Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814/Éléments - Livre 2
F. Peyrard, 1814.
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Proposition première. Si lʼon a deux droites, et si lʼune dʼelles est coupée en tant de parties quʼon voudra, le rectangle contenu sous ces deux droites est égal aux rectangles contenus sous la droite qui nʼa point été coupée, et sous chacun des segments de lʼautre.
Proposition 2. Si une ligne droite est coupée à volonté, les rectangles contenus sous la droite entière et sous l’un et l’autre segment, sont égaux au quarré de 18 droite entiére.
Proposition 3. Si une ligne droite est coupée à volonté, le rectangle contenu sous la droite entière et l’un des segments, est égal au rectangle contenu sous les segments et au quarré du segment premiérement dit.
Proposition 4. Si la droite est coupée à volonté, le quarré de la droite entière est égal aux quarrés des segments, et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.
Proposition 5. Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments inégaux de la droite entière avec le quarré de la droite placée entre les sections, est égal au quarré de la moitié de la droite entière.
Proposition 6. Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le rectangle compris sous la droite entière avec la droite ajoutée, et sous la droite ajoutée, avec le quarré de la moitié de la droite entière, est égal au quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.
Proposition 7. Si une ligne droite est coupée d’une manière quelconque, le quarré de la droite entière et le quarré de lʼun des segments, pris ensemble, sont égaux à deux fois le rectangle compris sous la droite entière et ledit segment, et au quarré du segment restant.
Proposition 8. Si une droite est coupée dʼune maniére quelconque, quatre fois le rectangle compris sous la droite entière et l’un des segments, avec le quarré du segment restant, est égal au quarré décrit avec la droite entière et ledit segment, comme avec une seule droite.
Proposition 9. Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégrles, les quarrés des segments inégaux de læ-droite entière sont doubles du quarré de la moitié de cette droite et du quarré de la droite placée entre les sections.
Proposition 10. Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le quarré de la droite entière avec la droite ajoutée, et le quarré de la droite ajoutée, étant pris ensemble, sont doubles du quarré de la moitié de la droite entière, et du quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.
Proposition 11. Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l’un des segments, soit
égal au quarré du segment restant.
Proposition 12. Dans les triangles obtusangles, le quarré du côté qui soutend lʼangle obtus est plus grand que les quarrés des côtés qui comprènent lʼangle obtus, de deux fois le rectangle compris sous celui des côtés de lʼangle obs sur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise extérieurement de la perpendiculaire à lʼangle obtus.
Proposition 13. Dans les triangles acutangles, le quarré du côté qui soutend un angle aigu est plus petit que les quarrés des côtés qui comprennent cet angle aigu, de deux fois le rectangle compris sous le côté de l’angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise intérieurement de la perpendiculaire à cet angle aigu.
Proposition 14. Construire un quarré égal à une figure rectiligne donnée.