Utilisateur:Zephyrus/Test Fermat

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche


ŒUVRES

DE FERMAT.


PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS.
Quai des Grands-Augustins, 55.


ŒUVRES
DE FERMAT


PUBLIÉES PAR LES SOINS DE
MM. PAUL TANNERY ET CHARLES HENRY
SOUS LES AUSPICES
DU MINISTÈRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME PREMIER.
ŒUVRES MATHÉMATIQUES DIVERSES. — OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.
Fermat - Livre I - Blason.png

PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE
Quai des Grands-Augustins, 55.

M DCCC XCI


Fermat - Livre 1-000011.jpg


VARIA OPERA
MATHEMATICA
D. PETRI DE FERMAT,
SENATORIS TOLOSANI.

Accesserunt selectæ quædam ejusdem Epistolæ, vel ad ipsum à plerisque doctissimis viris Gallicè, Latinè, vel Italicè, de rebus ad Mathematicas disciplinas, aut Physicam pertinentibus scriptæ.

Fermat - Livre 1 - Couverture.png
TOLOSÆ,
Apud JOANNEM PECH, Comitiorum Fuxensium Typographum, juxta
Collegium PP. Societatis JESU.


M. DC. LXXIX.

TABLE DES MATIÈRES
DU PREMIER VOLUME [1]

Page
Première partie.
Œuvres mathématiques diverses.
Apollonii Pergæi libri duo de locis planis restituti. 
Liber primus 
 V3
  
Liber secundus 
 V29


Contacts sphériques.

De contactibus sphæricis 
 V52


Fragments géométriques.

Solutio problematis a Domino Pascal propositi. 
 P70
Porismata duo 
 P74
Porismatum Euclideorum renovata doctrina et sub forma Isagoges recentioribus Geometris exhibita 
 V76
Propositio D. de Fermat circa parabolen 
 V84
Loci ad tres lineas demonstratio 
 M87


Lieux plans et solides.

Ad locos planos et solidos Isagoge 
 V91
Appendix ad Isagogen topicam, continens solutionem problematum solidorum per locos 
 V103
Isagoge ad locos ad superficiem, carissimo Domino de Carcavi 
 M111


Dissertation tripartie.

De solutione problematum geometricorum per curvas simplicissimas et unicuique problematum generi proprie convenientes, dissertatio tripartita 
 V118


Maxima et minima.

I. 
Methodus ad disquirendam maximam et minimam 
 V133
  
De tangentibus linearum curvarum 
 V134
II. 
Centrum gravitatis parabolici conoidis, ex eadem methodo 
 V136
III. 
Ad eamdem methodum : Volo meâ methodo etc. 
 V140
IV. 
Methodus de maxima et minima 
 M147
V. 
Ad methodum de maxima et minima appendix 
 M153
VI. 
Ad eamdem methodum : Doctrinam tangentium etc
 V158
VII. 
Problema missum ad Reverendum Patrem Mersennum 10a die Novembris 1642 
 M167
VIII. 
Analysis ad refractiones 
 C170
IX. 
Synthesis ad refractiones 
 C173


Méthode d’élimination.

Novus secundarum et ulterioris ordinis radicum in Analyticis usus. 
 V181
Appendix ad superiorem methodum 
 V184


Problème d’Adrien Romain.

Ad Adriani Romani problema. Viro clarissimo Christiano Huggenio P. F. S. T. 
 M189


Questions de Cavalieri.

Ad Bon. Cavalierii quæstiones responsa 
 M195


Propositions à Lalouvère.

Ad Laloveram propositiones 
 L199


Dissertation M. P. E. A. S.

De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione, dissertatio geometrica. 
 V211
Appendix ad dissertationem de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione 
 V238


Méthodes de quadrature.

De æquationum localium transmutatione et emendatione, ad multimodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricæ in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usus 
 V255
De cissoide fragmentum 
 M285



DEUXIÈME PARTIE.
Pages
Observationes Domini Petri de Fermat 
 D
 
 »312
 »313
 »315
 »336
  
 »338
  
Pièces de vers latins annexées à la dédicace :
 
V. 
Éloge de Monsieur de Fermat, Conseiller au Parlement de Tolose. Du Journal des Sçavans, du Lundy 9 février 1665]] 
 DV359



Errata 
 436


Table de concordance entre l’édition des Œuvres de Fermat de 1679 et la présente édition 
 437


Planches : 
Portrait de Fermat et fac-similé du titre des Varia opera 
 IV-V
  
Fac-similé de l’écriture de Fermat 
 XIX
Fin de la table des matières du tome premier.

AVERTISSEMENT.




I.
Bibliographie des travaux de Fermat avant les publications de son fils.


Lorsque, le 12 janvier 1665, dans le cinquième mois de sa soixante-quatrième année, Pierre de Fermat mourut à Castres, où l’avait appelé son service de conseiller au parlement de Toulouse, il était tenu pour le plus grand géomètre de l’Europe[2], mais ce n’était guère par la voie de l’imprimerie que son nom s’était répandu dans le monde savant.

Lui-même n’avait d’ailleurs fait imprimer qu’une seule dissertation géométrique, et encore avait-il gardé l’anonyme[3]; cet opuscule parut en 1660, comme annexe d’un volume publié à Toulouse, sur la cycloïde, par le Père jésuite Lalouvère. Ce dernier faisait en même temps connaître, comme étant dues à Fermat (mais publiées sans son aveu), diverses propositions intéressantes sur lesquelles l’attention n’a jamais, que nous sachions, été appelée depuis lors[4].

Dans l’éloge que Lalouvère fait à cette occasion de son illustre concitoyen, il rappelle[5] diverses mentions de ses travaux insérées par Mersenne dans les Cogitata physico-mathematica de 1644, et il cite l’une de ces mentions énumérant un certain nombre de traités manuscrits envoyés par Fermat à ses amis de Paris[6]. Des autres, l’une (prœfat. ad Mechanica, no 4), sans désigner expressément Fermat, reproduisait la plus grande partie d’une lettre transmise à Cavalieri par l’intermédiaire de Mersenne [7]; la seconde (in Ballisticis, p. 57) donnait des détails, tirés de lettres aujourd’hui perdues, sur les travaux de Fermat relatifs aux spirales [8]; la troisième enfin (in Analysi, page 385) précédait les énoncés des propositions des Lieux plans d’Apollonius, d’après la restitution du géomètre de Toulouse [9].

Dans ses Ouvrages antérieurs (depuis 1636) ou postérieurs, Mersenne a encore fait d’autres emprunts à la Correspondance de Fermat; mais alors le plus souvent il emploie des périphrases qui ne permettent pas toujours de distinguer sûrement ce qui appartient aux divers géomètres avec lesquels il était en relation. On ne pourra donc que rapprocher, des diverses lettres de Fermat, certains extraits des œuvres de Mersenne concernant les mêmes sujets [10].

La plus ancienne mention imprimée d’un opuscule manuscrit de Fermat n’est, au reste, point due à Mersenne ; elle concerne la Methodus ad disquirendam maximam et minimam (ci-après, pages 133-136), et doit être cherchée dans le Brouillon projet d’exemple d’une manière universelle du S. G. D. L. touchant la pratique du trait à preuves pour la coupe des pierres en l’Architecture, imprimé à Paris en août 1640.

« Puisqu’un reste de page et l’occasion y convient, afin qu’après ce Brouillon il n’y ait plus en cecy d’abusez que ceux qui le voudront bien estre, on ne doit pas croire à tout esprit, n’y à toute apparence ; à tout esprit, en croyant que tous ceux qui font en particulier une grande monstre de plusieurs belles pensées en soient toujours les autheurs, on void escrite à la main une belle maniere de trouver les touchantes aux courbes, ensuitte des plus grands et plus petits, laquelle est avérée estre de monsieur de Fermat, très digne conseiller de parlement de Tholoze, et la premiere descouverte de la ligne qu’engendre un point en la diametrale d’un cercle roulant sur une droicte est de monsieur de Roberval, très digne professeur royal aux mathématiques [11]. À toute apparence, etc. » (Œuvres de Desargues réunies et analysées par M. Poudra, Paris, Leiber, 1864, tom. I, pages 354-355.)

Cette même méthode de Fermat, sur laquelle l’attention avait d’ailleurs été appelée par le bruit d’une polémique à ce sujet entre lui et Descartes, fut exposée sous son nom par P. Hérigone en 1642 (voir ci-après, page 171, note 1), lequel mentionna également ses traités manuscrits des Lieux plans d’Apollonius et de l'Introduction aux lieux plans et solides.

En 1646, la réputation du conseiller au parlement de Toulouse est assez établie pour qu’un étranger, Fr. van Schooten, le cite entre Descartes et Roberval au premier rang des géomètres[12] .

On verra ci-après (page 77, note 2) en quels termes élogieux Boulliau parlait de Fermat dans ses Exercitationes geometricæ de 1657, à l'occasion de son opuscule manuscrit sur les Porismes d'Euclide.

La même année, les rééditeurs des Deipnosophistes d'Athénée, Jean-Antoine Huguetan et Marc-Antoine Ravaud à Lyon, inséraient, sous les initiales P. F. S. T., une remarque critique[13] qui prouvait que la sagacité du célèbre géomètre s'exerçait également avec fruit dans le domaine de l'érudition.

Mais ce fut l'année suivante que, pour la première fois, des lettres de Fermat parurent sous son nom :

1° D'abord une série importante dans le Commercium epistolicum de Quæstionibius quibusdam Mathematicis nuper habitum inter Nobilissimos Viros : D. Gulielmum Vice comitem Brouncker, Anglum; D. Kenelmum Digby, item Equitem Anglum; D. Fermatium, in suprema Tholosatum Curia Iudicem Primarium; D. Freniclum, Nobilem Parisinum; una cum D. Joh. Wallis Geomet. Prof. Oxonii; D. Franc. a Schooten, Math. Prof. Lugduni Batavorum; Aliisque. (Edidit Johannes WALLIS, S. Th. D. in celeberrima Oxoniensi Academia Geometriæ Professor Savilianus. — Oxonii, Excudebat A. Lichfield. Acad. Typograph., Impensis Tho. Robinson. — M.DC.LVIII) — nos 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 91, 96 de la Correspondance.

2° Une longue lettre adressée à Gassend dans le tome VI Petri Gassendi Opera omnnia in VI Tomos divisa. (Lugduni, sumptibus Laurentii Anisson et Joan. Bapt. Devenet. M.DC.LVIII) — n° 62 de la Correspondance.

En 1658 encore, dans l'Histoire de la Roulette (anonyme) [14] et en janvier 1659, dans les Lettres de A. Dettonville, contenant quelques-unes de ses inventions de Géométrie [15], le nom de Fermat apparaît avec quelques indications sur ses travaux, de même que dans le Traité des ordres numériques, trouvé en 1662 imprimé dans les papiers de Pascal, sans qu'il eût encore été publié[16].

En 1664 enfin, Saporta insérait, dans sa traduction du Traité de la mesure des eaux courantes de Castelli, une Observation de Fermat sur un passage de Synesius[17].

Telles furent, du vivant de Fermat, les rares publications auxquelles donnèrent lieu ses écrits et les mentions imprimées que nous avons pu trouver de ses travaux. Après sa mort et avant les volumes édités par son fils, nous n'avons à signaler que l'Éloge de Monsieur de Fermat [18], inséré dans le Journal des Savants du 9 février 1665, et dû au moins à l'inspiration, sinon à la plume de Carcavi, et, en 1667, la publication par Clerselier du dernier volume des Lettres de Mr Descartes, lequel contient une importante correspondance entre Fermat, Mersenne et Descartes d'une part, Fermat, Clerselier, Rohaut et La Chambre de l'autre [19].


II.
Le Diophante de Samuel Fermat (1670).

En 1670, Samuel Fermat fit paraître, à ses frais et sans privilège, une édition in-folio de Diophante sous le titre :

DIOPHANTI | ALEXANDRINI | ARITHMETICORVM | LIBRI SEX,
ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS | LIBER VNVS.
CUM COMMENTARIIS C. G. BACHETI V. C.
et observationibus D. P. de FERMAT Senatoris Tolosani.
Accessit Doctrinæ Analyticæ inuentum nouum, collectum
ex varijs eiusdem D. de Fermat Epistolis [20].
TOLOSÆ, | Excudebat Bernardus BOSC, è Regione Collegij Societatis Iesu.
M.DC.LXX.

Dans cette édition, le feuillet du titre est suivi de cinq autres non paginés qui contiennent :

Pages 1 à 3, une dédicace à Colbert (voir ci-après Appendice, p. 345 suiv.);

Pages 4 et 5, une préface Lectori Beneuolo (App., p. 347 suiv.);

Pages 6 à 7, l'Éloge de monsieur de Fermat, Conseiller au Parlement de Tolose. Du Iournal des Sçavans, du Lundy 9 Février 1665 (App., p. 359 suiv.);

Page 7 (ligne 22) et page 8, Observation de monsieur de Fermat sur Synesius, rapportée à la fin de la traduction du liure de la mesure des eaux courantes, de Benedetto Castelli (App., p. 362 suiv.);

Page 9, deux extraits de Lettres de Descartes à Fermat, tirées de l'édition de Clerselier :

Lettre de monsievr Descartes a monsieur de Fermat, pag. 347, tom. 3 des Lettres de Monsieur Descartes.

Avtre Lettre de monsievr Descartes a monsievr de Fermat, pag. 348, tom. 3 des Lettres de monsieur Descartes.

(Voir ces lettres dans le second volume de cette édition, sous les nos 32 et 34 de la Correspondance de Fermat.)

Page 10, trois extraits sous les titres :

P. Hérigone, tom. 6. Cursus Mathematici, p. 68. De Maximis et Minimis (voir ci-après, p. 171, note 1).

D. Ismæl Bvllialdvs Exercitatione de Porismatibus (voir ci-après, p. 77, note 2).

R. P. Marinvs Mersennvs ordinis minimorvm Reflectionum Physicomathematicarum, pag. 215 (voir plus haut, page xi, note a).

Après ces feuillets non numérotés, viennent trois paginations différentes :

La première contient d'abord, de 1 à 36, un Traité intitulé :

Doctrinæ analyticæ inventvm novvm, Collectum à R. P. Iacobo de Billy, S. I. Sacerdote, ex varijs Epistolis quas ad eum diversis temporibus misit D. P. de Fermat Senator Tolosanus.

Une traduction de ce Traité sera publiée dans un volume de Complément à la présente édition.

Suit, pages 37 à 64, d'après l'édition de Diophante donnée par Bachet en 1621, le Traité :

Clavdii Gasparis Bacheti Sebvsiani in Diophantvm Porismatvm Liber Primvs (p. 37). Liber Secundus (p. 44). Liber tertius (p. 53).

La seconde pagination (1 à 341) reproduit l'édition de Bachet, texte grec, traduction latine et commentaires, pour les six livres des Arithmétiques de Diophante.

La troisième reproduit de même (pages 1 à 18) l'édition de Bachet pour le livre Des nombres polygones de Diophante et (pages 19 à 42) pour le Traité :

Clavdii Gasparis Bacheti Sebvsiani Appendicis ad Librvm de Nvmeris polygonis Liber Primvs (p. 19). Liber Secvndvs (p. 29).

Au bas de la page 42 se trouve l'annotation suivante :

« Ne vacarent paginæ sequentes, placuit has Epistolas adjicere varijs refertas D. P. de Fermat in quosdam Græcos authores obseruationibus, quarum nonnullæ ad Mathematicas pertinent disciplinas. »

Suivent les deux lettres:

P. 43 à 45 : Viro clarissimo D. de Ranchin P. Fermat S. P. D. (ci-après Appendice, p. 366 suiv.).

P. 46 à 48 : Viro D. de Pellison S. Fermat S. P. D. (App., p. 373 suiv.). Comme reproduction de l'édition de Bachet, celle de Samuel Fermat est passablement fautive ; l'intérêt qu'elle offre provient donc essentiellement des annotations que Pierre Fermat avait inscrites sur les marges d'un exemplaire aujourd'hui perdu du Diophante de Bachet, annotations que son fils a reproduites à leur place, en caractères italiques et chacune sous le titre: Observatio D. P. F., la seconde seule sous celui : Observatio domini Petri de Fermat.

Ce sont ces Observations sur Diophante qui constituent la seconde Partie du présent volume. On leur a naturellement adjoint, sous des caractères différents, les textes auxquels elles se rapportent spécialement.

III.
L'édition des Varia Opera (1679)

Neuf ans plus tard, Samuel Fermat publiait des Œuvres de son père l'édition que nous désignons sous le nom de Varia, et dont le frontispice, ainsi que le portrait de Fermat placé en regard, se trouve reproduit en tête du présent Volume.

Cette édition a été réimprimée en 1861, par héliotypie, avec l'addition au bas de la page de titre :

Novo invento usi iterum expresserunt R. Friedlaender et Filius,
Berolini, mdcclxi.

mais sans le portrait de Fermat.

La Table de concordance qui termine ce Volume donne le détail des pièces contenues dans l'édition de 1679, avec les renvois à la présente, qui pourra la remplacer absolument.

Samuel Fermat s'abstint volontairement de reproduire les lettres de son père déjà publiées par Clerselier dans la Correspondance de Descartes. Il y renvoie d'ailleurs par une note de la page 156 :

« Ceux qui ont le troisième Tome des Lettres de M. Descartes y pourront voir plus au long les objections de M. de Fermat contre la Dioptrique de M. Descartes et divers écrits sur ce sujet depuis la page 167. jusques à la page 350. »

Il reproduisit, au contraire, la plupart des lettres à Digby que Wallis avait déjà fait connaître ; on ne conçoit donc guère pourquoi il a omis deux de ces lettres et une troisième à Frenicle.

Quant aux pièces inédites qu'il publiait, il ne semble avoir eu, comme originaux, qu'un nombre relativement restreint de lettres adressées à Fermat. Pour le reste, il n'a certainement possédé, en thèse générale, que des copies plus ou moins fautives, et qu'il n'obtint d'ailleurs qu'à grand'peine.

Il est difficile de croire que Carcavi, après ce qu'il avait fait insérer dans l'Éloge de Fermat du Journal des Savants, ait refusé à son fils les copies des pièces qu'il possédait, au moins de celles qui étaient détaillées dans l'Éloge précité. Il n'en est pas moins certain que, s'il n'opposa pas un refus absolu, il ne donna pas copie de tous les opuscules qu'il avait entre les mains, et qu'il ne voulut rien communiquer des nombreuses lettres que Fermat lui avait personnellement adressées.

Parmi les correspondants de Fermat qui vivaient encore, lorsque son fils s'occupa de réunir ses écrits, Roberval seul parait avoir directement répondu aux demandes de communication. Mais il choisit avec soin, pour sa plus grande gloire personnelle, ce qu'il envoya, et, loin de fournir des copies fidèles, refondit complètement, par exemple, la lettre du 16 août 1636, autrefois écrite en son nom et en celui d'Étienne Pascal[21].

La plus grande partie des autres lettres publiées par S. Fermat semble provenir de copies réunies par l'érudit Thoinard qui, d'après la correspondance de Samuel et de son ami Justel, montra un louable et rare empressement.


IV.
Les autographes de Fermat.

Après la publication des Varia, les collectionneurs qui conservaient des pièces inédites de Fermat purent, comme Jacques Ozanam ou Auzout, en user pour leur compte particulier; mais, à part deux exceptions, rien de nouveau ne fut imprimé jusqu'en 1839.

En 1734, Camusat publia dans le Tome premier de l'Histoire critique des Journaux par M. C***, à Amsterdam, chez J.-F. Bernard, une lettre latine de Fermat à Ismaël Bouillau (ci-après, Appendice, p. 380 et suiv.).

Lors de la préparation de l'édition des Œuvres de Blaise Pascal, 1779, Bossut retrouva, dans les papiers conservés par la famille de l'auteur des Pensées, quelques autographes de Fermat qu'il comprit dans ce qu'il publia[22]. Depuis, ces autographes ont été perdus ou dispersés dans des collections particulières, sauf trois, qui se trouvent reliés dans un recueil des opuscules mathématiques de Pascal, conservé à la Réserve des imprimés de la Bibliothèque Nationale, sous la cote V-848-3.

D'autres originaux de lettres écrites à Mersenne étaient, avant la Révolution, conservées dans le Tome IV d'un recueil formé à la Bibliothèque des Minimes et qu'Arbogast a pu utiliser, comme on le verra plus loin.

La Bibliothèque Nationale possède seulement, comme autographes de Fermat appartenant au département des manuscrits :

  • 1° Une lettre au Père de Billy (n° 102) dans le manuscrit fonds latin 8600, f° 13. Publiée par Libri dans le Journal des Savants de septembre 1839,

d'après une copie d'Arbogast.

  • 2° L'original de l'opuscule Doctrinam tangentium (ci-après p. 158 et suiv.), fonds francais, nouv. acq. n° 3280, f° 112-116. Imprimé dans les Varia d'après une copie. — Même MS., f° 108-109, une lettre à Huet (ci-après, p. 386).
  • 3° Trois lettres et un mémoire adressé au chancelier Séguier (nos 64, 65, 66, 111) : fonds français n° 17388, f° 74; n° 17390, f° 113 à 115; n° 17398, f° 433. Publiés, comme la lettre à Huet, par M. Charles Henry (Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat, 1880, p. 63 à 72 et 77).
  • 4° Dans le manuscrit fonds grec n° 2460, les annotations sur Manuel Bryenne, dont nous devons la découverte à M. Henri Omont et qui sont publiées ci-après, pages 394 et suiv.

La Bibliothèque de l'Université de Leyde conserve dans la Collection Huygens n° 30 deux lettres autographes de Fermat au mathématicien hollandais. En les publiant (Recherches, etc., p. 77 et suiv., 211 et suiv.), M. Charles Henry a devancé la splendide édition des Œuvres complètes de Christiaan Huygens, publiées par la Société hollandaise des Sciences, qui contient d'ailleurs d'autres matériaux à utiliser pour la Correspondance de Fermat [23]
Fermat - Livre 1-000029.jpg
Nous donnons ci-contre un fac-similé de la première page de l'écrit Doctrinam tangentium etc. Il pourra servir au besoin à reconnaître l'écriture de Fermat. S'il est difficile d'espérer actuellement la découverte de lettres ou d'opuscules autographes, l'impossibilité n'en est nullement démontrée; mais il est un autre ordre de recherches sur lequel nous appelons l'attention des érudits.

Fermat, qui n'avait point de cahiers de notes et ne conservait pas de manuscrits, inscrivait des remarques sur les marges des livres qui lui appartenaient, et il devait le faire, quelle que fût la nature de ses livres. Or il est difficile de croire qu'il y ait eu destruction complète de tous les Ouvrages qui ont fait partie de la bibliothèque d'un homme qui n'était pas seulement un mathématicien de premier ordre, mais qui s'intéressait à toutes les questions scientifiques et qui était un humaniste très distingué. Il semble donc que l'examen de l'écriture des notes inscrites sur les exemplaires des Ouvrages du temps pourrait amener la constatation de leur passage entre les mains de Fermat et conduire à des découvertes intéressantes [24]

Il est à remarquer que les recherches faites dans ce sens à Toulouse n'ont amené que la découverte, par Libri, à la Bibliothèque de la Ville, d'un exemplaire de la première édition du Dialogue de Galilée des Massimi Sistemi[25]. Sur le premier feuillet de garde est écrite (au-dessus d'une note de Carcavi : « Ce billet est de Monsieur de Fermat, Conseiller au Parlement, qui m'a fait présent de ce livre ») la dédicace suivante :

« Peut-estre croirés-vous que pour me mettre en reputation et per purgar, comme on dit, la mala fama, je pretens m'eriger en donneur de livres. Vous en croirés ce qu'il vous plaira, mais si c'estoit par hasard vostre pensée, apprenés donc, Monsieur, que vous n'avés pas touché au but. Je ne songe, en vous offrant les Dialogues italiens du Systeme de Galilée, qu'à faire une action de justice et à vous rendre maistre de l'ouvrage d'un auteur qui ne passeroit, s'il vivoit, que pour vostre disciple [26]. Recevés donc ce present comme vous estant deu, et ne me considerés point en ce rencontre comme un adroit negotiateur, mais comme un bon juge qui rejette comme une tentation l'idée de vostre grande et fameuse bibliothèque et ne se souvient que de la passion qu'il a d'estre tout à Vous. »


V.
Le premier projet d'édition complète et les papiers de Libri.

A défaut des autographes de Fermat, on possède diverses copies, plus ou moins anciennes, de pièces ou de lettres soit déjà publiées, soit inédites.

L'attention fut pour la première fois appelée sur ces copies, lorsque Libri, dans un article du Journal des Savants de septembre 1839, annonça qu'il venait d'acquérir d'un libraire de Metz, par l'intermédiaire du capitaine d'artillerie (depuis général) Didion, un lot de manuscrits provenant de la bibliothèque de Français et ayant antérieurement appartenu a Arbogast. D'après les détails qu'il donnait sur le contenu de ces manuscrits, en particulier sur les matériaux inédits réunis et copiés par Arbogast, d'après ce qu'un article subséquent (Journal des Savants, mai 1841) révéla sur les conditions défectueuses dans lesquelles s'était faite l'édition de 1679, aucun assentiment ne pouvait être refusé à l'idée de réunir, dans une publication d'ensemble, les Œuvres déjà imprimées ou encore inédites du grand géomètre de Toulouse. Villemain, alors Ministre de l'Instruction publique, prit l'initiative d'un projet de loi, présenté le 28 avril 1843, pour faire cette publication aux frais de l'État. Lorsque ce projet eut été consacré par le vote des deux Chambres, Libri fut naturellement chargé, en 1844, de diriger la nouvelle édition, et on lui adjoignit un jeune mathématicien, Despeyrous (mort, le 6 août 1883, professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse). La collaboration n'aboutit guère qu'à un résultat (Journal des Savants, novembre 1845), une mission de Despeyrous pour recherches à Vienne, Libri ayant constamment refusé de lui donner communication des pièces inédites qu'il avait entre les mains, et prétextant d'un autre côté de nombreuses occupations comme motifs de retards dans l'accomplissement de la tâche qu'il prétendait se réserver. Le 6 juin 1846, une lettre du Ministre de l'Instruction publique, alors Salvandy, le relevait de cette tâche; bientôt après commençait, sur les détournements de livres et de manuscrits dont on le soupçonnait, la longue enquête secrète qui devait aboutir, le 4 février 1848, au dépôt du rapport du juge d'instruction Boucly.

Immédiatement après la révolution de 1848, Libri quittait la France et emportait dix-huit caisses de livres et manuscrits; les papiers qui purent être saisis à son domicile échurent à la Bibliothèque Nationale, où tous ceux qui concernaient Fermat furent réunis dans le manuscrit fonds français, nouv. acq., n° 3280; la publication projetée fut abandonnée et l'idée n'en devait pas être reprise avant trente ans.

En 1879, à la suite d'études entreprises à Paris et d'enquêtes dans les principales bibliothèques de l'Europe, M. Charles Henry publia dans le Bulletin Boncompagni un travail que nous avons déjà eu l'occasion de citer d'après le tirage à part :

Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat, suivies de fragments inédits de Bachet et de Malebranche, par Charles Henry. — Extrait du Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche. Tome XII, Luglio, Agosto, Settembre, Ottobre 1879. — Rome, imprimerie des Sciences mathématiques et physiques, Via Lata, n° 3, 1880. — (216 pages gr. in-4°.)

A la suite de cette publication, le prince Baldassare Boncompagni fit connaître, dans une lettre adressée, le 27 mai 1881, à M. Charles Henry, qu'il avait acquis deux manuscrits renfermant les pièces inédites énumérées par Libri en 1839 et qu'il était disposé à les communiquer aux savants qui voudraient entreprendre une nouvelle édition des Œuvres de Fermat. Ces deux manuscrits, qui seront minutieusement décrits plus loin, comme étant une des bases essentielles de notre travail, furent dès lors reconnus comnme ayant effectivement été possédés par Libri et comme correspondant à ce qu'il avait signalé de plus important dans son acquisition de Metz. Mais Libri n'ayant jamais fait connaître exactement quelles pièces de Fermat il avait entre les mains, ayant d'autre part inséré dans le Catalogue of the Manuscripts at Ashburnham-place des mentions qui pouvaient faire croire à l'existence, dans le fonds cédé par lui au célèbre collectionneur anglais, de très nombreuses pièces intéressant la publication projetée à nouveau, il était essentiel de vérifier ce qui en était.

Cette vérification ne put être faite avant l'acquisition, par la Bibliothèque Nationale, du fonds Libri de la collection Ashburnham. Elle a en grande partie décu les espérances que l'on avait pu concevoir [27]; on n'a retrouvé, sous le n° 1848 de Libri [28], qu'une seule chemise de pièces provenant de Fermat. Le dépouillement de ces pièces, que, grâce à l'obligeance de M. Léopold Delisle, nous avons pu faire dès le commencement de l'année 1888 et avant le classement nouveau, nous a fait reconnaître :

  • 1° Une seule pièce non connue d'ailleurs (voir ci-après, page 87, note 1), sur le lieu à trois lignes;
  • 2° D'anciennes copies de l’Ad locos planos et solidos isagoge, avec l’Appendix (page 91, note 1) de la Methodus ad disquirendam maximam et minimam (page 133) et du Novus secundarum et ulterioris ordinis radicum in analyticis usus (page 181), opuscules déjà imprimés dans les Varia Opera;
  • 3° Une copie d'une lettre de Fermat à Carcavi, laquelle se trouve plus complète dans le manuscrit de la Nationale, fonds latin 11196, n° 68 de la Correspondance. — (Publiée par M. Ch. Henry, Recherches, etc., pages 193 à 195.)

Des anciennes copies, celle de l’Isagoge est d'ailleurs seule à offrir un véritable intérêt.

VI.
Le manuscrit Arbogast-Boncompagni.

Parmi les autres sources manuscrites qui ont été utilisées pour cette édition, nous devons signaler, en premier lieu, les deux volumes très importants appartenant au prince Baldassare Boncompagni, à Rome, lequel les a généreusement mis à notre disposition.

Le premier de ces manuscrits, que nous désignerons par la lettre A, est un volume haut de 27cm, large de 21cm,5, comportant une reliure italienne récente en basane blanche décorée de filets d'or, laquelle présente au dos une vitole imprimée : Fermat, Opuscules et lettres. Outre deux feuillets de garde (en tête et à la fin), on compte, dans ce volume, 83 feuillets numérotés au crayon de 1 à 82 (le no 50 manquant, et, deux feuillets étant numérotés : 12 bis et 13 bis, ainsi que le mentionne, au reste, une annotation au crayon sur le second feuillet de garde). Ce numérotage au crayon a été fait dans la bibliothèque du prince Boncompagni.

Sur le feuillet 1 est écrit de la main de Libri :

Lettres de Fermat | par ordre | comme dans la liste de de’ (sic) Arbogast | plus la lettre au père Billy et celle à Carcavi. | Plus une copie de la lettre imprimée (anonyme) de Frenicle [corrigé de « Fermat »] à Digby | où il est fait mention d’un | autre écrit imprimé précédemment (1657) | par Frenicle [corrigé de « Fermat »].

Puis, de la même main, mais d’une écriture plus récente, de même que les corrections indiquées ci-dessus :

(Voyez Comm. ep. de Wallis.)

En haut de la page est la signature « F. Lepelle de Bois-Gallais », et sur tous les feuillets suivants le visa correspondant : F. L. B. G. ; ce qui permet d’établir que l’ensemble a été vendu, à Londres, par Libri en pièces détachées. Le prince Boncompagni l’a acquis, déjà relié, du comte Giacomo Manzoni, le 17 janvier 1876.

Fo 2 commence (finit fo 5) de la main d’Arbogast, qui remplit tout le reste du volume, l’Indication des opuscules mathématiques et lettres de Fermat qui se trouvent en manuscrit dans le Tom. IV des lettres écrites au P. Mersenne par des savans conservé à la Bibliothèque des ci-devant Minimes à Paris[29]. C'est ce que Libri appelle la liste d’Arbogast, et l’on trouve effectivement, à la suite et par ordre, les 20 lettres de cette liste, toutes inédites, qui occupent les feuillets 6 à 44 du manuscrit. La lettre à Billy annoncée par Libri ne se trouve, au contraire, qu’à la fin du volume (fo 82), copiée par Arbogast avec ce titre :

Lettre de Fermat au P. Billy. Se trouve aux manuscrits de la Bibliothèque Nationale à Paris, no 8600 ; c’est la seule lettre de Fermat qui soit dans ce recueil de lettres adressées au P. Billy.

Fo 45-48 on trouve, au contraire, l’Extrait d’une lettre de Fermat à Carcavi. — d’après la copie de Bouillaud, conservée dans les Manuscrits de Bouillaud. Lettres de différentes personnes ..... Bibliothèque nationale.

La chemise de cette lettre avec le titre Lettre à Carcavi de la main de Libri est actuellement le fo 95 du manuscrit de la Nationale : Fonds français no 3280 nouv. acq. (voir plus haut, page xxi) que nous désignerons par la lettre A1.

Enfin la copie par Arbogast de la lettre imprimée de Frenicle manque, de même, dans le manuscrit A et occupe les folios 96-98 de A1.

Au folio 49 de A, qui est une chemise portant le titre : Isagoge ad locos ad superficiem, Libri a écrit au-dessous de cette mention :

Opuscules mathématiques de Fermat inédits. Ce sont les nos 2, 3, 6, 7, 11, 12, 13 de la liste d’Arbogast.

Le no 10 est ajouté, au crayon bleu, à cette nomenclature.

On trouve, en effet, dans leur ordre régulier, les opuscules en question sur les fos 51 à 81 du manuscrit dont le contenu se trouve ainsi épuisé.

Il convient de remarquer que le no 10 n’est nullement inédit. Libri n’avait pas eu primitivement l’intention de le comprendre dans le recueil devenu aujourd’hui la propriété du prince Boncompagni ; c’est même certainement par mégarde qu'il l'a emportée à Londres en 1848, tandis qu'il laissait à Paris des pièces qu'il aurait voulu, au contraire, conserver pour ce recueil.

Des opuscules inédits de la liste d'Arbogast, les nos 6, 7, 11, 12, qui sont en français, figureront dans la Correspondance de Fermat sous les nos 26, 31, 37, 43. Les autres se trouvent dans le présent Volume.

Quant aux 20 lettres inédites, les nos 10 et 12 sont insérés ci-après, pages 195 et 167; pour les autres, la correspondance sera la suivante avec notre édition :


Nos de la liste d'Arbogast. 1 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 16 17 18 19 20
Nos de la Correspondance de Fermat. 12 1 45 47 52 55 56 33 36 30 51 60 6 54 46 28 53 35



VII.
Le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagni.

Nous désignerons par la lettre B le second manuscrit que le prince Boncompagni a bien voulu nous communiquer et qu'il a acquis dans les mêmes conditions que le précédent. C'est un Volume haut de 29cm, large de 21cm,5, relié en peau de porc et portant au dos l'inscription:

Copie | de lettres | de | Fermat | de | Descartes | et Traduction | d'un Discours | de | Galilée.

Sur le plat de la couverture est au milieu le chiffre 1, en haut, à gauche, le chiffre 4. Ces deux mêmes chiffres sont reproduits au milieu du premier feuillet (de garde).

Lorsque le Volume s'est trouvé entre nos mains, nous avons également reconnu, sur le même plat, quelques traces de lettres effacées. L'emploi du tannin nous a permis de revivifier, en haut, l'inscription « Au Citoyen Mauduyt » d'une écriture passablement fine et, vers le milieu, la note suivante :

N. B. 2 ventôse
Ce volume faisoit
partie du paquet de
papiers trouvés chez
Vicq d'Azir, après sa
mort, et renvoyés à la
Bibliothèque de la
ci-devant Académie
des Sciences comme
lui appartenant.

Cette note, qui est de la main facilement reconnaissable d'Arbogast, n'avait pas été écrite directement sur la couverture, mais bien sur un carré de papier colle dessus. Ce carré de papier a probablement été enlevé par Libri, entre les mains duquel le Volume est passé, comme le prouvent surabondamment les annotations qu'il y a inscrites en marge des lettres de Descartes.

Quoique ce Volume soit passé entre les mains d'Arbogast, il ne l'a pas utilisé pour ses copies, comme le montre la collation des pièces identiques de A et de B.

Ce dernier manuscrit comprend 118 feuillets numérotés (au crayon), mais c'est en réalité un recueil factice et nous n'avons à décrire que la partie qui concerne Fermat et qui vient en tête.

Cette partie comprend trois cahiers, le premier de 8 feuillets, le deuxième et le troisième de 12; les trois derniers feuillets sont entièrement blancs.

Le n° 2 inscrit au bas de la première page du premier cahier et la forme du début, sans titre et tout au haut de la page, prouvent l'existence antérieure d'un autre cahier précédent, qui est aujourd'hui perdu. Toutefois les traces d'encre qui se sont produites, au moment de la reliure, sur le feuillet de garde et le revers de la couverture, montrent que la perte a précédé la formation du recueil factice.

L'écriture est du dix-septième siècle, serrée et peu lisible.

Voici le détail des pièces contenues dans ce manuscrit; les unes sont des extraits de lettres déjà imprimées dans les Varia; d'autres sont des copies de lettres figurant dans la liste d'Arbogast; quelques-unes enfin ne sont pas connues d'ailleurs.

  • 1. F° 2ro. Extraict d'une lettre du IIIIme nobre 1636 à M. de Roberval pour la quadrature de la parabole (Varia) = n° 15 de la Correspondance de Fermat.
  • 2. F° 2vo. Extraict d'autre lettre du mesme du 4 juin 1648 au R. P. M. = n° 63.
  • 3. F° 2vo. Extraict d'autre lettre du XXme febvrier 1639 au R. P. M. = n° 37.
  • 4. F° 3ro. Extraict d'autre lettre du 1° avril 1640 au R. P. M. (en partie dans les Varia) = n° 38.
  • 5. F° 5ro. Autre lettre au R. P. M. (Varia) = n° 40.
  • 6. F° 6vo. Autre lettre au mesme = n° 39.
  • 7. F° 6ro. Extraict d'autre lettre du 18° octobre 1640 à M. F. (Varia) = n° 44.
  • 8. F° 8vo. Extraict d'autre lettre (Varia) = n° 42.
  • 9. F° 9vo. Extraict d'une lettre du 31 may 1643 à M. D. F. = n° 58.
  • 10. F° 10vo. Copie de lettre du 22me octobre 1638 (20e lettre de la liste d'Arbogast) = n° 35.
  • 11. F° 12vo. Epistola Dmi de Fermat ad R. P. Mersennum (Arbogast, 1re lettre) = n° 12.
  • 12. F° 14vo. (Arbogast, 16e lettre) = n° 54.
  • 13. F° 15ro. (Arbogast, 4e lettre) = n° 47.
  • 14. F° 15vo. (Arbogast, 2e lettre) = n°1.
  • 15. F° 17ro. (Arbogast, 13e lettre) no° 51.
  • 16. F° 17vo. (Arbogast, 12e lettre), ci-après, page 167.
  • 17. F° 18vo. (Arbogast, 10e lettre), ci-après, page 195.
  • 18. F° 19vo. (Arbogast, 3e lettre) = n° 45.
  • 19. F° 21vo. (Arbogast, 18e lettre) = n° 28.
  • 20. F° 22ro. (Arbogast, 7e lettre) = n° 56.
  • 21. F° 22bis. (Arbogast, 19e lettre en partie) = n° 59.
  • 22. F° 22ter. (Arbogast, 14e lettre) = n° 60.
  • 23. F° 23vo. (Arbogast, 6e lettre) = n° 55.
  • 24. F° 24ro. (Arbogast, 17e lettre) = n° 46.
  • 25. F° 24vo. (Arbogast, 8e lettre) n° 33.
  • 26. F° 25ro. (Arbogast, 9e lettre) = n° 36.
  • 27. F° 25vo. (Arbogast, 15e lettre) = n° 6.
  • 28. F° 26ro. (Arbogast, 11e lettre) = n° 30.
  • 29. F° 26vo. Lettre de Mr Fermat (à Frenicle) = n° 48.
  • 30. F° 28ro. Frenicle respond (tiré d'une lettre imprimée dans les Varia) = n° 49.
  • 31. F° 28vo. Copie d'une lettre du père Mersenne et de la responce de Mr de St Martin coner du Grand Conseil.
  • 32. F° 29vo. Lettre de Monsr Pujos au pere Mèrsenne.


Ces deux dernières pièces seront publiées dans le Volume de Complément.

VIII.
Les manuscrits de la Nationale, etc.

Les autres manuscrits utilisés par nous, appartenant à des bibliothèques publiques et ayant déjà été étudiés par M. Charles Henry dans ses Recherches, n'ont pas besoin d'une description aussi complète que les précédents.

Nous n'avons d'ailleurs à nous étendre un peu longuement que sur le n° 3280 fonds francais nouv. acq., désigné par nous sous la lettre A1 et formé, conmme nous l'avons dit, avec les papiers relatifs à Fermat qui ont été saisis en 1848 chez Libri.

Nous avons déjà noté plus haut l'existence, dans ce manuscrit, de l'original : Doctrinam tangentium etc., et de deux feuillets ayant fait partie du recueil d'Arbogast; ce sont là des pièces que Libri a certainement laissées par mégarde en France, tandis qu'il négligeait le reste de « l'énorme cahier » qu'il a dit avoir acquis à Metz.

Ce reste occupe les feuillets 91 à 98 et 120 à 192 du manuscrit A1, où il est facile de reconnaître l'écriture d'Arbogast. On peut y distinguer :

  • 1° Divers brouillons des copies au net contenues dans le manuscrit A, savoir la lettre n° 9 et les opuscules 13, 6, 7, 11, 12 de la liste d'Arbogast (textes publiés par M. Ch. Henry, Recherches, 2e partie, nos 15, 17, 18, 19, 21, 22);
  • 2° Des copies ou extraits de quelques pièces déjà imprimées dans les Varia;
  • 3° Des extraits (ou notes tirées) des Ouvrages de Descartes (en particulier de ses Lettres), Fagnano, Mersenne, Wallis, Hérigone, Viète, Albert Girard, Euler, Lagrange;
  • 4° Des essais de démonstrations sur diverses questions traitées par Fermat;
  • 5° Des notes bibliographiques sur divers manuscrits de la Nationale ou sur des Ouvrages mathématiques imprimés;
  • 6° Une copie, tirée de l'un de ces manuscrits, de la Proposition de M. de Roberval qui sert à trouver les centres de gravité envoyée à M. Fermat le 1er avril 1645.

En somme, Arbogast ne semble pas, malgré ses recherches sérieusement poursuivies, être arrivé à découvrir aucune autre pièce inédite de Fermat que celles du manuscrit A.

En dehors de documents qui n'intéressent guère que l'histoire du projet de publication sous le gouvernement de Louis-Philippe, le manuscrit A1 contient encore les copies faites à Vienne par Despeyrous (fos 25 à 90) de la correspondance entre Fermat et Clerselier, etc., d'après les minutes de ce dernier et des copies faites par ou pour lui.


La Bibliothèque Nationale nous a encore fourni, abstraction faite des originaux mentionnés plus haut, quelques copies anciennes éparses dans divers manuscrits :

Fonds latin 7226: fos 34 et suiv. Copies de lettres de Roberval à Fermat du 11 octobre 1636 et du 16 août 1636, déjà imprimées dans les Varia, mais la seconde avec un texte conmplètement refondu.

Fonds latin 11196: fos 46 à 53. Novus secundarum et ulterioris ordinis radicum in analyticis usus (ci-après, p. 181) — f° 54. Lettre de Fermat à Carcavi (voir plus haut, sur les papiers du fonds Libri).

Fonds latin 11197 : fos 17 à 20. Copie de la lettre n° 12 de la liste d'Arbogast (ci-après, p. 167) — f° 20v. Extrait de la lettre de Fermat à Mersenne du 3 juin 1636 (la première lettre des Varia).

Fonds francais 20945, Cahier 17 : f° 65. Copie de la lettre de Fermat à Pascal du 29 août 1654 (imprimée dans les Œuvres de Pascal) — f° 78. Copie d'une lettre sans adresse ni nom d'auteur, mais que M. Ch. Henry a reconnue comme écrite par Fermat à Carcavi et qu'il a publiée (Recherches, pages 197 à 200, n° 76 de la Correspondance).


La Bibliothèque de l'Universite de Leyde possède, dans le manuscrit n° 997 Burmann Q. 22, copie de deux lettres échangées entre Huet et Fermat (ci-après, pages 386 et 388) publiées par M. Ch. Henry[30] (Recherches, pages 73-77).

Nous avons déjà signalé les autographes de Fermat que possède la même bibliothèque dans la collection Huygens. La correspondance de Carcavi de cette collection a été publiée par M. Ch. Henry soit dans ses Recherches (pages 213 à 216), soit dans son Pierre de Carcavy [pages 14 à 40 du tirage à part[31]]. Elle renferme d'importants extraits des lettres de Fermat à Carcavi; l'un d'eux est publié ci-après, page 285, les autres formeront les nos 77, 78, 101, 105, 106, 110 de la Correspondance de Fermat.


IX.
Plan de la nouvelle édition.

Telles sont les sources imprimées et manuscrites qui ont été à notre disposition pour la préparation de la présente édition; il nous reste à exposer le plan qui a été adopté par la Commission de publication [32] et à expliquer certaines dispositions particulières.

L'édition doit comprendre trois Volumes : le premier renfermant d'une part les Œuvres mathématiques diverses, et de l'autre les Observations sur Diophante, les deux suivants seront consacrés à la Correspondance de Fermat qui sera classée par ordre chronologique et contiendra aussi bien les lettres qu'il a écrites que celles qu'il a reçues.

Tous les opuscules de Fermat étant en latin, un écrit de lui en français appartient nécessairement à sa correspondance; mais il a rédigé dans la langue savante même un certain nombre de lettres, plus soignées que les autres, plus exclusivement mathématiques ou qu'il pensait devoir être, plus que les autres, copiées et communiquées. Comme d'autre part ses opuscules affectent parfois la forme épistolaire, et qu'ils n'étaient pas destinés à une autre publicité que ses lettres écrites en latin, comme aussi les fragments isolés composés dans cette langue ont été au moins envoyés par lui avec ses lettres, quand ils n'en ont point été simplement extraits, on peut parfois hésiter pour classer une pièce latine, soit dans les opuscules, soit dans la correspondance.

Pour se mettre en garde contre tout reproche d'arbitraire à cet égard, il eût fallu pouvoir affecter le premier Volume à tous les écrits latins de Fermat; mais cette solution n'était guère praticable, car il arrive à notre géomètre de passer, dans la même lettre et parfois sur le même sujet, d'une langue à l'autre. On serait également tombé dans le grave inconvénient de détruire assez souvent l'unité d'un groupe de lettres et de rompre le fil chronologique de la correspondance.

On a donc préféré se borner à conserver le cadre général des Varia Opera, en y rattachant tous les morceaux qui y ont paru trouver une place plus naturelle que dans la Correspondance, où ils auraient été isolés et la plupart à une date incertaine.

L'ordre chronologique des opuscules ne pouvant d'ailleurs dans bien des cas être rigoureusement établi, il fallait adopter un ordre méthodique. Celui des Varia, n'ayant aucune valeur réelle, ne pouvait servir de point de départ ; on s'est arrêté aux principes suivants :

Constituer une série de groupes dont l'ordre représentât le développement des idées de Fermat, tel qu'il apparaît du moins si l'on prend dans chaque groupe l'écrit le plus ancien et si l'on range cet ensemble par ordre de dates ;

Adopter dans l'intérieur de chaque groupe le classement chronologique pour les opuscules les plus importants ; rejeter à la fin du groupe les fragments (généralement mal datés) et les ranger par ordre de questions.

On reconnaîtra facilement dans la Table des matières ci-avant les groupes qui ont été ainsi formés et qui, au reste, étaient déjà tous représentés dans les Varia Opera ; on peut les dénommer comme suit : 1° Géométrie à la manière des anciens ; 2° Géométrie analytique (inventée et développée indépendamment de Descartes) ; 3° Méthodes des maxima et minima et des tangentes (origine du calcul différentiel) ; 4° Théorie des équations (notamment une méthode d'élimination générale) ; 5° Quadratures (origine du calcul intégral).

La langue dont s'est servi Fermat et la désuétude où sont tombés, même dans le latin que lisent encore les mathématiciens, un grand nombre des termes techniques dont il se sert, ont paru rendre désirable une traduction française ; la Commission a jugé qu'il serait préférable de ne la publier qu'à part des Œuvres de Fermat dans un Volume spécial de Complément, où l'on donnera également des traductions : d'une part, de l’Inventum novum rédigé par le P. de Billy d'après les lettres que lui avait adressées Fermat et publié dans le Diophante de 1670 ; de l'autre, du Commercium epistolicum de Wallis ; aucun de ces deux Ouvrages n'a, en effet, de titres suffisants pour figurer dans les Œuvres mathématiques ou dans la Correspondance de Fermat, et leur réimpression n'offre pas d'intérêt véritable ; leur connaissance est cependant indispensable pour l'histoire scientifique de Fermat.

Le Complément comprendra encore, dans le même but historique, les nombreux extraits que l'on peut tirer, relativement au géomètre de Toulouse, des lettres de Descartes et divers autres témoignages des contemporains, en particulier de Mersenne.

Enfin, la Commission a jugé que les éditeurs devaient limiter leurs notes au minimum indispensable pour l'intelligence du texte (renvois compris) et les renseignements bibliographiques ; mais elle a décidé la rédaction de trois index : l'un des noms propres ; le deuxième de la langue mathématique de Fermat ; le troisième des matières.

X.
Remarques pour la lecture du texte.

Le présent Volume ne contenant que des écrits latins, nous n'avons à parler aujourd'hui que des règles qui ont été admises pour la constitution du texte en cette langue.

L'édition des Varia est d'une singulière incorrection; les originaux font défaut, à une seule exception près, qui permet d'ailleurs (voir page 159 note 2) de constater que Fermat les écrivait assez précipitamment pour ne pas éviter certains lapsus calami; enfin les copies laissent également plus ou moins à désirer.

Dans ces conditions, on a supposé que le texte de Fermat devait, avant toutes choses, être correct, soit pour le sens, soit pour la langue, et partout où il a paru corrompu, on s'est efforcé de le restituer en se conformant le plus possible aux indications des sources et aux habitudes de l'auteur. Diverses additions, soit de mots, soit de membres de phrase omis, ont paru nécessaires; elles ont été faites entre crochets d'intercalation < >. Les crochets [ ] indiquent, au contraire, les passages suspects d'interpolation, genre de corruption auquel les copies n'ont pas échappé par suite des notes qui y ont été ajoutées.

On n'a tenu aucun compte de la ponctuation des Varia, qui est aussi défectueuse que possible, ni même de la division en alinéas que comporte cette édition. Les sources manuscrites ont été seulement consultées sous ce rapport. On a cherché avant tout à rendre la lecture facile, en adoptant une ponctuation régulière et conforme à nos habitudes modernes, et en multipliant les alinéas.

Une autre innovation a été introduite dans le même but : la mise à la ligne de tout ce qui est équation ou peut être considéré comme tel. Il est à peine utile de dire que cette disposition typographique n'est pas en général indiquée par les sources; mais nous n'avons eu aucun scrupule à l'adopter, et nous pensons qu'elle pourrait être utilement imitée en général dans les rééditions des anciens auteurs mathématiques.

En ce qui concerne les notations et abréviations, nous avons cherché à déterminer pour chaque opuscule le mode qui semblait avoir été le plus généralement suivi par Fermat, et nous y avons conformé tout ce qui en différait. Il est à remarquer que, dans les anciennes copies et dans les Varia, on n'a attaché aucune importance à l'emploi de notations que Fermat, fidèle aux errements de Viète, a généralement évitées ; mais, d'autre part, on ne doit nullement supposer qu'il ait suivi dans tous ses écrits régulièrement le même système d'abréviations. La règle que nous avons adoptée nous a paru concilier ce qui était dû au respect des anciennes notations et à la facilité de la lecture ; car, pour celle-ci, il est en tout cas essentiel que l'on ne passe pas brusquement d'un genre d'abréviation à un autre.

Pour l'orthographe latine, nous avons adopté celle qui est encore aujourd'hui la plus usuelle, malgré les dernières tentatives de réforme ; tout d'abord nous avons distingué l’i et le j, l’u et le v comme le faisaient déjà les Elzevirs [33], par exemple dans l'édition de Viète de 1646 ; puis, pour chaque mot particulier, tout en ayant grand soin de restituer certaines formes que Fermat paraît avoir affectionnées et que les copistes ont d'ordinaire négligées, nous avons adopté l'orthographe la plus usuelle, et seulement pour les cas ambigus, nous avons cherché l'usage le plus fréquent dans les sources relatives à chaque opuscule. Cependant, pour la facilité de la lecture, nous n'avons pas hésité à substituer partout quum à cum, qui semble pourtant bien avoir été l'orthographe de Fermat.

En tout cas, pour que l'édition nouvelle pût entièrement remplacer les Varia dans toute recherche sur ce point, l'orthographe de l'ancienne édition, ainsi que celle des autres sources, a été notée scrupuleusement, en même temps que les corrections, dans les variantes rejetées à la fin du Volume. Ces variantes contiennent également quelques notes critiques et remarques qui complètent les annotations mises au bas des pages du texte.

L'accentuation a été indiquée partout où elle a paru utile pour faciliter la lecture ; on a suivi à cet égard le modèle donné par Friedrich Hultsch dans sa traduction de Pappus.

Les pièces qui figurent dans l'Appendice ont été réimprimées sans aucun changement, à part quelques corrections indiquées en notes.

M. Paul Tannery s'est plus spécialement chargé de l'établissement du texte et de la rédaction des notes de ce premier Volume : M. Charles Henry s'est plus particulièrement occupé de recueillir et de collationner les documents.

Sans l'offre gracieuse du prince Baldassare Boncompagni, sans sa singulière complaisance pour nous, la présente édition n'aurait pu être entreprise ; le monde savant lui en doit une reconnaissance dont nous ne pouvons être ici que les trop faibles interprètes ; nous devons aussi un tribut de remerciements à nombre de personnes qui ont bien voulu nous prêter leur concours et nous fournir divers renseignements ; nous avons tout particulièrement à nommer M. Léopold Delisle, administrateur de la Bibliothèque Nationale, qui a facilité nos recherches avec tant de bienveillance ; M. Henri Omont, bibliothécaire au département des manuscrits du même établissement, à qui nous devons, entre autres choses, la découverte d'une pièce inédite, imprimée dans l'Appendice ; M. Bierens de Haan, M. Antonio Favaro qui dirigent respectivement, l'un à Leyde, l'autre à Padoue, les rééditions des Œuvres de Huygens et de Galilée et qui nous ont assuré leur précieux concours pour des collations que nous ne pouvons faire nous-mêmes ; enfin M. de la Ville de Mirmont, de la Faculté de Bordeaux, qui a bien voulu rechercher pour nous la provenance de quelques citations classiques faites par Fermat sans nom d'auteur.


ŒUVRES MATHÉMATIQUES DIVERSES



APOLLONII PERGÆI
LIBRI DUO DE LOCIS PLANIS RESTITUTI.


< LIBER PRIMUS. >


Loci plani quid sint, notum est satis superque : hac de re scripsisse libros duos Apollonium testatur Pappus [34], eorumque propositiones singulas initio libri septimi tradit, verbis tamen aut obscuris aut sane interpreti minus perspectis (græcum enim codicem [35] videre non licuit). Hanc scientiam, totius, ut videtur, Geometriæ pulcherrimam, ab oblivione vindicamus et Apollonium de locis planis disserentem Apolloniis Gallis, Batavis et Illyricis [36]audacter opponimus, certam gerentes fiduciam non alibi præclarius quam hoc in opere, Geometriæ miracula elucere. Quod ut statim fatearis, hic exordior.

Propositiones libri primi hæ sunt :

Propositio I.

« Si duæ lineæ agantur, vel ab uno dato puncto, vel a duobus, et vel in rectam lineam, vel parallelæ, vel datum continentes angulum, vel inter se datam proportionem habentes, vel datum comprehendentes spatium : contingat autem terminus unius locum planum positione datum, et alterius terminus locum planum positione datum continget, interdum quidem ejusdem generis, interdum vero diversum, et interdum similiter positum ad rectam lineam, interdum contrario modo. »

Hæc propositio in propositiones octo dividi commode potest, et quævis ex iis in multiplices casus : obscuritatem interpreti præbuisse videtur interpunctionum defectus ; imo et Pappus ipse hoc loco propter nimiam brevitatem videtur non vacavisse obscuritate. Singula, dum secamus in octantes, ita revelamus :

1. Propositio. — Si a dato puncto in rectam lineam duæ lineæ agantur, datam habentes proportionem, et terminus unius contingat locum < planum > positione datum (hoc est : aut rectam, aut circumferentiam circuli positione datam), alterius terminus continget rectam aut circuli circumferentiam positione datam.

Esto datum punctum A (fig. 1), per quod agantur in directum rectæ AB, AF, in proportione data, et sit, verbi gratia, punctum B in recta linea HCBD positione data : Aio punctum F esse quoque ad rectam positione datam.

A puncto A demissâ in rectam HD perpendiculari AC, dabitur punctum C. Producatur CA ad E, et fiat ratio CA ad AE æqualis datæ ; dabitur igitur recta AE et punctum E. Per punctum E, parallela rectæ HD

Fig. 1.

Fermat - Livre I - Figure 1.png

ducatur GEF ; dabitur positione, et in ea erit punctum F, quia omnes rectæ per datum punctum parallelas secantes in eamdem rationem dividuntur. Patet ergo quamcumque rectam, per punctum A transeuntem et datis positione parallelis terminatam, in datam secari proportionem.

Esto deinde datum punctum B (fig. 2) et circulus positione ICN,

Fig. 2.
Fermat - Livre I - Figure 2.png

cujus centrum A. Jungatur BA, in puncto I circumferentiam secans, et producatur IB ad BE, ut sit ratio IB ad BE æqualis datæ. Continuetur in F, et fiat

AI ad EF ut IB ad BE,

et centro F, intervallo FE, describatur circumferentia circuli EDZ, quam patet, ex constructione, positione dari : Aio rectas omnes, per punctum datum B transeuntes et utrimque circumferentiis datorum positione circulorum terminatas, in datam secari rationem.

Ductâ enim, verbi gratia, CBD, jungantur CA, DF ; est

ut IB ad BE, ita AI ad EF;

ergo

ut tota BA ad BF, ita AI sive AC ad EF sive FD;
et sunt æquales anguli ABC, FBD ad verticem. Patet itaque triangula esse similia, atque ideo
ut CB ad BD, ita BA ad BF, hoc est in ratione data.

Quum igitur a dato puncto B ducantur in directum duæ rectæ, BC, BD, verbi gratia, in data ratione, quarum BC tangit circumferentiam positione datam, tanget quoque BD aliam circumferentiam positione datam.

Si producantur rectæ donec ad concavas circulorum circumferentias pertingant, idem eveniet.

Monemus porro nos minima quæque in demonstrationibus non docere, quum statim pateant, imo et casus diversos non persequi, quum ex adductis minimo possint negotio derivari.

2. Propositio. — Si a dato puncto ducantur in directum duæ rectæ, datum continentes spatium, contingat autem terminus unius locum planum positione < datum > [37], tanget pariter et terminus alterius.

Esto datum punctum A (fig. 3), data primum recta BC positione, in quam demittatur perpendicularis AC; dabitur ergo et punctum C. Producatur, et fiat spatio dato æquale rectangulum CAE. Super diametro AE descripto circulo ADE, aio rectas omnes, per punctum A ductas et illinc rectâ, hinc circumferentiâ circuli (quem patet dari positione) terminatas, ita ad punctum A secari ut rectangulum sub partibus æquetur spatio dato.

Nam sit, verbi gratia, recta DAB. Junctâ DE, quum sit angulus ADE in semicirculo rectus, et anguli BAC, DAE ad verticem æquales, erunt triangula DAE, ACB similia, atque ideo rectangulum BAD rectangulo CAE dato æquale.

Fig. 3.
Fermat - Livre I - Figure 3.png

Quum igitur per punctum A ducantur duæ rectæ AB, AD in directum, et terminus unius, nempe AB, tangat rectam BC positione datam, tanget et terminus alterius locum planum, hoc est circulum ADE, positione datum.

Sed detur punctum V (fig. 4) et circulus BIGH positione, cujus

Fig. 4.
Fermat - Livre I - Figure 4.png

centrum E. Jungatur EV et producatur in B; dabitur VB. Producaturi in F, ut sit rectangulum BVF æquale dato, cui etiam æquetur rectangulum GVX. Super diametro XF, circulus describatur XKF, quem quidem dari positione patet : Aio rectas, per punctum V transeuntes et duobus circulis terminatas, ita secari in V ut rectangulum sub segmentis dato æquale efficiant.

Ducatur enim, verbi gratia, AVKI : aio rectangulum AVK æquari dato.

Sumatur centrum circuli minoris O; recta autem AVKI secet eumdem circulum in R ; jungantur rectæ RO, AE. Posuimus rectangulum GVX æquari BVF ; erit ergo

GV ad VB ut FV ad VX,

et componendo, et sumendo antecedentium dimidia, et per conversionem rationis,

ut EB sive EA ad EV, ita OX sive OR ad OV.

Et habent duo triangula OVR, VEA communem angulum EVA ; erunt ergo similia, et

ut AV ad RV, ita AE ad RO, sive EB ad OX, < et > VE ad VO.

Quum ergo

ut EB ad OX, ita VE ad VO,

ergo

ut EB ad OX, ita reliqua VB ad reliquam VX,

atque ideo

ut AV ad RV, ita BV ad XV.

Similiter probabimus

ut GV ad VF, ita IV ad KV ;

erit igitur vicissim

ut GV ad VI, ita FV ad VK.

Ut autem

FV ad VK, ita VR ad VX

(quia rectangula KVR, FVX in circulo sunt æqualia), et

ut VR ad VX, ita probavimus esse VA ad VB ;
erit igitur
ut FV ad VK, ex una parte, ita VA ad VB.
Rectangulum igitur KVA rectangulo FVB dato æquale.

