, qui se subdivise en une infinité d’autres, dont chacune contient une infinité de genres. En effet dans les équations par lesquelles les courbes sont déterminées, il n’entre que des produits, soit des puissances des abscisses & des ordonnées par des coefficiens constans, soit des puissances des abscisses par des puissances des ordonnées, soit de quantités constantes pures & simples, les unes par les autres. De plus chaque équation d’une courbe peut toûjours avoir zéro pour un de ses membres, par exemple, $\scriptstyle ax=y^{2}$ se change en $\scriptstyle ax-y^{2}=0$. Donc l’équation générale qui représentera toutes les courbes algébriques sera

$\scriptstyle ay^{m}+bxy^{m-1}+nx^{2}y^{m-2}...+fy^{m}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	$\scriptstyle =0$
$\scriptstyle ay^{m}$ $\scriptstyle +fy^{m-1}+kxy^{m-2}$
$\scriptstyle ay^{m}+bxy^{m-1}$ =$\scriptstyle qy^{m-2}$

Nous devons remarquer ici que le P. Reyneau s’est trompé dans le second volume de son analyse démontrée, lorsque voulant déterminer les tangentes de toutes les courbes géométriques en général, il prend pour l’équation générale de toutes ces courbes $\scriptstyle y^{m}+bx^{n}y^{q}+cx^{q}=0$, équation qui n’a que trois termes. Il est visible que cette équation est insuffisante, & qu’on doit lui substituer celle que nous venons de donner.

Courbe caustique. Voyez Caustique.

Courbe diacaustique. Voyez Diacaustique.

Les meilleurs ouvrages dans lesquels on puisse s’instruire de la théorie des courbes, sont, 1° l’enumeratio linearum tertii ordinis de M. Newton, d’où une partie de cet article Courbe est tirée : 2° l’ouvrage de M. Stirling sur le même sujet, & Geometria organica de M. Maclaurin, dont nous avons parlé : 3° les usages de l’analyse de Descartes par M. l’abbé de Gua, déjà cités ; ouvrage original & plein d’excellentes choses, mais qu’il faut lire avec précaution (Voyez Branche & Rebroussement.) : 4° l’introduction