Ex alia vero parte erit

ut GV ad IV, ita VR ad VX,
atque ideo rectangulum IVR rectangulo GVX dato æquale.

Quum igitur per punctum V ducantur duæ lineæ in directum AV et VK, comprehendentes spatium datum, et terminus unius, nempe VA, contingat circulum positione datum, tanget et terminus alterius locum planum, hoc est circulum XKF, positione datum.

3.Propositio. – Si a dato < puncto > ducantur duæ linæ, datum continentes angulum et datam proportionem habentes, contingat autem terminus unius locum planum positione < datum >, continget et terminus alterius.

Esto primo datum punctum H (fig. 5) et recta linea AF positione,

Fig. 5.

Fermat - Livre I - Figure 5.png

in quam demissa perpendicularis HB dabitur. Fiat angulo dato æqualis angulus BHE et sit BH ad HE in ratione data ; dabitur recta HE positione, et punctum E. A puncto E ad rectam HE excitata perpendicularis infinita DEG dabitur positione. Sumatur quodlibet punctum in recta AF, ut C, et junctâ HC, fiat angulo dato æqualis CHI : Aio rectam HC ad HI esse in ratione data.

Nam, quum sint æquales anguli BHE, CHI, dempto communi CHE, erunt æquales BHC, EHI ; et sunt anguli ad B et E recti : sunt igitur similia triangula HBC, HEI et

ut HB ad HC, ita HE ad HI,
et vicissim
ut HB ad HE, ita HC ad HI
habet rationem datam.

Quum igitur, a dato puncto H, ductæ fuerint duæ lineæ HC, HI, in dato angulo CHI et in data ratione, et altera, nempe HC, ad punctum C contingat rectam positione < datam >, continget et terminus alterius locum planum, nempe rectam DG, quam dari positione probatum est.

Sed tangatur circulus : esto punctum A (fig. 6), datus circulus

Fig. 6.
Fermat - Livre I - Figure 6.png

positione IE, cujus centrum F. Jungatur FA secans circulum in I, et fiat angulus < IAD > æqualis dato, et ratio IA < ad > AD data ; dabitur AD positione, et punctum D. Producatur et fiat

ut IA ad AD, ita IF ad DC.

Centro C descripto circulo DB, quem patet dari positione, sumatur quodvis punctum in priore circulo, ut E, et junctâ EA, fiat angulo dato æqualis EAB, et sit punctum B in secundo circulo : Aio esse AE ad BA in ratione data.

Jungantur FE, BC. Probabimus, ut supra, æquales angulos FAE, CAB et similitudinem triangulorum FAE, CAB; iisdem rationibus, quibus jam in priore propositione ejusque secunda figura usi sumus, arguemus, eritque

AF ad EA ut AC ad AB,
et vicissim
ut AF ad AC, hoc est ut AI ad AD, ita AE ad AB.
Dabitur ergo ratio AE ad AB, et patet tum sensus, tum consequentia propositionis.

4. Propositio. — Si a dato puncto ducantur duæ lineæ, datum continentes angulum et datum comprehendentes spatium, contingat autem terminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterius.

Sit datum punctum G (fig. 7), recta positione data AC, in quam

Fig. 7.
Fermat - Livre I - Figure 7.png
ducatur perpendicularis GB ; esto angulus datus BGE, et spatium datum

sub BG in GE. Super GE describatur semicirculus GEF, et sumpto in recta positione data quovis puncto, ut D, junctâque DG, fiat angulo dato æqualis DGF : Aio rectangulum sub DG in GF æquari dato.

Jungatur FE. Probabimus, ut in propositione præcedente, æqualitatem angulorum BGD, EGF. Sed recti ad B et F sunt æquales ; non latebit igitur triangulorum BGD, EGF similitudo, neque rectangulorum BG in GE, et GD in GF æqualitas, neque veritas propositionis.

Si igitur, etc.

Sed sit datum punctum A (fig. 8), et circulus positione HGE. Ducatur, per ipsius centrum, AEH secans circumferentiam in punctis E, H. Sit angulus datus HAB, et spatium datum rectangulum sub HA in AI, vel <sub> EA in AB. Super recta IB descripto semicirculo [38], quem quidem patet dari positione, satisfiet quæstioni : nam ductâ GFA,

Fig. 8.

Fermat - Livre I - Figure 8.png

verbi gratia, et facto angulo GADC, dato æquali, aio rectangulum GAD, vel FAC, æquari dato.

Nam quum rectangula HAI, EAB æquentur, erit

ut HA ad AE, ita AB ad AI.

Ex propositionis verò superioris ratiocinio patet æqualitas angulorum HAG, BAC et ex priore propositione facile deducetur esse

ut HA ad GA, ita BA ad AC.

Sed

ut HA ad GA, ita FA ad AE;

ergo

ut FA ad AE, ita BA ad AC,

rectangulumque FAC rectangulo BAE dato est æquale.

Deinde est

ut BA ad AC, ita AD ad AI,

rectangulumque GAD rectangulo HAI dato æquale. Constat itaque ex omni parte propositum.

Si igitur, etc.

Hoc in casu sumpsimus punctum A extra circuluml positione datum,in secundo verò casu secundæ propositionis, intra circulum posueramus.

Quatuor propositiones præcedentes punctum unum datum assumunt, sequentes duo.

5.- Propositio. - Si a duobus punctis datis duæ lineæ parallelæ agantur, rationem habentes datam, contingat autem tertminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterius.

Sunto < data > duo puncta A et H (fig. 9), recta positione CBDK, in quam demittatur perpendicularis AB, cui parallela ducatur HE, et

Fig. 9
Fermat - Livre I - Figure 9.png

sit ratio AB ad HE data. Dabitur punctum E, per quod ducta FEG perpendiculari ad HE et rectae positione date parallela, aio omnes parallelas, a punctis A, H ductas et rectis CD, FG positione datis terminatas, esse in proportione data AB ad HE.

Erunt enim anguli BAD, EIG -equales, et recti ad B et E; similia ergo triangula BAD, EHG, et reliqua facilia.

Quum igitur a datis duobus punctis A et H ductas fuerint parallela AD, IG, in ratione data, quarum AD est ad datam rectam positione, erit et HG ad rectam positione datam, ideoque ad locum planum.

In hac figura (fig. 10) sint data puncta A et Z, et circulus positione BC, cujus centrum E. Jungatur AE, occurrens circulo in B, et huic parallela ducatur ZN, fiatque ratio AB ad ZN aequalis date. Producatur ZN in I, et fiat ratio BE ad NI sequalis etiam datæ. Centro I, intervallo IN, descriptus circulus dabitur positione et quæstioni satisfaciet.

Nam, ductis parallelis AC, ZD, circulis ad puncta C, D occurrentibus, erit ratio AC ad ZD æqualis datæ; esse enim angulos BAC, NZD æquales, jam primus hujus propositionis casus evicit; reliquum præstabit secundum < tertiæ > propositionis epitagma.

Fig. 10.
Fermat - Livre I - Figure 10.png

6. Propositio. - Si a clobits punctis dcats dcla pacrllelce agantur, dattum comprehendentes spatium, contingat autem terminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterius.

Sint data duo puncta A et H (fig. 11), recta positione CE, in quam < demittatur > perpendicularis AB, cui parallela ducatur HG, et rectangulo dato sit æquale rectangulum sub AB < in > [39] HG; dabitur recta HG, super qua descriptus semicirculus [40] HFG qæstionem perficiet.

Fig. 11.
Fermat - Livre I - Figure 11.png

Ductis enim ubicumque parallelis AD, HF, et junctai GF, patebit demonstrationes superiores retractanti triangulorum BAD, GHF similitudo, ideoque rectangulum sub AD in HF 2equale dato sub BA in HG concludetur.

Quum igitur a duobus punctis, etc.

In secundo casu, sint data puncta A et B (fig. 12), et circulus positione IFGH, per cujus centrum transeat AIH, cui parallela ducatur BC,

Fig. 12.
Fermat - Livre I - Figure 12.png

et sit rectangulum sub Al < in > BC æquale dato, eidemque aequale rectangulum sub AH in BO. Super recta OC descriptus semicirculus priestat propositum.

Nam, ductis parallelis AFG, BED, erunt anguli HAG, CBD tquales, et rectangulum sub AG in BE wequale dato, eidemque rectangulum sub AF in BD; nec absimilis est ei, qua in secundo epitagmate propositionis quartæ prodita est, demonstratio.

7. Propositio. - Si duæ lineæ agantur a datis duobus punctis, datum continentes angulum et datam habentes proportionem, contingat autem terminus unius locum planum positione datum, contingett et terminus alterius.

Sunto < data > duo puncta A et B (fig. 13), recta positione IGH. Super BA describatur portio circuli ALB, capiens angulum æqualem dato. A puncto A ducatur in rectam IH perpendicularis AG, qua producta donec circumferentite occurrat in L, producatur LBE, et fiat AG ad BE in ratione data. Perpendicularis ad BE agatur FEDC, et sumatur quodlibet punctum in portionis circumferentia, ut K, a quo ducantur per puncta A et B rectæ KAH, KBD, occurrentes rectis IH, FC in punctis H et D: Aio'AH ad BD esse in ratione data AG ad BE.

Fig. 13.
Fermat - Livre I - Figure 13.png

Quum enim hoc ita se habeat, erunt triangula AGH, BED similia, ideoque anguli GAH, EBD, eisque ad verticem KAL, KBL tequales; quod quidem ila se habet quum eidem circuli portioni insistant, et proclivis est ab analysi ad synthesin regressus.

Quum igitur a datis duobus punctis A et B ductw fuerint duwe rectet AH, BD, datum continentes angulum HKD < datamque habentes proportionem >, et terminus ipsius AH contingat rectam IH positione datar, continget et terminus BD rectam FC, quam dari positione evicit constructio.

Sed sint data puncta A, B (fig. 14), circulus positione HF. Super recta AB describatur portio circuli AKB, capiens angulum dato æqualem. Centrum circuli HF estoG. Jungatur AHG, producatur donec portioni occurrat in K, et ducatur KBE, et sit ratio AH ad BE data. Producatur BE in D, donee HG ad DE sit pariter in ratione data. Centro D descriptus circulus dabitur positione, et dabit solutionem qusestionis.

Ductis quippe IAF, IBC, erunt anguli ad A et B æquales, et reliquum propositi non est laboriosum; statimque patetAF ad BC esse in ratione data, imo et ad circumferentias concavas productas idem priestare. Quum igitur, etc.

Fig. 14.
Fermat - Livre I - Figure 14.png

8. Propositio. - Si a duobus punctis datis ducantur dce linecec, datlu continentes angulum et datum comprehzendentes spatium, contingat autemn terminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterils.

Fig. 15.
Fermat - Livre I - Figure 15.png

Sint data duo puncta A etB (fig. 15), recta positione GI. Super AB describatur portio circuli capiens angulum datum. Ducta perpendicularis AH in GI continuetur in F, et juncta FB producatur in C, sitque spatium datum AH in BC. Super recta BC descriptus circulus faciet quod proponitur. Erit quippe, sumpto quovis puncto in portione E, et junctis EAI, EBD, rectangulum sub AI < in > BD wequale dato; nec differt ab expositis allis casibus demonstratio.

Sed sint data duo puncta A, B (fig. 16), datus positione circulus IKL, et super AB descripta portio circuli capiens angulum dato sequalem. Ducatur per centrum recta ANI et producatur in G; junctaque

Fig. 16.
Fermat - Livre I - Figure 16.png

GB producatur, et fiat rectangulum sub AI in BC æquale dato, eidemque æquale rectangulum sub AN in BD. Super CD descriptus semicirculus satisfaciet proposito.

Hoc est: sumpto quolibet puncto ut H, et reliquis ut supra constructis, ut in figura, erit rectangulum sub AK in BF sequale dato, eidemque rectangulum sub AL in BE; nec est diversa demonstratio a præcedentibus.


Constat itaque propositum, eaque ratione prior Apollonii seu Pappi propositio redditur manifesta.

Observandum autem casus quos in semicirculis tantum expressimus in circulis integris locum habere, sed et casus multiplices ex varia datorum positione oriri, quos otiosiores ex præcedentibus facili opera et proclivi ratiocinio deducent.

Subjicit Pappus: Locum planum quem secunda ex rectis contingit, interdum esse ejusdem generis, interdum vero diversum. Hoc patet, quia in prima propositione, verbi gratia, est ejusdem generis: nam, si prior sit ad rectam, est quoque ad rectam posterior, si ad circulum, similiter ad circulum; in secundae vero priore parte et aliis quibusdam casibus, est diversi generis. Addit deinde aliquando similiter poni ad rectam lineam, interdum contrario modo. Quo loco verba « ad rectam lineam »[41], quæ nullum sensum admittunt, censeo delenda, et ita locum interpretor, ut aliquando secundus locus priori contrario modo ponatur : verbi gratia, si prior sit ad convexum circuli, secundus ad concavum, etc., cujus rei exempla priores propositiones suppeditabunt.

Propositio II.

« Si rectæ lineæ positione datæ unus terminus datus sit, et alter circumferentiam concavam positione datam continget » Hæc verba si ita legantur, falsa est propositio[42]; reponendum igitur loco, verbi gratia, « positione datæ » - magnitudine datæ ; - eritque sensus ut, datâ circuli diametro et centro, extremitas diametri sit ad circulum positione datum. Cujus rei veritas quum per se pateat, cur diutius hic immoremur?

Propositio III.

« Si a duobus punctis datis inflectantur rectæ lineæ datum angulum continentes, commune ipsorum punctum continget circumferentiam concavam positione datam. »

Hæc propositio per se patet : dari enim, super recta linea duo puncta jungente, portionem circuli capientem angulum datum, docuit Euclides in Elementis.

Propositio IV.

« Si trianguli spatii, magnitudine dati, basis positione et magnitudine data sit, vertex ipsius rectam lineam positione datam continget », paral lelam nempe basi datæ, cujus inventione ex I Elementorum facile deduces omnia.

Propositio V.

« Si rectæ lineæ, magnitudine datæ et cuipiam positioni datæ æquidistantis, unus terminus contingat rectam lineam positione datam, et alius terminus rectam lineam positione datam continget. »

Datæ rectæ lineæ DE (fig. 17) magnitudine et rectæ AC, positione datæ, æquidistantis unus terminus, ut D, contingat rectam AF posi-
Fig. 17.
Fermat - Livre I - Figure 17.png
tione datam. Si per punctum E duxeris BEG ipsi AF parallelam, constabit propositum.

Erunt quippe rectæ omnes, inter has duas parallelas interceptæ et rectæ AC, positione datæ, æquidistantes, inter se æquales : quod ipsa constructio manifestat.

Si igitur alter terminus cujuslibet sit ad rectam AF, erit alius ad BG, ut vult propositio, quam etiam licet porrigere levi negotio ad circulos.

Sit enim data AB (fig. 18) positione, cui æquidistet recta NO magnitudine data, cujus punctum N sit ad circumferentiam circuli CNM positione dati : Aio punctum O esse ad circulum positione datum.

Esto E centrum circuli CNM, et ducta diameter, ipsi NO parallela, continuetur in F, donec recta CF æquetur NO datæ: dabitur recta CF positione et magnitudine. Producatur, et fiat FH æqualis CD. Super FH descriptus circulus præstabit propositum.

Erit quippe punctum O ad ipsius circumferentiam. Quum enim punctum O sit ad circumferentiam circuli FOP, erunt rectæ CN, FO æquales et parallelæ, quum æquales et parallelas CF, NO conjungant. Erunt igitur anguli NCD, OFH æquales; quod quidem ita se habet,
Fig. 18.
Fermat - Livre I - Figure 18.png
quum rectæ CD, FH sint æquales, et a rectis NM, OP æqualiter distent.

Poterit igitur propositio Pappi universalius ita concipi:

Si rectae lineae, magnitudine datæ et cuipiam positione datæ æquidistantis, unus terminus contingat locum planum positione datum, et alius terminus locum planum positione datum continget.

Propositio VI.

« Si a puncto quodam ad positione datas duas rectas lineas parallelas, vel inter se convenientes ducantur rectæ lineæ in dato angulo, vel datam habentes proportionem vel quarum una simul cum ea, ad quam altera proportionem habet datam, data fuerit, continget punctum rectam lineam positione datam. »

Hujus propositionis duæ sunt partes, quarum prior hæc est. Sint duæ rectæ positione datæ AE, AF (fig. 19), in puncto A concurrentes, et a puncto C demittantur rectæ CB, CD, in datis angulis CBA, CDA, et sint rectæ BC, CD in data proportione: Aio punctum C esse ad rectam lineam positione datam.

Jungantur AC, BD. In quadrangulo ABCD dantur tres anguli ABC, ADC, BAD: datur igitur angulus BCD. Datur etiam ratio BC ad CD ex hypothesi: ergo datur specie triangulum BDC et anguli CBD, CDB. Reliqui igitur ABD, ADB dantur, ideoque specie triangulum ABD: datur igitur ratio AB ad BD. Sed ex demonstratis datur ratio BD ad BC (quum probatum sit triangulum BDC specie dari): ergo datur ratio AB

Fig. 19.
Fermat - Livre I - Figure 19.png
ad BC. Datur autem BA positione, et punctum A: datur igitur positione recta AC, et in ea sumpto quovis puncto et ab eo demissis, in datis angulis, rectis in rectas datas, probabitur semper demissas essein data proportione.

Alter casus est si rectæ datæ sint parallelæ : Sint rectæ CA, CB (fig. 20), in datis angulis CAD, CBF, in proportione data. Angulus CNB

Fig. 20.
Fermat - Livre I - Figure 20.png
datur; est enim æqualis, propter parallelas, dato CAD. Datur igitur specie triangulum CNB et ratio CN ad CB; datur autem ex hypothesi ratio CB ad CA: ergo ratio CN ad CA data est, ideoque probatur facile punctum C esse in recta data positione.

Constructio. - Per punctum quodvis, ut B, trajiciatur perpendicularis IBM: dabitur IB. Fiat

ut AN ad NC, ita IB ad BM.

Per punctum M ducta duabus datis parallela satisfaciet qusestioni, nec est operosa demonstratio.

Si igitur a puncto quodam ad positione datas duas rectas lineas, parallelas vel inter se convenientes, ducantur rectte lineæ < in > datis angulis, habentes datam proportionem, continget punctum rectam lineam positione datam.

Secunda pars ita se habet:

Dentur rectœ AC, AG (fig. 21), in puncto A concurrentes. Ponatur

Fig. 21.
Fermat - Livre I - Figure 21.png

AN super rectam AC in dato angulo CAN. Fiat AN wequalis datæ, et ipsi AC parallela ducatur NG. Angulus alius datus sit ROG. Per primam partem hujus ducatur recta GE, in qua sumpto quovis puncto, ut E, rectse ED, EF, ipsis RO, AN parallelse, sint in ratione data: dabitur GE positione, ex superius demonstratis. Producatur FE in B: dabitur 'B magnitudine; est enim nequalis datœ AN, propter parallelas.

Quodcumque igitur punctum sumpseris in recta GE, ut E, a quo in rectas AC, AG demiseris rectas ED, EB in angulis datis, recta BE una cum EF, ad quam ED habet rationemr datam, data erit: quod vult propositio [43].

Si igitur a puncto quodam ad positione < datas > duas rectas lineas, inter se convenientes, ducantur recte lineæ in datis angulis, quarum una simul cum ea, ad quam altera habet proportionem datam, data fuerit, continget punctur rectam lineam positione datam.

Propositio VII.

« Si sint quotcumque rectæ lineæ positione datæ, atque ad ipsas a quodam puncto ducanltr rectce linece in datis angulis, sit autem quod data linea et ducta continetur, un& cum contento data linea et altera ducta, cequale ei quod data et alia ducta et reliquis [44] continetur, punctum rectam lineam positione datam continget. »

Hæc propositio est ampliatio prsecedentis et quod de duabus lineis est superius demonstratum in prima parte propositionis VI, hic in quotcumque locum habere proponitur.

Exponantur tres rectæ positione data et triangulum constituentes AB, BC, CA (fig. 22). Est invenienda recta, EK verbi gratia, in qua sumendo quodlibet punctum, ut M, et ab eo ducendo rectas MR, MO, MI in angulis datis AIRA, MOB, MIA, summa duarum OM et AMI sit ad MR in ratione data.

Per primam partem propositionis precedentis inveniatur recta in qua sumendo quodlibet punctum et ab eo ducendo rectas ad rectas AB, BC, duct sint in ratione data: dabitur positione recta quesita. Punctum igitur, in quo concurret cum AC, dabitur: esto E, a quo ducantur EV, ED ipsis MO, MR parallelse; ergo ex constructione YE ad ED habebit rationerm dataim. Eadem methodo, sumptis AB, AC rectis, inveniatur punctum K, a quo ductKe KL, KZ in datis angulis, ipsis nempe MR, MI parallela, sint in ratione data. Erit igitur similiter KZ ad KL in

Fig. 22.
Fermat - Livre I - Figure 22.png

ratione data. Jungatur EK: quodcumque punctum in ea sumpseris prvastabit propositurn.

Sumatur M, verbi gratia, ex jam constructis. Fiat MF parallela BA, et MH parallela BC. Probandum est summam duarum OM, MI esse ad MR ut VE ad ED, in ratione neimpe data.

Fiat adhuc KG parallela BA. Ponatur verum esse quod intendimus probare: ergo vicissim erit

ut MR ad ED, ita summa duarum MI, MO ad EV,

et, dividendo, erit

ut differentia MR et DE ad DE,
ita differentia qua duwe OM, MI superant EV ad EV.

Quumn autem MF sit parallela BA, EF erit differentia rectarum MR et DE, et quum MH sit parallela BC, EHL erit differentia rectarum VE, MO, ideoque differentia rectarum IM et EH wequabitur excessui quo duew MO, MI superant rectam VE. Ex demonstratis igitur erit

EF ad DE iut differentia rectarum IM, EH ad EV,
et vicissim
EF erit ad differentiam rectarum IM, EH ut ED ad EV.

Erit igitur, convertendo,

differentia rectarum IM, ER ad EF in ratione data EV ad ED.

Ex constructione autem, expositis tribus EH, EF, MI, est

VE ad EH ut KE ad EM;

est etiam

KZ ad lMI in eadem ratione KE ad EM;

est etiam, quum KG sit parallela BA,

GE ad EF in eadem ratione KE ad EM,

Igitur tres rectte VE, KZ, EG sunt in ratione trium HE, MII, EF est igitur

ut differentia duarum EV, KZ ad EG, ita differentia duarum MI, EH ad EF.

Sed probavimus differentiam duarum MI, EH ad EF habere rationeln datam EV ad ED: igitur differentia duarum EV, KZ ad EG habebit rationem datam EV ad ED, et vicissim

differentia duarum EV, KZ ad EV erit ut EG ad ED,

et, componendo,

KZ erit ad EV ut GD ad ED.

Sed (propter parallelas KG, BA) KL Tequatur DG: igitur vicissim erit

ut KZ ad KL, ita EV ad ED,

quod quidem ita se habere jam ex ipsa constructione innotuerat.

Constat itaque veritas pulcherrimte propositionis, nec est difficilis aut absimilis ad ulteriores casus et quotlibet lineas porrigenda constructio et demonstratio. Semper enim, beneficio constructionis in duabus lineis, expedietur problcma in tribus lineis: beneficio constructionis in tribus lineis, expedietur problema in quatuor lineis: beneficio consLructionis in quatuor, expedietur problema in quinque: et sirili omnino ac uniformi in infinitum r methodo.

Propositio VIII et ultima.

« Si ab aliquo puncto ad positione datas parallelas ducantur rectce litnea in datis angulis, qzce ad puncta in ipsis data abscindant reccts lineas, a vel proportionem habentes, vel spatium continentes datum, vel ita ut species ab ipsis ductis, vel excessus specierum ccqualis sit spatio datto, punctuum contitnget positione ldatas rectas lineas. »

Hujus propositionis, si vera esset, quatuor essent partes, sed earn in ratione data veram duntaxat [45] deprehendimus. Valeant igitur reliqua de spatio contento sub duabus, et de summa aut differentia quadratorum ab ipsis, et tanquam commentitia aut huc aliunde translata rejiciantur.

Proponatur itaque sic emendatum theorema:

Si ab aliquo puncto adpositione datas parallelas ducantur rectce linece in datis angulis, quce adpuncta in ipsis data abscinclant rectas lineas proportionem habentes clatam, punctum continget positione datam rectam lineam.

Constructio sic procedet: Sint datse parallele AB, GC (Fig. 23), puncta in ipsis data A et F, angulus us ns ex datis BAH, alter GFH. Quum puncta A et F dentur, et anguli ad ipsa, dabuntur rectte AH, FH positione, ideoque puncturn concursus H; dabitur etiam punc tur G, in quo AH secat parallelam GC. Recta GF in puncto D ita secetur ut GD ad DF sit in ratione data: dabiturpunctum D. Jungatur DH; dabitur igitur positione DH: Aio rectam DH præstare propositum, hoc est: sumpto in ea quolibet puncto, ut I, et ab co ductis IB, IE in angulis datis, abscissam AB ad datum punctur A ad abscissam EF ad datum punctum F esse in ratione data GD ad DF.

Fig. 23.
Fermat - Livre I - Figure 23.png

Secet BI parallelam GF in C. Erit ex constructione IB parallela HA, quum fuerit demissa in angulo dato, hoc est, ipsi HAB sequali. Erit etiam IE parallela HF: GC igitur, propter parallelas, equatur AB. Probandum superest

ut GC ad EF, ita GD ad DF,

et vicissim

ut GC ad GD, ita EF ad DF.

Hoc autem perspicuum est

ut enim HI ad HD, ita GC ad GD,

et

ut eadem HI ad HD, ita EF ad FD.

Esse igitur GC ad EF in ratione data fit perspicuum.

Sunt plures casus tam istius quam prœcedentium propositionum: quos invenire etaddere quum sit facile, cur in his diutius immoremur?

< LIBER SECUNDUS >[46]


Propositio I[47]

« Si a datis punctis rectæ lineæ inflectantur, et sint quæ ab ipsis fiunt dato spatio differentia, punctum positione datas rectas lineas continget. »

Fig. 24.
Fermat - Livre I - Figure 24.png

Sint data duo puncta A et B (fig. 24), et sit datum quodlibet spatium quadrato AB minus. Dividatur AB in C, ita ut quadratum AC quadratum CB superet dato spatio, et educatur perpendicularis infinita CE, in qua sumatur quodlibet punctum D, et jungantur DA, BD: Aio quadratum AD superare quadratum DB dato. Quod quidem patet, quum quadratum AD eodem superet quadraturn DB, quo quadratum AC superat quadratum CB [48]. Si spatium datum sit majus quadrato AB, punctum C extra lineam AB cadet.

Ad hanc propositionem pertinere possunt duwe sequentes [49]

Sint data quatuorpuncta A, B, C, D (fig. 25) in recta linea, et sit AB cequalis CD. Sumatur aliud quodcumque punctum, ut N, et jungantur quatuor ectce NA, NB, NC, ND: Aio duo quadrata AN, ND superare duo quadrata BN, NC rectangulo sub AB in BD bis.

Fig. 25.
Fermat - Livre I - Figure 25.png

Nam ducatur perpendicularis NI, et primumr punctum I extra rectam lineam AD cadat. Patet igitur excessum quadratorum AN, ND super duo quadrata BN, NC, propter omnibus commune quadratum NI, esse id quo duo quadrata AI, ID superant duo quadrata BI, CI. Sed quadrata duo AI, DI, per 4am' II, æquantur quadrato DI bis, quadrato AD, et rectangulo ADI bis; quadrata vero BI, CI, per eamdem propositionem, Sequantur quadrato DI bis, quadratis BD, CD, et rectangulis sub BD in DI bis, et CD in DI bis, sive, loco horum duorum rectangulorum, uni rectangulo AD in DI bis, propterea quod AB est aqualis CD: excessus igitur quadratorum AI, ID super BI, CI est idem qui AD quadrati super quadrata BD, CD sive AB. Sed, per 4am propositionem II, quadratum AD duo quadrata AB, BD superat rectangulo sub AB in BD bis. Constat ergo propositum.

Reliquos casus non adjungo neque in hac propositione neque in sequentibus, nam, licet sit facile, esset tediosum.

Si a tribus punctis in recta linea constitutis inflectantur rectce, et sint duo quadrata tertio majora spatio dato, punctum positione datam circumferentiam continget.

Sint data tria puncta A, B, C (fig. 26) in recta linea, et datum quod

Fig. 26.
Fermat - Livre I - Figure 26.png

libet spatium rectangulo ABC bis majus. Fiat AI æqualis BC, et spatium datum sit æquale rectangulo ABC bis et quadrato IV. Centro I, intervallo IV, circulus VNO describatur in cujus circumferentia punctum quodlibet sumatur, ut N, junganturque NA, NB, NC ad data puncta: Aio duo quadrata AN, NC quadratum NB dato spatio superare.

Nam jungatur IN : ergo ex superiore propositione patet duo quadrata AN, NC æquari duobus quadratis IN, BN et rectangulo ABC bis; ergo duo quadrata AN, NC superant quadratur NB quadrato IN et rectangulo ABC bis, et constat propositum.

Propositio II.

« Si a duobus punctis inflectantur rectce, et sint in proportione data, punctum continget vel rectam lineam vel circumferentiam. » Sint data duo puncta A et C (fig. 27), et sit prinmu data ratio æqualitatis. Dividatur AC bifariam in B, et excitetur perpendicularis BD. Patet quodcumque punctum in ipsa sumatur, ut D, fore rectas AD, DC æquales.

Fig. 27
Fermat - Livre I - Figure 27.png

Sed sit data ratio inæqualitatis, et sint duo data puncta A, B (fig. 28), ratio ut R ad S. Fiat

ut R quad. ad S quad., ita AN ad NB.

Inter AN, NB sumatur media NO, cujus intervallo describatur circulus OVZ, et in ipsius circumferentia sumatur quodcumque punctum, ut V, junganturque VA, VB:Aio esse in data ratione R ad S.

Fig. 28.
Fermat - Livre I - Figure 28.png

Nan, junctâ VN, ipsi VA parallela sit BI:

ut AN ad NO sive NV, < ita NV > ad Nl,

et sunt circa eumdem angulum ANV; similia igitur duo triangula ANV, BVN, et angulus VAB angulo BVI xequalis. Sed et AVB, VBI, proptel parallelas, waquales sunt; ergo similia triangula AVB, VBI, et est

AV ad B ut VB ad BI,
et
ut VB ad BI, < ita NV ad NB, et AN ad NYV

Est igitur

ut VB quad. ad BI quad. >, id est AN ad NB [50],
id est R quad. ad S quad., ita AV quad. ad VB quad.

Est ergo

AV ad VB ut ad S,

et patet propositum.

Propositio III.

« Si sit positione data recta linea, et in ipsa datum punctum, a quo ducatur qædam linea terminata, a termino auten ipsius ducatur et ad. positionem[51], et sit quod fit a ducta cequale ei, quod a data, et ab) scissa, vel et ad punctum datum, vel ad alterunz dlattu in linea dacta. positione, terminus ipsits positione datan circutnmferentiam continget. »

Sit data recta AB (fig. 29.) positione, et in ipsa datum punctum A. Oportet invenire circuli circumferentiam in qua sumendo quodlibet

Fig. 29.
Fermat - Livre I - Figure 29.png

punctum, ut E, et demittendo perpendicularem El, quadratum AE sit aequale rectangulo sub data qualibet recta et Al (per quam debemus intelligere in hac propositione abscissam ad datum punctum).

Sit recta data AB. Super AB describatur semicirculus; patet, ex constructione, AB in AI tquari quadrato AE.

Sed alius casus est difficilior quando videlicet recta abscinditur ad aliud punctum quam A, ut in hoc exemplo. Sint data duo puncta A, B (fig. 30), et preterea punctum E in eadem recta linea; recta vero data sit AB. Oportet invenire circuli circumferentiam, ut PIO, in qua sumendo quodlibet punctum, ut I, et lemittendo perpendicularem IR, quadratum AI æquetur rectangulo sub recta AB data et recta ER.

Rectangulum BAE ad rectam BA applicetur excedens figura quadrata et faciat latitudinem AP, cui fiat tqualis BO. Super PO descriptus semicirculus præstabit propositum.

Fig. 30.
Fermat - Livre I - Figure 30.png

Nam quadratum AI æquatur quadrato AR et quadrato RI; quadratum vero RI æquatur rectangulo PRO, et rectangulum PRO rectangulis ARB, OAP hoc est BPA hoc estBAE, ut mox demonstrabitur: quadratumn ergo AI æquatur quad rato AR, rectangulo ARB, et rectangulo BAE. Sive quadratum AI æquatur rectangulo BAR (nam huic rectangulo æquantur quadratum AR et rectangulum ARB) et rectangulo BAE; et adhuc hec duo rectangula faciunt unum rectangulum sub BA in ER, quod proinde quadrato AI est æquale.

Probandum superest rectangulum PRO duobus rectangulis ARB et PBO œquale esse. - Nam, ducendo inter se partes, rectangulum PRO est œquale singulis rectangulis PA in RB, PA in BO (hoc est BO quadrato), AR in RB, AR in BO (id est PA in AR). Sed duo, PA in AR et PA in RB, æquantur PA in AB, sive AB in BO; una cum BO quadrato, æquantur AOB hoc est PBO; ergo rectangulum ARB, una cum rectangulo PBO, facit rectangulum PRO. Quod erat demonstrandum.

Diversos casus non prosequor, sed ex jam dictis facillimum erit: videtur tamen alius hujus propositionis casus non omittendus, quando videlicet punctum E ultra A ut superius non invenitur.

Sint data duo puncta A et E (fig. 31), et recta data AB, et sit inve nienda circuli circumferentia, ut NOR, ita ut, sumendo quodlibet in ipsa punctum, ut 0, et demittendo 01 perpendicularem, quadratur AO sit equale rectangulo sub BA in El.

Fig. 31.
Fermat - Livre I - Figure 31.png

Rectangulum BAE ad rectam BA applicetur deficiens figura quadrata in R, et ipsi AR fiat æqualis BN. Super RN descriptus semicirculus praestabit propositum.

Demonstratio vero non est absimilis ei quam in priore casu attulimus.

Propositio IV.

« Si a duobus punctis datis rectae lineae inflectantur, et sit quod ab utna efficitur eo, quod ab altera, dato majus quam in proportione, punctum, positione datam circumferentiam continget. »

Sint duo puncta A et B (fig. 32), ratio data AI ad BI, spatium datum BAN [52]. Inter NI et IB media sit IZ [53], cujus intervallo describatur circulus ZVR, in quo sumatur quodlibet puncture, ut V, et jungantur VA, VB: Aio quadratum AV quadrato VB majus esse quam in proportione data, IA ad BI, spatio dato BAN.

Fig. 32.
Fermat - Livre I - Figure 32.png
Nam fiat ipsi wquale rectangulum VAO, et jungantur OB, NV, VI, et

ipsi AV parallela BF. Probandum est rectangulum AVO ad quadraturn YB esse ut AI ad IB.

Est

ut NI ad IZ id est VI, ita VI ad IB,

et sunt circa eumdem angulum; ergo duo triangula NIV, VBI sunt similia, et angulus VNB angulo BVF waqualis. Sed angulus VNB angulo VOB est equalis in eadem sectione, quum quatuor puncta N, B, V, 0 sint in circulo, propter wequalia rectangula BAN, VAO; ergo angulus VOB angulo BVF est æqualis. Sed et angulus OVB angulo VBF, propter parallelas; ergo duo triangula OBV, BVF sunt similia, et

ut OV ad BV, ita VB ad BF.

Addatur utrimque communis ratio AV ad VB; ergo ratio composita ex AV ad VB et ex VB ad BF, hoc est ratio AV ad BF, id est AI ad IB, erit eadem rationi < compositr ex > AV ad VB et 0VY ad VB, hoc est rectanguli AVO ad quadratur VB. Quod demonstrare oportebat.

Videtur Pappus omisisse hoc loco propositionem huic similem qua ita se habet:

Si a duobus punctis datis rectce linew injfectantur, et sit quod ab una efficitur eo, quod ab altera, dato minus quam in proportione, punctum positione datam circumferentiam continget.

Sint data duo puncta A et B (fig. 33), ratio AN ad NB, spatium BAT.

Fig. 33.
Fermat - Livre I - Figure 33.png

Inter TN, NB esto media NL, cujus intervallo describatur circuli cir cumferentia LYZ, in qua sumpto quolibet puncto Y, jungantur YA, YB: Aio quadraturm YA, una cum rectangulo BAT dato, ad quadratum YB esse ut AN ad NB.

Nam fiat YAR equale BAT, et jungantur TY, RB, YN, et ipsi AY parallela BY. Propter BAT, YAR æqualia rectangula, probabitur angulus YTB angulo YRB sequalis, et reliqua ut in superiore demonstratione.

Propositio V.

« Si a quotcumque datis punctis ad punctum unum inflectantur rectæ lineæ et sint species, quæ ab omnibus fiunt, dato spatio æquales, punctum continget positione datam circumferentiam. »

Sint data duo primum puncta A, B (fig. 34), que per rectam AB conjungantur. Bifariam scindatur in E; centro E, intervallo quocumque,

Fig. 34.
Fermat - Livre I - Figure 34.png

ut El, circulus describatur, ut ION: Dico, quodcumque punctumn in ipsius circumferentia sumpseris, ut 0, evenire ut quadrata AO, OB simul quadratorum IE, AE sint dupla[54].

Nam, juncta recta EO, in ipsam, BV, AZ perpendiculares demittantur. In triangulo AEO quadratum AO æquatur quadratis AE, EO et rectangulo OEZ bis; in triangulo OEB quadrata OE, EB tequantur quadrato OB, et rectangulo OEV bis sive OEZ his (quum EV sit wequalis EZ, propter wequales AE, EB): ergo, jungendo æqualia equalibus, quadrata AO, OB et rectangulum OEZ bis œquantur quadratis AE, EB (sive qua drato EA bis), et quadrato EO his (id est quadrato IE his), una cum rectangulo OEZ bis. Auferatur utrimque OEZ bis; supererit verum quod asserebamus, et constat propositum in primo casu.

Fig. 35.
Fermat - Livre I - Figure 35.png

Sint data tria puncta B, D, E (fig. 35) in recta linea, et sit recta BD recta DE major; differentiæ inter BD et DE sit tertia pars CD. Centro C, intervallo quocumque, ut CA, describatur semicirculus AMF Aio quodcumque punctum in ipsius circumferentia sumpseris, ut M, eamdem semper fore summam trium quadratorum MB, MD, ME.

Nam jungantur MB, MIC, MD, ME; ipsi vero CD fiat equalis EN, et jungatur MN. Quum BD superet DE tripla CD sive tripla EN, ergo DN, una cumr dupla CD, equabitur BD; et CN, una cum CD, equabiturBD. Auferatur utrimque CD; ergo CN æquabitur BC. Quum CD sit sequalis EN, per secundam hujus Libelli propositionem[55], idem erit semper excessus quadratorum CM, MN super duo quadrata DM, ME. Sed CM quadratum est semper idem: ergo duo quadrata DM, ME semper vel quadrato MN æqualia erunt vel in idem excedent vel in idem deficient. Addatur utrimque quadratum MB: ergo tria quadrata MB, MD, ME duobus quadratis BM, MN vel semper wqualia erunt vel in idem excedent vel in idem deficient. Sed BM, MN quadrata idem semper conflant spatium, ex superiori propositione, propter æqualitatem rectarum BC, CN: ergo quadrata BM, DM, EM idem semper spatium conficiunt. Quod erat demonstrandum.

Demonstratio generalis ejusdem propositionis. - Exponantur primo duo puncta A et E (fig. 36), jungatur AE et bifariam dividatur in C; planum datum sit Z, quod necessario debet esse non minus quadratis duobus AC, CE, ut patet.

Si sit aequale illis duobus quadratis, punctum C tantum proposito satisfaciet, nec erit aliud punctum a quo junctarum ad puncta A, E quadrata simul sumpta aequentur Z piano.

Fig. 36.
Fermat - Livre I - Figure 36.png

Si sit majus duobus quadratis AC, CE, excessûs dimidium aequetur quadrato CB. Centro C, intervallo CB, descriptus circulus satisfaciet proposito. Quod, tanquam a Pappo[56] demonstratum et ab allis et proclive nimis, omittemus, ne in facilibus diutius immoremur.

Lemma ad generalei methodum. - Exponantur in 1a, 2a et 3a figura quotlibet puncta data A, B, C, E (fig. 37), et pro numero punctorum

Fig. 37.
Fermat - Livre I - Figure 37.png

sumatur retarum, puncto A et reliquis datis terminatarum, pars conditionaria AD, quadrans nempe in hoc exemplo. Sit igitur AD pars quarta rectarum AB, AC, AE; puncti D diversa est positio prout variant casus: Aio rectas, punctis datis et puncto D a parte puncti A termi natas, aequari rectis, punctis catis et pulncto D a parte puncti E termninatis :

In Ia nempe figura, rectam ED tequari rectis AD, BD, CD;

In 2a figura, rectas ED, CD æquari rectis BD, AD;

Et in 3a figura, rectas ED, CD, BD aequari < recte > AD.

In 3a figura, ex hypothesi, quater AD æquatur rectis AB, AC, AE. Dematur utrimque AD ter: remanebit illinc AD semel; sed auferre AD ter ab ipsis AB, AC, AE, idem est atque auferre AD semel ab unaquaque ipsarum AB, AC, AE, quo peracto remanebunt istinc BD, CD, ED aequales AD. Quod erat demonstrandum.

Si darentur quinque puncta, AD quinquies esset conferenda cum quatuor rectis, punctis datis et puncto A terminatis: denique uniformi procederetur in infinitum methodo.

In 2a figura, AD quater æquatur rectis AB, AC, AE. Auforatur utrimque AD ter et addatur BD; remanebunt AD, BD æquales ED, CD. In Ia figura, AD quater æquatur rectis AB, AC, AE. Addatur utrimque BD, CD et dematur AD ter; remanebunt rectœ AD, BD, CD æquales rectæ DE.

Nec dissimilis est in quotlibet in infinitum punctis methodus, idemque concludetur quacumque ratione varient casus.

Lemma alterum. - Exponatur in Ia figura constructio prtecedens, et sumatur in eadem recta punctum N (fig. 38), utcumque: Aio quadrata

Fig. 38.
Fermat - Livre I - Figure 38.png

rectarum, punctis datis et puncto N terminatarum, superare quadrata rectarum, punctis datis et puncto D terminatarum, quadrato DN toties sumpto quot sunt puncta data, quater nempe in hoc exemplo:- 2a et 3a figura varios casus reprasentant.

In Ia figura, quadrata AN, BN, CN superant quadrata AD, BD, CD, si unumquodque unicuique conferas, quadrato DN ter et rectangulis AD in DN his, BD in DN bis, CD in DN bis; quadrata igitur AN, BN, CN tequantur quadratis AD, BD, CD, quadrato DN ter, et rectangulis AD in DN bis, DB in DN bis, et CD in DN his: illud autem patet ex genesi quadrati a binomia radice affirmata effecti [57]. Ex alia autem parte, quadratum EN equatur quadratis ED, ND, minus ED in DN bis, illudque patet ex genesi quadrati a binomia radice negata effecti. Ergo quadrata quatuor AN, BN, CN, EN equantur quadratis quatuor AD, BD, CD, ED, quadrato DN quater, rectangulis AD in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis, minus ED in DN bis. Si igitur probaverimus rectangula negata equivalere affirmatis, manebit veritas propositionis stabilita: nempe quadrata AN, BN, CN, EN superare quadrata AD, BD, CD, ED quadrato DN quater.

Probandum igitur rectangulum ED in DN bis æquari rectangulis AD in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis, ct, omnibus ad DN < bis> applicatis, rectam ED æquari rectis AD, BD, CD. Quod quidem ita se habere, superius lemma demonstravit.

Varios casus non moramur. - Si sint quinque puncta, quadrata, punctis datis et puncto N terminata, superabunt quadrata, punctis datis et puncto D terminata, quintuplo quadrati DN: nec differt a tradito casu ulterior demonstratio.

Inde patet summam quadratorum, puncto D terminatorum, esse minimam. Dum tibi loquimur, scrupulosam nimis casuum observationem non adjungimus; conclusio secundi lemmatis semper eo deducetur, ut probentur rectangula omnia ex una parte affirmata mequari negatis ex altera, ideoque res ad primum lemma deducetur.

Propositio prima generalis. - Exponatur superior figura, et sint data quatuor puncta in recta AE A, B, C, E. Esto AD quarta pars (conditionaria nempe) rectarum AB, AC, AE, et sit datum Z planum. Proponitur invenire circulum in quo sumrendo quodlibet punctum et ab eo jungendo rectas ad puncta data, quadrata junctarum simul sumpta æquentur spatio dato.

Z planum debet esse majus quatuor quadratis AD, BD, CD, ED, ut locum habeat propositio, ex superius demonstratis.

AEquetur ioitur quatuor illis quadratis et præterea quadruple quadrati DN. Centro D, intervallo DN, descriptus circulus præstabit propositum.

Nam sumatur primo punctum N ex utravis parte (fig. 39). Demonstratum est secundo lemmate quadrata AN, BN, CN, EN æquari quadratis AD, BD, CD, ED et præterea quadrato DN quater. At quadrata AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DN quater, equantur Z plano; ergo quadrata quatuor AN, BN, CN, EN æquantur Z plano, hoc est spatio dato. Quod erat demonstrandum.

Fig. 39.
Fermat - Livre I - Figure 39.png

Excitetur deinde perpendicularis DM et jungantur AM, BI, CM, EM Aio quatuor illa quadrata wquari spatio dato Z plano.

Nam


quadratum AM æquatur quadrato AD et quadrato DM,
quadratum BM æquatur quadrato BD et quadrato DM,
quadratum CM æquatur quadrato CD et quadrato DM,
quadratum EM æquatur quadrato ED et quadrato DM;

erigo quatuor quadrata AM, BM, CM, EM equantur quadratis quatuor AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DM (sive DN) quater. At quadrata AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DN quater, tequantur Z plano seu spatio dato; ergo quadrata quatuor AM, BI, CM, EAM æquantur spatio dato. Quod erat demonstrandum.

Sed sumatur ubicumque punctum A (fig. 40), a quo demittatur perpendicularis MO. - Similiter probabitur quadrata AM, BM, CM, EM æquari < quadrato OM quater, una cum > quadratis AO, BO, CO, EO quæ, ex secundo lemmate, aequantur quadratis AD, BD, CD, ED et praeterea quadrato OD quater. Ergo quadrata quatuor AM, BM, CM, EMl xequantur quadratis AD, BD, CD, ED, una cum quadrato OD quater et præterea quadrato OMA quater. Sed quadratum OD quater, una cuml quadrato OM quater, æquatur quadrato DM quater, sive quadrato DN quater: sunt enim DM, DN ex centro æquales inter se. Igitur quadrata AM, BM, CM, EM æquantur quadratis AD, BD, CD, ED, una cunt quadrato DN quater, ideoque spatio dato Z piano sunt equalia. Quod erat demonstrandum.

Fig. 40.
Fermat - Livre I - Figure 40.png

Si compleantur circuli, eadem demonstratio in aliis semicirculis locum habebit et ad quotlibet puncta eadem facilitate et argumnentatione extendetur; semper enim toties sumentur quadrata DM, DN, DO, quot erunt puncta, nec fallet ratiocinatio.

Inde sequitur corollarium cujus usus in sequenti propositione.

Exponantur quotlibet puncta data, verbi gratia, tria A, B, E (fig. 41) et inveniendus circulus < sit> NM, in quo sumendo quodlibet punc tum, ut M, et jungendo rectas AM, BM, EM, quadrati AM duplum (verbi gratia), una cum quadratis BM, EM, wequetur spatio dato.

Fig. 41.
Fermat - Livre I - Figure 41.png
Eo casu sumenda est ad constructionem recta AD pars quarta

rectarum AB, AE, quia hoc casu punctum A gerit vicem duorum punctorum, et idem est ac si diceretur: datis punctis quatuor A, A, B, E, invenire circulum N1d, in quo sumendo quodlibet punctum, ut M, quadrata quatuor AM, AM, BM, EM æquentur spatio dato.

Idem est intelligendum in alio quovis puncto et alia qualibet ratione multiplici. - Nam proponatur quadratum AM (fig. 42), una cum quadrato BM bis et quadrato EM, aquari spatio dato, sumenda est AD quarta pars rectarum AB bis et AE.

Fig. 42.
Fermat - Livre I - Figure 42.png

Quod advertisse et monuisse fuit necesse, nec indiget res majori explicatione.

Propositio altera. - Exponantur quotlibet puncta data in recta AEI (fig. 43), quatuor, verbi gratia, A, B, C, E, et punctum Q extra rectam AE. Quseritur circulus, ut MI, in quo sumendo quodlibet punctum, ut I, quadrata AI, BI, Cl, El, QI æquentur spatio dato.

Fig. 43.
Fermat - Livre I - Figure 43.png
Demittatur in rectam AE perpendicularis QR, et rectarum AR, AB,

AC, AE sumatur pars conditionaria (quintans nempe in hac specie in qua dantur quinque puncta) AD, et excitata perpendiculari DO, demittatur in ipsam perpendicularis QO. Recte QR sumatur pars conditionaria (quintans nempe) RF sive DN, et sit spatium datum æquale quinque quadratis AD, RD, BD, CD, ED et prweterea Z piano. Z planum æquetur < quadrato > DN quater (pro numiero nempe punctorum in recta AE datorum), quadrato NO, et preterea quadrato NM [58] quinquies (pro numero omnium punctorum datorum): Aio circulum centro N, intervallo NM, descriptum præstare propositum.

Sumatur in eo quodlibet punctum, ut I, et junctis AI, BI, CI, El, QI, ducatur VIX parallela AE, et IY parallela OD. Patet quadratum DI quater, una cum quadrato 01, æquari Z plano, ex corollario præcedentis propositionis: punctum enim D gerit vicem quatuor punctorum. Quum igitur DN sit quintans OD, patet quadratum DI quater, una cum quadrato OI, æquari quadrato DN quater, quadrato ON, et quintuplo quadrati NM. Sed, per constructionem, quadratum DN quater, una cum quadrato ON et quintuplo quadrati NM, sequatur Z piano; ergo quadratum DI quater, una cum quadrato 01, œquatur Z plano.

Sed quadratum DI quater xequatur quadrato DX quater et quadrato XI quater, et quadratum 01 tequatur quadrato OX et quadrato XI; ergo Z planum æquatur quadrato DX (sive IY) quater, quadrato XO (sive VQ) semel, et quadrato XI quinquies. Addantur utrimque quadrata quinque AD, RD, BD, CD, ED, fiet inde: spatium datum, htec enim quinque quadrata cum Z plano, ex hypothesi, tequantur spatio dato; inde vero: quinque quadratis AI, BI, CI, El, QI, quse proinde equabuntur spatio dato.

Hoc ut constet, ex secundo lemmate, quadrata AD, RD, BD, CD, ED, una cum quadrato DY quinquies, iequabuntur quadratis AY, RY, BY, CY, EY. Igitur quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addita quadrato IY quater, VQ semel, et DY quinquies, æquabuntur quadratis AY, RY, BY, CY, EY, una cum IY quater et VQ semel. Singulis quadratis AY, BY, CY, EY addatur quadratum IY, fient quadrata AI, BI, CI, El equalia quadratis AY, BY, CY, EY et prseterea quadrato IY quater; igitur quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addita quadrato IY quater, VQ semel, et DY quinquies, wquabuntur quadratis AI, BI, CI, IE et præterea quadrato RY et quadrato YQ semel. Sed quadraturn RY sive VI, una cum quadrato QV, equatur quadrato QI; igitur quadrata AR, RD, BD, CD, < ED >, addita quadrato IY quater, VQ semel, et DY quinquies, equabuntur quadratis AI, BI, CI, El et QI.

At probatum est quadrata illa omnia wequari spatio dato; ergo quadrata quinque AI, BI, CI, EI et QI æquantur spatio dato. Quod erat demonstrandum.

Inde facillime deducitur spatium datum æquari quadratis AN, BN, CN, EN, QN et quintuplo quadrati NM, quod tanquam facile pretermittimus.

Imo et ad quodlibet puncta producetul artificiumn eadem ratione.

Si enim dentur duo puncta Q et L (fig. 44) extra lineam, perfecta con structione, ut vides, sumetur AD sextans rectarum AR, AS, AB, AC, AE; rectarum QR et LS sextans DN sumetur. Spatium datumn fiet sequale

Fig. 44.
Fermat - Livre I - Figure 44.png
quadratis AD, RD, SD, BD, CD, ED, et preterea quadrato DN quater,

NO semel, NP semel, et NM sexies; et reliqua perficientur eademl ratione, semperque punctum D vicem geret omnium punctorum in recta AE datorum, et puncta P, 0 vicem gerent datorum punctorum Q et L; et cetera in infinitum uniformi methodo conserventur, et demonstrabuntur.

Sed quoniam multiplices casus oriuntur ex diversa rectæ assumpte, duo vel plura puncta contingentis, positione, dum puncta reliqua diversas ex parte qualibet recte assignata sortiuntur positiones, licet unicuique casui sua competant compendia, placet in artis specimen generalius ostendere et construere.

Dentur quotlibet puncta A, B, C, D, E, F (fig. 45), sive in eadern recta, sive in diversis. Sumatur in eodem plano recta qutevis SR, ita

Fig. 45.
Fermat - Livre I - Figure 45.png

ut omnia puncta data sint ex una parte rectæ SR. Demissis perpendicularibus AG, BH, CI, DK, EiM, FN, sumatur rectarum GH, GI, GK, GM et GN pars conditionaria < GL >, sextans nempe in hoc casu. Excitetur perpendicularis LO, a quo resecetur LO pars conditionaria, sextans nempe, rectarum AG, BH, CI, KD, EMl, FN, et sit spatium datum sequale quadratis AO, BO, CO, DO, EO, FO et sextuplo quadrati OP; circulus centro 0, intervallo OP, descriptus satisfaciet propositioni. - Nec difficilis est irlventio ei qui superiores noverit.

Propositio VI.

« Si a duobus punctis datis inflectantur rectæ lineæ; a puncto autem ad positione ductam linean abscissa a recta linea positione data ad datum punctum, et sint species ab inflexis æquales ei, quod a data, et abscissa continetur, punctum ad inflexionem positione datam circumferentiam continget. »

Descripsi propositionem quemadmodum reperitur apud Pappum ex versione Federici Commandini, sed vel in textu greco vel in interpretatione mendum esse non dubito: sensum propositionis exponam [59].

Fig. 46.
Fermat - Livre I - Figure 46.png

Sint duo puncta A et B (fig. 46). Oportet invenire circumferentiam, ut NOB, in qua sumendo quodlibet punctum, ut O, et jungendo rectas OA, OB, et demittendo perpendicularem OI, rectangulum sub recta data in AI sequetur duobus quadratis AO, OB.

Sit primum AB recta data, qui casus satis est facilis.

Sumatur ipsius AB dirnidium BN, superque BN semicirculus describatur: Aio satisfacere proposito: hoc est, si sumatur, verbi gratia, punctur 0, rectangulum BAI duobus quadratis AO, OB equale esse.

Nam AO quadraturm aquatur AI quadrato et IO quadrato. Si a rectangulo BAI auferatur quadratum AI et quadratum 10 sive rectangulum < sub > BI in IN, superest rectangulum sub BI in AN sive in NB, quod probandum est esse wequale quadrato BO, et patet ex constructione ita se habere. Secundus casus est quando recta data major est recta AB, cujus constructionem dabimus, moco recta data sit minor dupla AB.

Sint data duo puncta A et B (fig. 47), et recta AI, dupla AB minor ex hypothesi. Oportet facere quod proponitur.

Fig. 47.
Fermat - Livre I - Figure 47.png

Recta AB bifariam secetur in N, et fiat NE ipsius BI dimidia, quod cx constructione licet. Rectangulum IBN ad rectam BE applicetur excedens figura quadrata, et faciat latitudinem rectam EV, cui fiat equalis recta BZ, et super VZ describatur semicirculus VLZ: Aio satisfacere proposito.

Nam, junctis LA, LB et demissa perpendiculari LO, cujus primus casus sit inter E et B, patet, ex demonstratis ad propositionem III Apollonil [60], rectangulum EOB, una cum rectangulo VEZ sive NBI, æquari quadrato OL. Addatur utrimque quadratum OB: rectangulumn EBO, una cum NBI, wequabitur quadrato LO et quadrato OB. Duplicetur rectangulum EBO bis, una cum rectangulo NBI bis sive solo ABI, iequabuntur quadratis LO, OB, bis. < Addatur utrimque rectangulum sub NE in OB bis: rectangula EBO bis et NE in OB bis >, sive AB in BO semel, una cum AB in BI, equabuntur quadratis LO, OB, bis, una cum rectangulo sul) NE in OB his sive IBO semel, ex constructione. Utrimque auferatur quadratum OB: supererit AOB, una cum ABI, tequale qua(Irato LO bis, quadrato OB semel, et rectangulo IBO. Utrimque IB in BO auferatur, nempe illinc ex rectangulo ABI: supererit AO in OB, una cum AO in BI, sive solum rectangulum IOA sequale quadrato LO bis et quadrato OB semel. Addatur utrimque quadratum AO: erit rectan gulum IAO quadratis AO, OB, una cum LO quadrato his, tequale, id est duobus tantum quadratis AL et LB. Quod erat faciendum.

Casus alios pratermitto.

PROPOSITIO VII.

« Si in circulo positione dato sit datum punctum, perque ipsum agatur. quædam recta linea, et in ipsa punctum extra sumatur; sit autem quod fit a linea ducta usque ad punctum intra datum æquale ei quod a tota et extra sumpta, vel soli, vel una cum eo quod duabus, quæ intra circulum, portionibus continetur: punctum extra sumptum positione datam rectam lineam continget. »

Hæc propositio duas habet partes, quarum prior est apud ipsum Pappum[61], propos. 159 libri VII, secunda per additionem æqualium ex priore derivari facile potest: Pappi igitur demonstrationem tantum adducemus.

Fig. 48.
Fermat - Livre I - Figure 48.png

« Sit circulus circa diametrum AB (fig. 48), et AB producatur, sitque ad quamlibet rectam lineam DE perpendicularis. Rectangulo autem AFB wequale ponatur quadratum ex FG: Dico, si quodcumque sumatur punctum, ut E, atque ab eo ad punctum G recta linea, ducta producatur ad H, rectangulum etiam HEK quadrato ex EG, sequale esse. » Jungantur AE, BL. Erit angulus ad L rectus; sed et rectus qui, ad F; rectangulum igitur AEL est wequale et rectangulo AFB et quadrato ex FE. »

« [ Quoniam enim angulus ALB rectus est equalis recto AFE, stunt, quatuor puncta L, B, F, E in circulo ac propterea rectangulum FAB aquale rectangulo EAL. Quadratur autem ex AE est equale duobus quadratis ex AF, FE; sed quadrato ex AE æqualia sunt utraque rectangula AEL, EAL, et similiter quadrato ex AF æqualia utraque rectangula AFB, FAB; ergo rectangula AEL, EAL equalia sunt reco tangulis AFB, FAB, et quadrato ex FE. Quorum rectangulum FAB est æquale rectangulo EAL: reliquum igitur rectangulum AEL rectangulo AFB et quadrato ex FE æquale erit. ] »

« Rectangulum autem AEL æquale est rectangulo HEK, et rectangulum AFB quadrato ex FG: ergo rectangulum HEK quadratis ex EF, FG, hoc est quadrato ex EG, est sequale. »

Propositio VIII et ultima.

«  Et si hoc quidein punctum contingat positione datam rectam lineam, circulus autem non ponatur, quce sunt ad utrasque partes dati puncti, contingent positione eamdem dcatam circumferentiam. »

Hec propositio est conversa præcedentis et ex ea facile elici potest hujus demonstratio, si contraria via utamur.

Determinationes et casus non adjungimus, quia ex constructione et demonstratione satis patent.

Contacts sphériques[modifier]

DE CONTACTIBUS SPHAERICIS.


Apollonii Pergai doctrinam περί ἐπαφῶν restituit eleganter Apollonius Gallus aut sub illius nominis larva Franciscus ille Vieta Fontenænsis[62], cujus mirac in lathematicis lucubrationes Veteri Geometriae felices praestitere suppetias. Verum qui materiam hanc contactuum, quae hactenus substitit in planis, ulterius promoverit et ad sphaerica problemata evehere sit ausus, adhuc, quod sciam, exstitit nemo; praeclara tamen inde problemata deduci et ad eleganter sublimiorum problematum constructionem facillime derivari patebit statim. Quaerenda itaque sphæra qua per data puncta transeat aut sphaeras et data plana contingat. Quindecin probiematis totum negotium absolvetur.

Problema I.

Datis quatuor punctis, sphaeram invenire quae per data transeat.

Dentur quatuor puncta N, O, M, F (fig. 49), per quæ sphaera describenda est.

Sumptis ad libitun tribus N, O, M, circa triangulum NOM, quod in uno esse piano constat ex Elementis, describatur circulus NAOM-, quem et magnitudine et positione dari perspicuum est. Esse autem circulum NAOM in superficie inveniendte sphlere patet ex eo quod, si spheTra plano secetur, sectionem dat circulum; at per tria puncta N, M, O unicus tantum circulus describi potest quer jam construximus: quum igitur tria puncta N, 0, M sint in superficie spbwhra quesitae, ergo planum trianguli NOM sphseram qussitam secat secundum citrculum NAOM, quem ideo in superficie sphliser esse concludimus. Sit ipsius centrum C, a quo ad planum circuli excitetur perpendicularis CEB; patet in recta CB esse centrt'm sphlerse qutesite. A puncto F in rectam CB demittatur perpendicularis FB, quam et positione et magnitudine dari perspicuum est. A puncto C lucatur ACD ipsi FIB

Fig. 49.[63]
Fermat - Livre I - Figure 49.png

parallela; erit igitur angulus BCA rectus. Sed et recta BC est perpendicularis ad planurn circuli; ergo recta ACD est in plano circuli, ct datur positione; dantur itaque puncta A, D, in quibus cum circulo concurrit. Ponatur jam factum esse, et centrun inveniendce sphlere esse E, quod quidem in recta CB reperiri jam diximus ex Theodosio [64]. Junctte rectse FE, AE, ED erunt tequales, quum tria puncta, nempe F ex hypothesi etA et D ex demonstratis, sint in superficie sphserica. At tres rectæ FE, AE, ED sunt in eoderm piano: quum enim recte FB, ACD) sint parallelke, erunt in codem piano; sed et recta CB, ideoque tres FE, AE, DE. Si igitur circa tria puncta data A, F, D describatur circulus, ejus centrum E erit in recta CB, ac proinde et sphæræ quæsitæ centrum et sphæra ipsa non latebunt.

Problema II.

Datis tribus punctis et piano, invenire sphceram quce per data puncta transeat et planum datum contingat.

Dentur tria puncta N, O, M (fig. 50), per quæ circulus descriptus MEON; erit ad superficiem sphæricamn qussitam, ex jam demonstratis, et in excitata ad planum circuli recta IBA invenietur centrum sphæræ

Fig. 50.
Fermat - Livre I - Figure 50.png

quam quaerimus. Concurrat recta IBA cum piano dato in puncto A; dabitur igitur punctum A positione. A centro circuli MEON demittatur perpendicularis in planum datum ID; dabitur igitur punctum D, ideoque et recta AD positione et magnitudine, et pariter recte ID et IA. Dabitur igitur planum trianguli ADI positione; datur autem et planum circuli MON positione: ergo communis illorum planorum sectio FIE dabitur positione, ideoque dabuntur puncta E et F in circulo.

Sit factum et centrum sphærte quæsitte punctum B. Jungantur rectae BE, BF, et rectæ ID parallela ducatur BC. Quum triangulum ADI et recta EIF sint in eodem piano, ergo recte EB, BF, BC erunt in eodem piano; sed recta ID est perpendicularis ad planumn datum: ergo recta BC, ipsi parallela, est etiam perpendicularis ad planur datum. Quum igitur sphœra describenda planum AD datum contingere debeat, ergo ab ipsius centro demissa in planum perpendicularis BC dabit punctum contactus C; recte igitur BC, BE, BF erunt tquales et probatum est eas esse in eodem piano positione dato, in quo et recta AD.

Eo itaque deducta est quaestio ut, datis duobus punctis E et F et recta AD in eodem plano, queratur circulus qui per data duo puncta transeat et rectam datam contingat: cui problemati satisfecit Apollonius Gallus[65]; dabitur igitur centrum spht re B et omnia constabunt.

Problema III.

Datis tribus punctis et sphcera, invenire spæram quce per data puncta transeat et sphceracm datam contingat.

Fig. 51.
Fermat - Livre I - Figure 51.png

Dentur tria puncta M, N, O (fig. 51), et sphæra IG; datur circulus MON in sphæra quæsita. Ad planum circuli erecta perpendicularis FCB, ut supra, continebit centrum sphatræ quam quserimus. A centro I sphæræ datae demittatur in rectam FB perpendicularis IB, quae dabitur positione et magnitudine. A centro F ipsi parallela ducatur ED, qua erit ex jam demonstratis in piano circuli; et dabuntur puncta E et D.

Sit factum et centrum sphLere quæsitæ C: ergo recthe IC, CE, CD erunt in eodem piano, quod et datum est, quum dentur puncta I, E, D. Contactus autem duarum sphærarum est in recta ipsarum centra connectente: ergo tanget sphæra quæsita spllhram datam in puncto G; recta igitur IC superabit rectas CE, CD radio IG. Centro I, intervallo radii sphlerici dati, describatur circulus in piano dato rectarum IC, CE, ED; transibit igitur per punctum G, et circulus ille positione et magnitudine dabitur; sed et puncta E et D in eodem piano.

Eo itaque deducta est quaestio ut ex Apollonio Gallo [66] quatratur methodus qua, datis duobus punctis et circulo in eodem piano, inveniatur circulus qui per data duo pulncta transeat et circulum datum contingat.

Problema IV.

Datis quatuor planis, inventir sphaeram quae data quatuor plana contingat.

Dentur quatuor plana AH, AB, BC, HG (fig. 52), quæ a sphæra quasita contingi oporteat.

Fig. 52.
Fermat - Livre I - Figure 52.png

Sint duo plana AF, FD (fig. 53) quae ab eadem sphæra contingantur. Bisecetur ipsorum inclinatio per planum BFHC; patet centrum sphere quæ duo plana AF, FD contingit, esse in piano bisecante, ut videatur inutile in re tam proclivi diutius immorari. Si plana AF, FD essent parallela, spherte centrum esset in piano ipsis parallelo et intervallum ipsorum bisecante.

Fig. 53.
Fermat - Livre I - Figure 53.png

Hoc posito, propter plana CB, BA (fig. 52) positione data, < est centrum spherwa qusesitæ ad planum positione datum, > quod nempe datorum CB, BA planorum inclinationem datam bisecat. Sed, propter duo plana BA, AH, est idem centrum sphwere qucesitw ad aliud planurm positione datum; ergo communis sectio duorum planorum positione datorum, quorum alterum inclinationem planorum CB, BA, alterum inclinationem planorum BA, AH bisecat, dabit rectam positione datam, in qua inveniendæ spæere centrum erit. Sit illa recta FE; sed, propter duo plana AH, HG, est etiam centrum sphœre quwesite ad aliud planum positione datum, cujus concursus cum recta FE positione data dabit punctum D, quod patet esse sphaerae quæsite centrum; et reliqua constabunt.

Problema V.

Datis tribus plants et puncto, invenire sphæram quæ perpunctum datum transeat et plana data contingat.

Sint data tria plana AB, BC, CD (fig. 54-) et punctum H: qu'erenda sphœra quæ, data tria plana contingens, transeat per punctum H. Sit factum tria plana data, ex prsecedentis propositionis ratiocinio, dabunt rectam positione datam, qut sedes erit centri sphrerici qumsiti. Sit illa GE, in quam a puncto dato H demittatur perpendicularis HI, quse et positione et magnitudine dabitur. Producatur ad F, ut sit IF aequalis IH; dabitur punctum F.

Quum autem sphreræ qusesitæ centrum sit in recta GE, ad quam lucta est perpendicularis HF bifariam secta in I, cujus unum ex extremis H est ad superficiem sphTricam ex hypothesi, erit et alterius extremum F etiam ad sphæricam superficiem. Imo et circulus, centro I,

Fig. 54.
Fermat - Livre I - Figure 54.png

intervallo IH descriptus in piano recto ad rectam GE, erit ad superficiem sphzerœ; datur autem ille circulus positione et magnitudine. Dato autem circulo sphærico positione et magnitudine et aliquo piano ut AB, datur, ex facili propositionis secunde hujus consectario, sphlera ad cujus superficiem sit circulus datus et que planumr datum contingat; deducta est itaque quæstio ad secundam hujus, nec reliqua latebunto

Problema VI.

Datis tribus planis et sphcera, invenire sphaceram quæ datamn sphæram et plana data contingat.

Dentur tria plana ED, DB, BC (fig. 55)et sphrera RM. Construenda est sphlera qute datam sphweram et tria pariter plana contingat.

Sit factum et sphera ERCA satisfaciat proposito, sphleram nempe in puncto R et plana in punctis E, A, C contingens. Sphterwe ERCA centrum sit 0; junctet RO, EO, AO, CO erunt æquales. Sed et recta OR transibit per datæ sphlerse centrum AM, et rectæ EO, OA, OC erunt perpendiculares ad plana data DE, DB, BC. Fiant recte OM tequales rectæ OV, OG, OI, et per puncta V, G, I intelligantur duci plana VP, G H, IN, datis ED, DB, BC parallela.

Quum recta OR sequalis sit OE, et ablata OM ablat'e OV, erit reliqua RAl: relique VE equalis; datur autem magnitudine RM, quum sit radius sphsræ date: datur igitur et VE magnitudine. Quum autem OE sit perpendicularis ad planum DE, erit etiam perpendicularis ad planumn PV, piano DE parallelurn; recta igitur VE erit intervallum planorum DE et PY. Sed datur VE magnitudine ex demonstratis; ergo datur planorum DE, PV intervallum. Sunt autem parallela hæc duo plana

Fig. 55.
Fermat - Livre I - Figure 55.png

et datur DE positione ex hypothesi; datur igitur et PV positione. Similiter probabitur plana GiH, IN dari positione, et rectas OY, OG, 01 ad ipsa esse perpendiculares et equales rectœ OM. Sphera igitur, centro 0, intervallo OM descripta, plana PV, GH, IN positione data contingit. Datur autem punctum M, quum sit centrum sphæræ datæ

Eo itaque deducta est quæstio ut, datis tribus planis PV, GH, IN et puncto M, inveniatur sphaera quæ per datum punctum M transeat et data plana PV, GH, IN contingat: hoc est, deducitur quaestio ad præcedentem.

Nec absimili in sequentibus artificio, quum nulla in datis puncta reperientur, sed sphæræ tantum aut plana, in locumr unius ex splheris puLnctum datum substituetur.

Problema VII.

datis duobus punctis et duobus planis, invenire sphæram quæ per data puncta transeat et plana data contingat.

Dentur duo plana AB, BC(fig. 56), et duo puncta HI, M. Quarenda sphTra quæ per puncta H4 et M transeat et plana AB, BC contingat.

Jungatur recta IM et bisecetur in I; punctum I dabitur. Per puncturn I trajiciatur planum ad rectam HM rectum. Quum sphwerica superficies puncta H, M contineat, certum est centrum sphlere esse in plano ad rectam HM normali et per punctum I transeunte. Datur autem hoc planur positione, quum recta HIM et punctum I sint data positione; ergo centrum sphæræ, propter puncta H et M, est ad planumn datum.

Fig. 56.
Fermat - Livre I - Figure 56.png

Sed et propter plana AB, BC, ut jam superius demonstravimus, est ad aliud planum datum: ergo est ad rectam positione datam. Sit illa GE, in quam demissa ab uno ex punctis datis M recta MF < perpendicularis > dabitur positione et magnitudine; et continuata in D, ut sit FD æqualis ME, erit punctum D datum et, ex superius demonstratis, erit etiam ad sphericam superficiem. Dantur itaque tria puncta H, M, D, per quæ sphæra quæsita transit; datur etiam planum AB, quod ab eadem sphæra contingi debet: deducta est itaque quæstio ad problema secundum hujus.

Priusquam progrediamur ulterius, præmittenda lemmata quædam facillima.

Lemma I. - Sit circulus BCD (fig. 57), extra quem sumpto quolibet puncto E, trajiciatur per centrum recta EDOB. Ducatur quælibet ECA; patet ex Elementis rectangulum AEC equari rectangulo BED.

Sit jam sphlera circa centrum 0, cujus maximus circulus sit ACDB; si ab eodem puncto E per quodlibet punctum superficiei sphecricue trajiciatur recta ECA, donec spher'e ex altera parte occurrat, rectangulum AEC erit similiter aqcuale rectangulo BED.

Fig. 7.
Fermat - Livre I - Figure 7.png

Si enim intelligatur circa rectam immobilem BDE converti et circulus et recta ECA simul, non immutabuntur recte EC et EA, quum puncta C et A circulos describant ad axem rectos, nec idcirco rectangulum AEC; erit itaque in quocumque piano equale rectangulo BED.

Lemma II. - Sint duo circuli in eodem piano ADE, HLO (fig. 58). Per centra ipsorum trajiciatur recta ACMP, et fiat

ut radius AC ad radium HM, ita recta CP ad rectam MP,

et a puncto P ducatur ad libitum recta POLED, ambos circulos secans in punctis 0, L, E, D. Demonstravit Apollonius Gallus [67] rectangula APQ, GPH esse æqualia, et ipsorum cuilibet æquari rectangula DPO, EPL.

In sphæricis idem quoque verurn esse sequentium problematum interest; patet autem ex eo quod, si circa axem AP immobilem tam circuli duo quam. recta POLED eodem tempore convertantur, non immutabuntur recte PO, PL, PE, PD, propter allatam in superiori lemmate rationem, nec idcirco rectangula; et in quocumque plano constabit propositum.

Fig. 58.
Fermat - Livre I - Figure 58.png

Lemma III. - Sint duse sphterse date YN, XM (fig. 59), per quarum centra trajiciatur recta RYNXMV, et fiat

ut radius YN ad radium XM, ita recta YV ad rectam VX.

A puncto V ducatur in quolibet piano recta VTS, et sit rectangulum

Fig. 59.
Fermat - Livre I - Figure 59.png

SVT aequale rectangulo RVM. Si describatur sphera quævis quæ per puncta T, S transeat et unam ex duabus datis contingat, alteram quoque continget.

Sit enim sphæra OTS, per puncta T et S descripta et sphæram MX in puncto O contingens, aio sphæram YN etiam a sphsera OTS contactam iri.

Producatur recta VO, donec sphærte OTS occurrat in Q: rectangulum igitur QVO, ex primo lemmate, est æquale SVT. Sed rectangulum SVT, ex constructione, est equale rectangulo RVM cui, ex secundo lemmate, est tequale rectangulum sub VO et recta per puncta V et O ad superficiem sphæricam sphteræ YN product: ergo punctum Q est ad superficiem sphæræ YN; commune igitur est et superficiei sphler YNN et superficiei sphæræ OTS.

Aio has duas sphæras in puncto eodem Q se contingere. Ducatur enim a puncto V qutelibet recta in quolibet piano < per quodlibet punctum > sphære OTS, et sit, verbi gratia, VZ, quæ producta secet sphæras tres in punctis Z, D, H, K, P, B. Rectangulum ZVB in sphera OTS, per primum et secundum lemma, est tquale DVP rectangulo, sphteris duabus XM et YN terminate. Sed DV est major recta VZ; quum enim sphtera OTS tangat exterius sphæram XM in puncto O, recta secans sphweram OTS prius ipsi occurret quam sphtere XM1. Quum ergo probatum sit rectangulum DVP æquari rectangulo ZVB, et recta ZV sit minor recta DV, ergo recta PV erit minor rectaI BV; punctum igitur B extra spheram YN cadet.

Simili ratiocinio concludetur omnia puncta sphxerwe ambientis exterius cadere, preter puncturm Q. Tangit igitur sphera OTS spheram YN; quod erat demonstrandum.

Nec absimilis aul difficilior in contactibus interioribus et in omnibus casibus demonstratio.

Lemma IV. - Sit planum AC (fig. 60) et sphæra DGF, cujus centrum O. Per centrum O ducatur FODB perpendicularis ad planun, et a puncto F ducatur recta quevis ad planum, sphleram secans in G et planum in A. Aio rectangulum AFG æquari rectangulo BFD.

Nam secentur sphæra et planum datum per planum trianguli ABF, et fiat circulus GFD in sphæra, in plano autem recta ABC. Quum recta FB sit perpendicularis ad planum AC, erit etiam perpendicularis ad rectam AC. Habemus igitur circulum DGF et rectam AC in eodem piano, et rectam FDB, per centrum circuli transeuntem, ad AC perpendicularem. Jungatur GD; anguli ad G et ad B sunt recti: ergo quadrilaterum ABDG est in circulo, ideoque rectangulum AFG æquale est rectangulo BFD. Quod etiam in quavis alia sphæræ sectione similiter demonstrabitur.

Fig. 60.
Fermat - Livre I - Figure 60.png

Lemma V. - Sit planum ABD (fig. 61) et sphæra EGF, cujus centrum O. Per centrum 0 trajiciatur recta FOEC perpendicularis ad planum, et in quovis alio piano ducatur recta FGHI, sitque rectangulum IFH æquale rectangulo CFE. Si per puncta I, H describatur sphæra quæ planum AC contingat, eadem sphtera tanget sphæram EGF.

Fig. 61.
Fermat - Livre I - Figure 61.png

Intelligatur construi sphæra IHB, quæ, per puncta I et H transiens, tangat planum AC in puncto B: Aio sphæram EGF contingi a sphæra IHB.

Jungatur recta FB et rectangulo CFE fiat æquale rectangulum BFN; punctum N, per præcedentem, erit ad superficiem sphæræ EGF. Sed et rectangulum CFE, ex constructione, est equale rectangulo IFH; rectangula igitur IFH, BFN sunt equalia, ideoque punctum N est etiam ad superficiem sphaeræ IBH.

Probandum jam sphæram EGF a sphæra IBH in puncto N contingi quod quidem facile est. A puncto enim F, per quodlibet punctunl sphberwc EGF, ducatur recta FR, quse sphseram IBH in M et P et planuml AC in K secet. Rectangulum KFR, ex precedente lemmate, æquatur rectangulo CFE, cui ex constructione æquatur rectangulum IFH, ideoque PFM. Rectangula igitur KFR et PFM sunt æqualia; sed recta KF est major rectâ FP, quia sphlera IBII tangit planumr AC in B ergo recta FR est minor rectâ FM. Punctum igitur R est extra sphæram IBH.

Idem de quocumque alio puncto, in quovis piano, spiherc EGF, xe utraque puncti N parte, probabitur; man ifestumn itaque sphæram EGF; a sphera IBH in puncto N contingi.

Hæc lemmata, licet sint facilia, pulcherrinma tamen sunt, tertiur præsertim et quintum: in tertio quippe infinite sunt sphteræ quw pier puncta T et S transeuntes sphæram XM contingunt, sed omnes illæ in infinitum tangent quoque ex demonstratis splateram YN; in quinto autem lemmate infinite sunt sphæræ quæ, per puncta I et H transeuntes, planum AC contingunt, sed ormnes illa pariter in infinitum sphæram EGF ex demonstratis contingent. His suppositis, reliqua problemata facile exsequemur.

Problema VIII.

Datis duobus punctis, plano et sphæra, invenire sphæram quæ per data puncta transeat et sphæram ac planum datum contingat.

Sit datum planum ABC (fig. 62), sphæra DFE et puncta H, M. Per centrum sphæræ datæ O in planum ABC datum demittatur perpendicularis EODB; jungatur HE, et rectangulo BED fiat equale rectangulum HEG; dabitur itaque punctum G.

Datis tribus punctis H, G et M et piano ABC, quæratur sphæra, per secundum problema hujus, quæ per data tria puncta transeat et planum ABC datum contingat. Sphæra ilia satisfaciet proposito: transit quippe per data duo puncta FH et M, et planum ABC tangit ex constructione; sed et sphæram DFE contingit, ex quinto lemmate. Nam quum rectangul-um HEG auquctur rectangulo BED, omnis splhera quas, per data duo H et G puicta tlransiens, planum ABC tangit, sphlwram quoque DEF contingit.

Fig. 62.
Fermat - Livre I - Figure 62.png
Problema IX.

Datis duobus punctus et duabus sphæris, invenire sphæram quæ per data duo puncta transeat et sphæras datas contingat.

Fig. 63.
Fermat - Livre I - Figure 63.png

Sint datæ duæ sphæræ AB, DE (fig. 63) et puncta diata H et M. Tra jiciatur recta AF per centra sphaerarum datarum, et

ut radius AB ad radium DE, ita fiat recta BF ad FE;

dabitur punctum F. Fiat rectangulo NFA. aequale rectangulum: FG; dabitur punctum G.

Jam datis tribus M, G, H punctis et sphæra DN, quæratur sphæra quæ per data tria puncta transeat et sphæram DN datam contingat, cui problemati satisfaciet tertium problema hujus: continget qu oque sphæram <’ AB > ex tertio lemmate, ideoque proposito satisfaciet.

Problema X.

Dato puncto, duobus planis et sphæra, invenire sphæram quæ per datum punctutm transeat et sphæram ac data duo plana contingat.

Sint duo plana AB, BD (fig. 64), sphæra EGF, punctum II. Per punctum O, centrum sphawre datse, in quodlibet ex planis demittatur perpendicularis CEOF, et rectangulo CFE fiat æquale rectangulum HFI.

Fig. 64.
Fermat - Livre I - Figure 64.png

Datis duobus punctis H et I et duobus planis AB, BD, qulalratur, pel’ septimum problema hujus, sphlera quce per data duo puncta transeal et duo plana data contingat: continget quoque ex quinto lenm.ate sphseram, et proposito satisfaciet.

Problema XI.

Dato punceo, plano et duabus sphæris, invenrire sphæram quæ per datum punctum transeat et planum ac sphæras duas datas contingat.

Deducetur statim quaystio simili præcedentibus ratiocinio ad problema VIII, Datis duobuspunctis, plano et sphæra, idque beneficio lemmatis V. Quod si libeat uti lemmate III, deducetur quæstio pariter ad idem problema, alio medio et alia constructione.

Problema XII.

Dato puncto et tribus sphaeris, invenire sphaeram quae per datum punctum transeat et sphaeras datas contingat.

Huic quoque figuram non assignamus: statim quippe, beneficio lemmatis III, deducetur qutsstio ad problema IX, Datis duobus punctis et duobus sphaeris etc.

Problema XIII.

Datis duobus planis et duabus sphæris, inventire spæram quæ data plana et sphæræ contingat.

Sit factum. Si ergo sphleric superficiei inventtc imaginemur aliam ejusdem centri superficiemn parallelam, que a qutsita distet per radium minoris ex sphæris, tanget hæc nova superficies sphærica plana quæ a datis distabunt per intervalluln ejusdem radii minoris ex sphleris; tanget quoque sphiaram cujus radius distabit a radio majoris spblere datœ per idem radii minoris intervallum, queque erit majori spherm concentrica. Dabitur ergo; dabuntur et duo plana datis parallela et per radium minoris ex sphalris ab ipsis distantia. Transibit et hæc nova superficies sphærica per centrum minoris ex spheris datis, quod quidem datum est; pari igitur quo usi jam sumus in problemate VI artificio, deducetur quæstio ad problema X, Dato puncto, duobus planis et sphæra, invenire etc.

Problema XIV.

Datis tribus sphæris et plano, invenire sphæramn quæ sphæras et planum datum contingat.

Simili qua usi sumus via in prsecedente et sexto problemate, deducetur quæstio ad problema XI, Dato puncto, piano, et duabus sphæris etc.

Problema XV.

Datis quatuor sphæris, invenire sphæram quæ datas contingat.

Sit factum: et, qua usus est methodo Apollonius Gallus [68] ut problema de tribus circulis ad problema de puncto et duobus circulis deduceret, eadem et simili præcedentibus famosur hoc et nobile problema ad XII, Datis tribus sphæris et puncto, deducemus.

Constabit ex omni parte propositum, et illustre accedet Apollonio Gallo complementum. Casus varios, determinationes, et minuta negleximus, ne in immensum excresceret spllericus de contactibus tractatus.

FRAGMENTS GEOMETRIQUES.
SOLUTIO PROBLEMATIS A DOMINO PASCAL PROPOSITI
[69]


Proposuit Dominus PASCAL hoc problema: Dato trianguli a anguo ad verticem et ratione quam habet perpendiculum ad diferentiam laterum, invenire speciem trianguli.

Exponatur recta quævis data AC (fig. 65), super quam portio circuli AIFC capax anguli dati describatur. Eo quæstionem deduximus ut, data basi AC, angulo verticis AIC, et ratione quam habet perpendiculum ad differentiam laterum, quæratur triangulum.

Fig. 65.
Fermat - Livre I - Figure 65.png

Ponatur jam factum esse et triangulum quæsitum esse AIC. Demittatur perpendiculum IB et, diviso arcu AFC bifariam in F, jungantur AF, FC [70] et, juncta IF, demittantur in rectas Al, IC perpendiculares CO, FK. Deinde centro F, intervallo AF, describatur circulus AHGEC, cui rectse CI, IF continuatæ occurrant in punctis G, 1, E; denique jungatur GA.

Angulus AFC ad centrum duplus est anguli AGC ad circumferentiarn; sed angulus AIC equatur angulo AFC in eadem portione: igitur angulus AIC duplus est anguli AGC. Sed angulus AIC equatur duobus angulis AGC, IAG: igitur anguli IGA, IAG sunt æquales, ideoque rectæ IA, IG. Sed, quum a centro F in rectam GC cadat perpendicularis FK, equales sunt GK, KC, ideoque KI est dimidia differentia inter rectas CI, IG, hoc est inter rectas CI, IA.

Data est autem ratio perpendiculi lB ad differentiam laterum CI, IA ergo datur ratio BI ad IK et, singulis in rectam AC ductis, data est ratio rectanguli sub AC in BI ad rectangulum sub AC in IK. Sed rectangulum sub AC in B1I equatur rectangulo sub Al in CO; est enim utrumque cuplum trianguli AIC: ergo ratio rectanguli sub Al in CO ad rectangulum sub AC in IK dáta est.

Datur autem ex hypothesi angulus AIC et rectus est CO1 ex construetione: ergo datur specie triangulumI CO1; ratio igitur CO ac CI data est, ideoque rectanguli sub Al in CO acl rectangulum sub Al- in IC ratio datur. Sed probavimus rationem rectanguli sub Al in CO ad rectangulum sub AC in IK dari: ergo datur ratio rectanguli AIC ad rectangulum sub AC in IK.

Jam in triangulo AFC datur angulus AFC ex hypothesi: ergo angulus FAC datur, cui aqualis (IF idcirco dabitur. Est autem rectus angulus FKI: ergo triangulum FIK datur specie, ideoque rect'e KI ad IF ratio data est, ideoque rectanguli < sub > AC in IK ad rectangulum sub AC in IF datur ratio. Probatum est autem dari rationem rectanguli AI in IC ad rectangulum AC in IK: ergo datur ratio rectanguli AI in IC ad rectangulum AC in IF. Est autemn rectangulum CIG æquale rectangulo CIA, quia rectæ IG, IA sunt æquales, et rectan gulo CIG æquatur rectangulum HIE: ergo ratio rectanguli HIE ad rectangulum sub AC in IF data est.

Sit data ratio ED ad AC; quum igitur AC sit data, dabitur ED, quaponatur rectæ HE in directum ut in figura prima. Rectangulum igitur HIE ac rectangulum AC in IF est in ratione data ED ad AC; sed, ut DE ad AC, ita DE in IF ad AC in F: igitur, ut rectangulum HIE est ad rectangulum AC in IF, ita rectangulum DE in IF ad rectangulum AC in IF: rectangulum igitur DE in IF sequatur rectangulo HIE.

Probatum est triangulum AFC dari specie; sed datur basis AC magnitudine: ergo datur AF, ideoque dupla ipsius EH datur.

AEqualibus rectangulis DE in IF et HIE addatur rectangulum sub DE in IH: fiet rectangulum sub DE in FfH æquale rectangulo DIH. Datur autem rectangulum sub DE in FH, quia utraque rectarum DE, FH datur: datur igitur rectangulum DIH et ad datam magnitudinem DH applicatur deficiens figura quadrata; ergo recta IH datur, ideoque reliqua IF. Datur autem punctum F positione: ergo datur et punctulm I et totum triangulum AIC.

Non est difficilis ab analysi ad synthesin regressus; sed, ut omne dubium tollatur, probatur facillime triangulum qusesitum esse simile invento AIC in secunda figura (fig. 66): triangulum autem AIC ex utravis parte puncti F verticem habere potest in æquali a puncto F utrimque distantia; erit enim idem specie et magnitudine, et positio variabit.

Fig. 66.
Fermat - Livre I - Figure 66.png

Si enim triangulum quæsitum non est simile invento, manente eadem basi, ejus vertex vel ibit inter puncta F et I, vel inter puncta I et A.; ex utravis parte nihil interest, nam de parte FC idem secundum triangulum AIC pari demonstratione concludit.

Sit primum vertex inter A et I et triangulum qyuwsitum ponatur, si fieri potest, simile triangulo AMC. Jungatur FM et demittatur perpendicularis FP. Erit ratio perpendiculi MIN ad MAP data ex hypothesi, ideoque tequalis rationi IB ad IK quam probavimus date equale: quod est absurdum.

Quum enirn in triangulo FMP angulus ad AI equatur angulo ad I trianguli IFK, erunt similia triangula FIK, FMP. Sed FM est major FI : ergo MP est major IK. Est autem MN minor IB: non igitur eadem potest esse ratio MN ad MP quæ IB ad 1K.

Si punctum M sit inter 1 et F, probabitur augeri perpendiculum et minui differentiam laterum, idque eadem argumentatione, ideoque variare proportionem. Si punctum M sit in portione FC, utemur secundo triangulo AIC et erit eademc demonstratio, ut inutile sit diutius in his casibus immorari.

Constat igitur triangulum quetsitum invento AIC esse simile, et patet proposito esse satisfactum.

Proponitur, si placet, tam Domino Pascal quam Domino Roberval solvendum hoc problema:

Ad datum puncturn iln helice Balialni [71] invenire tangentem.

Quænam autem sit hujusmodi helix novit Dominus Roberval.

Hujus problematis a nobis soluti solutionem a viris eruditissimis exspectamus aut, si maluerint, ipsis impertiemur, imo et generalem do linearum curvarum contactibus methodunm.

Sed ne a præsenti materia triangulari vacuis manibus discessisse videamur, proponi possunt hæ quæstiones :

Data basi, angalo verticis, et aggregatto perpendiculi et differentiæ laterum, invenire triangulum. Data basi, angulo verticis, et differentia perpendiculi et differentiae laterum, invenire triangulum.

Data basi, angulo verticis, et rectangulo sub differentia laterum in perpendiculum, invenire triangulum;

Data basi, angulo verticis, et summa quadratorum perpendiculi et diferentice laterum, inventire triangulum;

et multæ similes, quarum enodationes facilius inventuros viros doctissimos existimo, quam de contactu helicis Baliani propositum problema aut theorema.

Sed observandum in qusestionibus de triangulis, quoties problema poterit solvi per plana, non recurrendum ad solida. Quod quum norint viri doctissimi, supervacuum fortasse subit addidisse.

PORISMATA DUO[72].

Porisma I. - Datis positione duabus rectis ABE, YBC (fig. 67) sese in puncto B secantibus, datis etiam punctis A et D in recta ABE, quæruntur duo puncta, exempli gratia, 0 et N, a quibusi 1ad qcuodlibet rectce YBC

Fig. 67.
Fermat - Livre I - Figure 67.png

punctum, ut H, recta OHN inflectatur, rectam rABD in punctis I et V secans, rectangulum sub AI in DV cequetur spatio dato, videlicet rectangalo sub AB in BD.

Ita procedit porismatica Euclidis constructio et generalissimam problematis solutionem repræsentabit.

Sumatur punctur quodvis 0. Jungatur recta AO secans rectam YBC in puncto P. A puncto 0 ducatur recta OQ ipsi ABD parallela et rect'e YBC occurrens in Q. Ducatur etiam infinita PNM eidem ABD parallela, et juncta QD secet rectam PNM in puncto N. Aio duo puncta 0 et N adimplere propositum.

Sumpto quippe ubilibet in recta YBC puncto H, et ductis rectis OH, NH- rectse ABD occurrentibus in punctis I et V, rectangulum sul) A in DV in quibuslibet omnino casibus (tres tantum triplex [73] figura repræsentat rectangulo < sub > AB in BD eequale erit.

Porisma II. -Dato circulo ABDC (fig. 68), cjtus diameter AC, centrumn M, quceruntur duo puncta, et E et N, a quibus si ad quodvis circuImferentice punctum, tt D, inflectatur recta EDN, diametrumin 1 puntctis Q et H secans, summa quadratorum QD et DI ad triangltSul QDH habeat rationenm datain, ideinque in qualibet inflexione gœneraliter et petpetuo contingat.

Fig. 68.
Fermat - Livre I - Figure 68.png

A centro M excitetur ad diametrum perpendicularis MB. Fiat ratio data eadem quae quadruple rectae BA ad rectam VM. A puncto A exci tetur VE ad diametrum perpendicularis et ipsi VB aequalis. Sumptl recta MO ipsi MYV equali, fiat ON equalis et parallela recte VE: Dico puncta quaesita esse puncta E et N.

Sumpto quippe quovis in circumferentia puncto, ut D, et junctis ED, ND rectis diametrum in punctis Q et H secantibus, summa quadratorum QD et DH ad triangulum QDH erit, in quocumque casu, in ratione data, hoc est in ratione quadruplæ BV ad rectam VM.

Non solum proponitur inquirenda istius porismatis demonstratio, sed videant etiam subtiliores mathematici an duo alia puncta prwlter E et N possint problemati proposito satisfacere, et utrum solutiones quæstionis sicut in primo porismate suppetant infinite. Si nihil respondeant, Geometriæ in hac parte laboranti non dedignabimur opitulari.


PORISMATUM EUCLIDEORUM
RENOVATA DOCTRINA ET SUB FORIMA 1SAGOGES RECENTIORIBUS GEOMETRIS EXHIBITA.

Enumeravit Pappus initio libri septimi libros veterum Geometrarum ad τόπον ἀναλυόμενον pertinentes: qui omnes quum temporis injuria perierint, exceptis unico Datorum Euclidis libello et quatuor prioribus Conicorum Apollonii, elaborandum neotericis Geometris maxime fuit ut damnumn operum, qul tentavit « edax abolere vet ustas » aliquantisper resarcirent. Et primo quidem subtilissimus ille, nec unquam satis laudatus Franciscus Vieta Apollonii περὶ ἐπαφῶν libros unico, quem Apollonium Gallum inscripsit, libello feliciter restituit; cujus exemplo se ad eamcdem provinciam Marinus Ghetaldus et Wilebrordus Snellius accingere non dubitarunt, nec defuit proposito eventus: libros enim Apollonii λόγου ἀποτομῆς, χωρίου ἀποτομῆς, Λιωρισμένης τομῆς et Nεύσεων, illorumn beneficio vix amplius desideramus. Sequebantur Loci plani, Loci solidi, et Loci ad superficiem. At huic quoque parti non ignoti nominis Geometre [74] succurrerunt, eorumque opera, manuscripta licet et adhuc inedita, latere non potuerunt. Sed supererat tandem intentata ac velut desperata Porismaturn Euclideorum doctrina. Earn quamvis ( opus artificiosissimum ac perutile ad resolutionem obscuriorum problematum )) Pappus asserat, nec superioris nec recentioris wevi Geometrw vel de nomine cognoverunt, aut quid esset solummodo sunt suspicati. Nobis tamen in tantis tenebris dudum ctecutientibus, et qua ratione in hac materia Geometrit opitularemur elaborantibus, tandem

se clara videndam Obtulit et pura per noctem in luce refulsit;

nec debuit inventi novantiqui specimen posteris invideri. Postquamn enim Suevicum sidus[75] omnibus disciplinis illuxit, frustra scientiarum arcana tanquam mysteria qunedamc abscondemus: nihil quippe impervium perspicacissimo incomparabil is Reginæ ingenio, nec fas censerus occultare doctrinam quam vel unico duntaxat aut inspirantis aut mandantis nutu, quandocumque libuerit, detectam iri vix possumlus dubitare. Ut autem clarius se prodat totum Porismnatum negotium, celebriores quasdam propositiones porismaticas selegimus, easque Geometris et considerandas et examinandas confidenter exhibemus, ut mox quid sit Porisma et cui maxime inserviat usui innotescat.

PORISMA PRIMUMI

Sint duwe rectæ ON, OC (fig. 69), qua, angulum constituant in puncto O et sint ipst positione date; dentur et puncta A et B. A punctis B et

Fig. 69.
Fermat - Livre I - Figure 69.png

A ducantur rectte BE, AF ipsi OC parallel et occurrentes rectte NO productse in punctis E et F; jungatur recta AE, qua, rectte CO producte occurrat in D; jungatur itidem recta FB, qute eidemi rectt CO occurrat in C; et ad quodvis punctum rectT ON, ut V, verbi gratia, inflectantur rectæ AV, BV, ita ut recta AY occurrat recte OC in puncto S, recta autem BY eidem OC occurrat in puncto R. Rectangulum sub CR in DS æquale semper erit rectangulo sub CO in OD, ideoque spatio dato.

PORISIMA SECUNDUM.

Exponatur parabole qusvis NAB (fig.7o), cujus diametri qu(libet sint BEO. Sumantur in curva duo quœvis puncta A et N, a quibus in

Fig. 70.
Fermat - Livre I - Figure 70.png

flectantur ad aliud quodvis curver punctum, ut D, recta ADN, quta in diametris puncta E, 0, G, Q signent. In eadem diametro abscindentur semper due rectse quea eamdem servabuntrationer: erit nempe ut OB ad BE, ita QB ad GB, idque in infinitum.

PORISMA TERTIUM.

Esto circulus cujus diameter recta AD (fig. 71), cui parallela ut

Fig. 71.
Fermat - Livre I - Figure 71.png

cumque ducatur NM, circulo in punctis N et M occurrens, et sint data puncta N et M. Inflectatur utcumque recta NBM, quo secet diametrum in punctis O et V. Aio datam esse rationem rectanguli sub AO in DV ad rectangulum sub AV in DO: ideoque, si inflectatur NCM secans diametrum in punctis R, S, erit semper ut rectangulum sub AO in DV ad rectangulum sub AV in DO, ita rectangulum sub AR in DS ad rectangulum sub AS in DR.

Nec difficile est propositionem ad ellipses, hyperbolas et oppositas sectiones extendere.

PORISMA QUARTUM.

Exponatur circulus ICH (fig. 72), cujus diameter IDH data, centrum D, radius ad diametrum normalis CD. Sumantur in diametro producta puncta B et A data, et sint recte An, BH æquales.

Fig. 72.

Fiat

ut DI ad IA, ita DL ad LI,

et sit recta DR æqualis DL; dabuntur puncta R et L. Jungatur recta CA, cui uaqualis ponatur AF ad diametrum perpendicularis, eidemque fiat BG aqualis et parallela. Inflectatur quevis recta ad circulum a punctis F et G, ut FEG, quæ dianetrum secet in punctis M et N. Aio summam duorum quadratorum RM, LN æquari semper eidemr spatio dato.

Iisdem positis, in secundo casu, jungatur recta CL, cui æqualis ponatur LP ad diametrum perpendicularis, eidemque æqualis et parallela fiat RZ. Si a duobus punctis Z et P inflectatur quælibet ad circumferentiam recta, ut PVZ, secans diametrum in punctis K et T, quadratorum AT et BK aggregatum æquabitur semper alteri spatio dato.

PORISMA QUINTUM.

Esto circulus RAC (fig. 73), cujus diameter RDC data, centrum D, radius DA ad diametrum normalis. Sumantur utcumque puncta Z et B data in diametro a centro D æquidistantia, et, junctâ AZ, fiat æqualis ZM ad diametrum perpendicularis, eidemque equalis et parallela ducatur BO. Inflectatur quevis ad circumferentiam recta MHO quæ diametrum in punctis E et N secet. Erit semper ratio quadratorum EH, HN simul sumptorum ad triangulum EHN data, eadem nempe quæ rectæ AZ ad quartam partem rectæ ZD.

Fig. 73.

Fermat - Livre I - Figure 73.png

Ex adductis porismatibus (quorum propositiones elegantissimas et pulcherrimas esse quis diffiteatur?) haud difficulter indaganda se prodit ipsa porismatum natura. Enunciari nempe posse, secundum Pappum, vel ut theoremata vel ut problemata statim patet; nos sane ut theoremata enunciavimus, sed nihil vetat quominus in problemata transformentur. Exempli causa, sic quintuin porisma concipi potest: Dato circulo RAC cujus diameter RC, qucerantur duo puncta, ut M et 0, a quibus si illectatur qucrvis ad circumferentiam recta ut MHO, faciat semper rationzen quadratorum ab abscissis EH, IN ad triangulum EHN dataz. Nec latet ex supradicto theoremate constructio: si enim ponatur recta AZ esse ad quartam partem ZD in ratione data, omnia constabunt, eademque ratione in reliquis et omnibus omnino porismatibus theorenmata in problemata facile transibunt.

Quod autem innuit Pappus ex sententia juniorun geometrarum porisma deficere hypothesi a locali theoremate [76], id sane totam porismatis naturam specifice revelat, neque alio fere auxilio quam eo quod htec verba subministrarunt, hujusce abdita materite penetravimus.

Quum locum investigamus, lineam rectam aut curvani inquirimus nobis tantisper ignotam, donec locum ipsum inveniende lineæ designaverimus; sed quum ex supposito loco dato et cognito alium locum venamur, novus iste locus porisma vocatur ab Euclide: qua ratione locos ipsos porismatum unam speciem et esse et vocari verissime Pappus subjunxit.

Exemplo unico definitionemr nostram astruemus in figura quinti porismatis: Data recta RC, si quaratur curva quelibet, ut RAC, cujus ea sit proprietas ut a quolibet ipsius puncto, ut A, demissa perpendicu laris AD faciat quadratum AD æquale rectangulo RDC, inveniemus curvam RAC esse circuli circumferentiam. Sed si ex dato jam loco illo alium investigemus, problema, verbi gratia, porismatis quinti, novus iste locus et infiniti alii quos periti sagacitas analystæ repræsentabit et ex jam cognito eliciet, porisma dicetur.

Quum autem, ut jam diximus, porismata ipsi sint loci, errorem latini Pappi interpretis ex græco textu emendabimus eo loco ubi pornismatum opus perutile ait ad resolutionem obscuriorum problematum ac eorumn generum quæ haud comprehendunt eam quæ multitudinem præbet naturam quæ ultima verba quum nullum fere sensum admittant, ad ipsum autorem recurrendum cujus verba in manuscriptis codicibus ita se habent : πορίσματα ἐστὶ πολλοῖς ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων καὶ τῶν γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος[77].

Ait igitur porismata conferre ad analysin obscuriorum problematum et generum, hoc est problematum generalium : ex dictis enim apparet porismatum propositiones esse generalissimas. Deinde subjungit : quum natura multitudinem quæ vix potest animo comprehendi subministret ; quibus verbis infinitas illas et miraculo proximas ejusdem problematis indicat solutiones.

Huic autem vel theorematum vel problematum inventioni non deest peculiaris a puriore Analysi derivanda methodus, cujus ope non solum quinque præcedentia porismata sed pleraque alia et invenimus et construximus et demonstravimus, et si hæc paucula, quæ isagogica tantum et accuratioris operis prodroma emittimus, doctis arrideant, tres totos Porismatum libros aliquando restituemus, imo et Euclidem ipsum promovebimus et porismata in coni sectionibus et aliis quibuscumque curvis Imirabilia sane et hactenus ignota detegemus[78].

PROPOSITIO D. DE FERMAT CIRCA PARABOLEN[79].

Proposui per data quatuor puncta parabolen describere. Duplex est casus, utrique lemma sequens præmittendum. Sit parabole in "a fig. ECBAD (fig. 74), cujus diameter AF detur positione; dentur etiam duo puncta B et C, per quxe transit parabole;

Fig. 74.
Fermat - Livre I - Figure 74.png

dentur denique anguli applicatarum ad diametrum AF. Aio parabolen positione dari.

Applicentur orcinatim BN et CM; a puncto dato B in AF positione datam ducitur BN in dato angulo (positum quippe est dari angulum applicatarum): ergo datur punctum N; similiter datur puncturm M et rectae BN, CM positione et magnitudine. Ex natura paraboles est

ut quadratum CM ad quadratum BN, ita MA ad NA,

si ponas A esse verticem paraboles sive extremum diametri; ergo datur ratio MA ad NA, et dividendo datur ratio MN ad NA. Datur autem recta MN, quia duo puncta M, N dantur; datur igitur NA et puncturn A. Si fiat

ut AN data ad NB datam, ita NB ad Z,

dabitur Z rectum paraboles latus. Dato igitur vertice A, Z recto latere, AF diametro positione, angulo applicatarum, datur positione parabole, ex 52, I Apollonii.

Hoc supposito, facillime construitur primus casus in 2a fig. (fig. 75), in qua dentur quatuor puncta D, B, C, F, qute si jungas per rectas BC, CF, FD, DB, vel neutra oppositarum erit alteri parallela, vel, ut in hoc casu, erit BC, verbi gratia, parallela DF.

Fig. 75.
Fermat - Livre I - Figure 75.png

Bifariam utraque dividatur in punctis I et E et sit factum: ergo juncta IE erit diameter paraboles, quum œquidistantes bifariam dividat. Dantur autem puncta [ et E: ergo IE positione datur et angulus DEl. Quum igitur diameter IE positione detur, dentur etiam angulus applicatarum et duo puncta B et D per qute transit parabole, dabitur positione parabole DBACF.

In secundo casu major est difficultas, quum neutra rectarum duo ex punctis datis conjungentium alteri est tequidistans. In 3a fig. sint data quatuor puneta X, N, D, R (fig. 76), que per rectas XR, RD, DN, NX conjungantur, et neutra oppositarum sit alteri æquidistans.

Ponatur jam factum esse, et descriptam parabolen XANDBR proposito satisfacientem. Concurrant productS XN, RD, in puncto V et, bifariam divisis XN, RD in punctis M et C, ducantur ad ipsas diametri MA, CB, occurrentes parabolk in punctis A et B, a quibus recta IAS, SB ipsis XV, VR ducantur equidistantes et concurrant in puncto S. Juncta AB bifariam dividatur in P et jungatur SP.

Fig. 76.
Fermat - Livre I - Figure 76.png

His ita constructis, patet, quum per verticem diametri MA ducatur IAS æquidistans applicatUe XN, rectam IAS tangere parabolen in A; probabitur similiter rectam SB tangere eamdem parabolen in B: ergo, per 17, III Apollonii erit

ut rectangulum XVN ad rectangulum RVD,
ita quadratum AS ad quadratum SB.

Datur autem ratio rectanguli XVN ad rectangulum RVD, quurn dentur quatuor puncta X, N, D, R: ergo datur ratio quadrati AS ad quadratum SB, ideoque rectse AS ad rectam SB. Datur autem angulus ASB, quia propter parallelas æquatur angulo XVR dato: ergo in triangulo ASB datur angulus ad verticem S et ratio laterum AS, SB, ideoque triangulum ASB datur specie; igitur datur angulus SAB et ratio SA ad AB. Quum autem AP sit dimidia AB, datur etiam ratio SA ad AP: in triangulo igitur SAP datur angulus ad A, et ratio laterum SA, AP; datur igitur specie et angulus PSA datur. Hoc posito, quum recta SP rectam AB puncta contactuum conjungentem bifariam dividat, erit diameter paraboles, ex 29, II Apollonii; in parabola autem omnes diametri sunt inter se aquidistantes: ergo diameter MA rectse SP æquidistabit, ideoque angulus IAM wequabitur angulo ASP. Probavimus autem dari angulum ASP: ergo dabitur angulus IAM et ipsi alternus propter parallelas NMA. Datur autem punctum M, quia rectam NX positione et magnitudine datam bifariam dividit: ergo datur diameter MA positione; datur etiam angulus applicatarum AMN, et dantur duo puncta N et D per quæ transit parabole: datur igitur parabole positione ex lemmate, et est facilis ab analysi ad synthesim regressus. Patet autem duas parabolas in hoc secundo casu propositum adimplere: concurrent enim rectat DN et XR, quas posuimus non esse parallelas; hoc casu eadem argumentatione nova construetur parabole proposito satisfaciens.


< LOCI AD TRES LINEAS DEMONSTRATIO > [80].

Exponantur tres recte positione datwe triangulum constituentes: ANM, MB, BA (fig. 77), et sit quodvis punctum O a quo ad rectas datas ducantur rectse OE, OI, OD in angulis OEM, OIM, ODB datis. Sit autem ratio rectanguli EOD ad quadratum 01 data: Aio punctum 0 esse ad unam ex coni sectionibus. Dividatur MB bifariam in Q et, juncta AQ, ducantur per punctum O recte FOC, ON ipsis MB, MA parallels.

Fig. 77.
Fermat - Livre I - Figure 77.png

Tria triangula OEF, ODC, OIN sunt specie data: nam ex hypotlhesi dantur anguli OEF, ODC, OIN; datur etiam EFO quia, propter parallelas, dato AMB est vequalis; datur et OCD quia sequalis dato MBA; denique datur ONI, quum detur ONB ipsi AMB propter parallelas equalis. Datur igitur ratio OE ad OF; datur item ratio OD ad OC: ergo ratio rectanguli EOD ad rectangulum FOC datur. Datur autem, ex hypothesi, ratio rectanguli EOD ad quadratum 01: ergo ratio rectanguli FOC ad quadratum 01 datur. Datur autem ratio quadrati 01 ad quadratum ON, propter datum specie triangulum OIN: ergo ratio rectanguli FOC ad quadratum ON, sive FM ipsi æquale, datur. Si secetur AQ in U ita ut, ducta UR parallelat MB, quadratum UR ad quadratum RM sit in ratione data rectanguli FOC ad quadratum FM (hoc autem est facile, quum angulus MRU detur), et per punctum U describatur, circa diametrum AQ, coni sectio quam rectse MA, AB in punctis M, B contingant (id autem est facillimum et ex < vario > [81] puncti U situ erit aut parabole aut hyperbole aut ellipsis: superflua, præsertim tibi, non addimus): Aio coni sectionem sic descriptam per punctum 0 transire. Nam transeat ex alia parte per punctum P. Tanget recta UR sectionem, quum sit parallela ordinata MB; quum igitur sectio transeat per punctum O, erit

rectangulum PFO ad quadratum FM ut quadratum UR ad quadratum RM,
ex decima sexta propositione III Apollonii. Ut autem
quadratum UR ad quadratum RM, ita est rectangulum FOC ad quadratum FM,
ex constructione: rectangulum igitur PFO rectangulo FOC æquale erit, ideoque recta FO rectae PC.

Quod quidem ita se habet: nam, quum AQ dividat hifariam MB, erit recta FX rectæ XC æqualis; propter sectionem vero, recta OX est sequalis XP: reliqua igitur FO reliquæ PC æquatur.

Nec est difficilis ab analysi ad synthesim, per demonstrationem ducentem ad impossibile, regressus.

AD LOCOS PLANOS ET SOLIDOS
ISAGOGE[82]

De locis quamplurima scripsisse vetercs, haud dubium: testis Pappus initio Libri septimi [83], qui Apollonium de locis planis, Aristeum de solidis scripsisse asseverat. Sed aut fallimur, aut non proclivis satis ipsis fuit locorum investigatio; illud auguramur ex eo quod locos quamplurimos non satis generaliter expresserunt, ut infra patebit. Scientiam igitur hane proprime et peculiari analysi subjicimus, ut leinceps generalis ad locos via pateat.

Quoties in ultima sequalitate duæ quantitates ignote reperiuntur, fit locus loco et terminus alterius ex illis describit lineam rectam aut curvam. Linea recta unica et simplex est, curva infinita: circulus, parabole, hyperbole, ellipsis, etc.

Quoties quantitatis ignote terminus localis describit lineam e'ctam aut circulum, fit locus planus; at quando describit paralbolen, hyperbolen vel ellipsin, fit locus solidus; si alias curvas, dicitur locus linearis. De hoc nihil adjungemus, quia facillime ex planorum et solidorum investigatione linearis loci cognitio derivabitur, mediantibus reductionibus.

Commode autem institui possunt æquationes, si duas quantitates ignotas ad datum angulum constituamus (quem ut plurimum rectum sumemus), et alterius ex illis positione datæ terminus'unus sit datus; modb neutra quantitatum ignotarum quadratum prætergrediatur, locus erit planus aut solidus, ut ex dicendis clarum fiet.

Recta data positione sit NZM (fig. 78), cujus punctum datum N; NZ

Fig. 78.
Fermat - Livre I - Figure 78.png
aequetur quantitati ignote A, et ad angulurn datum NZI elevata recta ZI sit xequalis alteri quantitati ignotæ E.
D in A æquetur B in E
punctum I erit ad lineam rectam positione datam.

Erit enim

ut B ad D, ita A ad E.
Ergo ratio A ad E data est, et (latur angulus ad Z, triangulum igitur NIZ specie, et angulus INZ; datur autem punctum N et recta NZ positione: ergo dabitur NI positione, et est facilis compositio.

Ad hanc aqualitatem reducentur omnes, quarum homogenea partim sunt data, partim ignotis A et E admixta, vel in datas ductis vel simpliciter sumptis.

Zpl. - D in A æquetur B in E.

Fiat

DinR equale Zpl.;
erit
ut B ad D ita R - A ad E.

Fiat MN equalis R: dabitur punctum M, ideoque MZ aquabitur 1R- A. Dabitur ergo ratio MZ ad ZI; sed datur angulus ad Z, ergo triangulum IZM specie, et concludetur rectam AI junctam dari positione, ideoque punctum I erit ad rectam positione datam. Idemque nullo negotio concludetur in qualibet aqualitate cujus homogenea quædam afficientur ab A vel E.

Et est simplex hæc et prima locorum tequalitas, cujus beneficio invenientur loci omnes ad lineam rectam: verbi gratia, septima propositio Libri I Apollonii de locis planis [84], quæ generalius jam poterit enuntiari et construi.

Huic æqualitati subest pulcherrima propositio sequens, quam nos illius ope deteximus:

Si sint quotcumque rectce linece positione datce atque ad ipsas a quoldan puncto ducantur rectce in datis angulis, sit autem quod sub ductis et datis efficitur dato spatio cequale, punctum rectam lineam positione datain continget.

Infinitas omittimus, quæ Apollonianis merito possent opponi.


Secundus hujusmodi æqualitatum gradus est, quando

A in E eq. Zpl.,

quo casu punctum I est ad hyperbolen.

Fiat NR (fig. 79) parallela ZI; sumatur in NZ quodlibet punctum, ut M, a quo ducatur MO parallela ZI; et fiat rectangulum NMO equale Zpl.

Per punctum O, circa asymptotos NR, NM, describatur hyperbole: dabitur positione et transibit per punctumr I, quum ponatur rectangulurm A in E, sive NZI, æquale NMO.

Fig. 79.
Fermat - Livre I - Figure 79.png

Ad bane tqualitatemn reducentur omnes quarum homogenea partim sunt data, vel ab A aut E aut A in E aflecta.

Ponatur

Dpl. +-A ilnE e1q. R ilnA 4- S in E.

Igitur, ex artis præceptis,

-R in A - S in E - A in E æquabitur Dpl.

Effingatur rectangulum abs duobus lateribus, in quo homogenea

R in A -- S in E- A in E

reperiantur: erunt duo latera

A -S et R - E

et rectangulurn sub ipsis tequabitur R in A -+ S in E - A in E - in S.

Si igitur a Dpi. abstuleris RinS, rectangulum sub A - S in R - E æquabitur Dpi. - R in S.

Fiat NO (fig. 8o) tequalis S, et ND, parallela ZI, fiat æqualis B; per punctum D ducatur DP parallela NM, < per punctum 0 > 0V paralela ND, et ZI producatur in P.

Quum NO æquetur S, et NZ, A, ergo A - S æquabitur OZ sive VP; similiter, quum ND, sive ZP, cequetur 1, et ZI, E, ergo R -- E æqua bitur PI: rectangulum igitur sub VP in PI Tquatur dato Dpl. -- in S. Ergo punctum I erit ad hyperbolen, cujus asymptoti PV, VO.

Fig. 80.
Fermat - Livre I - Figure 80.png

Rectangulo enim Dpl. - R in Sæquetur, sumpto quovis puncto X et ducta' parallela XY, rectangulurn VXY, et per punctum Y, circa asymptotos PV, VO, hyperbole describatur: per punctum I transibit, nec est difficilis in quibuslibet casibus analysis aut constructio.

Sequens æqualitatum localium gradus est, quumn Aq. vel qequatur Eq., vel est in ratione data ad Eq., vel etiam Aq. +- A in E est ad Eq. in data ratione; denique hic casus omnes aquationes comprehendit intra metam quadratorum, quarum homogenea omnia vel a quadrato A, vel a quadrato E, vel a rectangulo A in E afficiuntur.

His omnibus casibus punctumr I est ad lineam rectam, cujus rei demonstratio facillima.

Sit NZ quad. + NZ in ZI ad ZI quad. in ratione data (fig. 81 ).

Fig. 81.
Fermat - Livre I - Figure 81.png

Ducatur quwevis parallela OR; quadratum NO - NO in OR erit ad OR quadratum in eadem ratione, ut est facillimum demonstrare. Punctum igitur I erit ad rectam positione < datam >.

[Sumatur enim quodvis punctum, ut 0, et fiat data ratio quadrati NO + NO in OR ad OR quadratum. Juncta NR dabitur positione et satisfaciet proposito] [85], idemque continget in quibuslibet equationibus, quarum omnia homogenea a potestatibus ignotarum vel rectangulo sub ipsis afficientur, ut inutile sit singulos casus scrupulosius percurrere.

Si potestatibus ignotarum vel rectangulis sub ipsis admisceantur homogenea, partim omnino data, partim sub data recta in alteram ignotarum, difficilior evadet constructio: singulos casus construimus breviter et demonstramus.

Si

Aq. æquatur DinE,

punctum I est ad parabolen.

Fiat NP parallela ZI (fig. 82), et circa diametrum NP describatur

Fig. 82.
Fermat - Livre I - Figure 82.png

parabole, cujus rectum latus recta D data, et applicatæ sint parallelbe NZ: punctum I erit ad parabolen hane positione datam. Ex constructione rectangulum sub D in NP æquabitur quadrato PI, hoc est, rectangulum sub D in IZ equabitur quadrato NZ, ideoque:

D in E equabitur A q.

Ad hanc requationem facillime reducentur omnes in quibus Aq. miscetur homogeneis sub datis in E, aut Eq. homogeneis sub datis in A, idemque continget, licet homogenea omnino data Tequationibus misceantur.

Sit

Eq. cuale D in A.

In pracedenti figura, vertice N, circa diametrum NZ, describatur parabole, cujus rectum latus sit D, et applicatæ rectæ NP parallelse prsestabit propositum, ut patet.

Ponatur

Bq.- Aq.. Tq. DinE.

Ergo

B q.-DinE æquabitur A q.

Applicetur Bq. ad D et sit eequale D in R. Ergo

D in R - D in E æquabitur A q.

ideoque

D in(R-E) æquabitur Aq.

Ideoque hæc æquatio reducetur ad prsecedentem: recta quippe B -- E succedet ipsi E.

Fiat quippe (fig. 83) NM parallela ZI et æqualis R, et per pun ctum M3 ducatur MO parallela NZ: datur punctum M, et recta MO positione. In

Fig. 83.
Fermat - Livre I - Figure 83.png

hæ constructione, OI æquatur R - E: ergo D in 01 æquatur NZ quad., sive MO quad. Yertice M, circa diametrum MN, descripta parabole, cujus rectum latus D, et applicatæ ipsi NZ parallelx, prsestabit propositum, ut patet ex constructione.

Si

Bq. + A q. eq. D in E,
D in E - Bq. aquabitur Aq.,
etc. ut supra. Similiter omnes æquationes ab E et Aq. affectas construentur.

SED Aq. miscetur spepe Eq. et homogeneis omnino datis. Bq.-Aq. æquetur Eq. punctumn I est ad circulum positione datum, quando angulus NZI est rectus. Fiat NM (fig. 84) æqualis B; circulus centro N, intervallo NM, descriptus præstabit propositum, hoc est: quodcumque punctum sumpFig. 84. 1 M seris in ipsius circumferentia, ut I, quadratum ZI œquabitur quadrato NM (sive Bq.) - quadrato NZ (sive Aq.), ut patet. Ad hanc xequationemn reducentur omnes affecte ab Ay. et Eq., et ab A vel E in datas ductis, modb angulus NZI sit rectus, et præterea cœfficientes Aq. æquentur cœfficientibus Eq. Sit

Bq.- D in A his - A q. equale Eq. T- B in E his.

Addatur utrimque Rq., ut E 4- R succedat E: fiet

Rq. -- Bq.- Din A bis- A q. equale Eq. -- +lq.- R in E bis.

Ipsis Rq. et Bq. addatur Dq., ut D + A succedat ipsi A, et summa quadratorum Rq., Bq., et Dq. sequetur Pq. Ergo Pq. — Dq. — D in bis - A q. æquabitur Rq. Bq. - -D in A bis - Aq.; nam ex constructione

Pq. -Dq. æquatur Rq. -- Bq. Si igitur loco ipsius A -- D sumpseris A et loco E -+ R sumpseris E, fiet

Pq. -- A q. æquale Eq.,

et reducetur æquatio ad precedentem. Simili ratiocinatione similes æquationes reducentur, et hac via omnes propositiones secundi Lihri Apollonii De locis planis [86] construximus, et sex priores in quibuslibet punctis habere locum demonstravimus: quod sane mirabile est et ab Apollonio fortasse ignorabatur. SED

Bq. - Aq. ad Eq. habeat rationerm datam,

punctum I erit ad ellipsin.

Fiat MN tequalis B, et per verticem M, diametrum NM, centrum N, describatur ellipsis, cujus applicatse sint recte ZI parallelse et quadrata applicatarum ad rectangulum sub segmentis diametri habeant rationem datam: punctum I erit ad hujusmodi ellipsin. Etenim quadratum NM - quadrato NZ æquatur rectangulo sub diametri segmentis.

Ad hanc reducentur similes in quibus Aq. ex una parte opponetur Eq. sub contraria affectionis nota et sub cœfficientibus diversis. Nam si cœfficientes sint ewedem et angulus sit rectus, locus erit ad circulum, ut jam diximus; licet igitur cœfficientes sint ecedem, mod6 angulus non sit rectus, locus erit ad ellipsin, et, licet immisceantur equationibus homogenea sub datis et A vel E, fiet reductio eo quod jam usurpavimus artificio. SI

A q. + Bq. est ad Eq. in data ratione,

punctum I est ad hyperbolen.

Fiat NO (fig. 85) parallela ZI; data ratio sit eadem quæ Bq. ad quadratum NR: dabitur ergo punctum R. Circa diametrum RO, per ver ticem R, centrum N, describatur hyperbole, cujus applicatæ sint parallelke NZ, et rectangulum sub toto diametro et RO una cum RO quadrato ad quadratum OI sit in data ratione, NR quadrati ad Bq. Ergo, componendo, rectangulum sub MOR (posita MN sequali NR) una curn quadrate NR erit ad quadratum 01 una cum Bq. in ratione data, NR quadrati ad Bq. Sed rectangulum MOR, una cum NR quadrato, equa

Fig 85.

tur NO quadrato, sive ZI quadrato, sive Eq.; et quadratum 01 una cum Bq. equatur quadrato NZ (sive Aq.) unai cum Bq.: ergo est

ut Eq. ad Bq.c+ A q., ita NRquad. ad Bq.

et, convertendo,

Bq.- Aq. est ad Eq. in ratione data.

Punctumr igitur I est ad hyperbolen positione datam.

Eodem quo jam usi sumus artificio, ad hanc equalitatem reducentur omnes que ab Aq. et Eq. afficiuntur una cum datis, sive simpliciter, sive misceantur ipsis homogenea sub A vel E in datas, modb Aq. habeat eamudem ex altera parte affectionis notam, quam Eq. Nam, si sint diverse, propositio concludetur per circulos vel ellipses.


DIFFICILLIMA omniumln equalitatum est quando ita miscentur Aq. et Eq. ut nihilominus homogenea quædam ab A in E afficiantur una cum datis, etc.

Bq.- A q.bis tequetur A in Ebis +- Eq.
Addatur utrimque Aq., ut A -+ E sit latus alterius ex homogeneis: ergo
Bq. - Aq. æquabitur A q. -- Eq - A in E bis.

Pro A + E sumatur E, si placet, et ex præcedentibus circulus MI (fig. 86) præstet propositum, hoc est:

MN quad. (sive Bq.) - NZ quad. (sive Aq.)
æquetur quadrato ZI (sive quadrato abs A - E).

Fiat VI æqualis NZ, sive A: ergo ZV æquatur E. In hac autem qumestione punctum V, sive extremum rectæ E, tantum inquirimus: videndun ergo et demonstrandum ad quam lineam sit punctum V.

Fig. 86.
Fermat - Livre I - Figure 86.png

Fiat MR parallela ZI et tequalis MN, et jungatur NR, adc quam producta IZ incidat ad punctum 0. Quum MIN sequetur AIR, ergo NZ æquabitur ZO; sed NZ æquatur VI: ergo tota VO toti ZI est æqualis, ideoque

quadratum MN - quadrato NZ wequatur quadrato VO.

Datur autem triangulum NMR specie: ergo quadrati NM ad quadratum NR datur ratio, ideoque et quadrati NZ ad quadratuni NO dabitur ratio. Ratio igitur

quadrati MN - quadrato NZ ad quadratum NR - quadrato NO
datur; probavimus autem
quadratum OV æquari quadrato MN - quadrato NZ:

ergo ratio quadrati NR - NO quadrato ad quadratum OV datur. Dantur autem puncta N et R, et angulus NOZ: ergo punctum V, ex superius demonstratis, est ad ellipsin.

Non absimili methodo ad superiores casus reducentur reliqui, in quibus homogenea sub A in E homogeneis partim datis, partim sub Aq. aut Eq. immiscebuntur, aut etiam sub A et E in datas ductis, cujus rei disquisitio facillima: semper enim beneficio trianguli specie noti construetur quæstio.

Breviter igitur et dilucide complexi sumus quidquid de locis planis et solidis inexplicatum veteres reliquere, constabitque deinceps ad quem locum pertinebunt casus omnes propositionis ultimæ Libri I Apollonii de locis planis[87], et omnia omnino ad hanc materiam spectantia nullo negotio detegentur.

Sed libet coronidis loco pulcherrimam hanc propositionem adjungere, cujus facilitas statim innotescet.

Si, positione datis quotcumque lineis, ab uno et eodem puncto ad singulas ducantur rectæ in datis angulis, et sint species ab omnibus ductis dato spatio æquales, punctum contingit positione datum solidum locum.

Unico exemplo fit via ad practicen: Datis duobus punctis N, M (fig. 87), inveniendus locus a quo si jungas rectas IN, IM, quadrata rectarum IN, IM ad triangulum INM datam habeant rationem.

Recta NM æquetur B, et recta ZI, ad angulos rectos, dicatur E terminus; NZ dicatur A: ergo, ex artis præceptis,

Aq.bis + Bq.- B in A bis - Eq.bis ad rectangulum B in E

habebit rationem datam et, resolvendo hypostases ex jam traditis præceptis, ita procedet constructio: NM bifariam secetur in Z; a puncto Z excitetur perpendicularis ZV, et fiat data ratio eadem quæ ZV quadruple ad NM; descripto semicirculo VOZ super VZ [88] applicetur ZO æqualis ipsi ZM, et juncta VO, centro V, intervallo VO, describatur circulus OIR, in quo sumatur

Fig. 87.
Fermat - Livre I - Figure 87.png

quodlibet punctum, ut R, et jungantur rectse RN, RM: Aio quadrata RN, RM ad triangulum RNM esse in data ratione.

Hæc inventio, si libros duos de locis planis a nobis dudum restitutos præcessisset, elegantiores sane evasissent localium theorematium constructiones: nec tamen præcocis licet et immaturi partus nos adhuc pœnitet, et informes ingenii feetus posteris non invidere scientiœ ipsius quadamtenus interest, cujus opera primo rudia et simplicia novis inventis et roborantur et augescunt. Imo et studiosorum interest latentes ingenii progressus et artem sese ipsam promoventem penitus habere perspectam.



APPENDIX AD ISAGOGEN TOPICAM,
CONTINENS SOLUTIONEM PROBLEMATUM SOLIDORUM PER LOCOS.


Patuit methodus qua lineœ locales deteguntur: inquirendum restat qua ratione problematum solidorum solutio possit ex supradictis ele gantissime derivari. Hoc ut fiat, coarctanda illa quantitatum ignotarum extra limites suos evagandi licentia; infinita enim sunt puncta quibus quæstioni propositæ satisfit in locis.

Commodissime igitur per duas œqualitates locales questio determinatur: secant quippe se invicem duse lineæ locales positione datæ, et punctum sectionis, positione datum, quæstionem ex infinito ad terminos præscriptos adigit.

Exemplis breviter et dilucide res explicatur. Proponatur

A c. -- B in A q. equari Zpl. in B.

Commode utraque squalitatis pars potest equari solido B in A in E, ut per divisionem istius solidi, illinc per A, hinc per B, res deducatur ad locos.

Quum igitur

A c. - B in A q. aequetur B in A in E,

ergo

A q. - B in A aequabitur B in E,

et erit, ut patet ex nostra methodo, extremitas ipsius E ad parabolen positione datam.

Deinde quum

Zpl. in B æquetur B in A in E,

ergo

Zpl. equabitur A in E,

et erit, ex nostra methodo, extremitas ipsius E ad hyperbolen positione datam.

Sed jam probavimus esse ad parabolen positione datam: ergo dabitur positione, et est facilis ab analysi ad synthesin regressus.

Nec dissimilis est methodus in omnibus æquationibus cubicis: constitutis enim ex una parte solidis omnibus ab A affectis, ex altera solido omnino dato vel etiam cum solidis al A vel Aq. affectis, poterit fingi equalitas superiori similis.

Proponatur exemplum in sequationibus quadratoquadraticis:

A qq. -- Bs. in A - Zq. in A q. æquetur Dpp.
Ergo
Aqq. æquabitur Dpp. - Bs. in A - Zq. in Aq.
AEquentur hæc duo homogenea Zq. in Eq.

Quum igitur

A qq. æquetur Zq. in Eq.,
ergo, per subdivisionem quadraticam,
Aq. æquabitur Zin E,
et erit extremitas E ad parabolen positione datam.

Deinde, quum

Dpp. - Bs. in A - Zq. in Aqg. quetur Zq. in Eq.,
omnibus per Zq. divisis,
-- Aq. æquabitur Eq.,
et erit, ex nostra methodo, extremitas E ad circulum positione datum. Sed est et ad parabolen positione datam: ergo datur.

Non dissimili methodo solventur quwestiones omnes quadratoquadratice: expurgabuntur enim, methodo Vietæ (Cap. I, De enmetdatione)[89], ab affectione sub cubo et, quadratoquadrato ignoto ab una parte, reliquis homogeneis ab altera constitutis, per parabolen, circulumr vel hyperbolen solvetur qusestio.

Proponatur ad exemplum inventio duarum mediarum in continua proportione.

Sint duæ rectæ, B major, D minor, inter quas due medie proportionales sunt inveniendæ. Fiet

Ac. æqualis Bq. in D,

si major mediarum ponatur A. AEquentur singula homogenea B in A in E: illinc fiet

Aq. æquale B in E,
istinc
A in E æquale B in D,
ideoque quæstio per hyperboles et paraboles intersectionem perficietur.

Exponatur enim recta qusevis positione data OYN (fig. 88), in qua detur puncturn O. Sint rectæ date B et D, inter quas duw medie proportionales inveniendæ: ponatur recta OV equari A, et recta VM, ipsi OV ad rectos angulos, æquari E.

Fig. 88.
Fermat - Livre I - Figure 88.png

Ex priori æqualitate, qua

A q. aequatur B in E,
constat per punctum 0 tanquam verticem describendam parabolen, cujus rectum latus sit B, diameter ipsi VM parallela, et applicate ipsi OV < parallels >; transibit igitur hæc parabole per punctum M.

Ex secunda æqualitate, qua

B in D æquatur A in E,
sumatur punctum ubi libet in recta OV, ut N, a quo excitetur perpendicularis NZ, et fiat rectangulum ONZ eqiiale rectangulo B in D. Excitetur etiam perpendicularis OR. Circa asymptotos RO, OV describencla hyperbole per punctuin Z, ex nostra methodo locali, dabitur positione et transilbit per punctum M. Sed parabole etiam quam supra descripsimus dabitur positione et

per idem punctum M transit: datur igitur punctum MI positione, a quo si demittatur perpendicularis MV, dabitur punctumr V, et recta OV, major duarum continue proportionalium quas quærimus.

Inventse igitur sunt duæ mediæ per intersectionem paraboles et hyperboles.

Si ad quadratoquadrata lubeat quæstionem extendere, omnia ducantur in A:

A qq. æquabitur Bq. in D in A.

AEquentur singula homogenea, juxta superiorem methodum, Bq. in Eq.; fient duse aqualitates, nempe

Aq. waq. B inE et Din A q. Eq.,

quæ singulse dabunt parabolen positione datam. Fiet igitur constructio mesolabii per intersectionem duarum parabolarum hoc casu.

Prior constructio et posterior sunt apud Eutocium in Archimedem[90], et huic methodo facile redduntur obnoxiæ.

Abeant igitur climacticæ illæ parapleroses Vietææ[91], quibus equationes quadratoquadraticas reducit ad quadraticas per medium cubicarum abs radice plana. Pari enim elegantia, facilitate et brevitate solvuntur, ut jam patuit, perinde quadratoquadraticse ac cubicæ qusestiones, nec possunt, opinor, elegantius.

Ut pateat elegantia hujus methodi, en constructionem omnnium problematum cubicorunz et quadratoquadraticorum per parabolen et circulum.

Ponatur

A qq. - Zs. in A lequari Dpp.;

ergo

A qq. tequabitur Zs. in A ât Dpp.

Fingatur quadratum abs Aq. - Bq. aut alio quovis quadrato: fiet quadratum

Aqq. + Bqq. - Bq in Aq. bis.

Addantur ad supplementumn singulis tequalitatis partibus

Bqq. - Bq. in A q. bis

tiet

Aqq. + Bqq. - Bq. in Aq. bis æquale
Bqq. - Bq. in Aq. bis + Zs. in A + Dpp.

Sit

Bq. bis æquale Nq.,
et singulis honogeneis, sive partibus aequalitatis, aequetur Nq. in Eq.: fiet illinc, per subdivisionemr quadraticam,
Aq. - Bq æquale N in E,
ideoque punctum extremum E erit ad palraolen, ex nostra methodo istinc fiet
aequale Eq.,
ideoque, ex nostra methodo, punctum extremum E erit ad circulum.

Descriptione igitur paraboles et circuli solvitur quæstio.

Hæc methodus facillime ad omnes casus tam cubicos quam quadratoquadraticos extenditur. Curandum enim tantum ut ex una parte sit Aqq., ex altera qualibet homogenea, modo non afficiantur ab Ac.; at, per expurgationem Vietaeam, omnes aequationes quadratoquadraticae ab affectione sub cubo liberantur: ergo eadem erit in omnibus methodus.

Quum autem æquationes cubicæ liberentur ab affectione sub quadrato per methodum Vieteam [92], homogeneis omnibus in A ductis, fiet aequatio quadrltoquadratica cujus nullum ex homogeneis afficietur sub cubo, ideoque solvetur per superiorem methodum.

Id solum in secunda aequalitate curandum est ut Aq. ex una parte, ex altera Eq., sub contraria affectionis nota reperiantur, quod est semper facillimum.

Sit enim in alio casu, ut omnia percurramus,

A qq. equale Zpl. in A q. - Zs. in D.

Fingatur quodvis quadratum abs Aq. - quovis quadrato dato, ut Bq., fiet

A qq. + Bqq. - Bq. in A q. bis.

Adjiciatur utrique æqualitatis parti, ad supplementum,

Bqq. - Bq. in Aq. bis

fiet

Aqq. + Bqq. - Bq. in Aq. bis aequale Bqq.- Bq. inA q. bis Z pl. in A q. -Zs. in D.

Ut igitur commoda fiat divisio, in secunda xequalitate sumenda differentia inter Bq. bis et Zpl., que sit, verbi gratia, Nq., et utraque æqualitatis pars aequanda Nq. in Eq., ut illinc fiat

Aq. - Bq. aequale N in E,

istinc,

Bqq./Nq. - Aq. - Zs. in D/Nq. æquale E q.

Advertendum deinde Bq. bis debere præstare Zplano, alioquin Aq. non afficeretur signo defectus et pro circulo inveniremus hyperbolen. Cui promptum remedium: Bq. enim ad libitum suminus, ideoque ipsius duplum majus Z plano nullius est negotii sumere. Constat autem, ex methodo locali, circulum creari semper ex vequalitate, in cujus parte altera quadratum unum ignotum afficitur signo +, in altera aliud quadratum ignotum signo -.

Si sumas ad hoc exemplum inventionem duarum mediarum, erit

Ac. aequalis Bq. in D,

et

Aqq. æquale Bq. in D in A.
Adjiciatur utrimque Bqq. - Bq. inAq. bis:
A qq. -- Bqq.- Bq. in A q. bis,equabitur Bqq. +- Bq. in D in A -- Bq. in A q. bis.

Sit

Bq. bis æquale Nq.,

et singular tequalitatis partes æquentur Nq. in Eq.: fiet illinc

A q. -Bq. equale Nin E,

ideoque extremum E erit ad parabolen; istinc fiet

Bq. I + D in A- Aq. ecquale Eq.,

ideoque extremum E erit ad circulum.

Qui hæc adverterit, frustra qusestionem mesolabii, trisectionis angularis et similes, tentabit deducere ex planis, hoc est, per rectas et circulos expedire.


ISAGOGE
AD LOCOS AD SUPERFICIEM,
Carissimo Domino De CARCAVI[93].

Isagogen ad locos planos et solidos perficit tradenda: τόπων πρὸς ἐπιϕάνειαν ἐπίδειξις. Hanc veteres indicarunt tanturn, sed neque generalibus praeceptis docuerunt, neque aliquo saltem nobili exemplo adumbrarunt, nisi in iis forsitan sepultæ jamdiu Geometriae monumentis deliteant, in quibus tot praeclara veterum inventa cum blattis et tineis colluctantur dudum aut omnino evanuerunt.

Generalem tamen huic materiæ methodum non defuturam brevissima dissertatio patefaciet: pluribus enim singulas, quas summatim tradidimus huc usque in Geometricis, inventiones aliquando, si suppetet otium; illustrabimus.

Quæ igitur in lineis topicis symptomata quæsivimus et denonstravimus, eademi in superficiebus planis, sphalricis, conicis, cylindricis et conoideon aut sphlroideon quorumlibet inquirere nihil vetat, si præmittantur lemmata singulorum hujusmodi locorum constitutiva[94]. Proponatur ergo pro locis ad superficiem planam lemma sequens:

1. Si supeificies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communis sectio omnium in infinitum secantium planorum < et dictce superficiei> sit linea recta, superficies primum posita erit planum.

Pro locis ad superficiem sphericam

2. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et cornrmunis sectio planorum omnium secantium et dictce superficiei sit circilus, superficies illa erit splcera.

Pro locis ad superficiem sphleroidis:

3. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et cornmunis sectio omnium secantium planorum et dictce supeificiei sit quandoque circulus, quandoque ellipsis, et nihil practerea, superficies illa erit splcerois.

Pro locis ad conoides parabolicos aut hyperbolicos

4. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communes sectiones (ut supra) sint quandoque circulus, quandoque ellipsis, quandoque parabole aut 1hyperbole, et nihil prceterea, superficies primum posita erit conois parabolicus aut hyperbolicus.

Pro locis ad conicas superficies:

5. Si superfcies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communes sectiones sint quandoque linece rectce, quandoque circuli, quandoque ellipses, quandoque parabolce nut 1iyperbolce, et nihil prceterea, superficies prrium posita erit conus.

Pro locis ad superficiem cylindricam

6. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communes sectiones sint quandoque line rect rec, quandoque circuli, quandoque ellipses, et nihil prceterea, superficiesprimum posita erit cylindrus.

Quia tamen sSepissime occurrunt loci in quibus sectiones sunt linea rectæ, parabolaw aut hyperbolœ et nihil præterea (quod ipsa statim quæs tionis analysis indicabit), conveniens < est > et necessaria omnino huic disputationi nova cylindrorum constitutio, in quibus bases inter se parallelae sint parabolae aut hyperbolae, et latera, bases hujusmodi connectentia, sint lineae rectae, inter se parallelae, ut accidit in cylindris communibus. Ita enim fiet ut nulla omnino cylindrorum hlujusmodi per planum sectio det circulos aut ellipses, eruntque aut scaleni aut recti ad imitationem communium, prout analysis topica propositte qusestionis exposcet.

Hos autem cylindros problemata ipsa topica necessarios innuunt quod addendum, ne videatur otiosa hujusmodi σχήματος expositio et inventio.

Imo et priusquam ulterius pergas, non omnino satisfacit huic operi Archimedea sphaeroideon et conoideon constructio [95]: scalenos enim, perinde ac rectos, quæstiones ipsæ repræsentabunt.

Ex præmissis sequuntur pulcherrimi primo ad superficiem sphaericam loci:

Si a quotcumque punctis datis in quibuslibet planis ad puncturn utnum inflectantur rectae, et sint quadrata quce ab omnibus fiunt dato spatio aequalia, punctum ad inflexionem erit ad superficiem sphaericam sive sphæram positione datam. - Sphaeram enim vocare possumus, ad imitationem Euclidis et veterum Geometrarum qui κύκλον non ipsius circuli τὸ ἐμϐαδόν, sed circumferentiam ipsam appellarunt: superficiem sane hujusmodi punctum quampiam describet.

Exponatur quodvis planum positione datum et in illo, juxta praeceptalocorum planorum et solidorum alias tradita, quaeratur locus ad quem a punctis datis inflexarum quadrata æquentur spatio dato.

Hoc autem est facile: sit factum et locus in piano exposito sit curva NIP (fig. 89). In illud planum, a punctis A, E, C datis ex hypothesi, demittantur normales AB, EF, CD. Quum igitur planum hoc sit positione datum, dabuntur in illud a punctis A, E, C datis demissae normales AB, EF, CD; dabuntur et puncta B, F, D in quibus dictw normales piano exposito occurrunt. Sumatur in quæsita linea locali NIP quodvis punctum, ut I, et jungantur recte AI, BI, El, IF, CI, DI.

Quum igitur a punctis datis A, C, E ad punctum I lineæ localis pertingant rectæ AI, El, CI, earum quadrata comprehendunt spatium datum. Si igitur ab eis quadratis auferas normalium AB, EF, CD quadrata, quæ jam probavimus data esse, supererunt quadrata BI, FI, DI, quorum summa proinde data est. Dantur etiam in exposito plano puncta B, F, D, ut similiter probatum est. Quum itaque a punctis B, F, D, datis in eoder piano, inflectantur rectæ ad locum in eodem etiam plano, et sint quadrata inflexarum, ut BI, FI, DI, æqualia spatio dato, patebit, ex Apolloniano [96] pridem restituto theoremate, locum NIP esse circulum positione datum, similisque omnino analysis in quovis alio piano exposito locum habebit.

Fig. 89.
Fermat - Livre I - Figure 89.png

Quum igiturI plana omnia exposita dent circulos locales in infinitum, ergo superficies primum quesita, ex vi secundi lemmatis, erit sphæra.

Quum enim superficiem localem proposito satisfacientem quæramus, quid vetat imaginari superficiem quæsitam piano exposito sectam? At sectio circulus esse duntaxat potest; quum enim circulus, ut jam demonstravimus, satisfaciat loco cui etiam superficies integra satisfacere debet, patet circulum in dicta superficie locali necessario collocandum. Constat igitur superficiem localerm in specie proposita, dum planis secatur, dare infinitos circulos ac proinde esse sphæram.

Eadem ratione demonstrabuntur et sequentes loci:

Si a quotcumque punctis in uno vel diversis planis ad punctum unum inflectantur rectae, et quadrata, quce ab aliquibus inflexarum Jiunt, ad quadrata quae a reliquis, sint vel in data ratione vel in data differentia vel dato majora aut minora quam in ratione, punctum ad injfexionem erit ad spharam positione datam.

Non dissimili artilicio pulcherrima in infinitum superficiei sphæricæ symptomata detegentur.

Si sint quotlibet plana positione data, et a puncto quodam in data plana demittantur rectae in angulis datis, quarum quadrata omnia simul sumpta aequentur spatio dato, punctum erit ad superficiem sphceroidis positione dati.

Fiat analysis et exponatur, ut docet methodus, planum quodlibet positione datum, in quo (juxta prxacepta locorum planorum et solidorum quxe in uno duntaxat piano olim expendebamus) queratur linea localis a cujus puncto quolibet in plana data demissarum in angulis datis quadrata æquentur spatio dato.

Facillima statim evadet constructio: quum enim planum expositum detur positione non secus ac plana data, ergo et communes plani expositi et datorum sectiones similiter dantur. Commodam igitur in analyticis denominationem accipiunt rectas a quovis puncto plani expositi in plana data demiss s. Harurn quadrata si jungas et sques spatio dato, exhibebit analysis in piano exposito circulos tantum aut ellipses locales, neque in quovis alio piano positione dato alium methodus locum poterit exhibere, ut ipse analyseos progressus indicabit.

Patet itaque, ex tertio lemmate, locum qutesitum, quum circulos det tantum aut ellipses, esse sphæroiden.

Si quadratorunm hujusmodi pars qucevis assignata ad reliquam sit in data differentia vel in data ratione vel dato major aut minor quam in ratione, fient superficies aut sphceroidis aut conoidis aut conicce aut cylindricce etc., prout positio datorumi planorum expostulabit, idque statim solerti analyseos filo deprehendetur. Verbi gratia, si sint in data ratione, fient superficies, ut plurimum, conoideon; si vero communes sectiones planorum datorum ad unum punctum concurrant, fient superficies mere conicae; et, si sectiones planorum datorum sint inter se parallela, fient superficies mere cylindricæ, hoc est, vel nostrorum vel communium cylindrorum.

Usus omnia statim patefaciet: generalia quippe summatim tradenda sunt, nec frequentibus nimis exemplis methodi perspicuitas obruenda.

Ultimum piano locali destinavimus exemplum, quod primam fortasse sedemr debuerat occupare.

Si sint quotlibet plana positione data, et apuncto quovis in dicta plana demittantur rectac in datis angulis, et sit rectarum omniumr demissarum summa cequalis rectce datce, punctum erit adplanum positione datum.

Secentur quippe, ex superiori methodo, plana data a piano quolibet positione dato, et in eo, juxta methodum locorum planorum jam traditam, quæratur locus propositioni satisfaciens. Erit ille linea recta, ut constabit ex analysi, et in quibuscumque per plana sectionibus idem continget. Patet igitur, ex primo lemmate, locum qutsitum esse superficiem planam.

Si hujusmodi rectarum pars qucevis assignata ad reliquam sit in data differentia vel ratione, vel datd major quanz in ratione, punctum erit siniliter ad superficiem planam positione datam.

Imo et in superioribus qunestionibus, si plana essent inter se parallela, superficies localis esset plana, quod vix erat ut admoneremus.

Coronidis loco addere libet et huic etiam aptare operi insigne illud, de loco ad tres < et > quatuor lineas Apollonii [97], ἐπιχείρημα.

Si sint tria plana positione data, et a puncto quodcam in dicta plana demittantur rectæ in datis angulis, et sit quod fit a duabus ductis rectangulum ad quadratum reliquæ in ratione data, punctum erit vel ad planum vel ad sphæram vel ad sphæroiden vel ad conoides vel etiam ad superficies conicam aut cylindricam (veterem aut novam), prout plana data positionem sortita fuerint.

Nec absimilis in quatuor planis inventio, ut cuilibet obvium.

Casus, determinationes, infinita problemata localia seu mavis theoremata, quæ brevitatis causa omisimus, lemmatum præmissorum demonstrationes, et reliqua quæ diligentius forsan fuerant explicanda, sedulus et accuratus Geometra, cui hæc venerint in manus, facillime supplebit, neque latebit deinceps arduæ, ut videbatur, materiæ proclivis intelligentia.

Tolosæ, 6 januarii 1643.

Dissertation tripartie[modifier]


DE SOLUTIONE
PROBLEMATUM GEOMETRICORUM
PER CURVAS SIMPLICISSIMAS
ET UNICUIQUE PROBLEMATUM GENERI PROPRIE CONVENIENTES,
DISSERTATIO TRIPARTITA.

PARS I.

Ut constet Cartesium in Geometricis etiam hominem esse, quod paradoxum merito forsan quis dixerit, videant subtiliores Cartesiani an mendum contineat linearum curvarum in certas classes aut gradus Cartesiana distributio, et an probabilior et commodior secundum veras Analyseos Geometricæ leges debeat assignari. Quod sine dispendio famæ tanti et tam celebris viri exsecuturos nos censemus, quum Cartesii et Cartesianorum omnium intersit veritatem, cujus fautores se non immerito jactant acerrimos, licet ipsorum placitis aliquantisper adversetur, omnibus aut (si generale hoc nimis) Geometris saltem et Analystis fieri manifestam.

Problematum geometricorum in certas classes distributio, non solum veteribus, sed et recentioribus necessaria visa est Analystis. Proponatur videlicet

A + D aequari B,
aut
A quadratum + B in A aequari Z plano.

Hae duae aequationes quarum prior radicem aut latus ignotum suis terminis non excedit, posterior autem lateris ignoti secundam potestatem sive quadratum continet, primum et simplicius problematum genus constituunt. Ea vero sunt problemata quse plana Geometris dici consueverunt.

Secundum problematum genus illud est in quo quantitas ignota ad tertiam vel ad quartain potestatem, hoc est ad cubum vel ad quadratoquadratum, pertingit. Ratio autem cur duse potestates proximæ, licet diversi gradus sint, unum tamen tantum constituant problematum genus, hæc est, quod æquationes quadratica reducuntur ad simplices aut laterales facili, quæ et veteribus et novis cognita est, methodo, ideoque per regulam et circinum nullo negotio resolvuntur.AEquationes autem quarti gradus sive quadratoquadratica reducuntur ad œquationes tertii gradus sive cubicas beneficio novæ, quam Vieta et Cartesius prodiderunt, methodi. Huic enim operi Vieta subtilem illam et sibi peculiarem climacticam paraplerosin destinavit, ut apud eum videre est cap. 6 libelli De emendatione æquationum, nec absimili in pari casu usus est artificio Cartesius[98], licet aliis verbis illud enunciet.

Similiter quoque cubocubicam aequationem ad quadratocubicam sive æquationem sexti gradus ad equationem quinti deprimet, licet aliquanto difficilius, Vietaeus aut Cartesianus Analysta[99]. Ex eo autem quod in prœdictis casibus, in quibus una tantum ignota quantitas invenitur, æquationes graduum parium ad wequationes graduum imparium proxime minorum deprimuntur, idem omnino contingere in sequationibus in quibus duse ignotas quantitates reperiuntur confidenter pronunciavit Cartesius pagina 323 Geometrie lingua gallicai a ipso conscriptæ[100]. Hujusmodi vero sunt sequationes olmnes linearum curvarum constitutive: in his enim non solum prcedicta reductio vel depressio non succedet, ut Cartesius affirmabat, sed earn omnino impossibilem Analysta experientur. Proponatur, verbi gratia, equatio paraboles quadratoquadraticæ constitutiva, in qua

A quadratoquadratum aequatur Z solido in E;

qua ratione æquatio hsec quarti gradus deprimetur ad tertium? quo utentur remedio climacticce parapleroseos artifices?

Quantitatibus autem ignotis characteres vocalium juxta Vietam assignamus: haec enim levia et prorsus arbitraria cur immutarit Cartesius [101], non video.

Ut autem pateat disquisitionem hanc aut animadversionem non esse otiosam et inutilem, suppetit methodus universalis qua problemata qusecumque ad certum curvarum gradum reducimus.

Proponatur namque problema in quo quantitas ignota ad tertiam vel ad quartam potestatem ascendat, illud per sectiones conicas quæ sunt secundi gradus expediemus; sed si sequatio ad quintam vel ad sextam potestatem ascendat, tune solutioner per curvas tertii gradus possumus exhibere; si æquatio ad septimam vel ad octavam potestatem ascendat, solutionem per curvas quarti gradus exhibebimus, et sic uniformi in infinitum methodo. Unde evidens fit non hic de nomine tantum, sed de re agitari quwstionem.

Proponatur in exemplum

A cub. cub. + B pl. sol. in A aequari Z sol. sol.,

aut, si velis,

A qu. cub. - B pl. pl. in A æquari Z pl. sol.;
in utroque hoc casu problema solvemus per curvas tertii gradus seu

cubicas, quod et fecit Cartesius [102]. Sed si proponatur

A qu.cub.cub. + B pl.pl.sol. in A aequari Z pl.sol.sol.,
aut
A qu.qu.cub. + B sol.sol. in A aequari Z pl.pl.sol.,
tunc problema solvemus per curvas quarti gradus seu quadratoquadraticas, quod nec fecit nec fieri posse existimavit Cartesius [103], quum in

hoc casu ad curvas quinti vel sexti gradus necessario recurrendum crediderit. Puriorem certe Geometriam offendit qui ad solutionem cujusvis problematis curvas compositas nimis et graduum elatiorum assumit, omissis propriis et simplicioribus, quum jam swepe et a Pappo [104] et a recentioribus determinatum sit non leve in Geometria peccatum esse quando problema ex improprio solvitur genere. Quod ne accidat, corrigendus est Cartesius et singula problemata suis, hoc est propriis et naturalibus, sedibus restituenda.

Sed et pag. 322 [105] idem Cartesius diserte asserit curvas ex intersectione regulæ et alterius aut recta aut curvæ oriundas esse semper ela tioris gradus aut generis, quam est recta aut curva in figura pag. 321 (fig. 90), ex qua derivantur. Intelligatur, si placet, in locum ipsius rectæ CNK, in dicta figura pag. 32, substitui parabolen cubicam cujus vertex sit puncturm K et axis indefinitus KLBA, et cætera construantur

Fig. 90.
Fermat - Livre I - Figure 90.png
ad mentem Cartesii. Patet equationem dictæ parabolœ cubicæ constitutivam esse sequentem
A cub. ex una parte, et B quad. in E ex altera.
Experiere auter n statim curvam EC ex hujusmodi positione provenientem ad c equationem tantum quadratoquadraticam ascendere: ergo curva quadratoquadratica est elatioris gradus aut generis quam curva cubica, secundumn predictam Cartesii definitionem, quum tamen contrarium pag. 323[106] expresse idem Cartesius definierit, curvam nempe quadratoquadraticam et curvam cubicam esse unius et ejusdem gradus aut generis.

Methodum autem nostram qua omnia in infinitum problemata, ea nempe quorum æquationes tertiam et quartam potestatem continent, ad secundum curvarum gradum: quæ quintam et sextam potestatem, ad tertium: que septimam et octavam, ad quarturn reducimus, et eo in infinitum ordine, exhibere non differemus quotiescumque id voluerint quibus piaculum videtur errores quoscumque vel etiam Cartesianos in prwejudicium veritatis dissimulare.

Nec moveat problemata quæ ad secundam potestatem ascendunt et quæ ejusdem cum problematis primi gradus sint speciei et plana dicuntur, circulis, hoc est curvis secundi gradus, indigere; suum enim et proprium huic objectioni responsum non deerit, quum methodulm nostram generaler omnia omnino problemata per curvas convenientes absolventem proferemus.

DISSERTATIONIS
PARS II.

Ut datae publice fidei satisfiat, methodum generalem ad solvenda quæcumque problemata per curvas proprias et convenientes exhibemus. Prædictum est jam in prima Dissertationis parte problemata duorum graduum inter se proximorum, tertii verbi gratia et quarti, quinti et sexti, septimi et octavi, noni et decimi, etc., unicum tantum curvarum gradum respicere: problemata nempe quSe ad tertiam vel quartam potestatem ascendunt, solvi per curvas secundi gradus; ea vero quæ ad quintam vel ad sextam potestatem ascendunt, solvi per curvas tertii gradus; etc. in infinitum.

Modus autem operandi talis est: Data quwevis aquatio, in qua unica tantum reperitur ignota quantitas, reducatur primo ad gradum elatiorem sive parem; deinde ab adfectione sub latere omnino liberetur. Quo peracto remanebit xequatio inter quantitatem cognitam vel homogeneum datum ex una parte, et aliquod homogeneum incognitum, cujus singula membra a quadrato lateris incogniti adficientur, ex altera. Homogeneum istud incognitum æquetur quadrato cujus latus effingendum eo artificio ut, in wequatione ipsius quadrati cum homogeneo incognito, elatiores quantum fieri poterit lateris ignoti gradus evanescant. Cavendum etiam ut singula lateris quadratici sic efflngendi homogenea a radice vel latere ignoto adficiantur, et ultimum tandem ex illis a secunda etiam radice incognita adficiatur. Orientur tandem beneficio divisionis simplicis ex una parte, et extractionis lateris quadrati ex altera, duse equationes linearum curvarum problemati dato convenientiumr constitutive, et earum intersectio solutionem. problematis exhibebit, ea qua dudum usi sumus in solutione problematum per locos methodo.

Exemplum proponatur, si placet,

A cub. cub. + B in A qu. cub. + Z pl. in A qu. qu.
+ D sol. in A cub. + M pl. pl. in A qu. æequari N sol. sol.;
problemata quippe omnia quæ ad quintam vel ad sextam potestatem ascendunt ad hanc formam reduci possunt. Nihil enim hoc aliud est quam vel quintam potestatem ad sextam evehere vel ear deinde al ultima adfectione sub A vel latere liberare, quæ omnia et Vieta [107] et Cartesius [108] abunde docuerunt.

Effingatur itaque quadratum a latere

A cub. + B in A in E

et æquetur priori primurn illius æquationis parti. Fiet itaque

Acub. cub. + B in A qu. qu. in E bis + B qu. in A qu. in E qu.
aequale Acub. cub. -- B in A qu. cub. -- Zpl. in Aqu. qu.
+ D sol. in A cub. -- Mpl. p1. in Aqu.

et, deleto utrimque Acub. cub. et reliquis per Aqu. divisis, quod ex cautione adjecta methodo semper liberum est, remanebit tequatio inter

B in A cub. + Z pl. in A qu. + D sol. in A + M pl.pl. ex una parte,
et
B in A qu. in E bis + B qu. in E qu. ex altera.

Haec autem aequatio, ut patet, dat curvam tertii gradus.

Quia autem, ut constituatur duplicata equalitas et commode ad solutionem problematis deveniatur, aequandum etiam est quadratum a latere A cub. + B in A in E posteriori prioris æquationis parti, hoc est N sol.sol., ergo, per extractionema lateris quadrati, latus quadraticum N sol.sol., quod facile datur et dicatur, si placet, N sol., aequabitur

A cub. + B in A in E,
quod est latus quadrati priori sequationis primum data parti aequalis. Habemus igitur hanc secundam aequationem
inter N sol. et A cub. + B in A in E,

quae dabit pariter curvam tertii gradus. Quis deinde non videt intersectionem, duarum curvarum jam inventarum dare valorem ipsius A, hoc est problematis propositi solutionem?

Si problema ad septimam vel ad octavam potestatem ascendat, statuetur primo sub forma octavæ potestatis, deinde ab adfectione sub latere omnino liberabitur. Hoc peracto, esto itaque, post legitimam ex jam præscripta methodo reductionem,

A qu.cub.cub. + B in A qu.qu.cub. - D pl. in A cub.cub.
+ N sol. in A qu.cub. + M pl.pl. in A qu.qu.
+ G pl.sol. in A cub. + R sol.sol. in A qu. æquale Z pl.sol.sol.

Effingetur quadratum cuilibet istius equationis parti æquandum a latere

A qu.qu. + B ½ in A cub. + D pl. in A in E.

Secundum autem hujus lateris quadratici homogeneum eo artificio effinximus ut duse elatiores lateris vel radicis A potestates in aequatione omnino evanescant, quod perfacile est. Quadratum igitur illius lateris si aeques priori tequationis propositæ parti, deletis communibus et reliquis per A qu. divisis, orietur æquatio curvse quarti gradus constitutiva ex una parte.

Deinde, post extractionem lateris quadrati ex altera æquationis primumn propositæ parte, latus Zpl.sol. sol., quod Ppl.pl. dicere licet, aequabitur

A qu. qu. + B - in A cub. + D pl. in A in E;

hæc vero equatio dabit etiam aliam quarti gradus curvam, et harum duarum curvarum intersectio dabit valorem A, hoc est problematis propositi solutionem.

Notandum porro in problematis quwe ad nonam aut decimam potestatem ascendunt, ita effingendum latus quadrati ut in eo sint quatuor ad minus homogenea quorum beneficio evanescant tres elatiores lateris ignoti gradus; in problematis autem quse ad undecimam aut duodecimam potestatem ascendunt, latus effingendi quadrati constare debere quinque ad minus homogeneis, ita formandis ut eorum beneficio quatuor elatiores lateris ignoti gradus evanescant. Perpetua autem et facillima metlodo, hanc lateris quadrati effingendi formam per solam et simplicem divisionem vel applicationem, ut verbis geometricis et in re pure geometrica utamur, expediri Analystas experiendo deprehendent, et characterum + et - variatio nullum methodo prxejudicium est allatura.

Quum autem problemata qune ad secundam potestatem ascendunt per extractionem lateris quadrati reducantur ad primam, ut notum est, per lineas primi gradus, hoc est rectas, expedientur, et vana evadet quam in priore Dissertationis istius parte metueramus objectio, quum extractionem radicis quadratice tanquam notam et obviam in quolibet problematum genere ex nostra methodo usurpandam supposuerimus.

Non latebit igitur deinceps accurata et simplicissima problematum geometricorum per locos proprios a curvis variæ, prout expedit, speciei oriundos, resolutio et constructio. Variare autem curvas salvo semper et retento naturali problematis genere, liberum erit Analystis, et semper problemata octavi aut septimi gradus per curvas quarti, problenata decimi aut noni per curvas quinti, problemata duodecimi et undecimi per curvas sexti et sic uniformi in infinitum methodo expedientur; quum contra per Cartesium problemata octavi aut septimi gradus curvis quinti aut sexti indigeant, problemata decimi aut noni curvis septimi aut octavi, problemata duodecimi aut undecimi curvis noni aut decimi et sic in infinitum. Quod quam longe a simplicitate et veritate geometrica absit, videant ipsi Cartesiani, aut, si ita visum fuerit, contradicant.

Veritatem enim tantum inquirimus et, si in scriptis tanti viri alicubi delitescat, earn libenti statim animo et amplectemur et agnoscemus. Tanta me sane, ut verbis alienis utar, hujus portentosissimi ingenii incessit admiratio, ut pluris faciam Cartesium errantem quam multos

DISSERTATIONIS
PARS III.

Itec ad generalenm doctrinam fortasse sufficiant: quæ enim problemata Cartesius per gradus curvarum elatiores determinat expedienda, ea nos generali methodo ad curvarum gradum duplo minorem feliciter depressimus. Quod ita tamen intelligi debere pronunciamus, ut id saltern auxilium omnes omnino qusestiones admittant: majus quippe infiniti casus speciales non recusant. Juvat itaque ulterius exspatiari et Analysin Cartesianam non solum ad terminos duplo minores, sed ad quadruplo, sextuplo, decuplo, centuplo, etc. in infinitum aliquando minores deprimere, ut tanto magis error Cartesianus detegatur et proprium statim ab Analysi remedium consequatur: potestates autem per numeros ipsarum exponentes designare in gradibus elatioribus, deinceps commodius erit.

Proponatur inwenire sex continue proportionales inter duas datas.

Sint duæ date B et D; prima inveniendarum ponatur A: fiet

æquatio inter et .

Haec aequatio secundum Cartesium per curvas quinti tantur aut sexti gradus solvi potest. Nos eam per curvas quarti gradus in secunda hujus Dissertationis parte, sicut reliquas etiam ejusdem nature, generaliter resolvinus. Sed nihil vetat quominus earn per curvas tertii gradus resolvamus.

AEquentur quippe singuli -equationis termini 'homogeneo sequenti A4E2D: æquabitur ex una parte A7 et, divisis omnibus per A4, manebit æquatio inter E2D et A3 quae dat, ut patet, curvam tertii gradus. Ex altera vero parte A4E2D æquabitur B6D, et, omnibus per D divisis et reliquis subquadratice depressis, manebit aequatio inter A2E et B3 quae dabit etiam curvam tertii gradus. Harum autem duarum curvarum intersectio dabit valorem A, hoc est problematis propositi per curvas tertii gradus solutionem.

Sed proponatur inter duas datas invenire duodecim medias proportionales continue,

aequatio erit inter A13 et B12D;
eam autem Cartesius tantum per curvas undecimi aut duodecimi gradus solvi posse existimavit. Nos generaliter, ut similes quasvis ejusdem gradus, earn in secunda hujus Dissertationis parte per curvas septimi gradus solvi posse docuimus. Sed ulterius inquirenti occurrit statim elegans per curvas quinti gradus solutio, imo et datur per curvas quarti, ut infra videre est.

AEquentur primum singula hujus equationis membra homogeneo A8E4D, ex una parte nempe A13, et ex altera B12D. In prima, omnibus per A8 divisis, fiet æquatio inter A5 et E4D quae dat curvam quinti gradus, ut patet. In secunda, omnibus per D divisis et per quartam potestatem sive quadratoquadratum depressis, remanebit aequatio inter A2E et B3, quae dat curvam tertii gradus. Per duas itaque curvas quarum una est quinti gradus, altera tertii, problema propositum expedimus. Sed idem etiam problema facilius, hoc est per curvas quarti gradcus, construere possumus: equientur singula sequationis membra A9E'D. Fiet illinc, post divisionem per A9, A4 aequale E3D, quæ equatio dat curvam quarti gradus; istinc vero, omnibus per D divisis et deinde per tertiam potestatem sive cubum depressis, fiet wequatio inter A3E et B4 que dabit etiam curvam quarti gradus. Problema itaque per duas quarti gradus curvas facillime construimus.

Qui haec exempla viderit, non poterit dubitare quin inveniio triginta mediarum continue proportionalium per curvas septimi, imo et per curvas sexti possit expediri. Aequatio

nempe inter A31 et B30D

communi termino A24E6D aequabitur, unde problema per curvas septimi gradus expedietur; aut communi termino A25E5D aequabitur, unde manabit solutio per curvas sexti gradus.

Sic inventio 72 mediarum solvetur per curvas noni gradus, (t patet ex prwmissis posse assignari rationem, inter gradum problematis et gradum curvarum illud solventis, omni data ratione majorem. Quod quum viderint Cartesiani, non dubito quin necessitati et admonitionis et emendationis nostrwe subscribant.

Advertendum autem immutandam scepe esse ipsam requationis formam, ut commodam per partes aliquotas divisionem homogenea ipsa recipiant, quod semel monuisse sufficiet.

Proponatur videlicet inventio decem mediarum et sit

aequatio inter A11 et B10D.

Ducatur quodlibet ex homogeneis in rectam datam, verbi gratia Z, ut sit

aequatio inter A11 et B10DZ;

ita enim ad numerum 12 pervenietur cujus ope facillima per partes aliquotas evadet reductio aut depressio. AEqiuetur videlicet quodlibet ex homogeneis AE-: illinc orietur

aequatio inter A3Z et El,

qu' dat curvam quarti gradus; istinc vero, beneficio extractionis lateris quadratoquadratici, inter A^2E et latus quadratoquadraticurn homogenei dati B10DZ, quod, si placet, sit N solidum, quæ æquatio dat curvam tertii gradus, atque ita invenientur decem mediæ per duas curvas quarum altera est quarti, altera vero tertii gradus quod per levem illam prioris aequationis immutationeim facillime sumus exsecuti.

Nec moror infinita alia quæ Analystis ars ipsa abunde suppeditabit compendia; hoc tantum adjungo ea omnia qu' superius diximus non solum locum habere, quum potestas ignota nullum aliud sub gradibus inferioribus adfectum continet hoinogeneum, sed etiam si aliqua ex homogeneis a gradibus potestati proximioribus adficiantur: ut, si

A13 + NA12 + MA11 + RA10 aequetur B12D,

solutio hujus quæstionis perinde facilis reddetur, communi adsumpto aequationis homogeneo quo supra usi sumus, nempe A9E3D, ac si invenienda duodecim mediwa inter duas datas proponerentur. Simili autem in wequationibus ab altioribus gradibus adfectis utemur artific1io.

Notandum tamen, in waquationibus in quibus una tantum reperitur ignota quantitas ex una parte, exponentem potestatis illius puræ debere esse numerum primiunl ut ab eo gradus illius problematis designetur. Si enim exponens ille sit numerus compositus, problema ad gradus numerorum qui eum metiuntur statim devolvetur. Quwerantur, exempli gratia, octo media continue proportionales inter duas datas, fiet

aequatio inter A9 et B8D,

quo casu, quum numerus 9 sit compositus, a numero 3 bis mensuratus, inferetur problema esse tertii gradus: quod quidem ita se habet. Si enim inter duas datas reperiantur duæ mediwe, et rursus inter primam et secundam, secundam et tertiam, tertiam et quartam reperiantur similiter due medie, fient octo mediæ inter duas primum propositas lineas.

Si querantur quatuordecim medile inter duas datas, sequatio, quae est inter A'5 et BD, indicabit problema devolvi ad alia duo problemata, quorum unum est tertii gradus, alterum quinti.

Unde apparet exponentem puræ potestatis debere esse numerum primum ut vere gradum problematis exprimat et designet. Quum autem numeros a binario quadratice in se ductos et unitate auclos esse semper numeros primos [109] apud me constet et jamcludum Analystis illius theorematis veritas fuerit significata, nempe esse primos 3, 5, 17, 257, 65 537, etc. in infinitum, nullo negotio inde derivabitur methodus cujus beneficio problema construemus cujus gradus ad gradum curvarum ipsius solutioni inservientium rationem habeat data quavis majoremn.

Proponatur namque inter duas datas invenire 256 medias continue proportionales: fiet

aequatio inter A257 et B256D,

et singuli termini aequabuntur sequenti A240E16D, et mox quaestio per curvas 17i gradus expedietur.

Si quærantur mediæ 65 536, quatstio per curvas 257i gradus solvetur, et sic in infinitum gradus majoris numeri deprimetur ad gradum numeri proxime minoris. Inter duos autem proximos rationem in infinitum augeri quis non videt?

An vero errasse Cartesium ulterius Cartesiani dissinmulabunt? ego sane ἐπέχω et quid statuendum hac de re sit sollicitus et tacitus exspecto.



I.
METHODUS
AD
DISQUIRENDAM MAXIMAM ET MINIMAM [110]


Omnis de inventione maximæ et minimæ doctrina duabus positionibus in notis innititur et hac unica præceptione:

Statuatur quilibet quæstionis terminus esse A (sive planum, sive solidum aut longitudo, prout proposito satisfieri par est) et, inventa maxima aut minima in terminis sub A, gradu < aut gradibus >, ut libet, involutis, ponatur rursus idem qui prius terminus esse A + E, iterumque inveniatur maxima aut minima in terminis sub A et E gradibus, ut libet, cœfficientibus. Adæquentur, ut loquitur Diophantus[111], duo homogenea maximæ aut minimæ aqualia et, demptis communibus (quo peracto, homogenea omnia ex parte alterutra ab E vel ipsius gradibus afficiuntur), applicentur omnia ad E vel ad elatiorem ipsius gradum, donec aliquod ex homogeneis, ex parte utravis, affectione sub E omnino liberetur. Elidantur deinde utrimque homogenea sub E aut < sub > ipsius gradibus quomodolibet involuta, et reliqua equentur, aut, si ex una parte nihil superest, æquentur sane, quod eodem recidit, negata affirmatis. Resolutio ultimæ istius equalitatis dabit valorem A, quai cognita, maxima aut minima ex repetitis prioris resolutionis vestigiis innotescet.

Exemplum subjicimus: Sit recta AC (fig. 91 ) ita dividenda in E ut rectangulum AEC sit maximum.

Fig. 91.
Fermat - Livre I - Figure 91.png

Recta AC dicatur B. Ponatur pars altera ipsius B esse A: ergo reliqua erit B - A, et rectangulum sub segmentis erit B in A - Aq., quod debet inveniri maximum. Ponatur rursus pars altera ipsius B esse A - E: ergo reliqua erit B - A - E, et rectanulum sub segmentis erit

B in A - Aq. + B in E - A in E bis - Eq.,

quod debet adœquari superiori rectangulo

Bin A - Aq.
Demptis comrmunibus,
B in E adæquabitur A in E bis + Eq.,
et, omnibus per E divisis,
B adaquabitur A bis + E.
Elidatur E,
B æquabitur A bis.
Igitur B bifariam est dividenda ad solutionern propositi; nec potest generalior dari methodus.


DE TANGENTIBUS LINEARUM CURVARUM.

Ad superiorem methodum inventionem tangentium ad data puncta in lineis quibuscumque curvis reducimus. Sit data, verbi gratia, parabole BDN (fig. 92), cujus vertex D, diameter DC, et punctum in ea datum B, ad quod ducenda est recta BE tangens parabolen et in puncto E cum diametro concurrens.

Fig. 92.
Fermat - Livre I - Figure 92.png

Ergo, sumendo quodlibet punctum in recta BE, et ab eo ducendo ordinatam 01, a puncto autem B ordinatam BC, major erit proportio

CD ad DI quam quadrati BC ad quadratum 01,
quia punctum 0 est extra parabolen; sed, propter similitudinem triangulorum,
ut BC quadratum ad 01 quadratlur, ita CE quadratum ad IE quadratum:
major igitur erit proportio
CD ad DI quam quadrati CE ad quadratum IE.

Quum autem punctum B detur, datu applicata BC, r alica B ergo punctum C; datur etiam CD: sit igitur CD æqualis D date. Ponatur CE esse A; ponatur CI esse E.

Ergo

D ad D - E habehit majorem proportionem
quam Aq. ad Aq. Eq. - A in E bis.

Et, ducendo inter se medias et extremas,

DinAq. - DinEq.-D inAinE bis majus erit quam DinAq.-Aq. in E.
Adæquentur igitur juxta superiorem methodum: demptis itaque communibus,
D in Eq. - D in A in E bis adæquabitur - Aq. in E,
aut, quod idem est,
D in Eq. -+- Aq. in E adtequabitur D in A in E bis.

Omnia dividantur per E: ergo

D in E -+ Aq. adequabitur D in A bis.

Elidatur D in E: ergo

Aq. tequabitur D in A bis,

ideoque A eqluabitur D bis. Ergo CE probavimus duplam ipsius CD, quod quidem ita se habet.

Nec unquam fallit methodus; imo ad plerasque quæstiones pulcherrimas potest extendi; ejus enim beneficio centra gravitatis[112] in figuris lineis curvis et rectis comprehensis et in solidis invenimus, et multa alia, de quibus fortasse alias, si otium suppetat. De quadraturis spatiorum sub lineis curvis et rectis contentorum, imo et de proportionibus solidorum ab eis ortorum ad conos ejusdem basis et altitudinis, fuse jam cum Domino de Roberval egimus [113].


II.
CENTRUM GRAYITATIS PARABOLICI CONOIDIS,
EX EADES MIETHODO[114].

Esto parabolicus conois CBAV (fig. 93), cujus axis IA, basis circulus circa diametrum CIV. Quseritur centrum gravitatis perpetua et con stanti, qua maximam et minimam et tangentes linearum curvarum investigavimus, methodo, ut novis exemplis et novo usu, eoque illustri, pateat falli eos qui fallere methodum existimant.

Ut posset parari analysis, axis IA dicatur B; ponatur centrum gravitatis esse 0, et rectam AO ignotam dici A; secetur axis IA quovis piano, ut BN, et ponatur IN esse E: ergo NA erit B - E.

Fig. 93.
Fermat - Livre I - Figure 93.png

Constat in hac figura et similibus (parabolis aut parabolicis) centra gravitaturn, in portionibus abscissis per parallelas basi, in eadem proportione dividere axes (quod, in parabole al Airchimede [115] demonstratum, porrigitur non dissimili ratiocinio ad parabolas omnes et parabolicos conoides, ut patet): ergo centrumi gravitatis portionis cujtus axis NA, haseos semidiameter BN, ita dividet AN in puncto, verbi gratia, E, ut ratio NA ad AE sit eademr rationi IA ad AO. iErit igitur, in notis, ut B ad A, ita B- E ad portionern axis AE, quæ idcirco æquabitur BinA -A in E B et ipsa 0E, que est intervallum inter duo centra gravitatis, equabitur A inE B Ponatur portionis reliquse CBRV centrum gravitatis esse ilI, quod necessario debet esse inter puncta N et 1, intra figuram, per petitionem 9 Archimedis De æquiponderantibus [116], quum figura CBRV sit in easdem partes cava. Sed

ut portio CBRV ad portionemn BAR, ita est EO ad OM,

quum 0 sit centrum gravitatis totius figuræ CAV, et puncta E et M sint centra gravitatis partium; portio autem CAV ad portionem BAR est, in nostro conoide Archimedeo [117], ut quadraturn IA ad quadratum NA, hoc est, in notis,

ut Bq. ad Bq. - Eq. - Bin Ebis:
ergo, dividendo,
portio CBRV est ad portionem BAR
ut B in E bis -- Eq. ad Bq. + Eq. - B in E bis
Demonstravimus autem
ut portio CBRV ad portionern BAR, ita esse OE ad OM:
erit igitur in notis
ut B in E bis - Eq. ad Bq. + Eq. - B in E bis, ita OE sive A in E/B, ad OM,
quæ proinde æquabitur

Quum autem punctum M, ex demonstratis, sit inter puncta N et I, ergo recta OM erit minor recta OI; recta autem OI in notis est B - A : deducta est igitur quæstio ad methodum et adæquanda

et, omnibus ductis in denominatorem et abs E divisis, adæquabuntur
Bc. his - Bq. in A his - Bq. in E -- B in A in E
et
Bq. in A +4- A in Eq. - Bin in E bis.

Quandoquidem nihil est utrimque commune, elidantur homogenea omnia abs E affecta, et aquentur reliqua: fiet

Bc. bis - Bq. in A bis aqualis Bq. in A,
ideoque
A ter æquabitur B bis.
Erit igitur
IA ad AO ut 3 ad 2
et
AO ad 01 ut 2 ad i.
Quod erat inveniendum[118].

Non dissimili methodo in quibuslibet parabolis in infinitum et parabolicis conoidibus inveniuntur centra gravitatum. Quenadmodum autem, verbi gratia, in nostro conoide parabolico circa capplicatam axi converso indaganda sint centra gravitatis, non vacat in prPesens indicare: sufficit aperuisse me in hoc nostro conoide centrum gravitatis dividere axemn in portiones quæ servant proportionem 11 ad 5[119].

III.
AD EAMDEM METHODUM.

Volo meai methodo secare lineam AC (fig. 94) datam ad punctum B, ita ut solidum contentumrn sub quadrato AB et linea BC sit maximum omnium solidorum eodem miodo descriptorurn secando lineam AC in quovis alio puncto.

Fig. 94.
Fermat - Livre I - Figure 94.png

Ponamus in notis algebraicis lineam AC vocari B, et lineam AB incognitam A; BC erit B- A: oportet igitur solidum Aq. inB - Ac. satisfacerc quæstioni.

Sumamus iterum, loco A, A -+ E: solidum, quod fiet ex quadrato A + E et ex B -- E - A, erit

B in Aq. +- B in Eq. - B in A in E bis
-Ac. A in Eq. ter - Aq. in Eter — Ec.

Id comparo primo solido

Aq. in B -- Ac.,

tanquam essent,equalia, licet revera vequalia non sint, et hujusmodi comparationem vocavi adæqualitatem, ut loquitur Diophantus (sic enim interpretari possum græcam vocem παρισότης[120]qua ille utitur). Deinde e duobus solidis demo quod iis est commune, scilicet

B in Aq. - Ac.;
quo peracto, nihil ex una parte superest, et superest ex alia
B in Eq. - B in A in E bis - A in Eq. ter - Aq. in E ter - Ec.

Comparanda sunt ergo homogenea notata signo -+ cum iis qua, notan tur signo -, et iterare comparationem [adæqualitatem] [121] oportet inter

B in Eq. 4- B in A in E his ex una parte,
et A in Eq. tel 4- Aq. in E ter - Ec. ex altera.
Totum dividamus per E comparatio [adæqualitas] erit inter
B in E -- B inA bis et A in E ter -+ Aq. ler + Eq.

Hac divisione peracta, si omnia homogenea dividi possunt per E, iteranda erit divisio per E, donec reperiatur aliquod ex homogeneis quod hujusmodi divisionem non admittat, id est, ut Vietæis [122] verbis utar, quod non afficiatur ab E. Sed quia, in exemplo proposito, comperimus divisionem iterari non posse, hic standur est.

Deinde utrimque delco homogenea quse afficiuntur al E: superest

ex una parte B inA his, et ex alia Aq. ter
inter quæ non amplius facere oportet, ut antea, comparationes fictas et adeequalitates, sed veram requationem. Dividamus totum per A:

ergo

B bis erit;equalis A ter,
et
B erit al A ut 3 ad 2.

Redeamus ad nostram quæstionem et dividamus AC in puncto B ita ut

AC sit ad AB ut 3 ad 2

dico solidum quadrati AB in BC esse maximum omnium quæ describi possunt in eadeo-n linea AC, in qualibet alia sectione. Ut pateat hujus methodi certitudo, desumam exemplum e libro Apollonii De determinata sectione, qui, ut refert Pappus initio septimi libri, difficiles determinationes habebat [123]; et eam quwe sequitur difficillimam esse existimo, quam ut inventam supponit Pappus septimo libro, nec enim illam veramn esse demonstrat, sed, ut veram supponens, alias inde consequentias deducit. Hoc loco Pappus vocat minimam proportionem μοναχὰν καὶ ἐλάχιστον, minimam et singularem, ideo scilicet quia, si proponatur qumestio circa magnitudines datas, duobus semper locis satisfit quœstioni, sed, in minimo aut maximo termino, unicus est qui satisfaciat locus: idcirco Pappus vocat minimam et singularenz, id est unicam, proportionem omnium quæ proponi possunt minimam. Commandinus hoc loco dubitat quid per μοναχός intelligat Pappus, et veritatem quam modo explicui ignoravit [124]. Sed ecce propositionem:

Sit recta data OMID (fig. 95), et in ea quatuor puncta 0, M, I, D data. Dividenda est portio MI in puncto N ita ut rectanguli OND sit ad rectangulum INI proportio minor quam proportio ccjiuslibet rectanguli paris OND ad quodvis aliud par MNI.

Fig. 95.
Fermat - Livre I - Figure 95.png

Supponamus in notis lineam OM datam vocari B, lineam DM datam Z, et MI datam G; fingamus nunc MN, quod quærimus, vocari A: ergo rectangulum OND in notis erit

B in Z- B in A + Zin A - Aq.,

et rectangulum MNI

G inA -Aq.
Oportet igitur proportionem
B in Z- B in A - Z in A - A. ad G in A -- q.
esse minimam omnium quwe fieri possunt qualibet alia divisione lineæ MI.

Sumamus iterum, loco A, A -- E, et habebimus proportionem

Bin Z - B in A - B in E +- Z in in E - Aq. - Eq. - A in E bis
ad G in A - G in E - Aq.- Eq.-A in E his,
quam primwe comparare per adequalitatem oportebit, id est: multiplicare primum terminum per quartum ex una parte, et secundum per tertium ex alia, et simul htec duo producta comparare.

Productum

B in Z -B in A + Zin A - Aq., qui prior est terminus,
per
G in A + G inE - Aq. - Eq. - A in E bis, qui est ultimus terminus,
facit
BinZin GinA - GinBinAq. + G in ZinAq. - GinAc.
-+BinZin G inE-BinAinGinE-+ZinA in GinE -Aq. in Gin E
- B in ZinAq. -- B in Ac. - ZinAc. + Aqq.
- BinZin Eq. -BinAinEq.- ZinAin Eq. + Aq.in Eq.
- BinZinA inEbis BinAq. inEbis-ZinAq.inEbis + Ac. in Ebis.

Productum autem

G in A - Aq., secundi termini,
per
BinZ- BinA-BinE — ZinA + ~ZinE-Aq. -Eq.- A inEbis,
tertium terminum,
facit
B in Zin Gin A - GinBin Aq.- Gin G Bin A in E -+ Gin Z in Aq.
+ G in Z in A in E - G in Ac. - G in A in Eq. - G in Aq. in E is
- B iin ZiAq. + Bin Ac. +- Bin Aq. in E- Zin Ac.
- Z in Aq. in E -+ Aqq. + Aq. in Eq. - Ac. in E bis.

Comparo hæc duo producta per adwequalitatem; demamus quod ipsis commune est, et residum dividamus per: supererit,

ex una parte, B inZin G- Aq.in G - Bin Zin E — B in A in E
-Z in A inE -B in Z in A bis - Zin Aq. bis -- B in Aq. bis,
et
ex alia, - G in A in E - Gin Aq. bis - B in Aq. - Z in Aq.

Deleamus omnia homogenea inter quse iterum reperitur E: supererit

B in Zin G - Aq. in G - B in Zin A bis - Zin Aq. bis - B in Aq. bis
æquale - G in Alq. his + B in Aq. - Zin Aq.,
et, transponendo,
- B in Aq.+ Zin Aq. - Gin Aq. - B in Zin A bis
erit equale B in Z in G.

Istius equationis resolutione reperiemus valorem lineæ A, id est valorem MN, et consequenter punctum N, et inveniemus veritatem propositionis Pappi [125], qui docet, ad reperiendum punctum N, oportere facere

ut rectangulum 0MD ad rectangulum OID,
ita quadraturn MN ad quadratum NI;

æquationis enim resolutio nos ad eamdem constructionem deducit.

Ut tandem tangentibus applicetur lhec methodus, sic procedere possun: Sit, verbi gratia, ellipsis ZDN (fig. 96), cujus axis sit ZN et cen trum 1. Sumamus punctum, ut D, in ejus circumferentia, a quo ducamus lineam DM quse tangat ellipsin; ducamus prteterea applicatam DO et supponamus < in > notis algebraicis OZ datam vocari B, et ON datam vocari G; fingamnus OM, quam quetrimus incognitam, vocari A

Fig. 96.
Fermat - Livre I - Figure 96.png

(intelligimnus autem per OM portionem axis contentam inter puncturm 0 et concursum tangentis).

Quoniam DM tangit ellipsin, si ducamus lineam IEV, parallelam DO, per punctum V sumptum ad libitum inter O et N, certum est linea IEV secari tangentem DM et ellipsin quoque, ut in punctis E et I; et, quia linea DM tangit ellipsin, omnia puncta prater D erunt extra ellipsin ergo linea IV erit major linea EV. Erit igitur major proportio

quadrati DO ad quadrlatum EV quam quadrati DO ad quadr'atum IV;
sed
ut quadratum DO ad quadratum EV,

ita, proprietate ellipsis,

rectangulum ZON est ad rectangulum ZVN,
et
ut quadratum DO ac quadraturn IV, ita quadratum OM ad quaclratum VM
major est igitur proportio
rectanguli ZON ac rectangulum ZVN
quam quadrati OM ad quadratum VM.

Fingamus < OV >, sumptam ad libitum, æqualen E:

rectanguluin ZON erit B in G;
rectangulum ZVN erit B in G - B in E - G in E - Eq.;
quadratuml OM eril Aq.;
quadratum VM erit Aq. + Eq. - A in E bis.

Erit igitur major proportio

BinG ad Bin G - Bin E+GinE-Eq. quam Aq. ad Aq. + Eq.- A in Ebis,

et consequenter, si multiplicetur prior terminus per ultimum et secundus per tertium,

B in G in Aq. + B in G in Eq. - B in G in A in E his,

productum scilicet prioris termini per ultimum, erit majus

B in G in Aq. - B in E in Aq. -4- G in E in Aq. - Aq. in Eq.

Oportet igitur, juxta meam methodum, comparare hac duo producta per adsequalitatem; demamus quod iis commune est et dividamus residuum per E: supererit,

ex una parte, Bin GinE - Bin Gin A bis,
et, ex alia, -B in Aq. + G in Aq. -- Aq. in E.

Deleamus homogenea quœ aliquid habent linese E: supererit,

ex una parte, B in Gin A bis, et, ex alia, - B in Aq. -- G in Aq.

Quos duos terminos juxta methodumn equare oportet; et, transponendo terminos, ut par est, inveniemus

B inA - Gin A æquale B in G bis.

Vides hanc resolutionem eamdem esse cum Apolloniana[126]: nam, mea constructione, ad reperiendam tangentem, oportet facere

ut B- G ad G, ita B bis ad A,

id est

ut ZO - ON ad ON, ita ZO his ad OM;

sed, Apolloniana, oportet facere

ut ZO ad ON, ita ZM ad MN:

duæ autem illæ constructiones, ut patet, in idem recidunt.

Plura possem alia exempla addere, tun primi, tur secundi casus mea methodi, sed hzec sufficiunt et earn esse generalem ac nunquam fallere satis probant. Demonstrationem regulæ non adjicio nec plerosque alios usus qui illius perfectionem confirmare possent, nec inventionem centrorum gravitatis, asymptoton, quorum exemplum misi doctissimo Domino de Roberval[127].

IV.
METHODUS DE MAXIMA ET MINIMA[128].

Dum syncriseos et anastrophes Vietææ[129] methodum expenderem, earumque usum in deprehendenda aequationum correlatarum constitutione accuratius explorarem, subiit animum nova ad inventionem maxima et minimæ exinde derivanda methodus, cujus ope dubia quælibet ad διορισμόν pertinentia, quæ veteri et nove molestiam exhibuere Geometriæ, facillime profligantur.

Maximæ quippe et minimae sunt unicæ et singulares, quod et Pappus[130] monuit et jam veteres norunt, licet Commandinus quid per μοναχός intelligeret Pappus, ignorare se non diffitetur. Inde sequitur, ab utraqæ puncti determinationis constitutivi parte, posse sumi æquationem unam ancipitem et, ex duabus utrimque sumptis, effici duas æquationes ancipites correlatas æquales et similes.

Proponatur in exemplum recta B ita secta ut rectangulum sub ipsius segmentis sit maximum [131]. Punctum proposito satisfaciens rectam datam bifariam secat, ut patet, et maximum rectangulum nequatur qualranti B quadrati; nec ex alia quavis rectse illius sectione orietur reetangulum equale quadranti B quadrati.

At, si recta eadem B proponatur secanda eâ conditione ut rectangulum sub ejus segmentis sit æquale Z plano (quod supponendum minus quadrante B quadrati), tunc duo puncta proposito satisfacien t, quæ quidem a puncto maximi rectanguli intercipiuntur.

Sit enim alicujus recte B segmentum A, fiet

B in A - A quad. æquale Z plano,

quat æquatio est anceps et rectam A de duobus lateribus explicari posse indicat. Sit igitur sequatio correlata

B in E - E quad. æquale Z plano ;
ex methodo Vietsea comparentur he due tequationes:
B in A - B in E æquabitur A quad. - E quad.,
et, omnibus per A - E divisis, fiet
B æqualis A + E,
ipsæque A et E erunt inæquales.

Si sumatur aliud planum, loco Z plani, quod sit majus quam Z planum, sed minus quadrante B quadrati, tune recte A et E minus inter se different quam superiores, quum puncta divisionis magis accedent ad punctum rectanguli maximi constitutivum, semperque, auctis divisionum rectangulis, ipsarum A et E. differentia minuetur, donec per ultimam maximi rectanguli divisionem evanescat, quo castu μοναχή vel unica continget solutio, quum dua æquales < fient> quantitates, hoc est, A æquabitur E.

Quum igitur, in duabus superioribus squationibus correlatis, per methodum Vietwaam, B equabitur A +- E, si E sequetur ipsi A (quod contingere semper in puncto maximæ vel minimre constitutivo apparet), ergo, in casu proposito,

B æquabitur A bis:

hoc est, si recta B bifariam secetur, rectangulum sub ipsius segmentis erit maximum.

Esto aliud exemplum: Recta B ita secazada est, ut solildrm sulb )/t(/lrato unius ex segmentis in alterum sit maximum [132]. Ponatur unum segmentum esse A; ergo

B in A quad. - A cub. erit maxinmum.
AEquatio correlata æqualis et similis est
B in E quad. - E cub.
Comparentur juxta methodurn Viete: ergo
B in A quad. -- B in E quad. equabitur A cub. - E cub.,
et, omnibus per A - E divisis,
B in A + B in E; æquabitur A quad. + A in E -+- E quad.,

quæ est constitutio æquationum correlatarum.

Ut queratur maxima, fiat E equalis ipsi A: ergo

B in A bis æquabitur A quad. ter,
hoc est,
B bis,equabitur A ter.
Constat propositum.

Quia tamen operosa nimis et plerumque intricata est divisionum illa per binomia practice, conveniens visum est latera æquationum correlatarum inter se per ipsorum differentiam comparari ut, ea ratione, unica ad differentiam illam applicatione totum opus absolvatur.

Esto

Bq. in A - Ac. oequandumn maximo solido.
Correlata, juxta superioris præcepta methodi, æquatio debuit sumi
Bq. inE - Ec.
Sed, quoniam E (perinde atque A) est incerta quantitas, nihil vetat quominus vocetur A + E: erit igitur
Bq. in A + Bq. in E - Ac. - Ec. - Aq. in E ter - Eq. in A ter,
ex una parte; ex altera
Bq. in A - Ac.

Demptis æqualibus, patet tequationem integram in homogenea ab E adfecta iri devolutam, quia in utraque Tequatione reperitur A nempe

Bq. in E aequabitur Ec. - Aq, in E ter + Eq. in A ter,
et, omnibus ipsi E applicatis,
Bq. aequabitur Eq. + Aq. ter + A in E ter,
quæ est constitutio duarum hujusmodi æquationun correlatarum.

Ad inveniendam maximam, latera duarum æquationum inter se debent aequari, ut satisfiat methodi praedicte praeceptis, ex qua posterior hæc et modum et rationem ipsam operandi desumpsit.

AEquanda igitur sunt inter se A et A + E: ergo E dabit nihilum. Quum igitur Bq., ex jam inventa æquationum correlatarum constitutione, æquetur

Eq. + Aq. ter - A in E ter,

ergo elidi debent homogenea omnia ab E adfecta, utpote nihilum repræsentantia: et manebit

Bq. æquale Aq. ter,

quæ æquatio dabit maximum solidum qusesitum. Ut autem plenius innotescat utriusque hujus nostræ methodi usum esse generalem, dispiciamus novas æquationum correlatarum species de quibus < tacet > Vieta, ex libro Apollonii De determinata sectione (propositione apud Pappum 6r Libri VII), cujus determinationes ipse Pappus innuit et profitetur difficiles [133].

Sit recta BDEF (fig. 97), in qud data puncta B, D, E, F. Intrapuncta D et E sumendum punctum N, ut rectangulum BNF ad rectangulumn DNE habeat minimam rationem.

Fig. 97.
Fermat - Livre I - Figure 97.png

Recta DE vocetur B, DF vocetur Z, BD vocetur D; ponatur DN esse A: ergo

ratio DinZ-Din A +Zin A-Aq. ad Bin A-Aq. est minima.
Ratio correlata similis et æqualis esto
D in Z-D in E+Z in E-Eq. ad B in E-Eq.,

juxta priorem methodum. Factum itaque sub mediis equabitur facto sub extremis: hoc est, ex una parte,

D in Z in B in E - Din Zin Eq. - Din Ain B inE + D in A in Eq.
+ Z in A inB in E- Zin A inEq. -Aq. in B in E Aq. inEq.,

ex altera parte,

D in Z in B in A - D in Z in Aq. -D in E in B in A + D in E in Aq.
+ Z in E in B in A - Z in E in Aq. -Eq. in B in A Eq. in Aq.

Demptis communibus et facta congrua metathesi,

D in Z in B in A - D in Z in B in E + D in E in Aq. - D in A in Eq.
-Z in E in Aq. + Z in A in Eq. + Aq. in B in E - Eq. in B in A
æquabitur D in Z in Aq. - D in Z in Eq.

Singulis tequationis partibus per A - E divisis (quod quidern, bina ex honogeneis correlata sigillatim inter se conferendo, facillimum: ut puta

D in Z i B in A -D in Zin B in E abs A - E divisum dat D in Z in B;
similiter
D in E in Aq. -- D in A in Eq. abs A - E divisum dat D in A in E;
et sic de caeteris: homogenea enim inter se correlata satis facile disponuntur ad hujusmodi divisioner admittendam), fiet igitur, post divisionem,
D in Z in B + D in A in E - Z in A in. -E- B in A in E
aequale D in Z in A + D in Z in E,
quae tandem aequalitas aequationum correlatarum constitutionem exhibebit.

At, si es hujusmodi constitutione qutratur minima, debet E, juxta methodum, aequari A: igitur

D in Z in B + D in Aq. - Z in Aq. + B in Aq. aequabitur D in Z in A bis;
hujus aequationis resolutio dabit valorem A, ex quo minima ratio quaesita statirn patebit.

Nec morabitur Analystam ultime istius tequalitatis ambiguitas: prodet quippe se, vel invito, latus utile. Imo et in aequationibus ambiguis quæ plura duobus habent latera, non deerit solitum ab utraque hac nostra methodo, sagaci tantisper Analystse, præsidium.

Ex supradictas quaestionis processu, patet priorem illam methodumn intricatam nimis ut plurimum evadere, propter crebras illas divisionurn per binomia iterationes. Recurrendum ergo ad posteriorem, que tamen, licet ex priori, ut jam dictum est, deducta, miram certe facilitatem et compendia innumera peritioribus abunde suppeditabit Analystis, imo et ad inventionem tangentium, centrorum gravitatis, asymptotôn, aliorumque id genus, longe expeditior alterâ illa evadet et elegantior. Confidenter itaque sicut olim, ita et nunc pronuntiamus semper et legitimam, non autem fortuitam (ut quibusdam visum) [134], maximae et minimae disquisitionem hoc unico et generali contineri epitagmate:

Statuatur etc. (voir page 133, ligne 7, à page 134, ligne 6; comparer page 133, note 1)... innotescet.

Si qui adhuc supersunt qui methodum hanc nostram debitam sorti pronuntiant,

Hos cupiam similes tentando excudere sortes[135]
.

Qui hanc methodum non probaverit, ei proponitur:

Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectae ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas.

V.
AD METHODUM DE MAXIMA ET MINIMA APPENDIX
[136]

Quia plerumque in progressu quaestionum occurrunt asymmetriae, non dubitabit Analysta triplicatas aut ulterioris etiam, si libeat, gradius positiones usurpare: earum quippe beneficio multiplices et intricati ut plurimum vitabuntur ascensus. Hujusce artificii methodus ita procedit ut exempla infra scripta declarabunt.

Sit semicirculus cujus diameter AB (fig. 98) et in eam perpendicularis DC. Quaeritur maximum rectarum AC et CD aggregatum.

Diameter vocetur B; ponatur recta AC esse A: ergo

CD erit latus (B in A - A quad.).

Eo itaque deducitur qusestio ut

A + lat. (B in A - A quad.)
sit maxima quantitas.

Quia, ex præceptis methodi, equationes adsequande nimium sunt

Fig. 98.
Fermat - Livre I - Figure 98.png

scansurse, ponatur maxima illa quantitas esse 0 Vietæam enim ignotarum quantitatum per vocales expressionem cur respuamus?

Ergo

A - lat. (B in A - A quad.) sequabitur 0,
ideoque
0 - A æquabitur lateri(B in A - A quad.),

et, omnibus in quadratum ductis,

O quad. + A quad. - 0 in A bis aquabitur B in A - A quad.

Hoc peracto, ita instituenda est transpositio ut maximus sub 0 gradus unam aquationis partem solus occupet, ut ea nempe ratione possit de maxima determinari, quo tendit artificium. Per translationem hujus modi,

B in A - A quad. bis + 0 in A bis aequabitur 0 quad.

Quum igitur, ex hypothesi, 0 sit maxima quantitas, ergo 0 quadratum erit quadratum maximæ quantitatis, ideoque maximum: ergo

B in A - A quad. bis +- 0 in A bis (quæ omnia æquantur 0 quadrato)

sunt maxima quantitas; quæ æquatio, quum vacet asymmetria, perinde ex methodo resolvatur ac si 0 quantitas esset nota. Ergo

B in A - A quad. bis + O in A bis
adæquabitur
B in A + B in E - A quad. bis - E quad. bis
- A in E quater - 0 in A bis + 0 in E bis.

Sublatis communibus, et reliquis ipsi E applicatis,

B + O bis adclquabitur E bis 4- A quater.
Expungatur EB is ex methodo: ergo
B + O bis æquabitur A quater,
ideoque
A quater - B tequabitur O bis,
et
A bis - dimid. B æquabitur 0.

Hac equalitate ex methodo stabilita, redeundum ad priorem, in qua ponebamus

A + lat.(B in A - A quad.) æquari O.

Quum igitur inventa sit

O æqualis A his - dimid. B,
ergo
A bis - dimid. B æquabitur A + lat. (B in A - A quad.),
ideoque
A - dimid. B wequabitur lat. (B in A - A quad.),
omnibusque in quadratum ductis,
A quad. - B quad. - B in A æquabitur B in A - A quad.,
et tandem
B in A -A quad. æquabitur B quad.1/8;

quæ ultima sequalitas dabit valorem A in quawsita determinatione.

Hoc artificio uti possumus ad inventionem coni maximi ambitus sphæræ inscribendi [137].

Sit sphæræ datœ diameter AD (fig'. 99). Conus quysitus habeat altitudinem AC, latus AB, semidiametrum baseos BC. Rectangulum AB in BC una cum BC quadrato continebit maximum spatium, ex Archimede [138].

Diameter vocetur B; recta AC, A: ergo

AB erit latus (B in A) et BC erit latus (B in A - quad.).
Rectangulum AB in BC una cum BC quadrato erit
latus (B quad. in A quad. - B in A cub.) + B in A - A quad.
Hæc omniia æquantur maximo spatio: esto O plano. Ergo
Opl.+-A quad.- BinA æquabitur lateri(B quad. inA quad.- Bin A cub.).

Omnia ducantur quadratice, etc.; tandem devenietur, ex superiori methodo, ad æquationem Oplani, cujus beneficio prima wequalitas jam exposita resolvetur.

Fig. 99.
Fermat - Livre I - Figure 99.png

Non deerit tamen, hoc in exemplo, solutio ex methodo absque triplicata æqualitate: eo enim potest deduci quysstio ut, data' recta AB in triangulo CBA, quTeratur maxima proportio rectanguli CBA una cum CB quadrato ad quadratumn AD, quo casu methodus vulgaris sufficit. Recta AB data vocetur B; ponatur CB esse A: ergo AC erit potentiI B quad.- A quad. Sed

ut AC quadratum ad AB quadratum, ita AB quadratum ad AD quadraturm;
ergo
B quad. quad.

AD quad. erit B- - -qa B quad. - A quad.

ad qus rectangulum B in A - A quadrato debet habere maximam proportionem: hoc enim quærimus. Omnia ducantur in

B quad. - A quad.;

ergo ratio

B quad.quad. ad Bcub. in A + B quad. in A quad.- B in Acub.- - quad. quad.

est minima. Sed B quad. quad. est quantitas data: rectse enim B data potestas est: ergo

B cub. in A + B quad. in A quad. - B in A cub. - A quad. quad.
est maxima quantitas.

Ex methodo

B cub. + B quad. in A his wequabitur B in A quad. ter -- A cub. quater,
quæ æquatio ad sequentem statim deprimitur
A quad. quater - B in A aequale B quad.,
ideoque patebit solutio quaestionis.

Nec pluribus in re perspicua immoramur: constat nempe, per triplicatas aut quadruplicatas, imo et ulterius etiam, si libeat, promotas hypostases, evanescere omnino asymmetrias et si quse alia remorantur Analystam impedimenta.

Elegantius tamen et fortasse magis yaosTexco; quaestiones de maxima et minima speciales tangentium beneficio resolvuntur, licet et ipsse tangentes ab universali methodo deriventur.

Hujus rei unicum, quod multorum instar erit, proponatur exemplum:

In semicirculo FBD (fig. 100) ductà perpendiculari BE, quaeritur maximum sub FE < in > EB rectangulum.

Si quæratur rectangulum FEB Sequale dato, ex nostra methodo, quærenda esset hyperbole sub angulo AFC ea conditione ut rectangula similia FEB essent æqualia dato, punctaque intersectionum hyperboles et semicirculi qusesitum adimplerent; sed, quoniam rectangulum FEB maximum qurerimus, quarenda hyperbole sub angulo AFC (asym ptotis AF, FC), quae semicirculum non jam secet, sed tangat, ut in B: puncta enim contactfis maximas et minimas determinant quantitates.

Sit factum. Quum igitur hyperbole in puncto B tangat semicirculum, ergo recta, in puncto B semicirculum tangens, tanget et hyperbolen.

Fig. 100.
Fermat - Livre I - Figure 100.png

Sit illa recta ABC. Quum in hyperbole per B transeunte ducta sit tangens cum asymptotis in punctis A et C concurrens, ergo, ex Apollonio [139], rectae AB, BC sunt aequales, ideoque aequales rectse FE, EC, et AF dupla BE sive AN. Est autem, propter circulum, BA equalis AF: ergo BA est dupla AN et, in triangulo simili, posito centro M, semidiameter MB dupla ME. Datur autem semidiameter: ergo et punctum E.

Et generalis ad inventionem maximin et minimæ geometrica est quaestionum ad tangentes abductio; nec ideo minoris facienda universalis methodus, quum ejus ope et maxima et minima et ipsae tangentes indigeant.

VI.
AD EAMDEM METHODUM[140]

Doctrinam tangentium antecedit jamdudum tradita Methodus de inventione maximæ et minimae, cujus beneficio terminantur quæstiones omnes dioristicte, et famosa illa problemata, quT apud Pappum [141], in præfatione Libri VII, difficiles determinationes habere dicuntur, facillime determinantur.

Linete curvæ, in quibus tangentes inquirimus, proprietates suas specificas vel per lineas tantum rectas absolvunt, vel per curvas rectis aut alis curvis quomodo libet implicatas.

Priori casui jam satisfactum est prrecepto quod, quia concisum nimis, difficile sane, sed tamen < legitimum > [142] tandem repertum est.

Consideramus nempe in plano cujuslibet curvæ rectas duas positione datas, quarum altera diameter, si libeat, altera applicata nuncupetuir. Deinde, jam inventam tangentem supponentes ad datum in curva punctum, proprietatem specificam curvie, non in curva amplius, sed in invenienda tangente, per adequalitatem consideramus et, elisis (quae monet doctrina de maxima et minima) homogeneis, fit demum tequalitas quse punctum concursius tangentis cum diametro determinat, ideoque ipsam tangentem.

Exemplis, quse olim multiplicia dedimus, addatur, si placet tangens cissoidis cujus Diocles [143] traditur inventor.

Esto circulus duabus diametris AG, BI (fig. 101) normaliter sectus, et sit cissois IIG in qua, sumpto quolibet puncto, ut H, ducenda est a puncto H tangens ad cissoidem.

Sit factum, et ducta tangens HF secet rectam CG in F. Ponatur recta DF esse A et, sumpto quolibet puncto inter D et F, ut E, ponatur recta DE esse E. Quum igitur, ex proprietate specifica cissoidis, recta

MD sit ad DG ut DG ad DH,
fiat jam in terminis analyticis per adæqualitatem
ut NE ad EG, ita EG ad portionem recte EN
quae intercipitur inter punctum E et tangentem et est EO.

Vocetur

AD data, Z; DG data, N; DH data, B;
BF quesita, ut diximus, A; DE sumpta ad libitum, E:
ergo
EG vocabitur N - E;
EO vocabitur
EN vocabitur latus(Z in VN - Z in E -N in E - Eq.).

Quum igitur, ex praecepto, proprietas specifica debeat considerari,

Fig. 101.
Fermat - Livre I - Figure 101.png
non amplius in curva, sed in tangente, ideoque faciendum sit
ut NE ad EG, ita EG ad EO, quae applicatur tangenti,
ergo, in terminis analyticis, faciendum
ut latus (Z in N- Z in E N in E-Eq.) ad N-E,
ita N - E ad ,

MAXIMA ET MINIMA.:16 1

et, quadratis singulis terminis ad vitandam asymmetriam, fiet ut ZinN-ZinE+-NinE-Eq. ad Nq. +Eq. —NinEbis, itaYq. -Eq.- NinEbis ad Rq. in Aq. +- Rq. in Eq.- Rq. in A in E bis ita jAT~. q- ~E. -Nin bis ad - -Aq. Ducantur singula homogenea in A quadratum, et deinde quod fit sub extremis adæquetur, ex preceptis artis, ei quod fit a medio. Elisis deinde superfluis, ut monet methodus, tandem orietur æqualitas inter Zin A ter iNin A ex una parte, etZin Ybis exaltera. Construetur igitur tangens hoc pacto: Producatur semidiameter circuli dati CA ad punctum U, et fiat AU recta xequalis AC. Rectangulum ADG ad rectam UD applicetur et faciat latitudinem DF. Juncta FH tanget cissoidem. Indicemus etiam mnodum agendi in conchoide Niconzedea, sed indicemus tantun, ne prolixior evadat sermo. Esto conchois Nicomedea, ut construitur apud Pappum et Eutocium (') figura sequens (fig. 102). Polus est punctum I, recta KG est Fig. 102. A z -K L\ \ H C, asymptotos curvæ, recta IHE perpendicularis ad asymptoton, punctum N datum in curva, ad quam ab eo puncto ducenda est tangens NBA, concurrens curn IE in puncto A. Sit factum, ut supra. Ducatur NC parallela KG. Ex proprietate specifica curve, recta LN est tequalis recte HE. Sumatur quodlibet punc(1) PAPPUS (6d. Hultsch), livre III, pages 58 et suivantes, livre IV, pages 242 et suivantes; EUTOCIUS, Commentaire sur Archimede De sph. et cyl., 1I (ed. Heiberg, vol. II, p. 117). FERMAT. - I. 21

162 (fEUVRES DE FERMAT. - I1" PARTIE. turn inter C et E, ut D, a quo rectse CN parallela ducatur DB, occurrens tangenti in puncto B. Quia igitur proprietas specifica debet considerari in tangente, jungatur BI, occurrens rectt KG in M et, ex prseceptis artis, recta MB adeqquetur recte HE: orietur tandem qutesita æqualitas. Quod ut procedat, CA, ut supra, vocetur A; recta CD vocetur E; recta EH data vocetur Z, et reliquie datk suis nominibus designentur. Invenietur facillime recta MB in terminis analyticis, quæ si adcequetur, ut dictum, recta HE, solvetur qusestio. HEec de priore casu videntur sufficere. Licet enim praxes infinitwc suppetant, quse prolixitates evitant, ex iis tamen nullo negotio deduci possunt. Secundo casui, quem difficilem judicabat Dominus Descartes ('), cui nihil difficile, elegantissima et non insubtili methodo fit satis. Quamrdiu rectis tantum lineis homogenea implicabuntur, quærantur ipsa et designentur per præcedentem formulam. Imo et, vitanda asymmetriæ causa, aliquando, si libuerit, applicate ad tangentes ex superiore methodo inventas pro applicatis ad ipsas curvas sumantur; et demunm (quod opera pretium est) portiones tangentium jam inventarum pro portionibus curvæ ipsis subjacentis sumantur, et procedat adaqualitas ut supra monuimus: proposito nullo negotio satisfiet. Exemplum in curva Domini de Roberval assignamus. Sit curva HRIC (fig. io3), cujus vertex C, axis CF; et, descripto semicirculo COMF, sumatur punctum quodlibet in curva, ut R, a quo ducenda est tangens RB. Ducatur a puncto R recta RMD, perpendicularis in CDF, quæ secet semicirculum in M. Ea igitur curvæ proprietas specifica est ut recta RD sit atqualis portioni circuli CM et applicatæ DM. Ducatur in puncto M, (1) Comparer la lettre de Roberval a Fermat, du 4 aout i64o, et celle de Descartes,i Fermat (6d. Clerselier, III, 6i), du 25 septembre i638.

MAXIMA ET MINIMA.

163

ex prtecedente methodo, tangens MA ad circulum eadem nempe procederent si curva COM esset alterius naturæ. Fig. Io3. A /"B I F G Ponatur factum quod quseritur, et sit: recta DB quæsita æqualis A; DA, inventa ex constructione, œqualis B; MA, itidem inventa, vocetur D; AMD data vocetur R; RD data vocetur Z; CM, portio cirtcumferentite data, vocetur N; I)E, recta utcumnque assumpta, vocetur E, et a puncto E-ducatur EOUIN parallela rectse RMD. Fiat Z in A - Z\in E ut A a A —E, ita Z ad quwt idcirco equabitur recta NIUOE. I *' iZ in A - Z in E Igitur recta in -ZiE debet adsequari (propter proprietatem specificam curvse que in tangente consideranda est) rectt OE una cuni curva CO; curva autem CO œquatur curve CM minus curva MO ergo Zin A -Z in E recta.A- debet adaquari rectæ OE et curve CAM minus curva MO. Ut autem hi tres termini ad terminos analyticos reducantur, pro recta OE, ad vitandam asymmetriam ex superiori cautione, sumlatur recta EU applicata tangenti, et pro curva MO sumatur portio tangentis MU, cui ipsa MO adjacet.

Ad inveniendam autem EU in terminis analyticis, fiet

R in B -B in E ut B ad B - E, ita R ad \frac{R in B - R in E}{B}

quae idcirco aequabitur ipsi EU.

Ad inveniendam deinde MU, fiet

D in E ut B ad D, ita E ad ---

quae idcirco, propter similitudinem triangulorum, ut supra, aequabitur ipsi MU. Curva autem CM vocata est N: igitur in terminis analyticis fiet adequalitas inter Z in A - Z in E Bin B- Rin E 1) in E --- ---- ex una parte, et --- - -- ex altera. Ducantur omnia in BinA, consistet adwequalitas inter ZinB inA —ZinBinE et RinBinA-RinAinEE-i Bin i A-Din - in AinE. Q()uu antem, ex proprietate curvse, Z 'equetur R+1V, erg() ZinB in A ex una parte æquatur Rin B in A + B in 1V in A ex altera; ideoque, ablatis conmmunibus, reliqua comparentur, Z in B in E nempe cum R in A in E - DinA in E. Fiat divisio per E; et, quia nullunm est hoc casu homogeneum supertluum, nulla fieri debet elisio. AEquetur igitur Zin B cum R inA — D in A: tiet igitur utt R — D ad B, ita Z ad A..Constructio: Ad construendum igitur problema, si fiat ut aggregatumr rectarum A, MD ad rectarn DA, ita RI1) ad D)B, juncta BR tanget curvam CR.

Quia vero
ut summa rectarum MA, MD ad DA, ita MD ad DC,

ut facile est demonstrare, ideo faciendum erit

ut MD ad DC, ita RD ad BD,

sive, ut elegantior evadat constructio, junctae rectae MC ducenda erit parallela RB.

Eadem methodo species omnes illius curvae tangentes suas nanciscentur: constructionem generalem olim dedimus [144].

Quoniam vero quaesitum est de tangente quadratariae sive quadratricis Dinostrati [145], ita construimus ex praeceptis praecedentibus.

Sit quadrans circuli AIB (fig. 104), quadrataria AMC in qua, ad datum punctum M, ducenda est tangens.

Fig. 104.
Fermat - Livre I - Figure 104.png

Juncta MI, centro I, intervallo IM, quadrans ZMD describatur et, ducta perpendiculari MN, fiat ut MN ad IM, ita portio quadrantis MD ad rectam IO [146]; juncta MO tanget quadratariam. Haec sufficiant. Quia tamen sœpius curvatura mutatur, ut in conchoide Nicomedea, quae pertinet ad priorem casum, et in omnibus speciebus curvœ Domini de Roberval (prima excepta) que pertinet ad secundum, ut perfecte curva possit delineari, investiganda sunt ex arte puncta inflexionum, in quibus curvatura ex convexa fit concava vel contra: cui negotio eleganter inservit doctrina de maximis et minimis, hoc prwmisso lemmate generali:

Esto, in sequenti figura (fig. 105) [147], curva AHFG, cujus curvatura in puncto H, verbi gratia, nutetur. Ducatur tangens HB, applicata HC. Angoulus HBC erit minimus omnium quos tangentes cum axe ACD, sive infra, sive supra puncturn H, efficiunt, ut facile est demonstrare.

Fig. 105.
Fermat - Livre I - Figure 105.png

Sumatur enim, supra H punctum, punctum M; tangens occurret axi inter A et B, ut in N: igitur angulus ad N major erit angulo ad B. Similiter, si infra punctum H sumatur punctum F, punctum D, in quo concurrit tangens FD cum axe, erit inferius puncto B, et tangens DF occurret tangenti Bi ad partes F et H: igitur angulus ad D erit major angulo ad B.

Casus omnes non persequimur, sed modum tantum investigandi indicamus, quum curvarum formna infinitas species exhibeant. Ut igitur, verbi gratia, in exposito diagrammate, punctum H inve niatur, quseratur primum, ex superiore methodo, ad puncturn quodlibet curvw utcumque sumptum, proprietas tangentis. Hac inventa, quseratur, per doctrinam de maximis et minimis, punctum H a quo, ducendo perpendicularem HC et tatngentem HB, recta HC ad CB habeat minimam proportionem: ea enim statione angulus ad B erit minimus. Dico punctum H, ita inventum, esse initium mutationis in curvatura.

Ex prædicta methodo de maximiis et minimis derivantur artificio singulari inventiones centrorum gravitatis, ut alias indicavi Domino tde Roberval [148].

Sed et coronidis loco possunt etiam et, data curcv, inveniri ipsius asymptoti, quse in curvis infinitis miras exhibent proprietates. Sed hSec, si libuerit, fusius aliquando explicabimus et demonstrabimus.


VII.
PROBLEMA MISSUM AD REVERENDUM PATREM MERSENNUM
10a die Novembris 1642 [149].

/lve/lire cylindrumn maximi ambituls in data sphcera. Detur sphæra cujus diameter AD (fig,. io6), centrum C. Quæritur cylindrus maximi ambitus in ea inscribendus. Sit factum, et cylindri qusesiti basis esto DE, latus EA (huic enini positioni aptari potest cylindrus, propter angulum in semicirculo rectum). Ambitus cylindri similis est quadrato DE et rectangulo DEA bis: Quærendum itaque maximum quadrati DE et rectanguli DEA bis aggregatum.

Quadratum DE æquatur rectangulo ADB (demissa perpendiculari EB), et rectangulum DEA æquatur rectangulo sub AD in BE. Quarimus igitur Amaximum rectanguli ADB et rectanguli sub AD in BE bis aggregatum et, omnibus ipsi AD rectwe datwe applicatis, qu'eritur maximum rectarum DB et BE bis aggregatum.

Hoc autem est facile: fiat enim CB dimidia BE aut, quod idem est, sit BC quinta pars potentiai quadrati CE dati, punctum E satisfaciet proposito.

Fig. 106.
Fermat - Livre I - Figure 106.png

Ducatur enim tangens EF cum diametro producta in puncto F conveniens Aio summam rectarum DB, BE bis esse maximam.

Quum enim CB sit dimidia BE, ergo BE erit dimidia BF; ergo BF erit Tqualis duplRe BE: tota igitur DF rectis DB et BE his erit cqualis. Sed et patet aggregatum rectarum DB, BE bis esse maximum.

Sumatur enim quodvis punctum in semicirculo, < ut > 1, a quo demittatur perpendicularis IN.

A puncto autem I ducatur 1G parallela tangenti, occurrens cliametro in puncto G. Punctum G erit inter puncta F et D: alioqui parallela GI non occurret semicirculo.

Est

ut FB ad BE, ita GN ad NI,
propter parallelismum; sed FB est dupla BE: ergo GN est dupla NI, ideoque GN est æqualis NI bis, et tota GD aggregato rectarum DN etNI bis. Quum igitur GD (cui æquatur aggregatum DN, NI bis) sit minor recta DF (cui atquatur rectarum DB, BE bis aggregatum), ergo rectarum DB, BE bis aggregatum est maximum, et cylindrus qusesitus babet basim DE et latus EA.

Probabitur ex supra dictis rectam DE ad EA ita esse ut majus segmentum rectse extrema ac media ratione sectæ ad minus.

Sed et cylindrum dali ambitis eadem via iwnenire et construere possumus.

Statim quippe deducetur quwestio ad quœrendam rectarum DN, NI bis summam æqualem data recte. Sit recta data DG (quæ quidem ex superiori determinatione non potest esse major recta DF). Fiat rectæ FE parallela recta GI: punctum I satisfaciet quæstioni et quandoque duos cylindros exhibebit, quandoque unicum, propositioni satisfacientes.

Quum enim punctum G erit inter F et A, duo cylindri prestabunt propositum; si vero punctum G sit in A aut ulterlus, unicus tantuni cylindrus præstabit questionem [150].

VIII.
ANALYSIS AD REFRACTIONES.[151]

Esto circulus ACBI (fig. 108), cujus diameter AFDB separet duo media diversec nature, quorum rarius sit ex parte ACB, densius ex parte AIB. Ponatur centrum circuli punctum D, in quod incidat radius CD a puncto C dato. Quaeritur radius diaclasticus DI, hoc est punctum I ad quod vergit radius refractus.

Fig. 108.
Fermat - Livre I - Figure 108.png

Ducantur ad diametrum perpendiculares rectae CF, IH. Quum datum sit punctum C et diameter AB, necnon et centrum D, datur pariter punctum F et recta FD.

Sit ratio mediorum, sive ratio resistentie medii densioris ad resistentiam medii rarioris, ut recta data DF ad datam extrinsecus rectam M, qua quidem minor erit recta DF, quum resistentia medii rarioris sit minor resistentiâ medii densioris, ex axiomate plus quam naturali.

Mensurandi igitur veniunt motus, qui fiunt per rectas CD et DI, bene ficio rectarum MI et DF: hoc est, motus, qui fit per duas rectas, repriesentatur comparative per summam duorum rectangulorum, quorum unum fit sub CD et recta AM, et alterum sub DI et recta DF.

Eo itaque deducetur quæstio, ut ita secetur diameter AB in puncto H ut, ducta ab eo perpendiculari HI et juncta, DI, summa duorum rectangulorum sub CD et Ml et sub DI et DF contineat minimum spatium.

Quod ut secundum nostram methodum, quæ jam apud Geometras invaluit et ab Herigono [152] in Cursu suo mathematico ante annos plus minus viginti relata est, investigemus, radius CD datus vocetur N; radius DI erit item N; recta DF vocetur B et ponatur recta DHI esse A. Oportet igitur Nin M - N in B esse minimam quantitatem [153].

Intelligatur quuevis recta DO, ad libitum sumpta, esse equalis ignotse E, et jungantur rectse CO, 01. Quadratum rectwe CO, in terminis analyticis, erit

Nq. -- E q. - B in Ebis;

quadratum vero rectse 01 erit

Nq. +- Eq. +A in E his:

ergo rectangulum sub CO in k erit in iisdem terminis

latus quad. (Mq. in Nq. -+ Mq. in Eq. - Mq. in B in E his);

rectangulum vero sub 10 in B erit

latus quad. (Bq. in Nq. +- Bq. in Eq. 4- Bq. in A in E his).

Hæc duo rectangula debent, ex praceptis artis, adæquari duobus rectangulis l in N et B in N.

Ducantur omnia quadratice, ut tollatur asymmetria; deinde, ablatis communibus et termino asymmetro ex una parte collocato, fiat novus ductus quadraticus. Quo peracto, demptis communibus et reliquis per E divisis, ac tandem elisis homogeneis ab E affectis, juxta pracepta methodi qua- dudumn omnibus innotuit, et facto parabolismo, fit tandem simplicissima æquatio inter A et M: hoc est, a primo ad ultimum abruptis omnibus asymmetriarum obicibus, recta DH in figura fit æqualis rectæ M.

Unde patet punctum diaclasticum ita inveniri si, ductis rectis CD et CF, fiat ut resistentia medii densioris ad resistentiam medii rarioris, sive

ut B ad M, ita recta FD ad rectam DH,

et a puncto H excitetur recta HI ad diametrum perpendicularis et circulo occurrens in puncto I, quo refractio verget: ideoque radius a medio raro ad densum pertingens frangetur versus perpendicularem, quod congruit omnino et generaliter invento theoremati Cartesiano, cujus accuratissimam demonstrationem a principio nostro derivatam exhibet superior analysis.

IX.
<SYNTHESIS AD REFRACTIONES> [154].

Proposuit doctissimus Cartesius refractionum rationem experientiæ, ut aiunt, consentaneam; sed, earn ut demonstraret, postulavit et necesse omnino fuit ipsi concedi, luminis motum facilius et expeditius fieri per media densa quam per rara, quod lumini ipsi naturali adversari videtur.

Nos itaque, dum a contrario axiomate - motum nempe luminis facilius et expeditius per media rara quam per densa procedere - veram refractionumn rationem deducere tentamus, in ipsam tamen Cartesii proportionem incidimus. An autem contraria omnino via eiderm veritati occurri possit &krcapa Xoyt<oT, videant et inquirant subtiliores et severiores Geometræ; nos enim, missa matæotechnia, satius existimamus veritate ipsa indubitanter potiri, quam superfluis et frustatoriis contentionibus et jurgiis diutius inhærere.

Demonstratio nostra unico nititur postulate: naturam operari per modos et vias faciltores et expeditiores. Ita enim oc'l.aT concipiendum censemus, non, ut plerique, naturam per lineas brevissimas semper operari.

Ut enim Galilæus[155], dum motum naturalem gravium speculatur, rationem ipsius non tam spatio quam tempore metitur, pari ratione non brevissima spatia aut lineas, sed qute expeditius, commodius et breviori tempore percurri possint, consideramus. Hoc sdpposito, supponantur duo media diversœ naturia in prima figura (fig. 1o9), in qua circulus AHBM, cujus diameter ANB separat illa duo media, quorum unum a parte M est rarius, alterum a parte H est densius; et a puncto M versus H inflectantur quelibet recte MNH, MRH occurrentes diametro in punctis N et R.

Fig. 109.
Fermat - Livre I - Figure 109.png

Quum velocitas mobilis per MN, quw est in medio raro, sit major, ex axiomate aut postulato, velocitate ejusdem mobilis per NH, et motus supponantur uniformes in quolibet videlicet medio, ratio temporis motis per MN ad temlpus motus per NH componitur, ut notum est omnibus, ex ratione MN ad NH et ex reciproca ratione velocitatis per NH ad velocitatem per MN.

Si fiat igitur

it velocitas per MN ad velocitatem per NH, ita recta MN ad NI, tempus motus per MN ad tempus motis per NH erit ut IN ad NH.

Pari ratione demonstrabitur, si fiat

ut velocitas per medium rarius ad velocitatem per medium densius,

ita MR ad l/P,

tempus motus per MR ad tempus motus per RH esse ut PR ad RH.

Unde sequitur

tenmpus motus per duas MN, NH esse ad tempus motels per duas MR, RH uit summa duarum IN, NiH ad summarm duarum PR, RH.

Quum igitur natura lumen a puncto MA versus punctumn H dirigat, debet investigari punctum, ut N, per quod per inflexionemn acu refrac tionem brevissino tempore a puncto M ad punctum H perveniat : probabile namque est naturam, qut operationes suas quam citissime urget, eo sponte collimaturam. Si itaque summa rectarum IN, NH, quæ est mensura motûs per inflexam MNH, sit minima quantitas, constahit propositum.

Hoc autem ex theoremate Cartesiano deduci vera, non fucata, Geometria statim demonstrabit; proposuit quippe Cartesius:

Si a puncto M ducatur radius MN, et ab eodem puncto M demnittatur perpendicularis MD,fiat autem

ut velocitas major ad minorem, ita DN ad NS,
a puncto autlen S excitetur perpendicularis SH et jungatt r radius NH, lumen a medio raro in punctum N incidens refringi in medio denso versus perpendiculare7n ad punctum H.

Huic vero theoremati Geometria nostra, ut constabit ex sequenti propositione pure geometrica, non refragatur.

Eslo circulus AHBM, cujus diameter ANB, centrum N, in cujus circumferentia sumpto quovis puncto M, jungatur radius MN et demittatur in diametrum perpendicularis MD. Detur pariter ratio DN ad NS et sit DN major ipsa NS. A puncto S excitetur ad diametrum perpendicularis SH occurrens circumferentixe in puncto H, a quo jungatur centro N radius HN. Fiat

ut DN ad NS, ita radius MN ad rectam NI:
Aio summam rectarum IN, NH esse minimam: hoc est, si sumatur, exempli gratia, quodlibet puncturm R ex parte semidiametri NB, et jungantur recta MR, RH, fiat autem
ut DN ad NS, ita MR ad RP,
sumamam rectarum PR et RH esse majorem summa rectarum IN et Nl.

Quod ut demonstremus, fiat

ut radius MN ad rectam DN, ita recta RN ad rectam NO,
et
ut DN ad NS, ita fiat NO ad NV.

Ex constructione patet rectam NO minorem esse recta NR, quia recta DN est minor radio MN; patet etiam rectam NV minorem esse recta NO, quum recta NS sit minor recta ND.

His positis, quadratum rectæ MR æquatur quadrato radii MN, quadrato rectas NR et rectangulo sub DN in NR bis, ex Euclide; sed, quum sit, ex constructione,

ut MN ad DN, ita NR ad NO,
ergo rectangulum sub MN in NO æquatur rectangulo sub DN in NR, ideoque rectangulum sub MN in NO bis œquatur rectangulo sub DN in NR bis: quadratum igitur rectæ MR æquatur quadratis MN et NR et rectangulo sub MN in NO bis.

Quadratum autem rectas NR est majus quadrato rectæ NO, quum recta NR sit major recta NO: ergo quadratum rectse MR est majus quadratis rectarum MN, NO et rectangulo sub MN in NO bis. At hac duo quadrata, MN, NO, una cum rectangulo sub MIN in NO bis, sunt æqualia quadrato quod fit ab MN, NO tanquam ab una recta: ergo recta MR est major summa duarum rectarum MN et NO.

Quum autem, ex constructione, sit

ut DN ad NS, ita MN ad NI et ita NO ad NV,
ergo erit
ut DN ad NS,
ita summa rectarum MN, NO ad summam rectarum IN et NV,
Est autem etiam
ut DN ad NS, ita MR ad RP:
ergo
ut summna rectarum MN, NO ad summam rectarum IN, NV,
ita recta MR ad RP.

Est autem recta MR major summai rectarum MN, NO: ergo et recta PR est major summa rectarum IN, NV. Superest probandum rectam RH esse majorem recta HV; quo peracto, constabit summam rectarum PR, RH esse majorem summa rectarum IN, NH.

In triangulo NHR, quadratume RH tequatur quadratis HN, NR mulctatis rectangulo sub SN in NR bis, ex Euclide. Quum autem sit, ex constructione,

ut MN radius (sive NH ipsi zequalis) ad DN, ita NR ad NO,
ut autem DN ad NS, ita NO ad NV,
ergo, ex tequo, erit
ut HN ad NS, ita NR ad NV.

Rectangulum ergo sub HN in NV Tequale est rectangulo sub NS in NR, ideoque rectangulum sub HN in NV bis tequatur rectangulo sub SN in NR bis: quare quadratum HR œquatur quadratis HN, NR mulctatis rectangulo < sub > HN < in > NV bis.

Quadratum vero NR probatum est majus esse quadrato NV: ergo quadratum HR majus est quadratis HN, NV mulctatis rectangulo < sub > HN < in > NV his. Sed quadrata HN, NV mulctata rectangulo < sub > HN < in > NV bis æqualia sunt, ex Euclide, quadrato rectRe HV: ergo quadratumr HR quadrato HV majus est, ideoque recta HR major recta HV. Quod secundo loco fuit probandum.

Quod si puncture R sumatur ex parte semidiametri AN, licet rectte MR, RH sint in directum et rectam lineam constituant, ut in secunda figura (fig'. io), - demonstratio enim est generalis in quolibet casu -- idem continget: hoc est, rectarum PR, RH summa erit major summni rectarum IN, NH.

Fiat, ut supra,

ut MN radius ad DN, ita RN ad NO,
et
ut DN ad NS, ita NO ad NV:

patet rectam RN esse majorem recta NO, rectam vero NO esse majorem rectâ NV. Quadratum MR Tquatur quadratis MN, NR mulctatis rectangulo DNR bis sive, ex superiori ratiocinio, rectangulo MNO bis. Quum autem quadratum NR sit majus quadrato NO, ergo quadratum MR erit majus quadratis MN, NO mulctatis rectangulo MNO bis; sed quadrata MN, NO, mulctata rectangulo MNO bis, equantur quadrato

Fig. 110.
Fermat - Livre I - Figure 110.png

rectæ MO: ergo quadratum rectwe MR quadrato rectat MO majus erit, ideoque recta MR erit etiam major rectâ MO.

Quum autem. sit, ex constructione,

ut DN ad NS, ita MN ad IN et ita NO ad NV,
ergo
ut MN ad IN, erit NO ad NV,
et, vicissim,
ut MN ad NO, ita erit NI ad NV,
et, dividendo,
ut MO ad ON, ita IV ad VN,
et, vicissim,
ut MO ad IV, ita ON ad NV, sive DN ad NS, sive MR ad RP.

Probatum est autem MR ipsa MO esse majorem: ergo PR recta IV major erit. Superest ergo probandum, ut ex omni parte constet propositum, rectam RH esse majorem summa duarum rectarum HN et NV; quod ex prsedictis est facillimum.

Quadratum enim RH æquatur quadratis HN, NR una cum rectangulo sub SN in NR bis sive, ex prademonstratis, una cum rectangulo sub HN in NV bis; quadratum autem NR est majus quadrato NV: ergo quadratum HR majus est quadratis HN, NV una cum rectangulo sub HN in NV bis. Unde sequitur rectam RH, ex superius demonstratis, esse majorem summat rectarum HN, NV.

Patet itaque rectas PR, RH (sive unicam rectam PRH quando id contingit) esse semper majores duabus rectis IN, NH. Quod erat demonstrandum.

NOVUS SECUNDARUM
ET
ULTERIORIS ORDINIS RADICUM
IN ANALYTICIS USUS.




Reductio secundarum et ulterioris ordinis radicum ad primas, quæ maximi est in Algebraicis momenti, unicam pro fundamento agnoscit duplicatse æqualitatis analogiam, eamque, quoties opus fuerit, iterandam progressus ipse quxestionis ostendit.

Proponatur

A cubus + E cubo æquari Z solido;
item
B in A + E quad. -- D in E equari N quad.

Ut secunda radix devolvatur ad primam, hSec sunto prsecepta:

Quæcumque a secunda radice adficientur homogenea in unam æquationis partem transeunto: ut, in superiori exemplo, quum

Ac. - Ec. æquetur Zs.,
ergo
Zs. - Ac. æquabitur Ec.
Similiter, quum
B in A - Eq. -- D inE equetur Nq.,
ergo
Nq. -B in A wequabitur E q. - D in E.

In utraque igitur equatione homogenea abs E (sive abs secunda radice) adfecta unam œquationis partem constituunt; si igitur duplicata ejusmodi æqualitas ad analogiam revocetur, erit

ut Zs.-Ac. ad Ec., ita Nq.- Bin ad Eq.+D in E.

Quum itaque facturn sub extremis comparabitur facto sub mediis, tanquam ipsi equale, omnia homogenea divisionem admittent per E (sive per secundam radicem); ut patet, quia secundus et quartus terminus abs E adficiuntur.

Erit nempe

Zs. inEq.- Ac. inEq. 4- Zs. in D inE - Ac. in D in E
æquale Nq. in Ec. - B in A in Ec.

Omnia dividantur toties per E, donec aliquod ex homogeneis adfectione sub E omnino liberetur: erit

Zs. in E - Ac. in E -v Zs. in D - Ac. in D
æquale Nq. in Eq. -- B in A in Eq.

Quo peracto, nova h1ec æquatio uno ad minus gradu depressior erit (quoad secundam radicem) quam elatior ex duabus primumn propositis: patet nempe elatiorem ex duabus primum propositis adfici sub cubo E, istius vero nullam abs E adfectionem excedere Eq.

Nec tamen sic quiescendum, sed iteranda duplicatæ aqualitatis analogia, donec adfectio secundæ radicis fiat tantum sub latere, ut asymmetria omnis evanescat.

Præparetur itaque ultima hlic quatio juxta modum præscriptum, ut homogenea sub E quomodocumque adfecta unam æquationis partem faciant. Erit itaque

Zs. in D - Ac. in D aquale
Nq. inEq. - B in A in Eq. - Zs. in E + Ac. in E.

Sed, ex duabus primum propositis, quæ depressior est, exhibet equationem sequentern, ut diximus:

Nq. -Bin A æquale Eq. - D in E.
Revocetur rursum ad analogiam duplicata ista iequalitas: erit itaque
Zs. in D - Ac. in D ad Nq. in Eq. - B in A in Eq. - Zs. in E - Ac. in E
ul Nq.-BinA ad Eq.- +DinE.

Quum itaque factum sub extremis equabitur facto sub mediis, tanquam ipsi æquale, omnia homogenea poterunt dividi per E, ut supra demonstratum est: erit nempe

Zs. in Eq. 4- Zs. in D q. in E - Ac. in D in Eq. - Ac. in Dq. in E
æquale Nqq. inEq.- Nq. in B in A inEq. - Nq. inZs. in E
- Nq. inAc. inE - B inin Nq. inEq.
- Bq. inAq. inEq. 4- B inZs. in A in E - B inAqq. inE,
et, omnibus abs E divisis, fiet tandem
Zs. in DinE + 7Zs. inDq. - Ac. inD inE -- Ac. inDq.
æquale Nqq. inE - Nq. inB in A i E - Nq. in Zs. - Nq. in Ac.
-B in AinNq. inE-+-Bq. inAq. inE -+B in Zs.iin A AB inAqq.

Quo peracto, nova hæc æquatio unius adhuc gradus depressionem (quoad secundam radicem) lucrata est, ut hic patet: quum enim homogenea sub E adfecta in unam equationis partem transierint, fiet

Zs. inDq. - Ac. in Dq.4- Nq. inZs. - Nq. inAc. - B inZs. in A +-B in Aqq.
sequale Nqq. inE -Nq. inB in A inE - B in A in Nq. in E
- B q. in Aq. inE -Zs. inD inE 4- Ac. in D in E.

Neque ulterius progrediendum, quum jam secunda radix sub latere tantum appareat, ideoque, solo applicationis beneficio, ipsius E relatio ad primam radicem manifestabitur: ut hic

æquabitur E,

quo tendendum erat.

Ut igitur duæ primum propositse radices in unam transeant, resu matur ex duabus prioribus equationibus quam volueris; depressior tamen idonea magis, ne altius ascendat equatio.

Quum itaque in una ex sequationibus primnun propositis

B in A - Eq. + D in E æquetur Nq.,

loco ipsius E subrogetur jam agnitus ejus valor per relationem vel ad terminos cognitos vel ad priorem radicem, que in exemplo proposito est A; et rursum sub hac nova specie ordinetur æquatio. Manifestum est evanuisse omnino secundam radicem et in æquationem ab omni asymmetria liberam itum esse, methodumque esse generalem.

Si enim plures duobus terminis proponantur incogniti, methodus iterata tertias, si opus fuerit, radices ad primas et secundas, deinde secundas ad primas, etc., eodem prorsus artificio reducet.

APPENDIX AD SUPERIOREM METHODUM [156].

Superiori methodo debetur perfecta et absoluta asymmetriarum in Algebraicis expurgatio; neque enim symmetrica climactismus Vietæa [157], quæ unicum hactenus ad asymmetrias fuit remedium, efficax satis et sufficiens inventa est.

Proponatur quippe

lat. cub. (B in Aq. - Ac.) + lat. quad. (Aq. + Z in A)
+ lat. quad. quad. (Dc. in A - Aqq.) -+ lat. quad. (G in A - Aq.)
æquari rectæ N.

Qua ratione ab asymmetriis hujusmodi extricabit se et qusestionenm suam analysta Vieteus? An non potius, dum crescet labor, crescet dif ficultas, et tandem, fatigatus et delusus, novum ab Analytice lumen exposcet?

Hoc sane luculenter superior methodus subministrat: unicum exemplum, idque brevissimum, adjungimus; recluso enim semel fundamento, cætera apertissime manifestantur.

Proponatur

lat. cub.(ZinAq. - Ac.) - lat. cub. (Ac. + B q. in A) æequari D.

Ita primum ordinetur æquatio ut unica ex asymmetriis unam illius partem faciat: fiat nempe

D - lat. cub. (Ac. + B q. in A) æqualis lat. cub. (Z in Aq. - Ac.).

Hoc peracto, omnes termini asymmetri a secundis et ulterioribus, si opus fuerit, radicibus denominentur, excepto eo quem unicum in unam æquationis partem rejecimus: fingatur, verbi gratia,

lat. cub. (Ac. +- Bq. in A) esse E.

Hac enim via ad earn, quam injungit superior methodus, duplicate æqualitatis analogiam deveniemus: erit nempe

D- E æqualis lat. cub. (Z in Aq. - Ac.),

et, omnibus in cubum ductis,

Dc. + D in Eq. ter- Dq. in E ter - Ec. wequabitur ZinAq. -Ac.

Sed, ex hypothesi,

Ec. æquatur Ac. + Bq. in A.

Ergo oritur duplicata sequalitas et in utraque, juxta methodumn, termini abs secunda radice adfecti in unam Tequationis partem sunt conjiciendi: erit nempe

ZinAq. -Ac. -Dc. tequalis D inEq. ter -Dq. inEter Ec.;

item

Ac. + Bq. in A æqualis Ec.

Iteretur toties operatio donec secunda radix ad primam revocetur; quo peracto, loco ipsius E, novus ipsius valor usurpetur et sub hac nova specie qusevis ex prioribus sequalitatibus ordinetur: omnia constabunt.

Nec inutilia adjungo, aut moror in superfluis: quis enim non videt singulos terminos asymrmetros posse eadem ratione, si non sufficiant secunde radices, tertiis, quartis, etc. in infinitum insigniri? Quo casu, quartam, sive ultimarm, radicem tanquam secundam considerabis; reliquas vero tantisper vel pro primis vel pro terminis cognitis habebis, donee ultima illa omnino evanuerit sive ad primas, secundas et tertias reducta fuerit. Simili prorsus artificio tertias reduces ad secundas et primas, ac denique secundas ad primas, ut jam ssepius inculcavimlus.

Nulla est ergo asymmetria quam non cogat exsulare hle mnethodus, cujus usus presertim eximius, imo et necessarius, in numerosa potestatum resolutione. Statim enim nempe atque asymmetriœ evanuerint, non deerit Vietæum [158] in arithmeticis quæstionibus artificium et, si veris explicari numeris quTestio non possit, proximL quantumvis libuerit suppetent solutiones, quum tamen proximas veris solutiones nullo pacto, quamdiu duraverint asymmetri1e, consequi possis.


SED et ulterius inquirenti obtulit se mira ad locorum superficialium plenam et perfectam notitiam exinde derivanda methodus, quas et iis problematis inservit, in quibus dantur ab initio plura quam requirat ipsa problematis construendi determinatio.

Quod ut clarius intelligas, sunt quædam problemata quse unicam tantum agnoscunt positionem ignotam, qut vocari possunt determinata, ad differentiam inter ipsa et problemata localia constituendam. Sunt alia quedam quæ duas positiones ignotas habent et ad unicam tantum nunquan possunt reduci: ea problemata sunt localia.

In prioribus illis unicum tantum punctum inquirimus, in istis lineam; sed, si problema propositum tres ignotas positiones admittat, problema hujusmodi non jam punctum duntaxat, aut lineam tantum, sed integram superficiem quæstioni idoneam investigat: indeque oriuntur loci ad superficiem, etc. in reliquis. Sicut auter in prioribus data ipsa sufficiunt ad determinationem qusestionis, ila in secundis unum datum deest ad determinationem, in tertiis vero duo tanturm data determinationem possunt complere.

At contra potest fieri ut, quemadmodum in his casibus data aut sufficiant aut desint, ita in plerisque aliis data ipsa superflua sint et abundent: exemplo res fiet evidens.

In recta AC (fig. 94) data, datur rectangulum ABC; datur etiam differentia quadratorum AB et BC.

Fig. 94.
Fermat - Livre I - Figure 94.png

In hoc casu plura patet offerri data quam determinatio ideoque solutio ipsius questionis exposcat. Frequentissimus tamen horum problematum, in Physicis presertim et apud artifices, est usus, eaque omnia per applicationem simplicem beneficio nostre methodi expediuntur, neque recurrendum ad extractionem radicum, licet equationes ad quasvis potestates ascendant.

Proponatur, verbi gratia, in quadam quæstione,

A cub. 4- B quad. in A wequari Z quad. in D;

item etiam, quum ex hypothesi qusestio supponatur esse abundans (has enim qusestiones abundantes, sicut locales deficientes, appellare consuevimus),

G sol. in A - A quad. quad. equari B quad. in N pl.

Duplicata hæc æqualitas ad analogiam revocetur et, ex præscripta methodo, consideretur unica nostra radix ignota, que in hoc exemplo est A, sicut in præcedentibus secundam aut ulterioris ordinis radicem consideravimus, et toties, juxta methodumn, iteretur operatio donec adfectio sub A per simplicem applicationem possit expediri, sive non tam ad primas radices quam ad terminos omnino notos reduci. Patebit solutio problematis simplicissima, nec analystam deinceps æquationes quadratics, cubicæ, quadratoquadraticœ, etc. remorabuntur.

Lubet et, coronidis loco, famosi illius problematis:

Datis ellipsi et puncto extra ipsius planum, superficiem conicam, cu jus vertex sit punctum datum et basis ellipsis data, ita plano secare ut sectio sit circulus,

solutionem, que huic methodo debetur, indicare, eamque simplicissimam.

Eo deducunt questionem Geometre ut, sumptis quinque punctis ad libitum in ellipsi et junctis rectis a vertice conice superficiei ad puncta illa, per junctas quinque rectas circulum describant; inveniuntque problema hoc pacto esse solidum. Sed, quum puncta in ellipsi sint infinita, si loco quinque punctorum sumantur sex, fiet problema abundans et orietur necessario duplicata sequalitas, quse tandem ignotam quantitatem per simplicem applicationem patefaciet.

Eadem ratione, si detur quecumque linea curva in piano aut etiam superficies localis, cujuscumque tandem gradus sint, invenientur diametri et axes figurarum; imo et in superficie locali exhibebuntur omnes omnino curvæ loci superficialis constitutive, etc.

Exponatur, verbi gratia, superficies conica, cujus vertex sit punctum datum, basis vero parabole aut ellipsis cubica aut quadratoquadratica aut ulterioris in infinitum gradus. Potest hujusmodi superficies conica, beneficio istius methodi, ita secari ut in ea exhibeatur quselibet curva quæ, ex constitutione figure, in ea superficie potest describi, et problematis solutio semper evadet simplicissima.

Nihil addimus de tangentibus curvarum [159] et plerisque aliis hujus methodi usibus: fient quippe obvii nee sedulam indagatoris analytici meditationem effugient.

< AD ADRIANI ROMANI PROBLEMA >[160]


Viro Clarissimo Christiano HUGGENIO P. F. S. T.[161]

Dum Francisci Vietae[162] celebre illud Ad problema Adriani Romani responsum accuratius anno superiore examinarem, et in verba capitis sexti incidissem quibus profitetur subtilis ille mathematicus haud scire se « an ipsemet » Adrianus « ejus quam proposuit sequationis genesim et symptomata pernoverit », subvenire cepit an ipsemet quoque Vieta æquationis illius famnosœ satis generalern tradiderit aut invenerit solutionem.

Proponentis quippe Adriani Romani verba haec sunt, emendante Vieta[163]:

Detur in numeris algebricis

45 (1) - 3795 (3) + 95634 (5) - 1138500 (7)
+ 7811375 (9) - 34512075 (11) + 105306075 (13) - 232676280 (15)
+ 384942375 (17) - 488494125 (19) + 4838418000 (21) - 3786588000 (23)
+ 236030652 (25) - 117679100 (27) + 46955700 (29) - 14945040 (31)
+ 3764565 (33) - 740259 (35) + 111150 (37) - 12300 (39)
+ 945 (41) - 45 (43) + 1 (45) æqualis numero dato;

quæritur valor radicis.

Sane perquam eleganter et doctissime, suo more, quæstionem propositam abduxit Vieta ad sectiones angulares et tabulam feliciter construxit, pag. 3i8 editionis Elzevirianæ[164], ad quotlibet in infinitum terminos, methodo qua usus est, facile extendendam, cujus beneficio dignoscitur quunam sequationes ad speciales angulorum sectiones pertineant.

Si enim, in sedibus numerorum imparium, sumatur primo

1C-3N aequalis numero dato

qui non sit major binario, reducitur quaestio ad trisectionem anguli. Si deinde

1QC - 5C + 5N aequetur numero dato

qui non sit etiam binario major, reducitur quaestio ad quintusectionem anguli. Si

1QQC-7QC + 14C - 7N æquetur numero dato
qui non sit item binario major, reducitur qusstio ad septusectionem; et si tabulalm in infinitum extendas, juxta methodum a Vieta præscriptam, terminus equationis ab Adriano propositse erit quadragesimus quintus tabuls, et qumestionem ad inveniendam quadragesimam quintain anguli dati partem deducet.

Verùm observandum est in his omnibus aquationibus contingere, ut iis solum ipsarum casibus inserviant sectiones angulares et methodus Vietæ, in quibus numerus datus, cui proponitur aquandus quilibet in numeris algebricis tabule terminus, binarium non excedit, ut jam diximus: si enim numerus datus sit binario major, silet statim omne sectionum angularium mysterium et ad quwestionis proposite solutionem inefficax dignoscitur.

Proposuerat tamen generaliter Adrianus dato terminoposteriore, inve niendum esse priorem: aliunde igitur quam a Vieta et a sectionibus angularibus petendum auxilium.

Proponatur, in primo casu, iC - 3N æquari numero qui non sit binario major, reducitur qusestio ad trisectionem, ut jam indicavimus. Sed, si C - 3N aquetur 4 vel alteri cuilibet numero binario majori, tune Tequationis proposite solutionem per methodum Cardani analystas expediunt. An autem, in ulterioribus in infinitum casibus, solutiones per radicum extractionern fieri possint, nondum ab analystis tentatum fuit; quidni igitur in hac parte Algebram liceat promovere, tuis præcipue, Huggeni Clarissime, auspiciis, quem in his scientiis adeo conspicuum eruditi omnes merito venerantur [165]?

Proponatur itaque

1QC - 5C + 5N æquari numero 4

vel alteri cuilibet binario majori. Obmutescet in hoc casu methodus Vietæ; hoc itaque, ut generaliter Adriano proponenti satisfiat, confidenter pronuntiamus: in omnibus omnino tabule prsedictæ casibus, quoties numterus datus est binario major, solutiones propositte questionis per extractionem radicum commodissime dari posse.

Observavimus quippe, imo et demonstravimus, in omnibus illis casibus, quæstiones posse deduci, sicut in cubicis ad quadraticas a radice cubica, ex methodo Cardani et Viete[166], sic in quadratocubicis ad quadraticas a radice quadratocubica, in quadratoquadratocubicis ad quadraticas a radice quadratoquadcatocubica, et ita uniformi in infinitum progressu.

Sit

1C- 3N aequalis 4,

verbi gratia. Norunt omnes radicem qusesitam, ex methodo prsedicta, aequari

radici cubicwa binomii 2 -+ /3- radice cubica apotomes 2 - 3.

Sed proponatur, in exemplo Viete et Adriani,

1QC - 5C + 5N aequari 4,

vel alteri cuilibet numero binario majori.

Fingemus, perpetua et ad omnes tabulæ casus producenda' in infinitum methodo, radicemt quæsitam esse I 0 - cujus beneficio resolvendo hypostases, evanescent semper homogenea simplici per extractionem radicum questionis resolutioni contraria; et, in hoc casu ad exemplum præcedentis, radix proposita æquabitur

radici quadratocubicæ binomii 2 + -/3
raclice quadratocubica apotomes 2 - V/3.

Si

1QQC-7QC+ 4C- 7N,

qui est numerus tabule septimus apud Vietam (ad exponentern namque maximte potestatis, qui est in hoc casu 7, respicimus), æquetur similiter numero 4, fingatur, ut supra, radix quœsita esse : evanescent pariter in hoc casu homogenea omnia solutioni per extractiones radicum adversa, et radix quæsita æquabitur

radici quadratoquadratocubicte binomii 2 + /3
+ radice quadratoquadratocubica apotomes 2 - V3;

et sic in infinitum.

Quod tu, Vir Eruditissime, non solum experiendo deprehendes, sed et demonstrando, quandocumque libuerit, assequeris: ea enim est equationum ex tabula Viete derivandarum specifica proprietas, ut semper ipsarum solutiones, in iis casibus in quibus homogeneum comparationis est binario majus, simplices omnino extractionis radicum beneficio evadant.

Vel igitur numerus datus, termino tabulie analytices equandus, est binarius vel minor binario vel eoderm binario major.

Primo casu semper radix proposita est ipse binarius.

Secundo devolvitur quwestio proposita secundum Vietam ad angulares sectiones.

Tertio per nostram methodum jam expositam, hoc est per extractionem radicum, facile expeditur.

Sit itaque numerus ille analyticus Adriani superius expositus

45 (1) - 3795 (2) etc. aequalis numero 4,
radix quæsita erit
radix quadragesimae quintae potestatis binomii 2 + /3
+ radice quadragesime quintc potestatis apotomes 2 - \/3.

Nec amplius in re perspicua et jam satis exemplificata immorandum, nisi quod monendum superest: extractionem radicis quadragesima quintte potestatis, sive inventionem quadraginta quatuor mediarum proportionalium inter duas quantitates datas, expediri facillime per extractionem radicis cubicte bis factam et extractionem radicis quadratocubicsa semel: quod numeri 5 et 9, qui numerum 45 metiuntur, satis indicant: 5 enim ad radicem quadratocubicam refertur et 9 ad radicem cubicam bis sumptam: ternarius enim, qui est cubi exponens, bis ductus novenarium producit.

Ideoque, per inventionem duarum mediarum proportionalium inter duas bis factam et inventionem quatuor mediarum inter duas senel, inveniuntur quadraginta quatuor medie et quaestioni nostræ satisfit, quemadmodum Vieta inventionem sectionis anguli in 45 partes, quat est questio vel æquatio Adriani, ad equationem cubicam bis factam et ad quadratocubicam semel, sive ad duplicem trisectionem et ad unicam quintusectionem, abduxit.

Nihil de multiplicibus aequationis vel questionis propositae solutionibus adjungimus; primogenitam tantum repraesentamus, de reliquis, quarum operosior est disquisitio, alias fortasse, si otium suppetat, fusius acturi.

Vale, Vir Clarissime, et me ama.

AD BON, CAVALIERII QUAESTIONES RESPONSA[167],


Dudum est ex quo, ad similitudinem paraboles Archimedes, reliquas in isfinitum quadravimus in quibus abscisse a diametro sunt inter se ut qucevis applicatarum polestates. Hanc scientiam, primis jam olim a nobis adinventam, Domino de Beaugrand aliisque communicavimus; fatendum tamen Dominum de Roberval, qui nobis indicantibus hujusmodi quæstiones est aggressus, earum solutiones suopte ingenio, quod perspicax et in his scientiis felicissimum habet, reperiisse.

Sed et pariter quoque centra gravitatunm in his figuris et ab ipsis compositis deteximus, idque methodo nobis peculiari[168], cujus etiam beneficio tangentes in lineis quibuscumque curvis, ipsarumque asymptotos, itno et qusecumque ad inventionem maximam et minimat pertinent problemata, feliciter construximus.

Sed ad rem: quærit eruditissimus Bonaventura Cavalieri quid de prædictis quadrationibus sit definiendumn. Huic operi regulam generalem aptavimus, cujus ope non tantum quando partes diametri cum potestatibus applicatarum conferuntur, solutionem damus, sed et quum qu'elibet partium diametri potestates cum quibuslibet applicatarum potestatibus comparantur: ita enim generaliter pronuntiamus.

Sit figura quasvis parabolica, si placet, EAF (fig. 111), sitque, exempli causa,

ut cubus CA ad cubum BA,
ita quadratoquadratum EC ad quadratocluadratum DB.

Sumo exponentes potestatum tam in applicatis quam in diametro. Exponens quadratoquadrati est 4 in applicatis, exponens cubi in diametro est 3.

Fig. 111.
Fermat - Livre I - Figure 111.png

Aio igitur parallelogrammum EH esse ad figuram EAF ut summa exponentium ambarum potestatum ad exponentem potestatis applicatarum. Erit igitur in hoc exemplo

parallelogrammum ambiens ad figuram EAF ut 7 ad 4.

Hinc patet, si sit, verbi gratia,

ut quadratoquadratum EC ad quadratoquadratum DB,
ita CA simpliciter ad AB,

quum exponens lateris sit unitas, ideo

parallelogrammum ad figuram hoc casu esse ut 5 ad 4.
Nec est dissimilis in omnibus omnino hujusmodi figuris in infinitum

progressus.

Verum igitur est quod dubitanter proponebat Vir doctissimus, nempe quum potestates applicatarum cum longitudine tantum portionum diametri, sive, ut loquuntur analyste, cum latere conferuntur:

trianguli duplilm,
ad parabolen ut 3 ad 2,
parallelogrammum esse ad parabolen cubicam ut 4 ad 3,
ad quadratoquadraticam ut 5 ad 4,
etc., in infinitum.

Sed si, manente recta CA, figura circumducatur ut fiat solidum, invenietur proportio cylindri EH ad hujusmodi solidum, hoc pacto

Summa dupli exponentis potestatis in diametro et exponentis potestatis in applicatis semel sumpti, ad exponentem potestatis in applicatis est ut cylindrus ad solidum.

Exemplum: esto

ut cubus EC ad cubumn DB, ita quadratum CA ad quadratum BA.

Exponens quadrati in diametro est 2, cujus duplum 4; junctum 3, exponenti potestatis in applicatis semel sumpto, facit 7:- est igitur

ut 7 ad 3 (exponentem potestatis in applicatis), ita cylindrus ad solidurn.

Quo posito, secundwe questioni fit satis.

Centra gravitatum, in omnibus hujusmodi figuris, tam planis quam solidis, secant diamietros in proportione vel parallelogrammi ad figuram planam, vel cylindri ad solidum.

Sed, si figura circumvolvatur circa EF, fit jam solidumn non simplex, ut superiora, sed compositum. Ejus tamen proportio ad cylindrum ambientem facillime ex simplicibus accuratus Geometra derivabit, imo et ipsam centri gravitatis positionem. Quc tamen omnia, si placeat Domino Bonaventuræ, demonstrative et prolixius exsequemur. Dum quaerit an curvae ultra triangulum et parabolen[169] possint esse conicæ sectiones, non videtur meminisse singularum proprietatis: tam enim hoc < est> impossibile quam sectionem sphæræ per planun dare parabolas aut hyperbolas aut ellipses.

Ut, horum vice, problemata quaseam ex Italia communicet, ex animo rogamus.

< AD LALOVERAM PROPOSITIONES > [170]

I.

Sit (fig. 112) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rectum latus AE. Quaeritur ratio curve AB ad rectam BC.

Fig. 112.
Fermat - Livre I - Figure 112.png

Esto hyperbole MLO, cujus centrum G, transversum latus FL æquale rectæ AE quse est rectum date paraboles latus; axis hyperboles sit LN, rectum vero illius latus sit aequale lateri transverso, ut nempe rectangulum quodvis FNL sit vequale quadrato applicatae MN. Ad punctum G excitetur perpendicularis GH æqualis rectme BC in parabola; deinde, ductis rectis HM1 et LI, ipsis GN et GH parallelis, per punctum M, in quo recta HM occurrit hyperbolae, ducatur applicata MN.

Aio quadrilaterum MHGL, cujus tria latera sunt reclt MH, HG, GL, quartum vero latus curva hyperboles ML, esse ad rectangulum IG ut curva parabolica AB est ad rectam BC.

II.

Data sit (fig. 113) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rectum latus AE; circa applicatam BC volvatur spatium parabolicum BAC. Quteritur dimensio superficiei curvæ illius solidi.

Exponatur hyperbole MNH, cujus axis HI, transversum latus HF aequale quartt parti lateris recti paraboles, sive rectte AE; rectum vero illius hyperboles latus sit tequale transverso, ut nempe rectangulum quodvis FIH sit sequale quadrato applicate IM. Fiat recta HI 0equalis recte AC axi paraboles, et ducatur applicata IM. A rectangulo sub CA

Fig. 113.
Fermat - Livre I - Figure 113.png

in curvam parabolicam BA auferatur spatium hyperbolicum IMH; reliquum quadretur.

Diagonia illius quadrati erit radius circuli < wequalis > superficiei curvæ solidi quod fit a rotatione spatii ABC circa applicatamn BC.

III.

Sit serniparabole quevis AC (fig. 114), cujus vertex A, axis AB; ab ea curva formentur alie curva infinitme, ut AF, AE, AD, etc.

Fig. 114.
Fermat - Livre I - Figure 114.png

Ita autem formantur: in curva AF, applicata BF est wqualis curvm parabolice CA et, sumpto similiter quovis puncto N, a quo ducatur applicata NP, applicata NP est etiam equalis curvwe parabolice AO. In curva EA, applicata EB equatur curvæ secundi gradus FA, et illius applicata QN æquatur portioni < ejusdem curvse> secundi gradus PA. Item in curva AD, applicata BD mequatur curvce tertii gradfus EA, appli cata vero NR portioni ejusdem curvte tertii gradus QA: et sic in infinitum.

Aio omnes hujusmodi in infinitum curvas rationem habere datam ad parabolas primarias, hoc est simplices; enuntiari quippe potest generale theorema hoc pacto:

Continuetur parabole primaria AC in infinitum per puncta, verbi gratia, M, L, K, et illius axis similiter ad puncta quotlibet G, HI, I producatur; fiant rectse BG, GfH, HI singule sequales axi AB, et ducantur applicatte GM, HL, IK.

Curva parabolica AM est ad curvam secundi gradiis AF ut applicata GM ad applicatam BC.

Curva parabolica AL est ad curvam tertii gradtis AE ut recta HL ad BC rectam.

Curva parabolica AK est ad curvam quarti gradus AD ut applicata KI ad rectam BC.

Et sic in infinitum.

SI vero intelligantur AMG, AFB circa applicatas GM, BF rotari, superficies curva ex rotatione spatii AMG circa rectam GM erit ad superficiem ex rotatione spatii AFB circa rectam BF ut cubus rectve GM ad cuburn rectæ BC.

Similiter superficies curva ex rotatione spatii ALH circa HL erit ad superficiem curvam ex rotatione spatii AEB circa rectam BE ut cubus recte HL ad cubum rectae BC.

Et sic in infinitum.

IV.

Esto figura semicycloides BA (fig. 115, 116), a qua formetur alia curva DA eâ conditione ut applicatae BC, CD; FO, EO sint inter se semper in eadem ratione data. Demonstrarunt Geometrae [171] semicy cloidem BA esse duplam recte AC, quse est diameter circuli cycloidem producentis. Qusritur relatio curvarum AD ad alias lineas aut curvas aut rectas. Ita autem generaliter definimus: Si hæ novwe curvwe sint intra cycloidem et diametrum circuli generantis, ut contingit in figura quarta (fig. 115), omnes hse curvœ AD earumque portiones erunt wequales

Fig. 115.
Fermat - Livre I - Figure 115.png

curvis parabolicis; quod si nova curve sint exteriores cycloidi, ut in figura quinta (fig. I16), omnes hse curvæ AD earumque portiones datam habebunt rationem ad summami rectarum et circumferentiarumn circularium.

Enuntiari potest in figura quarta (fig. Ii5) generalis propositio hoc pacto: Fiat

ut differentia quadratorum BC et CD ad quacdratum CD,
ita quadrupla recte AC acl rectam AM,

et per punctum A tanquam verticem descrihatur parabole cujus rectum latus sit AM et axis AC; occurrat autem parabole recte BDC productie in puncto G, rectwe vero FEO in puncto H. Ratio curve AG parabolicse ad curvam AD erit data, eadem nempe potestate que est quadrati BC ad differentiam quadratorur BC, CD.

Eadem vero erit ratio portionumn A1 et AE.

Ratio vero superficierum curvarum quwe oriuntur ex rotatione spatii ACG circa applicatam CG et ex rotatione spatii ADC circa rectam DC eadem est quse curvarum AG et AD. Similiter in portionibus AOH, AEO circa rectas OH et OE rotatis.

In figura autem quinta (fig. 116), in qua curva AD est exterior cycloidi AB, fiat

ut differentia quadratorum CB, CD ad quadratum CD,
ita recta AC ad AM
rectae AC in directum positam; super recta AM describatur semicirculus, quem rectae DBC, EFO secent in punctis G et H. Ratio curvae
Fig. 116.
Fermat - Livre I - Figure 116.png

AD < ad > summam curvæ circularis AG et rectae GC dabitur: erit nempe

ut quadratum BC ad differentiam quadratorum DC, CB,
ita potestate summa linee circularis AG et recte GC ad curvam AD,

et similiter summa linete circularis AH et rectte HO in eadem erit ratione ad curvam AE.

V.

Sit in figura sexta (fig. 117) parabole AC, cujus vertex A, axis AB, applicata CB; a curva parabolica CA deriventur alie in infinitum curve CD, CE, CF, simili qua in figura tertia (fig. I 4) usi sumus methodo, nisi quod in hac terminum applicatæ servamus, in ilia vero terminum axis eumdem semper retinemus.

Fig. 117.
Fermat - Livre I - Figure 117.png

Ducatur nempe GHIOM (fig. 117) axi AB parallela: ca erit natura curvarum hujus speciei, ut recta BD, quse secat in D curvan CID secundi gradiis, sit æqualis curvæ parabolicæ AC, recta item GI sit equalis CH portioni parabolice; recta autem BE quse secat < in E > curvam tertii gradu s COE, sit æqualis curvæ DIC secundi graduis; et sic de cæteris in infinitum, earunque portionibus.

Aio omnes hujusmodi curvas, CD, EC, FC in infinitum, æquales esse curvis parabolicis primariis seu simplicibus, diversis tamen a parabolis quse Tequantur curvis juxta methodum tertite figuræ generatis. En itaque theorema generale :

Exponatur parabole RP, cujus axis RQ wqualis axi AB prioris paraboles, rectum vero latus RU sit duplum recti lateris AN: Aio parabolen RP ita descriptam wequalem esse curve CID.

Si vero, manente axe RQ æquali AB, rectum latus RU fiat triplum recti lateris AN, tunc curva parabolica RP erit æqualis curvse COE.

Si vero, manente semper axe RQ aequali axi AB, rectum latus RU fiat quadruplum recti lateris AN, tune curva parabolica RP erit æqualis curvse CMF.

VI.

Si autem circa rectas AB, BD, BE, BF rotentur spatia ACB, DCB, ECB, FCB in infinitum, dantur circuli sequales omnibus et singulis superficiebus curvis solidorum inde oriundorum, eadem omnino facilitate qua in conoide parabolico, ex parabola AC circa axem AB descripto, circulum curvæ ipsius superficiei equalem repr.esentamus. Ejus vero constructionem non adjungeremus, quum jam ab aliis [172] inventam audierimus (licet eorum scripta hac de re ad nos non pervenerint), nisi quod nostra hec constructio ad methodum generalem in omnibus conoidibus circa axes BD, BE, BF novarum istarum curvarum in infinitum producendis facillime producitur. In figura sexta (fig. 117) circa rectam BD rotetur curva CD, superficies curva inde oriunda hoc pacto invenitur

Fiat, ex superiore methodo, curva parabolica RP œqualis curv.e CID; circa rectam RQ rotetur parabole RP. Superficies conoidis parabolici RPQ ad superficiem conoidis DICB erit ut applicata PQ ad applicatam CB.

Si PR parabole juxta prsecedentem methodum fiat œqualis curvet COE, conoides parabolicum RPQ dabit superficiem curvam quse ad superficiem curvam conoidis EOCB erit ut applicata PQ ad applicatam CB.

Et sic in infinitum.

VII.

Sit in figura septima (fig. 118) parabole FBAD, cujus axis EA, applicata FE. Queritur dimensio superficiei curvæ solidi quod fit a spatio ABFE circa axem AE rotato.

Fig. 118.
Fermat - Livre I - Figure 118.png

Fiat AC œqualis quartæ parti recti lateris et applicetur CB; fiat EH æqualis AC et applicetur GH; quadretur CBGH (hoc autem est facile ex Arclimede).

Diagonia quadrati spatio CBGH æqualis est radius circuli œqualis superficiei curvce conoidis FAD circa axem AE.

VIII.

Videat subtilis ille Geometra[173], qui nuper æqualitatem helicis et paraboles demonstravit, an potuerit universalius concipi theorema et helices infinite cum infinitis parabolis eleganter comparari, sequentis propositionis beneficio generaliter, si libuerit, enuntianda et exemplificandae.

Proponatur (fig. 119) helix cujuscumque in infinitum speciei in figura 38 libelli Dettonvillani[174], in qua potestas qusevis radii AB ad

Fig. 119.
Fermat - Livre I - Figure 119.png

potestatem similem rectae AC sit in ratione potestatis cujuslibet circumferentiæ totius BE8B ad potestatem similem portionis periphericæ E8B.

Exponatur separatim parabole cujus semibasis sive ultima applicatarum RP æquetur radio AB, axis vero AR portioni circumferentie totius BE8B, cujus numerator æquetur exponenti potestatis diametri AB, denominator vero sequetur aggregato exponentium potestatum diametri AB et circumferentiaw BE8B; denique potestates applicatarum in parabola, quarumn exponens equatur aggregato exponentium potestatumr diametri AB et circumferentite BE8B, sint inter se ut potestates portionum axis, quarum exponens est sequalis exponenti circumferenti; BE8B.

Aio helicem ita effictam parabola ita constructe fore semper et in quocumque casu aequalem.

Exempli gratia, proponatur primurn helix Archimedea et parabole simplex et sit

ut radius AB ad rectam AC,
ita circumferentia tota BE8B ad ejusdem portionern E8B.

Construatur separatim parabole AQP, cujus ultima applicatarum sive basis RP sit equalis radio AB; axis autem AR sit æqualis portioni circumferentie BE8B, cujus numerator sit œqualis exponenti potestatis diametri AB, qui in hoc casu est I; denominator verb xequetur summœ exponentium potestatum diametri et circumferentie, hoc est binario: namn exponens potestatis periphericæ in hoc casu est etiam:i. Sit itaque AR axis sequalis dimidio circumferentiwe helicis constitutivæ; sit autem in parabola ut potestas applicate RP, cujus exponens sequatur summœ exponentium diametri et circumferentie, hoc est, in hoc casu, numero 2, ad potestatem similem applicatse 6Q, ita potestas rectæ AR, cujus exponens æquatur exponenti circumferentiæ BE8B, sive i in hoc casu, ad similem potestatem recte A6, hoc est sit

ut quadratum rectæ RP ad quadralum rectT 6Q,
ita recta RA ad rectam 6A.

Curva parabolica PQA erit equalis helici BCDA.

Esto jam

ut quadratum AB ad quadratum AC,
ita tota circumferentia BE8B ad portionem E8B:

exponens potestatis diametri AB in hoc casu est 2, circumferentiae vero, 1. Parabole ita construetur juxta prxedictum canonem :

Applicata RP equabitur radio AB, axis AR œquabitur bessi vel duobus trientibus circumferentiæ BE8B et erit

ut cubus RP ad cubum 6Q, ita recta RA ad rectam 6A.
Hujusmodi vero parabole helici correlat sequalis erit.

Esto deinde

ut recta AB ad rectam AC,
ita cubus circumferentiw BE8B ad cubum portionis E8B.
In parabola, applicata RP aequabitur radio AB, axis vero AR aequabitur quadranti circumferentiœ BE8B, et erit
ut quadratoquadratum RP ad quadratoquadratum 6Q,
ita cubus RA ad cubun 6A.
Hæc autem parabole huic helici erit tequalis.

Denique sit in helice

ut quadratum radii AB ad quadratum rectie AC,
ita cubus circuinferentiwe BE8B ad cubum portionis E8B.

In parabola huic helici correlata et equali, applicata RP erit sequalis, ut semper, radio AB, recta vero RA erit equalis duabus quintis partibus circumferentie BE8B, et erit in parabola

ut quadratocubus applicatu RP ad quadratocubum applicatwe 6Q,
ita rectre AR cubus ad cubum rectæ 6A.

Nec dissimilis in helicibus et parabolis cujuslibet speciei invicem comparandis in infinitum erit methodus. Helicis autem, sive deminute sive auctt, portiones cum portionibus paraboles correlatte nullo negotio comparabuntur. Unde sequitur dari intra circulum infinitas numero helices specie et quantitate diversas; imno dantur infinitœ ipsa circumferentia majores: quod inter miracula geometrica potest numerari. Nulla tamen datur quæ non sit minor aggregato circumferentia et radii, et nulla etiam qune non sit radio major [175].

DE LINEARUM CURVARUM

CUM LINEIS RECTIS COMPARATIONE DISSERTATIO GEOMETRICA. [176]

Nondum, quod sciam[177], lineam curvam pure geometricam rectæ date geometræ adæquarunt. Quod enim a subtili illo mathematico Anglo nuper inventum et demonstratum est: cycloidem nempe primariam ciametri circuli ipsam generantis esse quadruplam, hoc suam, ex sententia doctissinorum geometrarum[178], videtur habere limitatio nem : ii quippe hanc esse legem et ordinem naturæ pronuntiant ut non sinat inveniri rectam curvæ æqualem, quin prius supposita fuerit alia recta alteri curvæ æqualis. Quod quidern in exemplo cycloidis ab ipsis allato ita se habere deprehendunt, nec nos diffitemur, quum constet descriptionem cycloidis indigere æequalitate alterius curvæ cum recta, hoc est, circumferentiæ circuli cycloidem generantis cum recta quæ est basis ipsius cycloidis. Sed quam vera sit hæc, quam statuunt, lex naturæ, et quam periculosum ab uno aut altero experimento statim ad axioma properare, infra patebit : nos enim curvam vere geometricam, et ad cujus constructionem nulla talis alterius curvæ cum recta æqualitas prœcessisse supponatur, rectæ datæ æqualem esse demonstrabimus et paucis, quantum fieri potuerit, toturn negotium absolvemus.

Propositio I.

Sit, in figura prima (fig. 120), curva quævis AHMG in easdem partes cana, exempli causa, una ex parabolis infinitis in qua tangentes extra

Fig. 120 (1).
Fermat - Livre I - Figure 120.png

curvam cum base AF et axe FG concurrant, et sumatur in hujusmodi curvâ quodvis punctum H per quod ducatur tangens IHK, in qua sumptis ex utraque parte punctis K et I, demittantur perpendiculares IB, KD in basim AF, quæ secent curvam in punctis R et M : Aio portionem tangentis HI portione curvæ RH esse minorem, portionem autem ejusdem tangentis HK portione curæ HM esse majorem. Quum enim, ex hypothesi, tangens KI occurrat basi AF extra curvam, ergo angulus CHI, qui fit ab intersectione perpendicularis in basim HC et tangentis HI, erit minor recto, ideoque a puncto H demissa perpendicularis in rectam BI cadet in punctum V supra puncta B, R, I. Patet itaque rectam HV minorem esse recta HI; item rectam HI minorem esse recta que puncta H et R conjungit: ergo, a fortiori, recta HI minor erit portione curvet HR, quam recta ab H ad R ducta subtendit. Quod primo loco fuit demonstrandum.

Aio jam portionem KH portione curvse HM esse majorem.

A puncto K ducatur ad eamdem curvam tangens KN, et demittatur perpendicularis NE. Ex prxedemonstratis, probatum est rectam KN esse minorem portione curvæ NM; sed, ex Archimede [179], summa tangentium HK, KN est major tota portione curvæ HN: ergo portio tangentis HK portione curvœ HM major erit. Quod secundo loco fuit ostendendum.

Nec moveat tangentem a puncto K ultra punctum G aliquando occurrere curvæ: hoc enim casu aliud punctuin inter K et M sumi poterit, et omnia ad prtecedentem demonstrationem aptari.

Inde sequitur, si a punctis K et I ducantur perpendiculares ad axem, curvam in punctis 0 et P secantes, hoc casu tangentem HI curva HO esse majorem, tangenter vero HK curva HP esse minorem.

Si enim imaginemur inverti figuram ita ut axis in locum baseos, basis in locum axis transferatur, non solum similis in hoc casu, sed eadem omnino erit demonstratio.

Patet autem, ex ipsa constructione, si rectæ BC et CD sint œquales, portiones tangentis HI et HK esse item inter se æquales, quod tanmen summopere notandum.

Propositio II.

Ad dimensionem linearum curvarum non utimur inscriptis et cir cumscriptis more Archimedeo [180], sed circumscriptis tantum ex portionibus tangentium compositis: duas enim series tangentium exhibemus, quarum una major est curva, altera minor. Demonstrationes autem multo faciliorem et elegantiorem per circumscriptas solas evadere analystæ experientur.

Possibile igitur, ut vult methodus Archimedea, pronuntiamus cuilibet ex curvis jam prcedictis circumscribere duas figuras ex rectis constantes, quarunm una stperet cuream interallo quovis dato minore, altera autem superetur a curva intervallo etiam dato minore.

Exponatur curva aliqua ex prædictis in secunda figura (fig. 121). Secetur basis AG in quotlibet portiones æquales AB, BC, CD, DE, EF, FG, et a punctis B, C, D, E, F erigantur perpendiculares BQ, CV, DZ, ER, FM, quae occurrant curvae in punctis P, T, Y, N, O; ducantur item tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, OI.

Fig. 121 (2).
Fermat - Livre I - Figure 121.png

Ex prima propositione patet tangentem AQ portione curvay AP esse majorem; item tangentem PV portione curvæ PT esse majorem, et sic de reliquis, tandemque etiam ultimam OI portione curve OH esse majorem. Ergo figura, constans ex omnibus istis tangentium AQ, PV, TZ, YR, NM, OI portionibus, curva ipsâ major erit.

At exponatur eadem curva in tertia figura (fig. 122), cujus basis AG in eumdem portionum æqualium numerum dividatur in punctis B, C, D, E, F; a punctis B, C, D, E, F, ut supra, erigantur perpendiculares BR, CQ, DO, EL, FI, quæ occurrant curvæ in punctis S, P, N, M, K; a puncto autem S (in hac tertia figura) ducatur tangens ST, occurrens perpendiculari AT; deinde a punctis P, N, M, K, H ducantur tangentes PR, NQ, MO, KL, HI, occurrentes perpendicularibus BS, CP, DN, EM, FK in punctis R, Q, 0, L, I.

Ex prima propositione patet tangentem ST portione curvæ AS esse minorem; item tangentem PR portione curvie PS esse minorem, et sic deinceps, tandemque ultimam IH (quæ parallela est basi) portione curva KH esse minorem. Ergo figura, constans ex omnibus istis tangentium ST, PR, NQ, MO, KL, HI portionibus, curva ipsa minor erit.

Quum autem, ex corollario propositionis primie, partes tangentium ab coder puncto curvT utrimque productarum et portionibus baseos hine inde sequalibus oppositarum sint inter se Tequales, patet (quum

Fig. 122 (3).
Fermat - Livre I - Figure 122.png

secundæ et tertise figurte curvæ supponantur sequales aut eadem potius, licet vitandæ confusionis causa duas figuras descripserimus) tangentem ST tertice figurce equalem esse tangenti PV secundc figurwc. Quum enim punctum S in tertia figura idem omnino sit cum puncto P secundæ figure et portiones baseos AB, BC in utraque figura sint inter se equales, portiones tangentium ex utraque parte ipsis oppositarum, nempe recta ST in tertia figura et recta PV in secunda, inter se æquales erunt.

Probabitur similiter tangentem PR tertiæ figurie equalem esse tangenti TZ secundæ, et sic de ceteris; quo peracto, constabit primam tantum secundæ figuræ et ultimam tertise nulli ex portionibus figura~ contrariæ œqualem esse: excessus igitur, quo figura secunda superat tertiam, est idem quo tangens AQ secundwe figuræ superat tangentem III tertie figuræ. Sed recta IH, propter parallelas,:equatur portioni baseos FG sive AB (supponuntur enim omnes baseos portiones equales in utraque figura): ergo figura secunda, ex tangentibus curva majori bus composita, superat figuram tertiam, ex tangentibus curva minoribus compositam, eo ipso quo in secunda figura tangens AQ superat portionem baseos AB, ipsius oppositam intervallo.

Si igitur velimus duas figuras curve circumscribere, alteram majorem curva, alteram verb minorem, quse se invicem excedant intervallo minore quocumque dato, facillima erit constructio. Quum enim, ex Methodo tangentium jam cognita, detur tangens ad punctum A (fig. 121),

Fig. 121 (2).
Fermat - Livre I - Figure 121.png

dabitur angulus QAB; sed angulus QBA est rectus: ergo datur triangulum QAB specie, datur itaque ratio recta AQ ad AB. Cavendum itaque est ut divisio baseos ita instituatur ut differentia rectarum AQ et AB sit minor quacumque recta data: quod ita assequemur, si quæramus duas rectas in data ratione quet se invicem excedant recta data que sit minor ea quæ data est. Hoc autem problema est facile, et curandum deinde ut portio quselibet baseos, AB, non sit major minore duarum quæ dicto problemati satisfaciunt.

Quum igitur hac ratione invenerimus duas figuras curve circumscriptas, alteram majorem, alteram minorem dicta curva, quæ se invicem excedunt intervallo minore quocumque dato, a fortiori major ex circumscriptis superabit curvam intervallo adhuc minore, et minor ex circumscriptis superabitur a curva intervallo adhuc minore.

Patet itaque ex nostra hac methodo per duplicem circumscriptionem commodum præberi aditum ad methodum Archimedeam, quum agitur de dimensione linearum curvarum. Quod semel monuisse et demonstrasse suffciet.

His positis, secure pronuntio inveniri posse curvam vere geometricam data rectee æqualem: ea vero est una ex infinitis parabolis, quas olim spe culati sumus [181], illa nempe in qua cubi applicatarum ad axem sunt inter se ut quadrata portionum axis. De quo ne dubitent geometræ, ita breviter demonstro.

Propositio III [182].

Sit in quarta figura (fig. I23) parabole, quarmn jam indicavimus, MIVA, culjus vertex A, axis AN, et inz qua, sumpto quoois puncto I et ductis

Fig. 123 (4).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 123.png

perpendiculacribus sel applicatis ad axem rectis MIN, IF, cubus rectce MN sit ad cubumnum ctce IF lt quadcrturim recte NA ad quadratum rectce FA, idque semper contingat; pro baindln est crtarva MIA rectce cldatce cequalem esse.

Fiat

ut quadratum axis AN ad quadratum applicatæ NM,
ita recta NM ad rectam AD ipsi AN perpendicularem.

Patet rectam AD esse rectum dlict paraboles latus, hoc est:

solidum sub AD in quadratum recte AN tquari cubo applicatle NM,

item, sumpto quovis alio puncto, ut I,

solidum sub AD in quadratum AF æquari cube applicate IF;

quod non eget demonstratione: in facilibus enim non immoramur.

Ducatur tangens ad punctumr I, et sit illa IOE, queC cum axe AN in puncto E concurrat. Ex Methodo tangentiurm constat rectam FA rectat AE esse duplam, ideoque

rectam FE ad rectam AF esse ut 3 ad 2,
quadratum vero rectte EF esse ad quadratum recte AF ut 9 ad 4.

A recta AD abscindatur nona ipsius pars CD, et reliqua CA bisecetur in B: erit igitur

DA ad AB ut 9 ad 4, sive ut quadraturn EF ad quadratum AF.

Solidum itaque sub AD in quadratum AF tequale erit solido sub quadrato FE in rectam AB; sed solidum sub AD in quadratum AF est æquale cubo recte IF: ergo solidurn sub recta AB in quadratum EF est œquale eidem cubo recthe IF. Est ergo

ut quadratum EF ad quadratuln IF, ita recta IF ad rectam Al3,
et, componendo, sunmma quadratorum EF et FI, hoc est unicum
quadraturn tangentis IE esl ad quadratum IF,
ut summa rectarum IF et AB ad AB.

Si autem ducatur a puncto I perpendicularis ad basim, recta IH et alia quavis perpendicularis GQVO occurrens applicate IF in Q, curvia in V et tangenti in 0, propter similitudinem triangulorum, erit

ut IO ad IQ sive ipsi equalern HG,
ita tangens IE ad applicatam IF,
et
ut quadraturn 10 ad quadratumn HG, ita quadraturm IE ad quadraturm IF.
Ut autem
quadratum IE ad quadratum 1F,
ita summa rectarum IF et AB ad rectam AB.
Ergo
quadratum 10 ad quadrattum HG erit semnper
ut sumina rectaruin IF et AB ad rectam AB.
Quod demonstrare oportuit.

Inde sequitur, si rectae MN ponatur in directum recta NX rectae AB aequalis, esse semper

ut quadratum tangentis IO ad quadratum rectæ HG,
vel ut quadratum tangentis IY ex altera parte ad quadratum rectae oppositae RH (utrobique enim, propter parallelas, eadem est ratio),
ita rectam HIX ad rectam NX.

Recta enim HX aequalis est summæ rectarum IF et AB, et recta NX est aequalis AB. Hoc autem patet ex constructione: recta enim HN, propter parallelas, æqualis est rectæ IF, et reliqua NX facta est æqualis rectae AB.

Propositio IV.

Exponatur in quinta figura (fig. 124) nostra hec parabole AXE, cujus sit ea, ut diximus, natura ut cubi applicatarum sint inter se in ratione quadratorum portionum axis. Sit ejus axis AI, basis aut semibasis EI.

Fig. 124 (5).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 124.png

Ex datis axe AI et applicata IE invenitur, ut superius diximus, rectum latus AD, a quo abscissâ nonâ ipsius parte CD, et reliquâ AC bifariam divisâ in B, secetur basis EI in quotlibet libuerit portiones æquales EF, FG, GH, HI, et a punctis F, G, H excitentur perpendiculares FX, GY, HZ, curvae occurrentes in punctis X, Y, Z. Ad puncta autem E, X, Y, Z ducantur tangentes ER, XS, YT, ZV, occurrentes perpendiculariIus FX, GY, HZ, IA productis, in punctis R, S, T, V. Ponatur recta El in directum recta IK sequalis rectæ AB.

Patet, ex prcedente propositione et ipsius corollario,

quadraturm tangentis ZV ad quadratumi rectæ HI
esse ut rectam HK acd rectam K[;
similiter
ut quadraturm tangentis YT ad quadratum recle GtH,
ita rectarn GK ad rectam KI;
item
quadratum tangentis XS ad quadratum rectl FG
ut rectain FK ad rectam KI;
denique
ut quadratlum tangentis ER ad quadratur n recth El,
ita rectam EK ad rectam KI.

His positis, a puncto K excitetur KL perpendicularis ad rectam EK, et fiat recta KL tequalis rectæ KI sive AB; intelligatur jam per puncturm K, tanquar verticem, axem autem KE, describi parabole simplex sive Archimedea, cujus rectum latus sit KL, et sit illa parabole K1iQ, ad quam. excitentur pelpendiculares EQ, FP, GO, RN, IM, qute erunt, ut patet, applicat;e paraboles et in directu n posita perpendicularibus FX, GY, etc.

Quadratum tangentis ZV, ut jam diximus, est ad quadratum rectaHI,

ut recta HIK ad rectam KI;

sed, ut recta IlK ad rectam KI, ita, singulis in rectam KL ductis,

rectangulum sub HK in KL ad rectangulum sub IK in KL;

rectangulum veri, sub ) HK in KL, ex natura paraboles Archimedeæ, æquatur quadrato applicatæ IN, et rectangulum sub 1K in KL æquatur quadrato recte KL, quum recte IK, KL facti- fuerint,quales. Erit igitur

ut quadratum HN ad quadratum KL,
ita quadraturn tangentis ZV ad quadratur recte HI,

ideoque

ut recta HN ad KL, ita tangens ZV ad rectam HI.

Similiter probabimus esse

ut tangentem YT ad rectam GiH, ita applicatam GO ad KL;
item
ut tangentem XS ad rectam FG, ita applicatam FP ad KL;
denique
ut tangentem ER ad rectam EF, ita esse applicatam EQ ad KL.

Quum igitur sit

ut tangens ZV ad rectam HI, ita applicata HN ad KL,
rectangulum sub extremis æquabitur rectangulo subl mediis, ideoque
rectangulum sub Nil in III,quabitur
rectangulo sub KL in tangentem ZV.
Similiter
rectangulum sub OG in Gil wquabitur
rectangulo sub KL in tangenterm YT;
item
rectangulum sub PF in FG wquabitur
rectangulo sub KL in tangentem XS;
denique
rectangulumi sub EQ in EF Saquablitur
rectangulo sub KL in tangenter E1l.

Quid autem pluribus in re proclivi et jam ad methodum Archimedeam sponte sua vergente immoramur? Per inscriptas enim et circumscriptas in segmento parabolico figuras, rectangula omnia QEF, PFG, OGH, NHI segmentum ipsum parabolicum EQMI designabunt. (Omnes autem tangentes El, XS, YT, ZV, per iteratam secundum nostrae praecepta methodl cicitumscriptionem, curvam ipsam EXYZA etiam designabunt: ergo segmentum parabolicunm EQMI aequatur rectangulo sub KL in curvam EXA. Datur autem in rectilineis segmentum parabolicum EQMI (quadravit enim parabolen Archimedes [183], ideoque ipsius segmenta) ergo rectangulum sub KL in curvam EXA etiam datur. Datur autem recta KL: ergo datur curva EXA et ipsi alia recta potest constitui æqualis. Quod erat demonstrandum.

Si quibusdam tamen hæc demonstratio brevitate nimia laborare videatur, eam integram, insistendo vestigiis Archimedeis, non gravamur separatim adjungere, ut earn legant et examinent qui superiora non sufficere existimabunt.

Probandum est segmentum parabolicum EQMI rectangulo sub data KL in curvam EXA aquale esse.

Fiat, ex Archimede, segmentum illud parabolicum EQMI tequale rectangulo sub data recta KL in datam rectam . Si probaverimus rectam æqualem esse curvæ EXA, constabit propositum.

Aio itaque rectam curve EXA esse æqualem: si enim aequalis non est, erit vel major vel minor.

Sit primo recta major quam curva EXA, et sit earum excessus, si fieri potest, recta .

Ex propositione secunda hujus, possumus curver EXA circumscribere figuram ex portionibus tangentium compositam, quae superet curvam intervallo minore recta . Fiat igitur illa circumscriptio et in figura separata (fig. 125), quam etiam quintam romano charactere notavimus, circumscripta illa constet ex portionibus tangentium ER, XS, YT, ZV.

Circumscripta ilia, ex prædemonstratis, est major curva EXA; sed et recta posita est major eadem curva: quum ergo circumscripta superet curvam minore intervallo quam recta superet eamdem curvam, ergo circumscripta minor est rectâ . Rectangulum itaque sub recta KL in circumscriptam est minus rectangulo sub KL in rectam ; at rectangulum sub KL in factum est æquale segmento parabolico EQMI: ergo rectangulum sub KL in circumscriptam est minus dicto segmento parabolico EQMI.

Probavimus autem rectangulum sub KL in portionem tangentis ER æquari rectangulo sub QE in EF; item rectangulum sub KL in NS sequari rectangulo sub PF in FG; item rectangulum sub KL in YT wequari rectangulo sub OG in GH; denique rectangulum sub KL in ZV

Fig. 125 (V).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 125.png

æquari rectangulo sub NH in HI: ergo rectangulum sub KL in totam circumscriptam est æquale summæ rectangulorum sub QE in EF, sub PF in FG, sub OG in GH et sub NH in HI. Si autem in rectas FP, G-), HN, IM (quæ sensim decrescunt quo propius accedunt ad verticem paraboles) continuatas demittantur perpendiculares (seu parallelh basi) a punctis Q, P, 0, N rectse Qy, P0, OX, N?, patet

rectangulum QEF7 æquale esse rectangulo sub QE in EF;
item rectangulurnm OF e qua ri rectangulo sub PF in FG,
rectanguluml G æquari rectangulo sub OG in GH,
denique rectangulum y 1 sequari rectangulo sub NH in II.

Ergo rectangulum sub KL in circumscriptam est sequale rectangulis yE, OF, XG,?H.

Sed probavimus rectangulum sub KL in circumscriptam esse minus segmento parabolico EQMI: ergo summna rectangulorum yE, OF, )G, QiH erit minor dicto segmento parabolico EQMI. Quod est absurdum: ilia enim rectangula constituunt figuram ex rectangulis compositam et segmento parabolico, ut patet, circumscriptam, ideoque ipso segmcnto majorem.

Recta itaque 3 non est major curva EXA; sed neque minorem esse probabimus.

Sit enim recta ( minor curva EXA, si fieri potest, et curva superet rectam p intervallo c.

Circumscribatur in figura separata (fig. 126), quam etiam quin

Fig. 126 (o-/jpa E).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 126.png

tam charactere græco notavimus, figura constans ex portionibus tangentium curvaEXAminor, sed quam tamen ipsa curva superet intervallo minore ipso 8; et sit illa figura constans ex portionibus tangentium Xll, YS, ZT, AYT.

Quum itaque curva sit major P intervallo S, et eadem curva superet circumscriptam intervallo minore ipso 8, ergo circumscripta erit major recta 3, ideoque rectangulum subl) KL in circumscriptam erit majus segmento parabolico EQMI.

Sed rectangulum sub KL in circumscriptam Tquatur, ex priedemonstratis, rectangulis sub PF in FE, sub OG in GF, sub NH in HG et sub MI in IH: est enim

ut XR ad FE, ita FP ad KL,

ideoque

rectangulum sub KL in XR wequatur rectangulo sub PF in FE,

et sic de reliquis.

Quum igitur rectangulum sub KL in circumscriptam sit majus segmento parabolico EQMI, ergo summa rectangulorum, sub PF in FE, sub OG in GF, sub NH in HG et sub MI in HI, est major dicto segmento parabolico. Sed omnia illa rectangula, ductis perpendicularibus (seu basi parallelis) rectis Py, 00, NX, My, quwe omnes cadent in applicatas intra parabolen (prout enim applicatxe magis distant a vertice, eo magis semper augentur), erunt tqualia rectangulis PE, OF, NG, MH; ergo summa omnium illorum rectangulorum, PE, OF, NG, MH, erit major segmento parabolico. Quod est absurdum: rectangula enim illa, PE, OF, NG, MH, componunt figuram ex rectangulis compositam et ipsi segmento parabolico inscriptam, ideoque ipso minorem.

Recta itaque P non est minor curva EXA; quum igitur nec sit major, nec minor, erit ipsi curve sequalis. Quod prolixius, ut omnis removeatur scrupulus, fuit demonstrandum.


Ex jam demonstratis patet eadem facilitate demonstrari posse segmentum parabolicum quodvis EQPF, a priore abscissum, rectangulo sub data KL in curvam EX æquale esse; ideoque, si detur in basi quodvis punctum, ut F, quum ex Archimede segnientum parabolicum EQPF in rectilineis detur, darl etiam et rectangulum sub KL data in portionem curvæ EX; datur autem recta KL: ergo et curva EX. Dato itaque quovis puncto in base, ut F, dari portionem curve- ipsi oppositam, et rectam posse assignari huic æqualem, manifestum est.

Nec moveat, ad rectam illam curvæ EXA [equalem inveniendam, construendam videri parabolen simplicem, quo casu problema solidum evaderet. Quum enim supponatur ad veritatem tantum inquirendam et demonstrationem rite conficiendam paraboles illius descriptio, nihil vetat quominus calculum ipsum, dissimulata illa imaginaria paraboles descriptione, per rectas et circulos et expediamus et exhibeamus. Is autem calculus, nisi fallor, talis est:

Esto in figura sexta (fig. 127) curva parabolica DAC, ejus naturæ ut cubi applicatarum iDB et NM sint inter se ut quadrata portionum axis BA et AM; dentur autem altitudo AB et semibasis BD, aut tota DBC: Aio dari rectam curvæ DAC cequalemn (quod jam probatum est) in calculo vere geometrico.

Sit rectum istius paraboles latus recta AO, quam datam esse ex datis axe et applicata, ex supra dictis, constat. A recta AO auferatur nona ipsius pars EO; reliquæ vero AE fiat sequalis recta YK, cui in directum ponatur KX qtqualis semibasi (seu applicate) DB. Super recta YX tanquam diametro describatur semicirculus YTX et, recta YK bisect't in puncto R, excitetur perpendicularis RT, semicirculum secans in T.

Fig. 127 (6).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 127.png

Rectæ RT fiat equalis recta RV, et super recta VX tanquam diametro describatur semicirculus VQX, ad cujus circumferentiam a puncto R excitetur perpendicularis RQ. Super rectis TR, RQ describantur semicirculi TPR, RGQ, et ipsis applicentur rectwe TP, RG, qunt singule sint ipsi RY æquales. Junctis autem rectis RP, QG, aio rationer curvac parabolicæ DAC ad basimr DBC esse eamdem quw est dupli quadrati rectæ QG ad triplum quadratum rectse RP, ideoque esse datam.

Fiat itaque ut triplum quadratum rectaU RP ad duplum quadratum rectt QG, ita recta DC ad rectam IH; recta illa IH, quæ data est ex constructione, aqualis erit curvie parabolice DAC.

Quod si cum precedente demonstratione non conveniat, ab ipsa erit emendandum.


Si hæc non sufficiant ad obtinendum a geometris ut nostra htec curva parabolica inter admiranda Geometri;e collocetur, illud fortasse ab ipsis quse mox sequentur impetrabunt. Quid enim mirabilius quam ex una hac curva derivari et formari alias numero infinitas, non solum ab ipsa, sed inter se, specie differentes, quwa tamen singula rectis datis aquales esse demonstrentur? Propositio generalis hæc est:

Sit, in septima figoura (fig. 128), curva nostra parabolwca CMAl, cujus altitudo AB, semnibasis CB, et ab ea C:va formnentur alicw in infiittzu

Fig. 128 (7).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 128.png

hac ratione ut, ductis pelpenzdicularibus ad basimn rectis DMNL, EKIH utcumque, secantibus curvam in punctis I, K, nova curact CNIG, ex hac formandla, sit ejus natturce ut recta DN sit semper cequalis portioni prioris curace, nempe CM, ipsam respicienti; item recta El sit cequalis portioni prioris cNrvce CMK et sic in omznibus allis quibuslibet perpendicularibus: hlce nova curva CNIG erit diversce a priore speciei[184].

Formetur pariter ab ips tertia curva CLitF, in qua rectcc DL, EH sint semper cequales portionibus cutris CN et CNI sectundce curce; et a tertia pari ratione formetur quarta, a quarta fquEita, a quinta sexta, et eo progreldiantr in inzinittm ordie.

Aio omnes istas curvas CNIG, CLIF et reliquas in uifinitunm, perinde ac primamn parabolicam CM1KA, rectis datis cequtales esse.

Notandum autem istas omnes in infinitum curvas esse pure geome tricas, nec in illis itaque ad legem illam et ordinem natura de quibus initio hujus Dissertationis locuti sumus recurrendum. Licet enim recta DN et El curvis CM et CMK supponantur aquales, eædem tamen ipse non tam suppositæ sunt quam ex prædictis demonstrate esse pariter rectis sequales: dato quippe quolibet puncto D, quum ex pracedentibus detur recta aqualis portioni curv2e CM, ergo recta DN, quæ curva CM ex constructione ponitur equalis, ut recta vere data, non ut æqualis curvæ, considerari debet; et sic de reliquis. Curva igitur supra descripta CNIG vere geometrica est; quam postquam aqualem esse rectæ datæ demonstraverimus, sequetur tertiam curvam ab eca formandam, nempe CLHF, esse quoque pure geometricam, et sic omnes alias in infinitum.

Demonstratio difficilis non erit, si prius præmiserimus generalern, quwe huic operi omnino inservit, propositionem

Propositio VI.
Fig. 129 (8).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 129.png

Esto, in figura octava (fig. I29), qucelibet curva, ejusdem culn prcecedentibus naturce, ONR, ctjus vertex 0, axis vel applicata OVI (eaden enir semper est demonstratio); et ab ea formnetur alia cLrva OAE, cujus ea sit proprietas lit applicatce sint cwquales portionibus abscissis a priore curva: exempli gratia, applicata VA sit cequalis curvcc ON, applicata IE sit cqualis curvce OR, et sic de reliquis. Ad datum punctum, in nova hac curva, ducetur tangens hoc pacto: sit datum punctuin E; ducatur appli cata El, secans priorem curvam in R; ducatur recta RC tangens in dicto puncto R priorem curvan et occurrens axi in puncto C; fiat

ut RC ad CI, ita recta IE ad rectam IB,

et jungatur EB Aio rectam EB tangere novam curvam EAO in puncto E.

Sumpto enim quovis puncto in axe, ut V, et ducta applicatl YNA, qute secet priorem curvam in N, tangentem RC in S, secundam curvani in A, rectam vero EB in Y, si probaverimus rectam VY semper esse majorem applicata VA, recta EB non secabit novam curvam a parte verticis.

Hoc autem facillime probamus: Recta VA est æqualis curvæ ON sive differentiæ inter curvas OR, NR; at recta RS est minor cu'rvA RN, per consectarium primaw propositionis: ergo differentia inter curvam OR et rectam RS est major differentia inter eamdem curvam OR et curvam RN. Sed recta VY est wequalis differentite inter curvam OR et rectam RS, ut mox probabimus: ergo recta VY, occurrens rects EB, erit major recta VA, occurrente curvas OAE. Unde patet omnia puncta rectæ EB versus verticem esse extra curvam, ideoque recta EB curvam ab ea parte non secabit.

Imo nec inferius: Sumatur enim quodvis punctum, ut H, a quo ducatur applicata HZ, secans priorem curvam in D, tangentem RC productam in F, secundam curvam in Z, et rectam EB productam in Q. Si probemus rectam HQ, in quocumque casu, majorem esse recta HZ, patebit omnia puncta rectæ EB, etiam inferius sumpta, extra curvam jacere, unde patebit dictam rectam EB tangere secundam curvam in dicto puncto E.

Recta HZ est æqualis, ex constructione, curvæ OD, hoc est summæ curvarum OR, RD; quum autem recta RF sit portio tangentis RC inferius sumpta, erit, ex consectario primer hujus, recta RF major curva RD, ideoque summa curvæ OR et rectæ RF erit major summia ejusdem curveT OR et curvæ RD. Summa autem curve OR et rectæ RF est æqualis, ut mox probabimuzs, recte HQ; summa vero curvarum OR, RD est equalis rectse HZ, ex constructione: ergo recta HQ semper et in omni casu major erit applicata- HZ, ideoque recta EB in dicto puncto E tanget secundam curvam.

Probandum autem reliquimus differentiam curvæ OR et rectæ RS wcquari rectæ VY.

Ducatur recta EM parallela axi et occurrat rectae VY productae in M.

Ex constructione est

ut El ad IB, ita RC ad CI;
sed
ut El ad IB, ita YV ad VB, et ita YM ad ME;
ut autem RC ad CI, ita RS ad VI:
ergo
ut YM ad ME, ita RS ad VI.

Sunt autem rectæ ME, VI æquales, propter parallelas: ergo rectae YM, RS erunt æquales. Sunt autem aequales etiam rectae EI, VM: ergo differentia inter rectas EI et MY erit recta VY. Sed recta EI, ex constructione, æquatur curvae OR: ergo differentia inter curvam OR et rectam MY (sive ipsi aequalem RS) aequabitur rectae YV. Quod primo erat probandum.

Nec dissimili ratiocinio procedet demonstratio infra applicatam EI : Ductâ enim rectâ EP parallelâ axi, probabimus rectam QP sequalem esse rectae RF.

Est enim

ut El ad IB, hoc est QH ad HB, hoc est QP ad PE,
ita recta RC ad CI, hoc est RF ad 11H;
sunt autem aequales PE, IH: ergo et rectae QP, RF. Recta autem HQ æquatur rectis HP, PQ, quarum prior HP aequatur rectae IE sive curvæ OR, posterior autem PQ aequatur, ex demonstratis, rectae RF: ergo summa curvae OR et rectae RF est aequalis rectae HQ. Quod secundo loco fuit probandum.

Patet itaque rectam EB in puncto E secundam curvam tangere, quod erat demonstrandum. Sit jam[185], in nona figura (fig. I3o), curva nostra parabolica GKA, cujus altitudo AE, semibasis GE, rectum latus AD, cujus nona pars, ut supra, sit CD, et recta AC bifariam secetur in B. A priori hac curvai formetur alia, versus punctum G, qute sit GNS, occurrens axi prioris in S, et nove hujus curvt proprietas htec sit ut, sumpto quovis puncto,

Fig. 130 (9).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 130.png

ut 1F, et erecta perpendiculari FKN occurrente duabus curvis in K et N, recta FN sit semper wequalis curva prioris portioni GK. Ducatur parallela basi KM, et ad idem puncturn K ducatur recta TKH tangens priorem et occurrens axi in T et basi in H; per punctum vero N, in secunda curva, ducatur tangens RNXI occurrens basi in I, et a punctis quibuslibet, in ea ex utraque parte sumptis, ut R et X, demittantur in basim perpendiculares XY et RV.

Ex præcedentibus patet quadratum tangentis KT in priore curva ad quadraturn FE, sive

quadratumr KL ad quadraturm FV esse semper
ut reetam FE, una curm recta AB, ad ipsam AB;
sed
ut quadratum KT ad quadratum FE sive ad quadratum KM,
ita quadratum KH ad quadratum HF (propter parallelas):
ergo
quadratum KRU est ad quadratum HF ut recta FE, una cum AB, ad AB.
Ut autem quadraturn KH ad quadratum HF,
ita, ex præcedente propositione,
quadratum rectæ FN ad quadratum recta FI:

quum enim latera, ex vi illius propositionis, sint proportionalia, erunt proportionalia et quadrata. Ergo

quadratum NF ad quadratum FI est ut recta FE, una cum AB, ad AB,

et componendo, quadrata duo NF et FI, sive unicum

quadratum NI erit ad quadratum FI ut FE, una cum AB bis, ad AB.
Sed
ut quadratum NI ad quadratum FI,
ita quadratum RN ad quadratulm recte FV ex una parte,
et ita quadratum recta NX ad quadratum rectwe FY ex altera:

ergo, sumpto quovis puncto in secunda liac curva, ut N, erit semper

ut quadratum portionis tangentis ad illud punctum ductle ex alterutra parte
ad quadratum portionis basis ipsi opposite,
ita summa rectt FE, una cum AB bis, ad AB.

Si igitur basi GE ponatur in directum recta EO recter AB dupla, et ad punctum O erigatur perpendicularis OP ipsi AB equalis, erit semper ut quadratum portionis NR, in hac secunda curva, ad quadratum portionis basis FV, vel ut quadratum portionis tangentis NX ad quadratum portionis basis FY, ita recta FO ad rectam OP.

His ita se habentibus, patet cseteras in infinitum curvas, modo quem supra indicavimus describendas, ejus esse naturne ut:

In tertia, verbi gratia, quadratum portionis tangentis ad quadratum portionis basis ipsi opposite sit ut portio basis FE initium sumens a puncto F, in quo cadit perpendicularis a puncto contactufs in basim demissa, una cum recta AB ter sumpta, ad ipsam AB; In quarta curva, erit ut quadratum portionis tangentis ad quadratum portionis basis ipsi oppositæ ut recta FE, una cum AB quater sumpta, ad ipsam AB;

Et sic de reliquis in infinitum.

Eadem enim semper demonstratio, ut evidens est, in omnibus casibus locum habet.

Nec difficilis, hoc supposito, ad theorema generale erit aditus.

Propositio VII.

Esto, in figura decima (fig. 131), curva nostra parabolica EA, cujus axis AI, semibasis IE. Ab ea formetur secunda curva EXYZO, cujus ea

Fig. 131 (10).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 131.png

sit natura, ut supra diximus, ut quwvis applicata FX sit æqualis portioni prioris curvTe ab applicata illa, seu mavis vocare porpendiciularem, abscissa. Dividatur basis in quotlibet partes atquales EF, FG, GH, HI, et ducantur a punctis F, G, H- perpendiculares secantes novall hanc secundam curvam in punctis X, Y, Z. Sit pirioris curv rectulnm latus AD, a quo abscindatur nona pars CD, et reliqua AC hisecetur in B. Recte AB bis sumptæ fiat 0equalis recta IK quse sit in directunl basi, et ad punctum K erigatur perpendicularis KL mequalis rectla AB. Per punctum K et axem KE intelligatur describi parabole simplex (sive Archimedea), cujus rectum latus KL, et sit illa parabole KMOQ. A punctis E, F, G, H, I ducantur perpendiculares ad axem et occurrentes huic parabolo in punctis Q, P, 0, N, M.

Ex corollario prsecedentis, quum curva EXO sit secunda curva a priore (1erivata seu formata ea ratione quam jam sepius explicuimus, sequitur, sumpto in ea quolibet puncto, ut Y, et ducta portione tangentis YT, esse

ut quadcatumr YT ad quadratumn GH, ita rectanm KG ad rectam KL.

Sed, ut recta GK ad rectam KL, ita, singulis in rectam KL ductis,

rectangulum GKL ad quadratum KL;

ex natura autem paraboles simplicis, rectangulum GKL xaquatur quadrato applicatæ GO: ergo

quadratum YT est ad quadratum GH ul quadratum GO ad quadralum KL,

idleoque

ut recta YT ad rectam GH, ita recta GO ad rectam KL.

Rectangulurn itaque sub extremis x(quatur rectangulo sub mediis: rectangulum ergo sub GO in GIl wequatur rectangulo sub KL in YT.

Si igitur ducantur aliæ tangentes ER, XS et ZV, occurrentes perpendicularibus in punctis R, S, V, probabitur similiter

rectangulum sub QE in EF equari rectangulo sub KL in ER:

item

rectangulum sub PF in FG æquari rectangulo sub KL in XS;

et sic de reliquis in infinitum.

Unde tandem, per abductionem ad methodum Archimedeam pari quod, in quarta propositione hujus, indicavimus artificio, conficietur et concludetur segmentum parabolicum EQMI æquari rectangulo sub KL in secundam curvarn EXO; sieut et singula segmenta parabolica, EQPF verbi gratia, rectangulo sub KL in portionem curvwe EX, vel segmentum EQOG rectangulo sub KL in portionem curvas EXY, et sic in infinitum.

Dantur autem in rectilineis hæc omnia segmenta parabolica, ex vi quadraturæ paraboles ab Archimede demnonstratæ, et datur etiam recta KL: ergo dantur tam tota secunda curva EXO quam ipsius portiones EXN, EY etc., per rectas perpendiculares ad puncta F, G < etc. > data; abscissæ.

Ad tertiæ curvæ cum rectâ datâ æqualitatem, similis fiet constuictio, nisi quod recta IK ponetur tripla rectæ AB; in quarta curva, eademn IK ponetur quadrupla rectæ AB, et tandem generalis inter omnes istas in infinitum curvas a priore derivandas ita statuetur ratio: erunt nempe singulte inter se ut segmenta parabolica ejusdem paraboles et ejusdem altitudinis, quæ a vertice paraboles distalunt per rectum latus toties sumptum quotwe erunt in ordine curvte inter se comparandæ.

Exempli gratia, sit, in undecima figura (fig. 132), curva nostra

Fig. 132 (11).
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 132.png

parabolica EMA, cujus axis AF, sernibasis EF, rectum latus AD, a quo dempta nona parte CD, reliqua AC bisecetur in B; et a prima ilia curva formetur secunda EOS ejus natura ut, sumpto quolibet puncto in base N, recta NO, perpendicularis ad basim et occurrens curvis in M et 0, sit a-qualis portioni prioris curvæ EM. A secunda formetur tertia EVR, in qua recta NV sit waqualis portioni secunda curvas EO; item a tertia EVR formetur quarta EXL, in qua recta NX sit waqualis portioni terti;ec curvæ EV. Exponatur separatim parabole simplex sive Archimedea, cujus axis infinitus GKQY, vertex G, rectum latus GlH aquale rectæ AB. Quæritur ratio, verbi gratia, quarte curvæ EXL ad primam EMA.

Quia prior ex ipsis est quarta ordine, ab axe abscindenda est GY quadrupla recti lateris GH, deinde ponenda ipsi in directum recta YO a-qualis semibasi EF, et ducendet applicatie rectew YT, OX. Quia verb posterior ex duabus comparandis est prima ordine, abscindenda est ab axe recta GK recto lateri semel tantum aqualis, deinde ipsi ponenda in directum recta KQ semibasi etiam EF æqualis, et ducende applicatæ KI, QP.

Erit, ex demonstratis et canone generali ab illis deducto, ut segmentum parabolicurn YTm O ad segmentum parabolicumn KIPQ, ita quarta curva EXL ad primam EMA. Sed ratio segmentorum parabolicorum inter se data est, ex Archimede: ergo et ratio curvarum inter se data erit. Data est autem prima, ex dernonstratis: datur igitur et quarta, et ipsi recta data æqualis assignari potest, et perpetua illa ratio, remota, si libet, parabola, ad phrasim geometricam ope regule tantun et circini accommodari.

Quod autem de lotis jam probatum et in canonem deductum est, idem de portionibus illarum curvarum inter se comparandis contingere, beneficio segmentorum parabolicorum portiones semibasis ipsis curvarum portionibus oppositas pro altitudine habentium, quis non videt?


Nihil autem nec de solidis ex dictis in infinitum curvis conficiendis, nec de superficiebus ipsorum curvis, nec de centris gravitatum aut linearurn istarum aut dictorum solidorum aut superficierum curvarum, adjungimus, quum methodi hac de re generales a summis et insignibus geometris [186] jam vulgatæ ista omnia, post cognitam specificam curvæ datæ proprietatem, ignorari non sinant, licet in multis casibus propriam ab unoquoque adjungi operi industriam non inutile futurum existimemus.

Sed antequam manum de tabula tollam, succurrit examinanda sequens propositio :

Sit, in figura duodecima (fig. 133), curva nostra parabolica COA, cujus vertex A, axis AB, semibasis CB. Ab ea formentur aliæ curvæ infinitæ, modo quem jam explicuimus, non ex parte baseos ut supra, sed ex

Fig. 133 (12).
Fermat - Livre I - Figure 133.png

parte verticis. Sint illæ curvæ a prima effingendæ AIF, AGE etc. in infinitum eâ conditione ut, sumpto quovis puncto in axe D et ductâ ad axem perpendiculari DOIG secante curvas in punctis O, I, G, recta DI sit in secunda curva semper æqualis portioni primæ curvæ AO, item recta DG in tertia curva sit semper æqualis portioni secundæ curvæ AI, et sic in infinitum. Hujusmodi omnes curvæ non solum specie inter se et a prima AOC different, sed etiam ab iis quas ex parte baseos supra effinximus. Quæritur ergo an curvæ illæ omnes AIF, AGE etc., sic in infinitum effingendæ, datis rectis an vero aliis cureis sint æquales.

Inquirant illud Geometræ et miraculum augeri experientur : sane, si methodi, quibus utuntur ad dimensionem curvarum, sint generales et sufficientes, quod ipsis affirmantibus in dubium revocare non ausim, primo statim obtutu rem factam habebunt et a labore superfluo geometram jam fatigatum liberabunt.

Si quid autem in superioribus demonstrationibus concisum nimis invenerint, id aut suppleant rogo, aut condonent.

APPENDIX AD DISSERTATIONEM
DE LINEARUM CURVARUM CUM LINEIS RECTIS COMPARATIONE.

Ut ultimæ, quam in Dissertatione proposuimus, quæstioni satisfiat, præmittendte videntur propositiones sequentes

Propositio I.

Siat, in figura prima (fig. 134), duæ curvæ AIF, 3Z8, quarum axes AE, 3 7 sint inter se æquales. Ducantuar autelmn ad axes applicatcc quollibet quæ, in ultraque figura, æquali a vertice intervallo distent.

Fig. 134 (1).
Fermat - Livre I - Figure 134.png

Sint, exempli gratia, applicate prioris BM, CI, DHi, EF; posterioris verb applicate sint 4T, 5Z, 6 9, 7 8; et sit rectæ AB, que designat intervallum applicatæ BM a vertice, æqualis recta 4 3, quæ designat inter vallum etiam applicatæ 4T a vertice. Sit pariter CA æqualis 5 3 ; item DA aequalis 6 3 denique EA, quod jam supposueramus, æqualis 7 3.

Si singulæ ex applicatis sint semper ad abscissas per tangentes ab axe in ratiolne correlatarum,
hoc est : si, ductis tangentibus ad puncta F, H, I, M ex una parte et ad puncta 8, 9, Z, T ex altera, semper contingat ut applicata FE, verbi gratia, sit ad rectam KE, quam tangens FK abscindit ab axe, in eadem ratione quæ est applicatæ 8 7 ad rectam 7 2, quam tangens 8 2 ab axe pariter abscindit ; item applicata DH sit ad abscissam ab axe per tangentem quæ ducitur ad punctum H ut applicata 6 9 ab abscissam ab axe per tangentem ad punctum 9 ductam ; et sic de reliquis ;
aio duas istas curvas AIF, 3Z8 esse inter se æquales, imo et similes ideoque easdem, et applicatas unius figuræ applicatis alterius quæ a vertice æqualiter distant esse pariter æquales.

Ductis enim ad puncta H, I, M, in prima figura, portionibus tangentium HO, IN, MR, quæ occurrant applicatis in punctis 0, N, R ; item, ductis portionibus tangentium, in secunda figura, 9V, ZY, TX, quæ occurrant applicatis in punctis V, Y, X, ex suppositione

ut FE ad EK (in prima figura), ita est 8 7 ad 7 2 (in secunda).


Sed anguli ad puncta E et 7 sunt recti : ergo triangula FEK, 8 7 2 sunt similia ;

ut ergo FK ad KE, ita 8 2 ad 7 2.
Sed
ut FK ad KE,
ita (productâ applicatâ DH ad punctum G) recta FG ad rectam DE,
et
ut 8 2 ad 7 2,
ita (productâ applicatâ 6 9 ad punctum P) recta 8P ad 6 7 :
ergo
ut recta FG ad rectam DE, ita recta 8P ad 67.
Sunt autem rectæ DE, 6 7 æquales, quum rectæ EA et 7 3, item rectæ

DA et 63 sint inter se æquales: ergo et portiones tangentium FG, 8P erunt inter se æquales.

Similiter probabimus portionem tangentis HO æqualem esse portioni tangentis 9V; item portionem tangentis IN sequalem esse portioni tangentis ZY; denique portionem tangentis MR æqualem esse portioni tangentis TX.

Quum ergo series tangentium in prima figura sit sequalis seriei tangentium in secunda, per abductionem ad impossibile more Archimedeo facile concluditur curvam AIF curvæ 3Z8 sequalem esse, quod primo loco fuit probandum; imo et pariter concluditur portiones curvwa correlatas esse inter se æquales: portionem nempe FH portioni 89, portionem curvae HI portioni 9Z, et sic de reliquis.

Superest probandum applicatas pariter unius figure applicatis alterius esse æquales.

Quum, ex suppositione, applicatse sint semper ad abscissas ab axe per tangentes in eadem utrobique ratione, ergo anguli GFE, P 87, qui fiunt ab intersectione tangentium et applicatarum, erunt inter se alquales; item anguli OHD et V6; item anguli NIC et YZ; denique anguli RMB et XT4. Quum ergo portiones omnes prioris curve, FH, HI, IM, MA, sint æquales portionibus posterioris, 8 9, 9Z, ZT, T3, singulIe singulis, imo et earumdem portionum sit eadem utrobique inclinatio (inclinationem enim curvarum metiuntur tangentes, quwa in utraque figura æquales semper, ut probavimus, conficiunt angulos), ergo curva AMIRF, 3TZ 98 non solum sunt inter se æquales, sed etiam similes: unde, si intelligantur altera alteri superponi, congruent omnino, ideoque non solum axes sed applicatas æquales, aut easdem potius, habebunt. Quod secundo loco fuit demonstrandum.

Propositio II.

Sint duæ, in secunda figura (fig. 135), parabolæ ejusdem naturae AOD, XIG, quarum axes sint AC, XF, semibases DC, GF, et sit, verbi gratia,

ut cubus DC ad cubum applicathe BO,
ita quadratum CA ad quadraturn BA,

et similiter

ut cubus GF ad cuburn applicatæ IY,
ita quadratul FX ad quadratum YX
(licet enim propositio sit generalis, a parabola nostra non discedimus); sit autem ut axis unius ad semibasem, ita etiam axis alterius ad semibasem, nempe
ut axis CA ad semibasem DC, ita axis XF ad semibasem GF:

Aio duas hasce parabolas esse inter se in ratione aximn vel semibasiumn, hoc est

curvam AOD esse ad curvam XIG ut est axis AC ad axem XF,
vel ut semibasis CD ad semibasem GF:

hæ quippe due rationes, ex suppositione, sunt eædem.


Demonstratio est in promptu.

Fig. 135 (2).
Fermat - Livre I - Figure 135.png

Secetur enim uterque axis in quotlibet partes equales. Duas tantum, ad vitandam confusionem et prolixitatem, assumemus: secetur ergo bifariam axis AC in Bet axis FX in Y et, ductis applicatis BO, YI, ducantur ad puncta D, O tangentes DN, OM, quarum prior occurrat applicatœ BO in puncto E, posterior vero rect AV, applicatis parallelæ, in puncto V; item, in altera figura, ducantur ad puncta G, I tangentes GK, IS, occurrentes applicatt YI et ipsi parallelhe XR in punctis H,R. Ex suppositione est

ut DC ad CA, ita GF ad FX;

sed, ex natura istius paraboles,

recta CA est ad CN abscissam per tangentem ut 2 ad 3;

item

recta FX est etiam ad rectam FK per tangentem abscissain ut 2 ad 3:

ergo, ex etquo, est

ut IDC ad CN, ita GF ad FK.

Sunt ergo tequiangula triangula DNC, GKF: ergo

ut iDN ad NC, ita GK ad KF.

Sed

ut DN ad NC, ita DE ad CB,

et

ut GK ad KF, ita GH ad FY:

ergo

ut DE ad CB, ita GH ad FY.

Similiter probabitur esse

ut OV ad BA, ita IR ad XY.

Qutum ergo portiones axium, AB, BC ex una parte et XY, YF ex altera, sint inter se aquales, ergo

ut omnes tangentium portiones DE, OV ad totumn axem AC,
ita omnes tangentiun portiones GH1, IR ad toltum axem XF.

Omnes autem porliones tangentium r i D et OV et plures, si opus sit, beneficio abductionis ad impossibile, ut jam s'pius et indicatum et probatum est, designant totam curvam DOA; item omnes portiones tangentium GH, IR et plures etiam, si opus sit, designant totam curvam GIX: ergo

ut curva DOA ad axem AC, ita curva CIX ad axem XF,
ct, vicissim et convertendo, erit
axis AC ad axem XF sive basis DC (ex suppositione) ad basim GF
ut curva DOA ad curvam GIX.

Quod erat demonstrandum.

Propositio III.

Esto, in tertia figura (fig. 136), curva AO, cujus axis AC, basis CO, et ab ea intelligatur formari alia cturva ejulsdem e i e eti verticis, in qua applicatce silt senmper zi ratione applicatarllu prioris curvæ: sit nempe

ut basis CO ad basini CV,
ita applicata BP prioris curvæ ad applicatam BR posterioris curvæ
et ita applicata DE ad applicatam DN,

et sic in infinitum; si ad punctun quodlibet prioris curivo, uit 0, clucaflr tan gens OH cCinZ axe cozienieens in puncto H, et continuetur CO donlec occurral secrndce curvce in aV, aio rectanm, qual puncta V et H cot1jiC/g'it, Iangere sectndamn curcamn, et seNzper contingere at ttngentes correlater in ultratqule cutva cad idem punctlun axi occurrant.

Fig. 136 (3).
Fermat - Livre I - Figure 136.png

Ducantur enini applicatw BPR, DEN, occurrentes curvis in punctis,, E, N, et rectis 011O, VY productis in punctis Q, S, F, MI.

Si probaverimus rectam BS, supra rectan CV ductam, semper majorem esse recta BR, item rectam DM, inferius ductarn, esse etiam scmper rmajorem applicata DN, patebit rectam MVSH tangere secundam curvam in puncto V. Ex constructione

ut CO ad CV, ila est applicata BP ad applicatam BR;
sed, propter parallelas COV, BQS, qua secantur a tribus rectis CH, OH, VI ad icem punctum vergentibus, est etiam
ut CO ad CV, ita recta BQ ad rectam BS:
ergo
ut recta BP ad rectam BR, ita est recta BQ ad rectam BS,
et, vicissim,
ut recta 3P ad rectanm BQ, ita est recta BR ad rectam BS.

Quum autem recta OQII tangat priorem curvam in puncto O, recta BQ erit major recta BP: ergo etiam recta BS erit major rectt BR. Quod primo loco fuit probandum.

Nec dissimilis in applicata inferius sumpta erit demonstratio: ex suppositione enim est

ut CO ad CV, ila DE ad DN,
et, propter parallelas, est etiam
ut CO ad CV, ita DF ad DM:
ergo
ut DE ad DN, ita est DF ad DM.
Est autem DE minor DF': ergo et DN ipst DM minor erit.

Recta itaque MVSH in puncto V tangit secundam curvam.

Lemma ad id quod sequitur.

Sit, in quarta figura (fig. 137), parabole nostra GIA, cujus axis AE, semibasis EFG, tangens GH. Constituatur ad eumdem axem AE alia parabole ejusdem naturæ FNA, cujus semibasis EF sit potestate subdupla prioris semibasis EG, et semper contingat applicatam quamvis, ut NO, applicatae OI ad priorem curvam esse pariter potestate subduplam. Sit rectum prioris GIA paraboles latus recta AD, cujus nona pars sit CD, et reliqua AC bisecetur in B. Ducatur ad secundam parabolen tangens ad punctumr F recta FH, que in eodem puncto H cum axe conveniet, non soluin ex vi propositionis præcedentis, sed quia, ex natura istarum parabolarum, in utraque recta EA est ad rectam EH ut 2 ad 3, ex superius demonstratis.

Fig. 137 (4).
Fermat - Livre I - Figure 137.png

Aio

quadratum FE esse ad quadratum ElI
ut est dimidia rect AB ad rectam EG.

Jam enim, in propositione III Dissertationis, demonstratum est

quadratum GE esse ad quadratum ElI ut est recta AB ad rectam EG:
ergo, sumptis antecedentium dimidiis, erit
ut quadratum EF,
quod supposuimus esse dimidium quadrati GE,
ad quadratunl EH, ita dimidia rectæ AB ad rectain GE

Probabimus pariter, si recta FE sit potestate subtripla recta- GE, hioc est, si quadratum FE sit subtriplum quadrati GE, esse

ut quadratum FE ad quadratum EH,
ita tertiam partern recte AB ad rectam GE;
et sic de subquadruplo, subquintuplo et reliquis in infinitum.

Quum autem, in ratione subdupla, probaverimus esse

ut quadratum FE ad quadratum EH, ita dimidiam AB ad rectam GE

ergo, componendo, erit ut summa quadratorum FE, EH, sive ut unicum

quadratum FH ad quadratum EH,
ita dimidia AB una curm GE ad ipsam G-E.

Si vero recta EF sit potestate subtript rectte GE, erit

ut quadratumr FH ad quadratum IEH,
ita tertia pars AB una cur GE ad ipsam GE.

Si recta EF sit potestate subquadrtula rectt GE, erit

ut quadratunm FH ad quadralum Ell,
ita quarta pars AB una cum EG ad ipsam EG;
et sic in infinitum et in quacumque applicata idem continget.
Propositio IV.

His pramissis, theorema generale haud difficulter detegimus.

Sit, in figura quinta (fig. i38), parabole nostra AC, cujus axis AB, semibasis BC, et ab ea formentur alix in infinitum curvwa AD, AE, AF,

Fig. 138 (5).
Fermat - Livre I - Figure 138.png

quarum ea sit proprietas ul, ducta qualibet applicata BCDEF, recta BE sit semper æqualis priori curvie CA, recta BE Tqualis secunda curva AD, recta BF equalis tertiut curvm AE, idque semper in omnibus ad illas curvas applicatis contingat: Aio omnes illas et singulas in infinitum curvas AD, AE, AF etc. esse semper datis lineis rectis equales, perinde ac curvas quas in Dissertatione, diversa et dissimili ex parte baseos methodo, construximus.

Theorema generale ita se habet:

Exponatur separatim (fig. 139) eadem parabole 03M aequalis omnino et similis ipsi AC, cujus ideo axis MN aequalis est axi AB et semibasis ON semibasi BC (separatim enim, ad vitandam confusionem, figuram construendam duximus). Fiat recta NP rectæ NM potestate dupla, recta NQ ejusdem NM potestate tripla, recta NR ejusdem NM potestate quadrupla, et sic in infinitum. Manente autem eadem semibasi ON,

Fig. 139 (5).
Fermat - Livre I - Figure 139.png

construantur parabolæ per vertices P, Q, R ejusdem cuml parabola O3M vel AC naturæ, et sint illæ O4P, O5Q, O6R etc. Aio parabolen 0 4P curvæ AD esse equalem, parabolen vero 05Q curvæ Al esse equalem, denique parabolen 06R curvte AF esse equalem, et sic in infinitum.

Quum in nostris parabolis 04P, 05Q, 06R, ductà applicatà 2 3 4 5 6, sit semper, ex natura dictarum parabolarum,

ut cubus rectæ ON adc cubum rectæ 42,
ita quadratum recte sive axis NP ad quadratum P2;
item
ut cubus ON ad cubum 52, ita quadratum NQ ad quadratum Q2;
denique
ut cubus ON ad cubum 62, ila quadratum NR ad quadratum R2.
patet, ex praedemonstratis in Dissertatione, singulas ex istis parabolis rectis datis æquales esse: ergo, post demonstrationem theorematis nostri generalis, constabit singulas quoque ex curvis AD, AE, AF rectis datis æquales esse.

Demonstratio autem theorematis generalis hæc est :

Sit rectum paraboles istius latus recta AS (fig. i38), a qua si demas nonam partem SY, reliquam biseces in puncto V, et ad puncta C, D, E

Fig. 138 (5).
Fermat - Livre I - Figure 138.png

ducantur tangentes ad novas curvas, CI, DH, EG, quae occurrant axi in punctis I, H, G.

Ex demonstratis in tertia Dissertationis propositione,

quadratumn BC est ad quadratum BI ut recta AV ad rectam BC,
et, componendo,
quadratum CI est ad quadratum BI ut recta AV una cum BC ad BC.
Sed ex propositione VI Dissertationis,
ut est quadratum tangentis CI ad quadratum BI,
ita quadratum rectæ BD se habet ad quadratum rectæ BH,
quam abscindit tangens DH: ergo
ut quadratum BD ad quadratum BH, ita recta AV una cum BC ad BC,
et, componendo,
ut quadratum tangentis DH ad quadratum BH,
ita recta AV una cum BC bis sumpta ad ipsam BC.

Sed

ut quadratum tangentis DH ad quadratum HB, ita,

ex eadem Dissertationis propositione,

quacratum BE est ad quadratumr rectwe BG a tangente EG abscissæ:
ergo
ut quadratum rectæ BE ad quadratum recte BG,
ita est recta AV una curn BC bis sumpta ad ipsam BC.

Similiter probabitur, si ducatur ad curvam EA applicata ZTK secans curvam AC in T, et intelligatur ad punctum K duci tangens ad curvam AKE, esse pariter

ut quadratum KZ ad quadratum recte

quam tangens per punctum K ducta ab axe abscindit,

ita rectam AV una cum ZT bis sumpta ad ipsam ZT,

et sic semper continget.

Exponatur separatim ad vitandam confusionem eadem curva AKE, quæ sit in figura separata (fig. 140) PFX. Basis X, sit itaque aqualis

Fig. 138 (5).
Fermat - Livre I - Figure 138.png
Fig. 140 (5).
Fermat - Livre I - Figure 140.png

basi EB, tangens tangenti EG, axis 68 axi BA, abscissa per tangentern ab axe Sy abscissæ BG, applicata v? applicata ZK. Ab hac curva?,?P formetur alia ipsa minor 0-3, ea conditione ut applicatæ novaw istius curvæ sint semper subduplse potestate applicatarum prioris: verbi gratia, recta 80 sit subdupla potestate recte )oW; item applicata v=; sit subdupla potestate recta v?; et sic de reliquis. Ducantur in hac nova curva, tangentes ad puncta 0, 7, rectse Oy, T 7.

Ex præcedente tertia propositione patet tangentes 0Y, ~y ad idem punctum y cum axe concurrere; item tangentes ad puncta?, ductai ad idem etiam punctum, verbi gratia 7, cum axe concurrere, quum applicate utriusque figurte sint in eadem semper inter se ratione.

Exponatur adhuc separatim (fig-. i41) parabole ejusdem cum para

Fig. 139 (5).
Fermat - Livre I - Figure 139.png
Fig. 141 (5).
Fermat - Livre I - Figure 141.png

bolis OM, OP etc. (fig. 139) nature, cujus axis 9 8 sit tqualis asi MN sive AB sive o3, semibasis autem 8 XC sit subdupla potestate semibaseos NO sive BC; et sit illa 7y i 9, a qua formetur alia 9 I2 ', cujus idem sit axis 98, applicata vero 8 sit equalis curv7e 7 i 9, item applicata 10 11 12 sit æqualis curve I I 9, et sic de reliquis.

Probandum primo curvas 07r et J' 12 9 esse easdem, hoc est, omnino æquales et similes. Quod sic demonstrabitur:

Probavimus quadratum BE esse ad quadratum BG, sive quadratum;( ad quadratum 3y, ut rectam AV una cum CB bis sumpta ad rectam CB: ergo, sumptis antecedentium dimidiis, quum posuerimus rectam 08 esse potestate subduplam rectæ 8, quadratum rectse O( erit dimidium quadrati kS, ideoque ut quadratum O8 ad quadratum 8y, ita dimidia AV una cum CB erit ad ipsam CB. Similiter probabimus in alia qualibet applicata, ut 7;v, esse quadratunm.v ad quadratum v 7 ut dimidiam AV una cumn ZT ad ipsam ZT;

et sic de reliquis. Disquirendum jam an eadem proprietas curvæ psi 1 2 9 conveniat. Quod ita fiet:

In curva 7 I I 9, cujus semibasis X 8 est potestate subdupla semibaseos BC et axis 8 9 equalis axi AB, ex lemmate superiori, ductis tangentibus ad puncta 7, " rectis 7p, "~*,

Fig. 138 (5).
Fermat - Livre I - Figure 138.png
Fig. 140 (5).
Fermat - Livre I - Figure 140.png
quadratum 8 est ad quadraturn 8p ut dimidia recte AV ad rectam CB;

recta enim 7 8 est potestate subdupla recte CB: ergo, componendo,

quadratum Xp est ad quadratun 8 p
ut dimidia AV una cum CB ad ipsam CB.

Similiter, si intelligatur recta 9 IO æqualis rectæ AZ, hoc est si puncta 10 et Z æqualiter a vertice distent,

quadratum tangentis ad punctum I clucte erit ad quadraturl abscissæ al axe
ut dimidia AV una cum recta ZT ad ipsam ZT.

Sed,

ut quadratur m p ad quadratum 8p, ita,

ex propositione VI Dissertationis, est

quadratunm applicate ~ 8 ad quadratum a tangente abscisse 8 o,

(et, similiter,

ut quadratum tangentis ad punctum I ductm
ad quadratum abscissæ ab axe,
ita quadratum applicatTe 12 o1

ad quadratum abscisswe ab axe per tangentem ad punctum 12 ductam)

ergo

ut quadratum d 8 ad quadratum 8 a, ita dimidia AV una cum BC ad BC.

Sed in alia figura (fig. 140) prohavimus

quadratum applicate 0O esse ad quadratum abscisse a tangente 8y
ut est dimidia AV una cumr BC ad CB:
ergo, in duabus curvis q 12 9, OT,, erit
ut, 8 ad abscissam 8 a-, ita applicata O ad abscissam n3y,
et in omnibus aliis punctis idem semper continget, et eodem modo probabimus nempe applicatam, verbi gratia,
o0 12 esse ad abscissam a tangente ad puncturm 1 ducta ut est 7v, ad v 7,
et sic de reliquis.

Per primam itaque propositionem hujus Appendicis, quum curva 9 12, 0iP habeant eumdem axem, et applicatæ sint ad abscissas ab axe per tangentes utrobique in eadem correlatarum ratione, illte curvæ erunt inter se œquales, et ipsse etiam ipsarum semibases, et omnes

Fig. 138 (5).
Fermat - Livre I - Figure 138.png
Fig. 140 (5).
Fermat - Livre I - Figure 140.png

similiter applicatæ a verfice equidistantes. Ex constructione autem semibasis ~ 8 est æqualis curvTe 1 9: ergo curva 7 II 9 est æqualis rectæ 08. Recta autem 03 est potestate subdupla rectte 3k cx constructione: ergo curva parabolica X 7I 9 est potestate subdupla rect 8X. Recta autem 8k est æqualis rectte BE et recta BE supposita est, in constructione curvarum a primaria AC derivatarum, equalis esse curvce AD: ergo parabole y7 I 9 est subdupla potestate curve AD. Sed eadema curva 7 1t 9 est subdupla potestate paraboles 0 4 P: basis enim 7 8 est tacta potestate subdupla baseos BC sive NO, et similiter axis 8 9 sive AB sive NM est potestate subduplus axis NP; quum ergo parabola 0 4P, II 9 sint ejusdem naturæ et tam axis quam basis paraboles 71 T 9 sint potestate subduplte axis et baseos paraboles 04 P, ergo et ipsa parabole y I i 9, ex propositione II hujus Appendicis, erit subdlupla paraboles 0 4 P. Quum ergo, ut jam probavimus, eadem parabole X i 9 sit subdupla tam paraboles 0 4P quam curve AD, curva AD et ipsa parabole 04 P erunt inter se æquales. Quod erat demonstrandum.

Nec dissimili, ad probandum curvam AE a3qualem esse parabola0 5 Q, utendum artificio.

Quum enim

quadratum BE esse ad quadraturn BG
ut est recta AV una cum BC bis sumpta ad ipsam BC
probatum fuerit, ergo, componendo et ulterius progrediendo, erit
quadratum tangentis EG ad quadratum recte BG
ut recta AV una cum BC ter sumpta ad ipsam BC.
Est autem, ex prsedemonstratis in sexta propositione Dissertationis,
ut quadratum EG ad quadratum BG, ita quadratum BF
ad quadratum abscisse ab axe per tangentem ad punctum F ductam:
ergo
quadratum BF erit ad quadratum illius abscissæ
ut est recta AV una cum BC ter ad BC.

In reliquis imitabimur omnino et sequemur vestigia demonstrationis

Fig. 139 (5).
Fermat - Livre I - Figure 139.png
Fig. 141 (5).
Fermat - Livre I - Figure 141.png

præcedentis, nisi quod in figura separata (fig. 140), postquam fuerit facta aequalis ipsi BF, recta fiet subtripla potestate ipsius BF vel , curva curvae FA fiet æqualis, curva ejus erit naturae ut omnes applicatæ sequantur rationern basium , . In alia autem figura separata (fig. 141) in qua curvae 911 et 912, recta 98 erit aequalis, ut supra, rectæ MN vel AB vel , basis vero 8 fiet subtripla potestate baseos ON vel CB, et fiet 119 parabole ejusdem cum parabolis CTA vel O3M naturæ; a qua quumn formabitur curva ~ 129, cujus applicata 8 ~, 10o 2 sint, ut supra, sequales curvis Y 9, I 9, probabimus, ut supra, curvain [PO et curvam 9 1 7 esse inter se æquales et similes, hoc est, easdem.

Unde concluditur bases 08 et 8 esse Tquales, ideoque basinm 8 sive curvam 9 i X esse potestate subtriplam recta 8X sive BF sive curvaw AE; est autem etiam, ex prædemonstratis, parabole 7/ 1 9 subtripla potestate paraboles 0 5 Q: ergo curva AE et parabole O 5 Q erunt inter so aquales.

Eodem ratiocinio in ulterioribus casibus utemur et generalem nostri theorematis veritatem evincemus.


Qui autem superiorem Dissertationem et bane ad ipsam Appendicem accuratius legerint, prwecipua methodi nostras fundamenta statim agnoscent, et ex eis deduci facillimam curvarum dimensionem deprehendent.

DE ÆQUATIONUM LOCALIUM
TRANSMUTATIONE ET EMENDATIONE

AD MULTIMODAM
CURVILINEORUM INTER SE VEL CUM RECTILINEIS COMPARATIONEM,
CUI ANNECTITUR
PROPORT1ONIS GEOMETRICIE
IN QUADRANDIS INFINITIS PARABOLIS ET HYPERBOLIS
USUS.


In unica paraboles quadratura proportionem geometricam usurpavit Archimedes [187]; in reliquis quantitatum heterogenearumn comparationibus, arithmetic duntaxat proportioni sese adstrinxit. An ideo quia proportionem geometricam minus τετραγωνίζουσαν est expertus? An vero quia peculiare ab illa proportione petitum artificium, ad quadrandam primariam parabolen, ad ulteriores derivari vix potest? Nos certe hujusmodi proportionem quadrationum feracissimamn et agnoscimus et experti sumus, et inventionem nostram, quwa eadem omnino methodo et parabolas et hyperbolas quadrat, recentioribus geometris haud illibenter impertimur.

Unico, quod notissimum est, proportionis geometricse attributo tota hæc methodus innititur; theorema hoc est:

Data quavis proportione geometricd, cujus termini decrescant in infinitum, est ut differentia terminorumn progressionem constituentium ad minorem terminum, ita maximus progressionis terminus ad reliquos omnes in infinitum sumptos.

Hoc posito, proponantur primo hyperbolae quadrandae.

Hyperbolas autem definimus infinitas diverse speciei curvas, ut DSEF (fig. I42), quarum haec est proprietas ut, positis in quolibet

Fig. 142.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 142.png

angulo date RAC ipsarum asymptotis rectis AR, AC, in infinitum, si placet, non secus ac ipsa curva extendendis, et ductis uni asymptoton parallelis rectis quibuslibet GE, HI, ON, MP, RS etc., sit ut potestas quaedam rectae AH ad potestatem similem rectae AG, ita potestas rectae GE, vel similis vel diversa a praecedente, ad potestatem ipsi homogeneam rectae HI. Potestates autem intelligimus, non solum quadrata, cubos, quadratoquadrata etc., quarum exponentes sunt 2, 3, 4 etc., sed etiam latera simplicia, quorum exponens est unitas.

Aio itaque omnes in infinitum huiusmodi hyperbolas, unica dempta quae Apolloniana[188]est sive primaria, beneficio proportionis geometricae, uniformi et perpetua methodo quadrari posse.

Exponatur, si placet, hyperbole cujus ea sit proprietas ut sit semper

ut quadratum rectae HA ad quadratum rectae AG,
ita recta GE ad rectam HI,
et
ut quadratum OA ad quadratum All, ita recta HI ad rectam ON,

etc. Aio spatium infinitum cujus basis GE, et curva ES ex uno latere, ex alio verb asymptotes infinita GOR, æquari spatio rectilineo dato.

Fingantur termini progressionis geometricm in infinitum extendendi, quorum primus sit AG, secundus AH, tertius AO, etc. in infinitum, et ad sese per approximationem tantum accedant quantum satis sit ut, juxta methodum Archimedeaim, parallelogrammum rectilineum sub GE in GH quadrilineo mixto GHIE adatquetur, ut loquitur Diophantus [189], aut fere aquetur; item, ut priora ex intervallis rectis proportionalium, GH, HO, OM et simnilia, sint fere inter se cquaalia, ut commode per ἀπαγωγὴν, per circumscriptiones et inscriptiones, Archimedea demonstrandi ratio institui possit: quod semel monuisse sufficiat, ne artificium quibuslibet geometris jam satis noturn inculcare sepius et iterare cogamur.

His positis, quum sit

ut AG ad AH, ita AHl ad AO, et ita AO ad AM,

erit pariter

ut AG ad AH, ita intervallum GHI ad HO, et ita intervallum HO ad OM,

etc.

Parallelogrammum autem sub EG in G-H erit

ad parallelogrammum sub III in HO

ut parallelogrammum sub HI in HO

ad palallelogrammum sub NO in OM:

quum enim ratio parallelogrammi sub GE in GH ad parallelogrammum sub HI in 1HO componatur ex ratione rect' GE ad rectam HI et ex ratione recta, GH ad rectam HO, sit autem

ut GH ad HO, ita AG ad AH,

ut præmonuimus, ergo ratio parallelogrammi sub EG in GHl ad paral lelogrammum sub HI in HO componitur ex ratione GE ad HI et ex ratione AG ad AH. Sed

ut GE ad HI, ita, ex constructione, HA quadratum ad quadratum GA,
sive, propter proportionales,
ita recta AO ad rectam GA:
ergo ratio parallelogrammi sub EG in GH ad parallelogrammum sub

HI in HO componitur ex ratione AO ad AG et AG ad AH. Sed ratio AO ad AH componitur ex illis duabus: ergo parallelogrammum sub GE 'in GH est ad parallelogrammum sub HI in HO ut OA ad HA, sive ut HA ad AG.

Similiter proabiltur parallelogrammum sub HI in HO esse ad parallelogrammum sub ON in OM ut AO ad HA.

Sed tres rectse q(lu constituunt rationes parallelogrammorum, rectæ nempe AO, HA, GA, sunt proportionales ex constructione: ergo parallelogramma in infinitum sumpta, sub GE in GH, sub HI in HO, sub ON itl OM, etc., erunt semper continue proportionalia in ratione rectat HA ad GA. Est igitur, ex theoremate hujus methodi constitutivo,

ut GH, differentia terminorum rationis,

ad minorem terminum GA,

ita primus parallelogrammorum progressionis terminus,

hoc est parallelogrammum sub EG in Gt,

ad reliqua in infinitum parallelogramma,
hoc est, ex adxequatione Archimedea, ad figuram sub II, asymptoto HR et curva IND in infinitum extendenda, contentam.

Sed ut HG ad GA, ita, sumpta communi latitudine recta GE, parallelogrammum sub GE in GH ad parallelogrammum sub GE in GA: est igitur

ut parallelogrammum sub GE in GH

ad figuram illam infinitam cujus basis HI,

ila idem parallelogrammum sub GE in GH

ad parallelogrammum sub GE in GA.

Ergo parallelogrammum sub GE in GA, quod est spatilum rectilineuml datum, adequatur figure predicts; cui si addas parallelogranmmumr sub GE in GH, quod propter minutissinos u^-ytagy.oj. evanesc:t et abit in nihilum, superest verissilum et Archlimedea (licet prolixiore) demonstratione facillime firmandum: parallelogrammum AE, in hac hyperboles specie, sequari figure sub base GE, astymptoto GR et curva ED in infinitum producenda, contentæ.

Nee operosum ad omnes omnino lhjusmodi bvperbolas, unh, ut diximus, dempta, inventionem extendere. Sit enim ea alter7ius, si placet, lyper)boles proprietas,

ut sit GE ad HI ut cubus rectze HA ad cubum rectæ GA,

et sic de reliquis.

Expositaf ex more infiniti proportionaliuln, ut supra, serie, tient proportionalia parallelogramma EH, 1O, AMN, ut supra, in infinitum: in hoc verb casu, parallelogrammum primunm erit ad secundum, secundum ad tertium, etc. ut recta AO ad GA; quod statirm compositio proportionum manifestabit. Erit igitur

ut parallelogralmmum EH ad figuram, ita recta O1 a(d (;

et, sumpta communi latitudine GE,

ita parallelogramrmuml sub () in GE ad parallelogralmmum sub GE in GA:

est igitur

ut parallelogrammum5 sub OGC in GE ad parallelogrammnumn sub GE in GA,ita parallelogrammum sub GE in G(1 ad figuram,

et, vicissim,

ut parallelogrammum sub OG in GE ad parallelogrammumn sub GE in GH, ita parallelogrammum sub GE in GA ad figuram.

Ut autem

parallelogrammum sub OG in GE ad parallelogrammum sub HG- in GE,
ita OG ad GH, sive 2 ad i, ex adatquatione:

intervalla enim basi proxima facta sunt, ex constructione, fere æqualia inter se. Ergo, in hac hyperbole, parallelogrammum EGA, quod est æquale spatio rectilineo date, est duplum figurea sub base GE, asymptoto GR, curva ESD in infinitum producenda, contenta.

Similis in quibuslibet aliis casibus habebit locum demonstratio, nisi quod in primaria (sive Apolloniana et simplici) hyperbole deficit ea sola ratione methodus, quia in hac parallelograimma EH, IO, NM sunt semper inter se 3equalia; atque ideo, quum termini progressionis constitutivi sint inter se æquales, nulla inter eos est differentia quse totum in hoc negotio conficit mysterium.

Demonstrationem, qua probatur spatia in hyperbole communi parallelogrammis contenta esse semper inter se æqualia, non adjungimus, quum statim per se ipsa se prodat et ex hac unica proprietate, qua- asserit in ea specie esse

ut GE ad HI, ita:HA ad GA,

facillime derivetur.

Eadem ratione parabolce omnes omnino quadrantur, nec est ulla quæ ab artificio nostræ methodi, ut fit in hyperbolis, possit esse immunis.

Unicum in parabole, si lubet, primaria et Apolloniana adjiciemus exemplum, cujus exemplo reliqumT omnes, in quibuslibet in infinitum parabolis, demonstrationes expedientur.

Sit semiparabole primaria AGRC (fig. 143), cujus diameter CB, semibasis AB; sumptis autern applicatis IE, ON, GM etc., sit semper

ut quadratumn AB ad quadraturn IE, ita recta BC ad CE,

et

ut quadratum IE ad quadratum ON, ita recta CE ad CN,

et sic in infinitum ex proprietate specifica paraboles Apollonianæ.

Intelligantur, ex more methodi, rects BC, EC, NC, MC, tC, etc. in infinitum continue proportionales: erunt etiam, ut superius probatum est, proportionalia parallelogramma AE, IN, OM, GH, etc. in infinitum. Ut cognoscatur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN, recurrendum ex methodo ad compositionem proportionum.

Componitur autem

ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN
ex ratione AB ad IE et ex ratione BE ad EN.
Quum autem sit
ut AB quadraturm ad IE quadratum, ita BC ad CE,
si inter BC et CE sumatur media proportionalis CV, item inter EC et NC media proportionalis YC, erunt continue proportionales recte BC, VC, EC, YC, NC et
Fig. 143.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 143.png
ut BC ad EC, ita erit BC quadratum ad VC quadratum;
sed
ut BC ad EC, ita quadratum AB ad quadratum EI:
ergo
ut AB quadratum ad El quadratum,
ita erit BC quadratum ad VC quadratum,

et

ut AB ad IE, ita erit BC ad VC.
Ratio igitur parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN componetur
ex ratione BC ad VC, sive VC ad CE, sive EC ad YC,
et ex ratione BE ad EN, sive, ex superius demonstratis [190], BC ad CE.

ratio autem quTe componitur ex his duabus rationibus,

BC nempe ad CE, et CE ad CY

est eadem que ratio BC ad CY: igitur

parallelogrammum AE est ad parallelogrammnum IN ut BC ad YC,

ideoque, ex thieoremate methodi constitutivo,

parallelogrammnum AE erit ad figuram IRCHE ut recta BY ad rectam YC,

ideoque

ut idern parallelogrammum AE ad totam figuram AIGRCB,
ita recta BY ad totam diametrum BC.

Ut autem BY ad totamn diametrum BC, ita, sumpta communi latitudine AB.

parallelogrammum sub AB in BY ad parallelogranmuim sub AB1 in BC,

sive parallelogrammum BD (duct5 AD, diametro parallela, occurrente tangenti CD in D): ergo

ut parallelogrammum AE ad totarn figuram semiparabolicam ARCB,
ita parallelogramnmumi sub AB in BY ad parallelogrammum BD,
et, vicissim,
ut parallelogrammum AE ad parallelogrammum subl AB in BY,
ita figura ad parallelogrammium BD.
Ut autem
parallelogrammun AE ad parallelogrammum sub AB in BY,
ita, propter communem latitudinem,
recta BE ad BY;
ergo
ut BE ad BY, ita figura ad parallelogrammum < BD >,
et, convertendo,
ut BY ad BE, ita parallelogrammum BD ad figuram ARCB.
Est autem BY ad BE (propter adaequalitatem et sectiones minutissimas, quod rectas BV, VE, EY, intervalla proportionalium repraesentantes, fere inter se supponit aequales) ut 3 ad 2: ergo
parallelogrammum BID ad figuram est ut 3 ad 2,

quae ratio congruit τετραγωνισμῷ paraboles Archimedeo, licet ab eo geometrica proportio alia ratione fuerit usurpata; methodum autem variare et diversam ab Archimede viam sectari necessum habuimus, quia sterilem proportionis geometricae ad quadrandas caeteras in infinitum parabolas applicationem deprehensam iri, insistendo vestigiis tanti viri, non dubitamus.

Demonstratio autem et regulae generales ex nostra methodo fere in omnibus omnino parabolis statim patebunt: sit enim, ut nullus amplius supersit dubitandi locus, parabole ea de qua mentionem fecit Dissertatio nostra de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione [191], curva AIGC (fig. 44), cujus basis AB, diameter BC, et sit

ut cubus applicate AB ad cubum applicatae IE,
ita quadratum rectae BC ad quadratum rectae EC,

et reliqua ponantur ut supra, series nempe proportionalium rectarum BC, EC, NC, MC, etc., item series proportionalium parallelogrammorum AE, IN, OM, etc. in infinitum.

Fig. 144.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 144.png
Inter BC et EC sumantur duæ media proportionales VC, RC; item inter EC et CN sumantur etiam duæ mediæ proportionales SC, TC. Constat, ex constructione, quum
ratio BC ad CE sit eadem rationi EC ad NC,

fore quoque continue proportionales rectas BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC. Est autem

ut AB cubus ad cubum IE, ita BC quadratum ad EC quadratum,
sive recta BC ad rectam NC;

quum autern sint, ut supra probavimus, septem continue proportionales, BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC, ergo prima, tertia, quinta et septima erunt etiam continue proportionales, ideoque erit

BC ad RC ut RC ad SC et ut SC ad NC:

ut igitur

prima BC ad quartam NC, ita cubus primm. BC ad cuburn secutnda RC.

Sed

ut BC ad NC, ita probavimus esse cubum AB ad cubum IE:

ergo

ut cubus AB ad cubum IE, ita cubus BC ad cubumn RC,

ideoque

ut AB ad IE, ita BC ad RC.

Quum igitur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN componatur

ex ratione AB ad IE et ex ratione BE ad EN, sive BC ad EC,

ergo eadem parallelogrammorum ratio componetur

ex ratione BC ad RC et BC ad EC.

Ut autem

BC, prima proportionalium, ad EC quartam,
ita RC tertia ad TC sextamn:

ergo parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN ratio componitur
ex ratione BC ad RC et RC ad TC,

hoc est

parallelogrammum AE est ad parallelogrammum IN ut BC ad TC.

Parallelogrammum igitur AE, ex prædemonstratis, est ad figuram IGCE

ut recta BT ad TC,

ideoque

ut parallelogrammum AE ad totam figuram AICB,
ita recta BT ad rectam BC,

sive, sumpta communi latitudine AB,

ita parallelogrammum sub AB in BT ad parallelogrammum sub AB in BC;

et, vicissim et convertendo,

parallelogrammum BD est ad figuram AICB

ut parallelogrammum sub AB in BT ad parallelogrammum sub A in BE, sive, propter communem latitudinem AB,

ut recta BT ad rectam BE.

Recta autem BT continet quinque intervalla: TS, SE, ER, RV, VB, qute inter se, propter nostram methodum logarithmicam, censentur tequalia; recta autem BE continet tria ex iis intervallis, nempe ER, RV, VB: ergo

parallelogrammum BD est ad totam figuram in hoc casu ut 5 ad 3.

CANON vero universalis inde nullo negotio elicietur: patet nelmpe forec semper parallelogrammumi BD ad figuram AICB ut aggregatum exponentium polestatum applicatce et diametri ad exponentem potestatis aipiicatc: ut in hoc exemplo videre est, in quo potestas applicatw AB est cubus, cujus exponens 3; potestas autem diametri est quadratum, cujus exponens 2: ergo debet esse, ut jam demonstravimus et per petuo constabit, ut summa 3 et 2, hoc est 5, ad 3 exponentem applicatæ.

In hyperbolis autem canon non minori facilitate invenietur universalis: erit enim semper in quacumque hyperbole, si recurras ad primam figuram (fig. 142), parallelogrammum BG adfiguram in infinitum protensam RGED ut differeztia exponentium potestatum applicatia et diametri ad exponentem potestatis applicatæ.

Fig. 142.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 142.png

Sit enim, exempli gratia,

ut cubus HA ad cubum GA, ita quadratum GE ad quadratum HI.

Differentia exponentiurn cubi et quadrati (h' c est 3 et 2) erit I; exponens autem potestatis applicatte, hoc est quadrati, est 2: ergo, in hoc casu, parallelogrammum erit ad figuram ut i ad 2.

Quod attinet ad centra gravitatis et tangentes tam hyperbolarum quam parabolarum, inventio duduni, ex nostra Methodo de maximis et minimis derivata, geometris recentioribus innotuit, hoc est ante viginti, plus minus, annos [192]; quod celebriores totius Gallia mathematici non gravabuntur fortasse exteris indicare, ne hac de re in posterum dubitent.

Ex supradictis mirum quantam opus tetragonismicum consequatur accessionem: infinite enim exinde figuræ, curvis contentæ de quibus nihil adhuc nec veteribus nec novis geometris in mentem venit, facillimam sortiuntur quadraturam; quod in quasdam regulas breviter contrahemus.

Sit curva cujus proprietas det Tquationem sequentem:

Bq.-- Aq. æquale Eq.
(apparet autem statim hanc curvam esse circulum); certum est otestatem ignotam, Eq., posse reduci, per applicationem seu parabolismum, ad latus.

Possumus enim supponere

Eq. equari B in U,

quum sit liberum quantitatem ignotam U, in notam B ductam, aquare quadrato E etiam ignotæ.

Hoc posito,

Bq.- A q. (equabitur B3in U;

homogeneum autem 1 in/ U ex tot quantitatibus homogeneis comiponi potest quot sunt in parte æquationis correlativa; iisdemque signis hujusmodi homogenea debent notari. Supponatur igitur

Bin U equali B inI- Bin Y;

ex more enim Vieteo, vocales semper pro quantitatibus ignotis sumi.mus; ergo

Bq. - A q. æquatur in 1 - Bin Y.

iEquentur singula membra partis unius singulis membris partis alterius: sit nempe

Bq. æquale B inl;
ergo dabitur
I æqualis B.

AEquetur deinde

- Aq., - B in Y,
hoc est
Aq., Bin Y;

crit extremum punctum rectæ Yad parabolen primariam. Omnia igitur in hoc casu ad quadratum reduci possunt, ideoque, si omnia Equadrata ad rectam lineam datam applices, fiet solidum rectilineum datum et cognitum [193].

Proponatur deinde curva cujus hec sit æquatio

Ac + B in Aq. æqualis Ec.

Ec. applicetur ad planum datum et sit, verbi gratia, æqualis Bq. in U. Quia autem recta U ex pluribus quantitatibus ignotis componi potest, sit

Ac. +- B in Aq. æqualis Bq. in 1 + B q. in Y.

Aquentur singula inter se membra, hoc est

A c. æquetur Bq. in I;

orietur inde parabole sub cubo et latere.

AEquetur deinde

B in Aq. secundo membro Bq. in Y;

orietur inde parabole sub quadrato et latere, hoc est primaria.

Quadrantur autem singulse ex his parabolis; ergo aggregatum E cuborum ad rectam datam applicatorum producit planoplanum quantitatibus ejusdem gradus rectilineis commode æquandum.

Si sint plura in æquationibus membra, imo et sub plerisque utriusque quantitatis ignotse gradibus involuta, ad eamdem ut plurimum methodum, reductionum legitimarum ope, poterunt aptari.

Ex his patet, si in priori æquatione, in qua

Bq.- Aq. æquavimus Eq.,

loco ipsius Eq., ponamus Bif' U, posse nos aggregatum omnilum U, ad rectam datam applicatarum, considerare tanquam planum et quadrare: omnes enim U nihil aliud sunt quam ornnia Equadrata divisa per B rectam datam.

Item, in secunda tequatione, omnes U nihil aliud sunt quam omnes E cubi divisi per B quadratum datum.

Igitur, tam in prima quam in secunda figura, omnes U faciunt figuram wequalem spatio rectilineo dato.

Hoc autem opus fit per syneresim et expeditur, ut patet, per parabolas; sed non minus quadrationum ferax est opus per diseresim, quod per hyperbolas, aut solas aut parabolis mixtas, commode pariter expeditur.

Proponatur, si placet, curva ab sequatione sequenti oriunda :

æqualis Eq.

Ex jam suppositis Eq. potest fingi equale B in U, sive, ut tria hinc et inde membra sint in utraque parte æquationis,

B in U potest equari B in 0 +-B in I + in Y.

Quo peracto,

æquabitur B in O + B in I + B in Y.
et, æquando singula membra singulis,
æquabitur B in 0:

et, omnibus in Aqq. ductis,

Bcc. æquabitur Aqq. in Bin O;

et, omnibus abs B divisis,

Bqc. æquabitur Aqq. in 0,

quæ est æquatio ad unam ex hyperbolis, ut patet: æquationes enim hyperbolarum constitutivæ continent, ex una parte, quantitatem datam; ex alia vero, id quod fit sub potestatibus duarum quantitatum ignotarum.

Secundum membrum æquationis dat

Bqc. inA i. Bqc.

sive, equalis B in h

Aqq. Ac. en

et, omnibus in Ac. cductis et abs B divisis, fit

Bqq. æquale Ac. in I,

quæ est æquatio alterius hyperboles a priore diversæ.

Denique tertium membrum est

Acc.

-A c. hoc est A q. æquale B in Y,

A qq. h t

quæ est equatio ad parabolen.

Patet itaque in prwecedente æquatione omnes U ad rectam datam applicatas tequari spatio rectilineo dato: summa enim duarum hyperbolarum quadrationi obnoxiarum et unius paraboles dat spatium aquale rectilineo vel quadrato dato.

Nihil autem vetat quominus singula membra numeratoris separatim denominatori applicemus, ut jam factum est: eodem enim res recidit quo si integrum numeratorem ex tribus membris compositum eidem denominatori semel applicemus. Ita enim singula sequationis membra singulis homogenei correlati possunt commode comparari.

Proponatur etiam

Bqc. in A - Bcc. ari -- equari E c. Ac.

Fingatur Ec. aquari Bq. in U, sive, propter duo membra homogenei correlati,

Bq. in I- Bq. in Y.

Fiet

Bcqc. in A. Bqc. Bqc. in sive B. equalis Bq. in /, Ac. Aq.

et, omnibus in Aq. ductis et abs Bq. divisis, fiet

Bc. æqualis Aq. I,

quæ est æquatio ad unam ex hyperbolis quadrandis. Ponatur deinde secundum homogenei membrum

B cc.cc. æquari Bq. inY.

Igitur, omnibus in A c. ductis et abs Bq. divisis, fiet

Bqq. æquale A c. in Y,

qua est aquatio unius ex hyperbolis quadrationi obnoxiis constitu tiva.

Datur igitur, recurrendo ad primam œquationen, in rectilineis summa omnium E cuborum in hac specie ad certain rectam datam applicatorum.

SED et ulterius progredi et opus tetragonismicum promovere nihil vetat [194].

Sit in quarta figura (fig. 145) curva quælibet ABDN, cujus basis HN,

Fig. 145.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 145.png

diameter HA, applicatse ad diametrum CB, FD, et applicatse ad basim BG, DE; et decrescant semper applicatwe a base ad verticem, ut hic HN est major FD et FD major est CB et sic semper. Figura composita ex quadratis HN, FD, CB ad rectam AH applicatis (hoc est solidum sub CB quadrato in CA et sub FD quadrato in FC et sul NH quadrato in HF) 3equalis est semper figuræ sub rectangulis BG in GH, DE in EH, bis sumptis et ad basim HN applicatis (hoc est solido sub BG in GH bis in GH et sub DE in EH bis in EG) etc. utrimque in infinitum.

In reliquis autem in infinitum potestatibus, eadem facilitate fit reductio homogeneorum ad diametrum ad homogenea ad basim. Que olservatio curvarum infinitarum hactenus ignotarum detegit quadrationem.

Omnes enim cubi HN, FD, CB, ad rectam AH similiter applicati, sequales sunt aggregato productorum ex BG in GH quadratum et ex DE in EH quadratum, ad rectam HN, similiter ut supra, applicatorum et ter sumptorum: hoc est planoplanum sub CB cubo in CA et sub DF cubo in FC et sub HN cubo in HF æquatur summæ planoplanorum ex BG in GH quadratum in HG et ex DE in EH quadratum in EG, ter sumptæ.

Aggregatum vero quadratoquadratorum HN, FD, CB ad rectam AH applicatorum wequatur quadruplo summue planoplanorum sub BG in GH cubum et sub DE in EH cubum, ad rectam HN, similiter ut supra, applicatorum.

Inde emanant infinite, ut statim patebit, quadraturie.

Esto enim, si placet, curva illa ABDN ejus naturæ ut, data base HN et diametro HA, diameter data AH vocetur in terminis analyticis B, ipsa verb HN, basis data, vocetur D, quselibet applicata FD vocetur E et quælibet HF vocetur A; et sit, verbi gratia, wequatio curvw constitutiva

Bq. -A q. cæquale Eq.,

quod in circulo ita se habet.

Quum ergo, ex prœdicto theoremate universali, omnia E quadrata ad rectam B applicata sint sequalia omnibus productis ex HG in GB < bis sumptis et > ad basim HN sive ad D applicatis; sint autem omnia E quadrata, ad B applicata, æqualia [spatio] [195] rectilineo dato, ut superius probatum est: ergo omnia producta ex HG in GB, bis sumpta et ad basim D applicata, continent [spatium] rectilineum datum. Ergo, sumendo dimidium, omnia producta ex IG in GB ad basim D applicata erunt equalia [spatio] rectilineo dato.

Ut autem facillima et nullis asymmetriis involuta fiat translatio prioris curvxe ad novam, ita constanti artificio, qut est nostra methodus, operari debemus.

Sit quodlibet ex productis ad basim applicandis, HE in ED. Quum igitur FD sive HE, ipsi parallela, vocetur in analysi E, et FH sive DE, ipsi parallela, vocetur A, ergo productum sub HE in ED vocabitur E in A. Ponatur illud productum E in A, quod sub duabus ignotis et indefinitis rectis comprehenditur, sequari B in U, sive producto ex B data in U ignotam, et intelligatur EP, in directum ipsi DE posita, æquari U.

Ergo

B in U/E- æquabitur A.

Quum autem Bq.- Aq. a quetur, ex proprietate specifica prioris curvæ, ipsi Eq., ergo subrogando, in locum A, ipsius novu-m valorem

B in U/E

fiet

Bq. in Eq. - Bq. in Uq. æquale Eqq.,

sive, per antithesim,

Bq. inEq. -Eqq. æquale Bq.in Uq.,

que est aquatio novTe HOPN curvec ex priore oriundte constitutiva, in qua, quum omnia producta ex B in U dentur, ut jam probatum est, si omnia ad B applicentur, dabitur summa omnium Uad basim applicatarum, hoc est, dabitur planum HOPN <in> rectilineis, ideoque ipsius quadratura. Sit, secundi exempli gratia, 9equatio prioris curvæ constitutiva

B in Aq.- Ac. equale Ec.

Surmma omnium E cuborum ad diametrum B applicatorum dabitur, ideoque summa omnium productorum ex quadratis HE in ED ad basim applicatorum. Productum autem ex HE quadrato in ED fit, in terminis analyticis, Eq. in A, quod fingatur cequari Bq. ibn U, et recta EP, ut supra, Sequatur U. Ergo

Bq. in U/Eq. æquabitur A.

Si igitur, in locurn A, subrogemus jam agnitum illius valorem

Bq. in U/E q.

et omnia juxta Analyseos præcepta exsequamur, fiet

Bqc. in Uq. in Eq. - Eccc. aquale Bcc. in Uc.,

(que est equatio novæ HOPN curvæ ex priore oriundæ constitutiva, in qua, quum omnia producta Bq. in U ad basim D applicata dentur, omnibus per Bq. datum divisis, dabitur summa omnium U ad basim D applicatarum, ideoque quadratutra figurie HOPN.

Et est generalis, ad omnes omnino casus extendenda in infinitum, methodus. Notandum porro et accurate advertendum in translationibus curvarum, quarum applicatæ ad diametrum versus basim decrescunt, aliam omnino viam analystis ineundam, a prwecedenti diversam.

Sit enim in quinta figura (fig. 146) prior curva IVCBTYA, cujus diameter AI, applicate MV, NC, OB, PT, QY, et ejus curva ea sit natura ut applicat' versus basim semper decrescant, donec ad basim perveniant, ita ut MV sit minor quam NC; rursus autem ita curva versus A, per tramitem CBYA, inflectatur, ut CN sit major quam BO, BO major quam PT, PT major quam QY, etc.; ita ut omnium applicatarum maxima sit CN.

Si in hoc casu quseramus translationem quadratorum MV, NC ad basim, ea non comparabimus productis sub IR in RV, ut supra, quia jam, ex tleoremate generali, suppositum est omnia quadrata MV, NC qequari productis sub VG in GN, quum CN, maxima applicatarum, possit et debeat considerari ut basis respectu curvse cujus vertex I,

Fig. 146.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 146.png

Quadrata igitur MV, NC, in curva quarum applicatæ decrescunt versus basim, comparabuntur in hoc casu productis < ex > GV in GN, hoc est, ut ad terminos analyticos sequatio in hac figura perveniat, si MI vel RV vocetur A, et ipsa MV sive RI vocetur E, ipsaque CD sive GR (quæ ducte, per terminum maximæ applicatarum, ipsi diametro parallelæ, est æqualis ideoque facile ex nostris methodis invenienda) rectæ datæ Z æqualis supponatur, fiet

productum ex GV in GN equale producto ex Z in E - A in E,

ideoque omnia quadrata MV, NC, usque ad maximam applicatam, comparabuntur productis

Z in E - A in E

ad basim ID applicandis.

Reliqua vero quadrata CN, BO, PT comparabuntur productis ex YF in FN, qute in terminis analyticis æquivalebunt

A in E - Z in E.

Quibus ita stabilitis, facillime ex priore curva nova versus basim derivabitur, idemque in aliis omnino applicatarum potestatibus erit observandum.

Ut autem pateat novas ex nostra hac methodo emergere quadraturas, de quibus nondum recentiorum quisquam est aliquid subodoratus, proponatur præcedens curva, cuj us æquatio

æqualis Ec.

Dantur omnes E cubi in rectilineis, ut jam probatum est. Quibus ad baisim translatis, fiet, ex superiori methodo,

æquale A,

et, omnibus secundum artem novo ipsius A valori accommodatis, evadet tandem nova Pequatio quse dabit curvam ex parte basis; cujus xquatio dabit

E c. + Uc. equalis Bin E in U,

qua est curva Schlotenii [196], cujus constructionem tradit in Sectione 25 Mliscellacteartw?, pag. 493. Figura itaque curva AKOGDLA (jig. 147) qut apud illum autorenm delineatur, ex superioribus prceptis quadrationem suan commode nanciscetur.

Fig. 147.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 147.png

Notandum autem ex curvis, in quibus aggregatum potestatum applicatarum datur, formari non solum curvas ad basim quadrationi obnoxias, sed etiam alias curvas ad diametrum facile quadrandas. Si enim in quarta figura (fig. 145) supponatur æquatio curva constitutiva, ut superius diximus,

Bq.- A q. aquale E q.,

non solum ex ea derivabitur nova curva ad basim, cujus sequatio est

Bq. in Eq. -E qq. equale Bq. in Uq.,

sed etiam nova curva ad diametrum, æquando potestatem applicate, quæ est Eq., producto B in U.

Dabuntur enim omnia producta B in U ad diametrum applicata et, omnibus per B divisis, dabuntur omnes Udiametro applicatse, ideoque quadratura curvæ novæ ex priore versus diametrum oriundœ, cujus tequatio erit

Bq. -A q. æquale Bin U;

unde statim apparet novam illam curvam versus diametrum esse parabolen.

Hujusmodi autem transmutationum beneficio, non solum ex prioribus curvis oriuntur novte, sed itur, nullo negotio, a parabolis ad hyperbolas et ab hyperbolis ad parabolas, ut experientia constabit. Sicut autem a curvis, in quibus dantur potestates applicatarum, fit, precedentis ope analyseos, translatio ad curvas, in quibus latera applicatarum in rectilineis dantur, ita ex curvis in quibus dantur latera applicatarum, devenitur facile ad curvas, in quibus potestates applicatarum dantur.

Cujus rei exemplum esto curva, cujus equatio

Bq. in Eq. -Eqq. equale Bq. in Uq.

In hac enim æquatione, ut jam probatum est, dantur omnes U. Ponatur

U æqualis esse

et, subrogando in locum ipsius U, novum ipsi assignatum valorem, , fiet

Bq. in Eq.-Eqq. æquale Aq. in Eq.
et, omnibus abs Eq. divisis, remanebit
Bq. -Eq. æquale Aq.

sive

Bq.- Aq. æquale Eq.

Dabuntur igitur in hac nova curva, quam apparet esse circulum, omnia E quadrata.

Quod si, ex prima curva in qua dantur latera applicatarum, queratur nova in qua dentur cubi applicatarum, eadem methodo utendum, modo potestates ignotarum conditionarias usurpemus.

Proponatur enim curva quam superius ex alia deduximus, et sit illius æquatio

B qc. in Uq. in Eq. - Eccc. æqualis Bcc. in Uc.

Probatum est in illa dari aggregatum omnium U, hoc est, latera applicatarum. Ut itaque ex ea nova curva derivetur, in qua omnes cubi applicatarum dentur, ponatur

U æquari

et in locum U substituatur novus iste quem ipsi assignavimus valor, fiet tandem, operando secundum præcepta artis, æquatio

inter BinAq.-Ac. et Ec.,

quæ dabit curvam in qua omnes Ec., cubos applicatarum repræsentantes, dabuntur.

Ex hac autem methodo non solum dantur et inveniuntur quadrationes infinitse, nondum geometris cognitæ, sed multæ etiam pariter infinite deteguntur curvæ, quarum quadrature, supponendo simpliciores quadraturas, ut circuli, ut hyperboles, ut aliarum, expediuntur.

Exempli gratia, in æquatione circuli, in qua

Bq. -Aq. æquatur Eq.,

dantur quidem in rectilineis omnes applicatarum potestates, quarum exponentes signantur numero pari, ut omnia quadrata, omnia quadratoquadrata, omnes cubocubi, etc.; sed potestates applicatarum, qua rum exponentes signantur numero impari, ut omnes E cubi, omnes E quadratocubi, dantur tantum in rectilineis, supponendo ipsamn circuli quadraturam. Quod non est operosum demonstrare et in praxin redigere, tanquam corollarium methodi præcedentis.

Plerumque autem usuvenit ut iterandæ vel bis vel etian sepius sint operationes ad inquirendam curvt propositse dimensionem.

Proponatur, exempli gratia, curva cujus Tquatio sequens speciem determinet:

Be. æqualis Aq. inE - Bq. in E.

Si dantur omnes E, ergo dantur omnia sub recta data (B videlicet) in E rectangula. Rectangulum B in E, invertendo superiorem, de qua egimus in principio Dissertationis, methodun, tequetur quadrato, Oq. Ergo

Oq./B aquabitur E

et, substituendo, in locum E, novum hunc ipsi assignatum valorem, fiet

Bqq. æquale Aq, in Oq. + Bq. in Oqo

Et hæc sit prima operatio, quæ est inversa ejus quam initio hujus Dissertationis præmisimus, et quæ novam curvam exprimit, in qua inquirendum restat an dentur omnia Oq. Recurrendum igitur ad secundam methodum, cujus beneficio ex quadratis applicatarum latera novæ curvse inquirimus.

Ponatur B in U/O,U ex superiore quam secundo loco exhibuimus methodo, æquari A et, substituendo, in locum A, ipsi jam assignatum ex nostra methodo valorem, fiet

Bqq. - Bq. in Oq. equale Bq. in Uq.

et, omnibus per Bq. divisis, evadet tandem

Bq.- Oq. aquale Uq.,

quse æquatio dat circulum, et in ea omnes U dantur, supponendo quadraturam circuli. Recurrendo igitur ad priorern curvam, in qua

Bc. ponitur æquari Aq. in E + Bq. in E,

patet spatium ab ea curva oriundum per quadraturam circuli posse quadrari, idque per duas curvas a priore diversas analysis nostra breviter et facile expedivit.

MHec vero omnia et ad inventionem rectarum curvis œqualium et ad pleraque alia non satis hactenus indagata problemata inservire statim experiendo &y. vou; analysta deprehendet.

Sit in sexta figura (fig. i48) parabole primaria ADB, cujus axis CB,

Fig. 148.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 148.png

applicata CD æqualis axi CB et recto lateri BV, fiantque BP, PL, LG singulæ xequales axi CB et ipsi in directun. Sumatur in curva quodvis punctunm, ut F, et, datis infinitis BX, PS, LO ipsi CD parallelis, ducatur FXSOK parallela axi, occurrens rectis < BX >, PS, LO in punctis < X >, S et 0; et fiat ut summa rectarum FX, XS sive

ut tota FS ad SO, ita SO ad OK;

et, sumptis similiter punctis D, E, fiat

ut DR ad RN, ita RN ad NI,

et

ut EQ ad QM, ita QM ad MHt;

et intelligatur curva infinita per puncta G, H, I, K etc. incedens, cujus asymptotos erit recta infinita LO.

Curva hlec GHIK est ea cujus species a superiori æquatione determinatur, in qua B c. aquatur Aq. in E + Bq. in E. Aio itaque, ex jam tradita operationum analytica iteratione, spatium KIHGLMNO, in infinitum versus puncta K, 0 extendendum, Sequale esse circulo, cujus diameter est axis BC, < bis sumpto >.

Hanc vero quacstionem, ab erudito geometra nobis propositam, ita statim expedivimus: eadem methodo spatium a Dioclea comprehensum quadravimus, vel ad circuli quadraturam reduximus[197].

Sed elegans imprimis operationum iteratio evadit, quum ab altioribus applicatarum potestatibus ad depressiores, vel contra a depressioribus ad altiores, analysis ipsa transcurrit: cui methodo prtesertim debeatur inquisitio summœ applicatarum in quacumque curva proposita, et multa alia problemata tetragonismica.

Proponatur, verbi gratia, curva cujus æquatio

Bq.-Aq. æquale Eq.,

quam statim apparet esse circulum. Quæritur summa cuborum applicatarum, hoc est, summa E cuborum.

Si dantur omnes E cubi, ergo, per præcedentes secundum potestatis conditionem methodos, ex ea curva potest alia ad basim derivari, in qua dabitur summa applicatarum. Ponatur igitur ex methodo

Bq. in 0 /Eq. equari A:

ergo, substituendo, in locum A, jam assignatum ipsi valorem, fiet ex methodo

Bq. in Eqq. - Ecc. etquale Bqq. in Oq.,

que est æquatio curve, in qua omnes O dantur ex suppositione quam fecimus, in prima curva dari omnes E cubos.

Quum igitur in hac nova curva omnies O dentur, ex ea derivetur tertia, in qua quserantur quadrata applicatarum, non vero cubi, ut in priore curva jam suppositum est. Fingatur igitur ex nostra, qual in quadratis, ut jam supra diximus, usurpatur, methodo,

æquari O:
ergo
Bq. in Eqq.- Ecc. aequabitur Bq. in Eq. in Uq.
et, omnibus abs Eq. divisis, fiet
Bq. in Eq. - Eqq. aequale Bq. in Uq.;
et in hac curva omnia E quadrata dantur.

Si igitur ex hac curva quæramus aliam in qua omnes applicate dentur, ponatur, si placet,

Eq. æquale B in Y:
ergo, in ultima hac aequatione,
B in Y- Yq. aequabitur Uq.
et, quum iln superiore dentur omnia E quadrata, dabuntur in ista omnia rectangula B in Y, ideoque omnes Y.

Quum ergo omnes Y dentur in hac ultima curva, qu c est circulus, ut patet (igitur ea tantumn conditione dantur, si s upponas dari circuli quadraturam), regredicndo igitur ab hac ultima, in qua desinit nostra analysis, curva ad priorem, patet omnes applicatarum ad circulum cubos dari, supponendo circuli quadraturam.

Idem de quadratocubis, de quadratoquadratocubis et ceteris in infinitum gradus imparis potestatibus demonstrare est in promptu; sed multiplicatur numerus curvarum, prout altior est, de qua inquirimus, potestas.

Nec est difficilis ab analysi ad synthesin et ad verum quadrandae figurae calculum regressus.

Sapius autem contingit et miraculi instar est per plurimas numero curvas incedendum et exspatiandum esse analystas, ut ad simplicem, aequationis localis propositae dimensionem perveniatur. Proponatur, exempli causa [198],

æquari Eq.

Quum supponatur dari quadratura figuræ ex hac equatione oriulnde, dabuntur omnes A, ergo omnia B i A, qute si teques quadrato ignoto, Oq., dabuntur omnia Oq., et

A æquabitur ,
ideoque fiet æquatio
inter et Eq.

Ex hac nova curva, alia mnethodo de qua toties egimus, deduceturt tertia in qua, quia dantur omnia ( quadrata, ponatur

æquari E:
ergo fiet æquatio
inter et Uq.,
unde deducetur tertia curva [199],

in qua dabuntur omnies 0, ideoque omnes U.

Si dantur omnes U, ergo ex prima mIethodo dantur omnia sub B ib U rectangula. Sit

B in U æquale Yq.
ideoque
æquabitur U,

et fiet sequatio

inter et y

unde orietur quarta curva, in qua dabuntur omnia Yquadrata.

Ex ilia, solita methodo, deducatur alia curva et fiat

B in I / y æqualis 0.

Omnibus secundum pr cepta Analyseos peractis, fiet

B4 in Ya in Iq. - B4 in PY wequale I 10,

unde orietur quinta curva, in qua dabuntur omnes Y, ideoque omnes 1.

Ex ea, contraria quam jam ssepius inculcavimus methodo, quxaratur alia curva in qua dentur quadrata applicatarum, et sit

æqualis Y

(nihil enim vetat defectu vocalium ad priores supra usurpatas recurrere); fiet

Bq. in Al4 -- A6 æuale Bq in I,

unde orietur curva sexta in qua omnia I quadrata dabunturo Reducantur ad latera, nota et sspius iterata superius methodo, et fiat

Iq. cequale B in E

ergo omnia Bn wE dabuntur et inde deducetur septima curva, in qua

Bq. in A4~ A.G equabitur B:T in Eq.,

in eaque dabuntur omnes E, ideoque omnes A.

Ex ea deducatur alia curva, in qua dentur quadrata applicatarum, et ex methodo ponatur

æquari E
ergo
Bq. in A- A6 æquabitur Bq. in A q. in Oq.

et, omnibus abs Aq. divisis, fiet æquatio

inter Bq. inAq.-A ' et Bq. in Oq.,

in qua omniaA quadrata dabuntur et erit octava curva ab ea wequatione determinata.

Quum igitur in ea omnia A quadrata dentur, deducatur ex ehl alia tandem curva, in qua dentur latera, et sit

Aq. æquale Bin U;

fiet

Bin U- Uq. æquale Oq,

quæ ultima sequalitas dabit nonam curvam, in qua omnes U dabuntur.

At hæc ultima curva est circulus, ut patet, et in ea omnes U non dantur, nisi supposita circuli quadratura: ergo recurrendo ad primam curvse propositæ constitutionem, dabitur illius quadratura, supponendo ipsam ultimæ istius curvæ sive circuli quadraturam. Beneficio igitur novem curvarum inter se diversarum ad notitiam prioris pervenimus.




< DE CISSOIDE FRAGMENTUM >[200]


Esto cissois EAPS (fig. 149) in semicirculo LYABE, cujus centrum H, diameter LE, perpendicularis ad diametrum radius HA, asymptotos infinita cissoidis recta LR ad diametrum perpendicularis.

Aio spatium contenturn sub EL, cissoide infinita EAPS et asymptote infinita LR, esse triplum semicirculi LAE, ideoque, si altera semicirculi parte eadem fiat constructio, ambo spatia culminantia in puncto E esse tripla totius circuli.

Demonstratio non est operosa, imo satis elegans.

Sumantur duo puncta I et G in diametro, utcumque aqualiter a centro distantia, ita ut recte HI-, HG sint eequales, ideoque rectæ LI, GE. A punctis I et G excitentur perpendiculares occurrentes cissoidi

Fig. 149.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 149.png

in punetis P, Y et circulo in punctis V et B. Jungantur radii HV, HB et a punctis V et B ducantur tangentes VMI, BD, occurrentes diametro in punctis Mt et D. Sumatur minima quevis, ultra punctume I, recta IK et, ultra punctur G, recta GF ipsi IK wequalis, et a punctis K et F excitentur perpendiculares ad diametrum recte KN, FC occurrentes tangentibus in punctis N et C, a quibus demittantur perpendiculares NO, CQ in rectas VI, BG.

His ita constitutis, patet spatium cissoidale equari omnibus rectangulis sub PI < in > IK et sub YG < in > GF, utcumque ubilibet sumptis, bases ipsis KI, GF æquales habentibus et altitudines an gulis rectis ad cissoidem similiter applicatas. Est autem, ex natura cissoidis,

ut VI ad IE, ita IE ad IP;

sed IE est tequalis rectis IH et HE sive HV: ergo est

ut IV ad summam rectarum ITH, HV, ita IE ad IP.

Sed, propter similitudinem triangulorum HVI, VMI, VNO, est

ut IV ad summam rectarum HI, HV,
ita recta NO ad summam rectarum NV, VO

ergo

ut NO sive KI est ad NV plus VO, ita est recta IE ad rectam IP.

Rectangulum igitur sub IP < in > IK æquatur rectangulo sub IE in NV plus rectangulo sub IE in VO.

Ex alia autem parte, est, ex natura cissoidis,

ut BG ad GE, ita GE ad GY;

sed GE est æqualis recta HE sive HB minus HG: ergo est

ut BG ad BH minus HG, ita GE ad GY.

Ut autem BG ad BH minus HG-, ita, propter similitudinem triangulorum, ex jam demonstratis,

recta QC sive GF est ad BC minus BQ,

ideoque rectangulum sub YG in GF wequabitur rectangulo sub GE in BC minus rectangulo sub GE in BQ.

Ex constructione auttem, quum recta HI, HG sint æquales, item re.cte KI, GF, patet reliquas æquari, nempe VN ipsi BC, VO ipsi BQ uncle patet duo rectangula correlativa, sub PT in IK et sub YG in GF sive in eamdem IK, wequalia esse rectangulis sub IE in NV, plus GE in BC sive LI in NV, plus IE in VO, minus GE in BQ sive in VO. Rectangula autem duo sub IE in NV et sub LI in NV equantur unico rectangulo sub diametro LE in NV; rectangulum vero IE in VO minus GE in VO æquatur rectangulo sub IG in VO sive rectangulo sub IH sive VX in VO bis: ergo summa rectangulorum sub PI in IK et sub GY in eamdem IK Cequatur rectangulo sub diametro EL in VN et rectangulo sub VX in VO bis.

Rectangula autem omnia sub diametro et portionibus tangentium VN in quadrante circuli LVA ductarum reprtsentant rectangulum sub diametro in quadrantem LVA, hoc est dupluin semicirculi LAE; rectangula autem omnia sub VX in VO his sive, ducta OZQ parallela diametro, rectangula omnia sub VX in XZ his reprmsentant totum semicirculumn LAE.

Ergo spatium cissoidale, quod sequatur duobus illis rectangulorum seriebus, æquatur triplo semicirculi, ut patet.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.
OBSERVATIONES DOMINI PETRI DE FERMAT.





I (p. 54).
(Ad definitionem VI Cl. Gasparis Bacheti Porismatum Libr. III.)

A duobus quibuscumque numeris formari dicitur triangulum rectangulum, quum ex aggregato et ex intervallo quadratorum ab ipsis et ex duplo plani sub ipsis numeris contenti constant latera trianguli.

A tribus numeris in proportione arithmetica possumus formare triangulum, si secundum hanc definitionem sextam formemus illud a medio et differentia. Nam solidum sub tribus ductum in differentiam faciet aream dicti trianguli, atque ideo, si differentia sit unitas, solidum sub tribus erit area trianguli.

II (p. 61).
(Ad quæstion. VIII Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libr. II.)

Propositum quadratur dividere in duos quadratos.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

III (p. 65).
(Ad quæstion. X Libr. II.)

Datum numerum, qui ex duobus componitur quadratis, in alios < duos > quadratos partiri.

Num verò numerum ex duobus cubis compositum dividere poterimus in alios duos cubos ? Hæc quæstio difficilis sane nec Bacheto aut Vietæ cognita, fortasse nec ipsi Diophanto ; ejus tamen solutionem dedimus infra in notatis[201] ad quæstionem secundam Libri IV.

IV (p. 107).
(Ad quæstion. X Libr. III.)

Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero faciat quadratum, sed et summa trium dato numero adjecto faciat quadratum.

Quomodo inveniendi sint quatuor numeri ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero conficiat quadratum, invenimus ad propositionem 30 Libri V.

V (p. 108).
(Ad quæstion. XI Libr. III.)

Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat quadratum, sed et trium summa detracto dato numero faciat quadratum.

Quæ notavimus ad 31am Libri V, docebunt quomodo invneniendi sint quatuor numeri, quorum bini quilibet sumpti dempto dato numero conficiant quadratum.

VI (p. 118).
(Ad quæstion. XVII Libr. III.)

Invenire tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione, adsumpta eorumdem summa, quadratum faciat.

Exstat hujus quæstionis Diophanti problema [202] in Libro V quæstione 5. Num verò problema sequens ipse Diophantus sciens prætermisit, an potius in aliquo tredecim librorum constructum erat, nescimus : Invenire tres quadratos ut productus ex binorum multiplicatione, adsumptâ eorumdem summâ, quadratum faciat.

Hujus tamen quæstionis infinitas solutiones dare possumus. En, verbi gratia, sequentem solutionem : satisfaciunt nempe problemati tres quadrati sequentes

Primus quadratus, Secundus quadratus, Tertius quadratus.

Imo et ulterius progredi et Diophanteam quæstionem promovere nihil vetat. Sequens enim problema generaliter et infinitis modis construximus :

Invenire quatuor numeros sub quibus binis quod fit planum, adscitâ amborum summâ, faciat quadratum.

Inveniantur, per 5am propositionem Libri V, tres quadrati ut quem bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum, et sunto illi numeri quadrati

Sunt ergo tres isti quadrati tres primi nostræ quæstionis. Ponatur quartus 1N ; fient tria producta unà cum summis æqualia

Primum, Secundum, Tertium.

Hæc igitur tria æquanda quadrato, et oritur triplicata æqualitas, cujus explicationem dedimus ad quæstionem 24 Libri VI.

div id="VII">
VII (p. 127-128).
Ad commentarium (in quæstion. XXII Libr. III), præcipue ad locum illum :
Adverte tertio etc.[203].

Numerus primus, qui superat unitate quaternarii multiplicem, semel tantum est hypotenusa trianguli rectanguli, ejus quadratus bis, cubus ter, quadratoquadratus quater, etc. in infinitum.

Idem numerus primus et ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quadratis ; ejus cubus et quadratoquadratus, bis ; quadratocubus et cubocubus ter ; etc. in infinitum.

Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium primum etiam ex duobus compositum quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis ; si ducatur in quadratum ejusdem primi, productum componetur ter ex duobus quadratis ; si ducatur in cubum ejusdem primi, productum componetur quater ex duobus quadratis ; et sic in infinitum.

Hinc facile est determinare quoties numerus datus sit hypotenusa trianguli rectanguli.

Sumantur omnes primi, quaternarii multiplicem unitate superantes, qui datum numerum metiuntur : verbi gratia, 5, 13, 17.

Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numerum, disponantur unà cum reliquis loco laterum : verbi gratia, metiantur datum numerum

5 per cubum,   13 per quadratum,   et 17 per latus simpliciter.

Sumantur exponentes omnium divisorum : nempe numeri 5 exponens est 3 propter cubum ; numeri i3 exponens est 2 propter quadratum et numeri 17 unitas tantum.

Ordinentur igitur, ut volueris, dicti omnes exponentes : ut, si velis, 3.2.1.

Ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam primi et secundi, fit 17. Ducatur jam 17 in tertium bis et producto adjiciendo summam 17 et tertii, fit 52. Datus igitur numerus erit hypotenusa 52 triangulorum rectangulorum ; nec est dissimilis in quotcumque divisoribus et ipsorum potestatibus methodus.

Reliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non superant, nihil aut addunt quæstioni aut detrahunt neque ipsorum potestates.

Invenire numerum qui quoties quis velit sit hypotenusa.

Quæratur numerus qui sit septies hypotenusa.

Numerus 7 datus dupletur : fit 14. Adjice unitatem : fit 15. Sume omnes primos qui mensurant 15 : sunt hi 3 et 5. Ab unoquoque demptâ unitate, sume reliqui dimidium : fiunt 1 et 2. Quærantur tot primi diversi quot hîc sunt numeri, nempe duo, et secundum exponentes 1 et 2 inter se multiplicentur, nempe unus in quadratum alterius ; in hoc casu satisfiet quæstioni, modò primi quos sumis superent quaternarium [204] unitate.

Ex his constat facile posse inveniri numerum minimum qui quoties quis velit sit hypotenusa.

Invenire numerum qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis.

Sit datus numerus 10. Ejus duplumn 20, cujus omnes partes primæ sumantur : 2.2.5. Ab unaquaque tolle unitatem : fiunt 1.1.4. Sumantur igitur tres numeri primi, qui nempe unitate superent quaternarium [204] : verbi gratia, 5, 13, 17 ; et quadratoquadratus unius, propter exponentem 4, ducatur in reliquos duos, fiet numerus quæsitus.

Ex his facile potest inveniri minimus numerus qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis[205].

Ut autem dignoscatur quoties datus numerus ex duobus quadratis componitur :

Sit datus numerus 325. Numeri primi qui eum componunt, nempe quaternarium [204] unitate superantes, sunt : 5, 13, hic semel, ille per quadratum. Exponentes disponantur : 2.1. Productumr multiplicatione jungatur summæ : fit 5, cui adjunctâ unitate, fit 6, cujus dimidium 3. Toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis. Si essent tres exponentes, ut 2.2.1, ita procedendum : Productum sub prioribus adjunctum summæ facit 8. Ducatur 8 in tertium et jungatur productum summæ : fit 17, cui junge unitatem : fit 18, cujus dimidium dat 9. Toties iste secundus numerus componetur ex duobus quadratis.

Si ultimus numerus bifariam dividendus esset impar, tune, demptâ unitate, reliqui dimidium sumi debet.

Sed proponatur, si placet, sequens quæstio : Invenire numerum in integris qui adsumpto dato numero conficiat quadratum et sit hypotenusa quotlibet triangulorum rectangulorum.

Hæc quæstio ardua est. Proponatur, verbi gratia, inveniendus numerus qui sit bis hypotenusa et adsumpto binario conficiat quadratum.

Erit quæsitus numerus 2023, et sunt alii infiniti idem præstantes, ut 3362, etc.

VIII (p. 133).
(Ad commentarium in quæstion. II Libr. IV.)

Quæstio Diophanti : Invenire duos numeros, ut illorum intervallum datum faciat numerum et cuborum quoque ab ipsis ortorum sit quod præscribitur intervallum.

Quæstio prima Bacheti : Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Oportet autem duplum minoris cubi non superare majorem.

Canon : Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per summam cuborum, a majore quotiente aufer minus latus, et minorem quotientem aufer a majore latere ; relinquentur cuborum quæsitorum latera.

Determinationem operationis iteratione facillime tollimus et generaliter turn hanc quæstionem, turn sequentes quæstiones construimus, quod nec Bachetus nec ipse Vieta [206] expedire potuit.

Sint dati cubi 64 et 125, inveniendi alii duo quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Ex quæstione tertia, folio sequenti [207], quærantur duo alii cubi quorum differentia æquet differentiam datorum. Illos Bachetus invenit et sunt

Isti duo cubi ex constructione habent intervallum æquale intervallo datorum ; sed isti duo cubi, inventi per quæstionis tertiæ operationem, possuntjam transferri ad quæstionem primam, quum duplum minoris non superet majorem. Datis itaque his duobus cubis quærantur alii duo quorum summa æquetur intervallo datorum ; id quidem licet per determinationem hujus quæstionis primæ. At intervallum datorum horum cuborum est per quæstionem tertiam æquale intervallo cuborum prius sumptorum 64 et 125 ; igitur construere nihil vetat duos cubos quorum summa æqualis sit intervallo datorum 64 et 125, quod sane miraretur ipse Bachetus.

Imo, si tres istæ quæstiones eant in circulum et iterentur in infinitum, dabuntur duo cubi in infinitum idem præstantes ; ex inventis enim ultimo duobus cubis quorum summa æquet differentiam datorum, per quæstionis secundæ operationem quæremus duos alios quorum differentia æquet summam ultimorum, hoc est intervallum priorum, et ex hac differentia rursum quæremus summam et sic in infinitum.

IX (p. 135).
(Ad eumdem commentarium.)

Quæstio secunda Bacheti : Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum differentia æquet summam datorum.

Canon : Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per intervallum cuborum, et minori quotienti adde majus latus, atque a majore quotiente aufer minus latus ; summa et residuum exhibebunt quæsitorum latera cuborum.

Quæstio tertia Bacheti : Datis duobus cubis, invenire alios duos, quorum differentia æquet datorum differentiam. Oportet autem duplum minoris excedere majorem.

Canon : Productum ex utroque cubo ter in latus alterius divide per summam cuborum : a majore quotiente aufer minus latus, a minore quotiente aufer majus latus, relinquentur latera qunsitorum cuborum.

Hujus qutestionis determinationem non esse legitimam, simili qua usi in prima quSestione sumus operatione, aperiemus.

Imo ex supradictis qutestionem, quam Bachetus ignoravit, feliciter construemus :

Datum numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividere,

idque infinitis modis per operationum continuatam, ut supra monnuimus, iterationem.

Sint duo cubi quibus alii duo wequales inveniendi 8 et i. Primiim ex qutestione secunda quserantur duo cubi quorum differentia æquet summam datorum, eruntque

et

Quia duplum miinoris excedit majorem, res deducitur ad tertiam qumestionem, qum demum reducetur ad primam, et constabit propositio.

Si velis secundam solutionem, rursus qu'estio redibit ad secundatm etc.

Ut autem pateat quæstionis tertise deterviniationem non esse legitimam, datis duobus cubis 8 et 1, inveniendi alii duo quorum differentia equet differentiam datorum.

Sane Bachetus impossibilem hanc quTstionem pronuntiaret; cubi tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentes quorum nempe differentia aquatur 7, differentire 8 et i. Cubi autem illi duo sunt

et

latera ipsorum

et
X (p. 146).
(Ad commentarium in question. XI Libr. IV.)

Quæstio Diophanti: Invenire duos cubos suis æquales lateribus.

Quæstio Bacheti: Invenire duos cubos quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.

Eadem addenda huic determinationi que in notis sequenti [208] addidimus, et miror Bachetum non quod methodum generalem, quas sane est difficilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectorem hanc qute ab ipso traditur non esse generalem.

XI (p. 148).
(Ad quæstion. XII Libr. IV.)

Invenire duos cubos quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum.

Utrum vero invenire liceat duos quadratoquadratos quorum intervallum cequale sit intercallo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur artificium nostræ methodi, quod haud dubie succedet.

Quærantur enim duo quadratoquadrati ita ut differentia laterum sit i, et differentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera, per primam operationem,

et

Sed, quia primus numerus notatur signo -, iteretur operatio juxta nostram methodum et ponatur primum latus 1N -9/22; secundum erit 1N + 13/22

et incidetur in novam operationem quse in veris numeris questioni satisfaciet.

XII (p. 148).
(Ad commentarium in eamdem qusestionem.)


Quaestio Bacheti: Invenire duos cubos, quorum intervallum ad intervallum laterum datam habeat rationem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.

Determinatio est illegitima, quia non generalis. Addendum igitur ( vel multiplex per numeros primos qui superant unitate ternarii multiplices aut ab ipsis compositos,,, ut 7, i3, 19, 37, etc., vel 21, 91, etc. Demonstratio et constructio ex nostra methodo petende.

XIII (p. 154).
(Ad quæstion. XVII Libr. IV.)

Invenire tres numeros æquales quadrato, ita ut quadratus cujuslibet ipsorum adscito sequento numero faciat quadratum.

Elegantius fortasse ita solvetur hæc quæstio.

Ponatur primus numerus N,

secundus 2N +- i, ut cum quadrato primi conticiat quadratum; ponatur tertius quilibet unitatum et numerorum numerus, ea conditione ut additus quadrato secundi conficiat quadratum; verbi gratia, sit 4N +3. Ita igitur duabus propositi partibus fit satis; superest ut summa trium, sed et quadratus tertii una cum primo, conficiat quadratum. Summa trium est 4 + 7N; summa vero quadrati tertii et primi est 9 - 25N -+- i6Q, oriturque duplicata aequalitas, cujus solutio in promptu si unitates quadratas ad eumdem numerum quadraturn in utrovis numero quadrato adæquando revoces.

Eâdemque viâ facillime extendetur quæstio ad quatuor numneros et infinitos ; cavendum enim solummodo erit ut summa unitatum, quae in singulis numeris ponuntur, conficiat quadratun : quod quider facillimum est.

XIV (p. 156).
(Ad quæstion. XVIII Libr. IV.)

Invenire tres numeros æquales quadrato, ut cujusvis ipsorum quadratus, dempto qui eum ordine sequitur, faciat quadratum.

Eodem quo in superiore questione usi sumus ratiocinio, hanc quoque solvemus et ad quotlibet numeros extendemus.

XV (p. 159).
(Ad quæstion. XX Libr. IV.)

Invenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum.

Proponatur invenire tres numeros ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum, et præterea unusquisque trium, adscita unitate, faciat quadratum.

Hujus quaestionis solutionem subjungenus et jam confecta est[209]. Ita fiat solutio indefinita præsentis quaestionis[210] ut unitates primi et tertii numeri, addita unitate, conficiant quadratos : verbi gratia, sint tres numeri indefinite

primus.... ,
secundus... 1N,
tertius...... ,

Patet solutionem hanc indefinitam satisfacere conditionibus hujus quæstionis vigesimwe; superes t ut singuli ex illis numeris, adscitA unitate, conficiant quadratos et orietur triplicata eaqualitas, cujus solutio erit in promptu ex nostra methodo, quum numerus unitatum in quolibet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus.

XVI (p. 161).
(Ad quæstion. XXI Libr. IV.)

Invenire quatuor numeros, ut qui fit ex binorum mutua multiplicalione, adscita unitate, faciat quadratum [211].

Inveniantur tres numeri quilibet ut qui fit binorum mutui multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum: verbi gratia, sint illi numeri 3, 1, 8.

Quœratur jam quartus ea conditione ut qui fit sub tribus inventis sigillatim in quartum, adscita unitate, sit quadratus. Ponatur inveniendus esse i N; ergo

3N +1, item 1N+1, item 8N+1

aquantur quadrato et oritur triplicata equalitas cujus solutio inventioni nostrat debetur. Vide quæ adnotavimus ad quaestionem 24 Libri VI.

XVII (p. 165).
(Ad question. XXIII Libr. IV.)

Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum.

Non solum absque lemmate Diophanti[212], sed etiam absque duplicata æqualitate[213], solvetur quœstio.

Ponatur solidum sub tribus 1Q-2N, primus numerorum sit unitas, secundus 2N.

Ita namque duobus partibus propositionis satisfit.

Pro tertio, dividatur solidum sub tribus, 1Q - 2N, per rectangulum sub primo et secundo, quod est 2N; orietur ex hac divisione tertius, 1/2N-1, quo addito ad solidurn sub tribus fit

, quod equari debet quadrato.

Oportet autem valorem numeri majorem esse binario, propter positiones jam factas; æquetur igitur quadrato cujus latus 1N - aliquo unitatum numero binario majori. Omnia constabunt.

XVIII (p. 180).
(Ad commentarium in qumstion. XXXI Libr. IV.)

Quaestio: Invenire quatuor numeros quadratos, quorum summa, cum summa laterum conjuncta, numerum imperatum faciat[214].

Imo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos primi deteximus: nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum; esse quadratum vel ex duobus aut tribus aut quatuor quadratis compositum; esse pentagonurn vel ex duobus, tribus, quatuor aut quinque pentagonis compositurn; et sic deinceps in infinitum, in hexagonis, heptagonis et polygonis quibuslibet, enuntiandh videlicet pro numero angulorum generali et mirabili propositione.

Ejus autem demonstrationem, que ex multis variis et abstrusissimis numerorum mysteriis derivatur, hic apponere non licet: opus enim et librum integrum huic operi destinare decrevimus et Arithmeticen hac in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promovere.

XIX (p. 188).
(Ad quæstion. XXXV Libr. IV.)

Datum numerum dividere in tres numeros, ut qui fit primo in secundum ducto, sive addito tertio, sive detracto, quadratum faciat. Esto datus 6.

Ita facilius fiet operatio: Datus numerus 6 utcumque dividatur, verbi gratia in 5 et i. Productus dempta unitate, hoc est 4, per 6, datum numerum, dividatur: eveniet 2. Quem si turn a 5, tum ab 1 abstuleris, duo residua 13/3 et 1/3 erunt duae priores partes numeri dividendi; tertia igitur erit 4/3 [215].

XX (p. 203).
(Ad commentarium in quæstion. XLIV Libr. IV.)

Quaestio. - Invenire tres numeros, ut compositus ex tribus multiplicatus in primum faciat triangulum, in secundum faciat quadratum, in tertium faciat cubum.

Bachetus. -... Adverte postremo, in fingendo latere ultimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, ut valor Numeri reperiatur in integris numeris, quum numerus triangulus non posset esse nisi integer. Id autem semper succedet operando modo a Diophanto tradito, si quadrati latus fingatur a tot Numeris qui sint latus quadratorum in numero quadrato æquando contentorum -. Cæterum vix aliter id fieri posse, satis experiendo deprehendes [216].

Experientiam non satis exactam fecit Bachetus. Sumatur quilibet cubus, verbi gratia, cujus latus multiplici ternarii superaddat unitatern. Erunt, verbi gratia, 2Q - 344- equanda triangulo ergo i6Q - 27a1 equabuntur quadrato, cujus latus finges, si libet, 4N -- 3. Etc.; nihil enim vetat quominus generali methodo, loco etiam ipsius 3,reliquos in infinitum impares usurpemus, variando cubos.

XXI (p. 209).
(Ad commentarium in qusestion. XLV Libr. IV.)

Quaestio Diophanti. - Invenire tres numeros, ut intervallum majoris et medii ad intervallum medii et minoris datam habeat rationem, sed et bini sumpti quadratum conficiant.

Bachetus. -...Quemadmodum ergo in hac quæstione Diophantus docet modum quo duo numeri simul aequentur quadrato, quum uterque componitur ex Numeris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt inæquales, nec habent rationem quadrati ad quadratum, numeri autem unitatum sunt inæquales et quadrati: sic aio modum dari posse resolvendi duplicatam enqualitatem, quum uterque propositorum numerorum quadrato æquandorum componitur ex Numeris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt inequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum, sed et numeri unitatum inæquales sunt, sive quadrati sint, sive non. Id autem prastabimus in duplici casu.

Primus casus est, quum numerorum quadrato aequandorum intervallum tale est ut, eo per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, supersit unitatum numerus solus quadratus....

Secundus casus est, quum numerorum quadrato equandorum intervallum tale est ut, eo per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, deficiat unitatum numerus solus, qui ad multiplicatorem vel divisorem rationem habeat quadrati ad quadratum....

Sed proponatur, si placet, htec duplicata sequalitas, nempe

2N -4- 5 et 6N + 3 cequandi quadrato.
Quadratus quandus 2N + 5 erit i6,

et

quadratus aequandus 6N+3 erit 36,

et invenientur alii in infinitum quaestioni satisfacientes. Nec difficile est regulam generalem ad hujusmodi questionum solutionem proponere, ut vix limitatio ista Bacheti sit tanto viro digna, quum ad infinitos casus extendi quod in duobus tantum adinvenit, facillime possit, imo et ad casus omnes possibiles.

XXII (p. 215).
(Ad quæstion. III Libr. V.)

Dato numero apponere tres numeros, ut quilibet ipsorum et qui a binis producitur quibusvis, datum adsumens numerum, faciat quadratum.

Ex hac propositione facile deducetur sequens questio:

Invenire quatuor numeros ea conditione ut quod sub binis producatur, adscito dato numero, faciat quadratum.

Inveniantur tres quæstioni satisfacientes ita ut singuli dato numero aucti conficiant quadratos juxta hanc propositionem. Ponatur quartus inveniendus esse 1N+1. Orietur triplicata æqualitas cujus solutio nostræ methodi beneficio erit in promptu. Vide adnotata ad 24am quæstionem Libri VI.

Solvetur itaque quæstio, quam proposuit Bachetus[217] ad quæstionem 12 Libri III, per hanc methodum quæ, quum multo sit generalior, hoc præterea amplius habet quam methodus Bacheti, quod tres priores numeri aucti dato numero conficiant quadratos in nostra solutione.

An vero ita solvi possit quæstio ut etiam quartus auctus dato numero conficiat quadratum, hoc sane hactenus ignoramus : inquiratur itaque ulterius[218].

XXIII (p. 220).
(Ad quæstion. VIII Libr. V.)

Invenire tria triangula rectangula quorum areæ sint æquales.

Num vero inveniri possunt quatuor aut etiam plura in infinitum triangula aequalis areæ, nihil videtur obstare quominus quæstio sit possibilis : inquiratur itaque ulterius.

Nos hoc problema construximus, imo et data qualibet trianguli area infinita triangula ejusdem areæ exhibemus : verbi gratia, data area 6 trianguli 3.4.5., en aliud triangulum ejusdem areæ

aut, si placet eadem denominatio,

Perpetua et constans methodus hæc est : Exponatur quodlibet triangulum, cujus hypotenusa Z, basis B, perpendiculum D. Ab eo sic formatur aliud triangulum dissimile ejusdem areæ : nempe formetur abs Z quadrato et B in D bis, et planoplana lateribus similia applicentur Z in B quadratum bis – Z in D quadratum bis. Hoc novum triangulum habebit aream æqualem areæ præcedentis.

Ad hoc secundo eadem methodo formetur tertium, a tertio quartum, a quarto quintum, et fient triangula in infinitum dissimilia ejusdem areæ.

Et ne dubites plura tribus dari posse, inventis tribus Diophanti

40.42.58., 24.70.74., et 15.112.113.,

quartum adjungimus dissimile ejusdem tamen areæ :

hypotenusa,
basis,
perpendiculum,
et, omnibus in eumdem denominatorem ductis, fient quatuor triangula in integris aequalis areae quae sequuntur :
Primum..... 47 560 49 938. 68 962.
Secundum.... 28 536. 83 230. 87 986.
Tertium...... 17 835. 133 168. 134 357.
Quartum...... 1 681. 1 412 880. 1 412 881

eademque methodo invenientur triangula ejusdem arete in infinitum et quastio sequens ultra Diophanteos limites progredietur.

En etiam alia methodo [219] triangulum cujus area facit sextuplum quadrati, sicut 3.4.5.; nempe

2 896 804. 7 216 803. 7 776 485.
XXIV (p. 221).
(Ad question. IX Libr. V.)

Invenire tres numeros ut uniuscujusque quadratus, summa trium sive addita sive detracta, faciat quadratum.

Ex supradictis patet posse nos construere generaliter problema

Invenlire quotcumque numeros ut uniuscujusque quadratus, summd omnium sive addita sive detractd, quadratum faciat[220].

Hanc qusestionem forte Bachetus ignoravit: Diophantum quippe promovisset, ut supra 31a quæstione Libri IV et aliis in locis, si quwestionis hujus solutionem detexisset.

XXV (p. 224).
(Ad commentarium in quæstion. XII Libr. V.)
QUÆSTIO DIOPHANTI. - Unitatem dividere in duas partes, et utrique segmento datum numerum adjicere et facere quadratum. Oportet autem datum neque imparem esse * neque hujus vero quadrati latus est
Per quod si dividas singula latera trianguli mox reperti, habebis triangulum quæsitum
cujus area est 6. »

« Adverte nos invenisse hoc triangulum per illud quod datum fuit 3.4.5, ac per inventum inveniri posse tertium; per tertium invenietur quartum, et sic in infinitum. »

duplum ejus N. unitas majorem habere quadrantem quam est numerus, quo ipsum metitur primus numerus *[221].

BACHETUS..... Reliqua verò verba « neque duplum ejus, etc. » adeo vitiata sunt ut nullam commode recipere possint explicationem. Non dubito quidem Diophantum respexisse ad aliquam numerorum non vulgarem proprietatem, qua definitur quis numerus par deligendus sit, ut duplum ejus unitate auctum sit quadratus numerus vel compositus ex duobus quadratis. Sed quid sibi velit in tanta verborum caligine divinare non possum; id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem inciderit.... Sane quod ait Xilander, verba illa corrupta videri velle, debere eum qui datur esse duplum numeri primi, id utique futile est et nulli fundamento nixum, quodque ipscâ statim experientiâ refelli potest : nam, si datus sit 10, is est duplus numeri primi 5 et tamen quæstioni solvendæ minime reperitur idoneus, nam oporteret dividere in duos quadratos numerum 21. Quod quidem impossibile est, ut reor, quum is neque quadratus sit, neque suapte natura compositus ex duobus quadratis.

Numerus 21 non potest dividi in duos quadratos in fractis. Hoc autem facillime demonstrare possumus, et generalius omnis numerus cujus triens non habet trientem non potest dividi in duos quadratos neque in integris neque in fractis.

XXVI (p. 225).
(Ad idem commentarium.)

BACHETUS. - Aliquando mihi venit in mentem Diophantum voluisse duplum dati numeri paris unitate auctum esse numerum primum, quandoquidem omnes fere hujusmodi numeri componuntur ex duobus quadratis, quales sunt 5, 13, 17, 29, 41, aliique primi numeri qui sublata unitate relinquunt numerum pariter parem. Verumtamen neque hæc explicatio sustineri potest. Nam primum hac ratione per hujusmodi conditionem excluderentur omnes numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus..... Deinde excluderentur etiam multi numeri, quorum duplum unitate auctum componitur ex duobus quadratis, quales sunt 22, 58, 62 et alii innumerabiles. Nam dupli horum unitate aucti sunt 45, 117, 125, quorum nullus est primus numerus, quum quilibet multos habeat metientes ; unusquisque tamen e duobus quadratis conflatur, primus scilicet ex quadratis 36 et 9, secundus ex quadratis 81 et 36, tertius ex quadratis 100 et 25.

Vera limitatio hæc est, generalis nempe et omnes numeros inutiles excludens :

Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum ejus unitate auctum, per maximum quadratum ex quo mensuratur divisum, dividi a quovis numero primo unitate minori quam multiplex quaternarii.

XXVII (p. 232).
(Ad commentarium in quæstion. XIV Libr. V.)

Quæstio Diophanti. - Unitatem dividere in tres numeros et cuilibet addere datum eumdem numerum et ita quemlibet quadratum facere. Oportet autem datum neque binarium esse neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonarii multiplicem.

Bachetus..... Ingeniosa est et autore digna hujusmodi limitatio. Cæterum quamvis, ut ostensum est, hæc conditio sit necessaria, non est tamen sufficiens, nam non solum numeri omnes hac limitatione comprehensi solvendæ quæstioni sunt inutiles, sed præterea numerus 9 et omnes alii qui fiunt addito 9 ad 32 vel ad aliquem ejus multiplicem, quales sunt 41, 73, 105, etc. ; nam horum triplum addita unitate neque quadratus est neque numerus e duobus vel tribus quadratis compositus....

Cæterum an hæ duæ limitationes simul sufficientes sint, ita ut per utramque simul excludantur omnes omnino numeri quorum triplum unitate auctum non est quadratus nec e duobus vel tribus quadratis compositus, non ausim temere affirmare. Equidem vix adducor ut aliter sentiam, quum in omnibus numeris ab unitate usque ad 325 id sim expertus.

Limitatio ipsa Bacheti est insufficiens, imo nec ipsius experientia satis fuit accurata, nam 37 numerus cadit in limitationem, non autem in regulam.

Vera limitatio sic concipi debet :

Exponantur duæ progressiones quadruplæ altera ab unitate, altera ab octonario, et una alteri superponatur sic :

1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, etc.,
8, 32, 128, 512, 2048, 8192, 32768, etc.
et considerando primo terminum primum secundæ qui est 8, oportet datum numerum non esse duplum unitatis, quia ipsi superponatur unitas, neque superare duplo unitatis multiplicem 8.

Deinde, considerando secundum terminum secundæ progressionis, qui est 32, sumatur duplum numeri superpositi qui est 4 : fit 8, cui si addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes (in hoc exemplo invenietur sola unitas), fit 9.

Sumptis igitur duobus numeris 32 et 9, oportet datum numerum neque esse 9 neque superare dicto numero 9 multiplicem 32.

Consideretur mox tertius progressionis secundæ terminus, qui est 128 : sumatur duplum numeri superpositi, qui est 16 : fit 32, cui si addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes, qui jam sunt 1 et 4, fit 37. Sumptis igitur duobus numeris 128 et 37, oportet datum numerum neque esse 37, neque superare dicto 37 multiplicem 128.

Considerato deinde quarto progressionis secundæ termino, fient ex methodo numeri 512 et 149. Oportebit itaque numerum neque esse 149, neque superare dicto 149 multiplicem 512.

Et est uniformis et perpetua in infinitum methodus, quam neque Diophantus generaliter indicavit, nec Bachetus ipse detexit, cujus vel ipsa experientia fallit, ut jam præmonuimus, non solum in numero 37 qui est intra limites experientiæ de qua fidem facit, sed etiam in numero 149 et aliis.

XXVIII (p. 241).
(Ad quæstion. XIX Libr. V.)

Invenire tres numeros, ut cubus summæ eorum, quovis ipsorum detracto, faciat cubum. Ponatur rursus trium summa 1N. et ipsi C, C, C. Superest ut tres conjuncti æquentur 1N. fit ergo C æquale 1N. et omnia per numerum dividantur, fit Q aquale 1. est autem 1 quadratus. Oportebat ergo et numerum quadratorum esse quadratum : unde autem is natus est ? Quod a ternario subducti sunt tres cubi,

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς, ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος λείψας ἕκαστον ποιῇ κύβον. τετάχθωσαν πάλιν οἱ τρεῖς ςο̅υ̅α̅. καὶ αὐτῶν ὁ μὲν κύβων ζ̅ηʹ, ὁ δὲ κύβων κςκζʹ, ὁ δὲ κύβων ξ̅γ̅ξδʹ. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ς α̅. γίνεται κυβικὸν δ̅ͅω̅ο̅ζ̅ᾳψκηʹ. ἴσον ς α̅. πάντα παρὰ ἀριθμὸν, καὶ γίνεται δυναμοστὸν δ̅ͅω̅ο̅ζ̅ᾳψκηʹ. ἴσον μο α̅. καὶ ἔστιν ἡ μονὰς τετράγωνος. δεήσει ἄρα καὶ τὰς δυνάμεις εἶναι τετράγωνον. πόθέν

quorum quilibet minor est unitate. Eo itaque res redit, ut inveniantur tres cubi, quorum quilibet sit minor unitate, summa autem ipsorum a ternario sublata, faciat quadratum. Et quia volumus cuborum quemque minorem esse unitate, si statuamus tres numeros simul unitate minores, multo minores singuli erunt unitate. Sic autem quadratum qui relinquetur oportebit majorem esse binario. Statuatur quadratus qui relinquitur 2¼. Oportet igitur ¾ dividere in tres cubos et horum multiplicia secundum aliquos cubos divisa. Esto secundum 216. Oportet igitur ut dividamus 162 in tres cubos. At 162 componitur ex cubo 125 et intervallo duorum cuborum, 64 et 27. Habemus autem in porismatis, omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis. Recurramus ad propositum initio et sumamus unumquemque cuborum inventorum, et quolibet ab unitate subtracto, residua statuamus pro quæsitis numeris et sit summa 1N. Ita fiet ut cubus summæ, quovis ipsorum detracto, cubum faciat. Restat ut tres simul æquentur 1N. fit autem trium summa 2¼C. Hoc ergo æquatur 1N. unde fiet 1N, ⅔. Ad positiones. ἐστι τὸ πλῆθος τῶν δυ̅ ἐκ τοῦ ἀπὸ τϱιάδος ἀφαιρεῖσθαι τρεῖς κύβους, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἔστι μονάδος μιᾶς. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ μο α̅. τὸ δὲ σύνθεμα αὐτών ἀρθὲν ἀπὸ τριάδος ποιῇ τετράγωνον. καὶ ἐπεὶ ζητοῦμεν ἕκαστον αὐτῶν κύβον ἐλάσσονα εἶναι μονάδος μιᾶς, ἐὰν ἄρα κατασκευάσωμεν τοὺς τρεῖς ἀριθμοὺς ἐλάσσονας μονάδος α̅. πολλῷ ἕκαστος αὐτών ἐλάσσων μονάδος α̅. ὥστε ὀφείλει ὁ καταλειπόμενος τετράγωνος μείζων εἶναι δυάδος. τετάχθω καταλειπόμενος τετράγωνος μο β̅. α̅δʹ. δεῖ οὖν τὰ γ̅δʹ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. καὶ κατὰ τούτων πολλαπλάσια κατὰ τινῶν κύβων διαιρεθέντων. ἔστω δὲ κατὰ τὸν σ̅ι̅ς̅. ὀφείλομεν οὖν τὀν ρ̅ξ̅β̅ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. σύγκειται δὲ ὁ ρ̅ξ̅β̅ ἔκτε κύβου τοῦ ρ̅κ̅ε̅ καὶ δύο κύβων ὑπεροχῆς τοῦτε ξ̅δ̅ καὶ τοῦ κ̅ζ̅. ἔχομεν δὲ ἐν τοῖς πορίσμασιν * ὅτι πάντων δύο κύβων ἡ ὑπεροχὴ κ̅υ *. ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ αρχῆς, καὶ τάσσομεν ἕκαστον κύβων εὑρεθέντων. τοὺς δὲ τρεῖς ἀριθμὸν α̅. καὶ συμβήσεται τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον λείψαντα ἕκαστον, ποιεῖν κύβον. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ς α̅. γίνονται δὲ οἱ τρεῖς κυ β̅ α̅δʹ. ταῦτα ἴσα ς α̅. ὅθεν γίνεται ὁ ς μο β̅γʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

Solutionis modum Diophantus non exprimit aut græca corrupta sunt. Bachetus[222] casu adjutum Diophantum arbitratur, quod tamen non admittimus, quum Diophanteam methodum non difficilem inventu existimemus.

Inveniendus quadratus binario major, ternario minor, qui a ternario subtractus relinquat numerum in tres cubos dividendum. Ponatur quesiti quadrati latus esse quemlibet numerorum numerum - unitate: verbi gratia

1N-1;
ipsius quadratus a ternario subtractus relinquit
2-1Q - 2N,
cui inveniendi tres cubi 'equales qui sic effingendi ut sequalitas tandem consistat inter duas tantum species proximas.

Id quidem innumeris modis construi potest: Sit unius ex cubis latus

1 - 1/3 N;
alterius (ut numerus numerorum in ambobus cubis conficiat 2N) sit
1 + 1N;
tertii latus in numeris dumtaxat fingendum, qui etiam, ne valor IN quœsitos terminos evadat, debent notari signo defectus, nec est operosum eum numerum numerorum sumere cujus valor æquationem ad præstitutos redigat terminos.

Hoc peracto, patet primurn ex cubis esse minorem unitate, ut quirebamus; quum igitur secundus sit major et tertius signo defectfis notetur, patet differentiam secundi et tertii æquandam esse duobus cubis, quam ob rationem ad secundam operationenm et Diophantus et nos devolvimur.

« Habemus autem, » inquit « in porismatibus omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis. »

Hæret iterum Bachetus [223] et, destitutus porismatibus Diophanteis, hanc quæstionem secundam determinatione indigere contendit: duorum quippe cuborum intervallum ea tantum conditione in duos cubos dividere docet, dummodo major datorum cuborum excelat duplum minoris. Nam quomodo omnium duorum cuborum intervallum dividatur in duos cubos ignotum sibi ingenue profitetur. Nos supra ad quæstionem Libri IV secundam et lhanc et reliquas hujus materise quæstiones generaliter construendi modum feliciter deteximus.


XXIX (p. 249).
(Ad quæstion. XXIV Libr. V.)

Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quovis ipsorum adscito, quadratum faciat. Ponatur solidus ille iQ. et quærantur tres quadrati quorum quilibet adscitâ unitate faciat quadratum. Hoc autem peti potest a quovis triangulo rectangulo. Expono tria triangula rectangula, et accipiens quadratum unius laterum circa rectum, divido eum per quadratum alterius laterum circa rectum, et invenio quadratos, unum Q, alterum Q, tertium Q, et quilibet ipsorum cum iQ facit quadratum. Restat ut solidus sub tribus contentus equetur iQ. Est autem solidus ille CC. hoc aquatur iQ. et omnia ad eumdem denominatorem reducendo, et dividendo per iQ, fiunt QQ æqualia i. et latus lateri æquatur, fitque æquale i. Est autem unitas quadratus. Quod si etiam Q quadratus esset, soluta fuisset qusestio. Non est autem. Eo igitur redactus sum, ut inveniam tria triangula rectangula, tit solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub basibus faciat quadratum * cujus latus sit numerus multiplicatione ortus laterum circa rectum unius triangulorum. Et si omnia diviserimus per productum ex lateribus circa rectum inventi rectanguli, orietur qui fit ex producto laterum circa rectum secundi in productum laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsorum statuanius 3. 4. 5. eo deventum est ut inveniantur duo triangula rectangula ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribus circa

Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς προσλαβὼν ἕϰαστον ποιῇ τετράγωνον. τετάχθω ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς δυ <α>. ϰαὶ ζητοῦμεν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ἕϰαστος αὐτῶν μετὰ μονάδος <α> ποιῇ τετράγωνον. τοῦτο δὲ ἀπὸ πάντος ὀρθογωνίου τριγώνον. ἐϰτίθεμαι τὰ τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ϰαὶ λαβὼν τὸν ἀπὸ μιᾶς τῶν [περὶ τὴν ὀρθὴν τετράγωνον] μερίζω εἰς τὸν ἀπὸ τῆς λοιπῆς τῶν [περὶ τὴν] ὀρθὴν. ϰαὶ εὑρήσομεν τοὺς τετραγώνους. ἕνα μὲν δυ <θ>ις’. τὸν δὲ ἕτερον δυ <ϰε>ρμδ’. τὸν δὲ τρίτον δυ <ξδ>σϰι’. ϰαὶ μένει ἔϰαστος αὐτῶν μετὰ δυ <α> ποιῶν τετράγωνον. λοιπόν ἐστι τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι δυ <α>. γίνεται δὲ ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς ϰυ ϰυ <α>. <δυ>να.ῃυ ταῦτα ἴσα δυ <α>. ϰαὶ πάντα εἰς τὸ αὐτὸ μόριον, ϰαὶ παρὰ δύναμιν γίνεται δυ δυ <α>. <δυ>να.ῃυ ἴσα μυ <α>. ϰαὶ ἡ πλευρὰ τῇ πλευρᾷ. γίνεται δυ <ρϰ>ψϰ ἴσα μυ α. ϰαὶ ἔστιν ἡ μονὰς τετράγωνος. εἰ ἦν τετράγωνος ϰαὶ τὰ δυ <ρϰ>ψϰ. λελυμένον ἄν ἦν τὸ ζητούμενον. οὐϰ ἔστιν δέ. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ἐϰ τῶν τριῶν ϰαθέτων αὐτῶν στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐϰ τῶν βάσεων αὐτῶν στερεὸν ποιῇ τετράγωνον. * πλευρὰν ἔχοντα τὸν ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἑνὸς τῶν ὀρθογωνίων. ϰαὶ ἐὰν πάτα παραϐάλοωμεν παρὰ τὸν ὐπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ εὑρημένου ὀρθογωνίου γενήσεται ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ <α> <δ> ἐπὶ τὸν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ἑτέρου τῶν τριγώνοων, ϰαὶ ἐὰν τάξωμεν ἓν αὐτῶν <γ>. <δ>. <ε>. ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τήν ὀρθὴν τοῦ ὑπὸ τῶν περὶ

rectum sit 12N. Proinde et area areæ 12. Si autem 12 et 3. Hoc autem facile est et est simile huic 9. 40. 41. Alterum * 5. 12. 13. (* legendum est 8. 15. 17). Habentes ergo tria triangula rectangula, revertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quasitorum quadratorum, alterum 9, alterum 25, tertium 81, et si solidum ex his æquemus 1Q, fiet N rationalis. Ad positiones. *
τὴν ὀρθὴν ςς ιβ. ὥστε ϰαὶ ἔμϐαδον ἐμϐάδου ιβ. εἰ δὲ ιβ ϰαὶ γ. τοῦτο δὲ ῥάδιον ϰαὶ ἔστιν ὅμοιον τῷ οθ (θ) μ. μα. τὸ δὲ ἕτερον <ε>. τβ. ιγ. ἔχοντες οὖν τα τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἐρχόμεθα εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς. τάσσομεν τῶν ζητουμένων τριῶν τετραγώνων, ὃν μὲν θ, ὃν δὲ ϰε, ὃν δὲ πα. ϰαὶ ἐὰν τὸν ἐϰ τῶν δ. ε στερεὸν ἰσώσωμεν δυ α. γενήσεται ὁ ςδ ῥητός. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. *


Methodum Diophanti, quam non percepit Bachetus[224], ita restituo et explico.

Quoniam primum triangulum est : 3, 4, 5, et rectangulum sub lateribus : 2, eo cleventum est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo triangula ut productus ex lateribus circa rectum prodacti ex lateribus circa rectum sit duodecuplus ; et ratio est quia tune productus ex lateribus unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis 12, atque ideo eorum mutua multiplicatione fiet quadratus, quod vult propositio.

Sequitur Diophantus : Proinde et area areœ 12[225], quod per se clarum est. Deinde : Si autem 12, et 3, quia, dividendo 12 per quadratunm 4, fit 3, et semper in multiplicatione oritur quadratum ; nam quadratum, divisum per quadratum, facit quadratum.

Reliqua Diophanti non priestant propositum, sed ita restituemus. In hoc casu [226], fingatur triangulum abs 7 et 2, alterum vero abs 5 et 2; et primum triangulorum erit triplum ad secundum, et duo proposito satisfacient. Regula autem generalis inveniendi duo trianlgula rectangaula in ratione data haec est:

Sit data ratio R ad S, majoris ad minus. Majus triangulum formabitur abs

R bis+S et R-S;
minus vero abs
R + S bis et R -S.

Aliter.

Formetur primum triangulum abs R bis-S et R +S,
secundum abs S his - R et R+ S.

Aliter. Formetur primum triangulum abs R sexies et Rbis -S, secundum abs Rquater -+ S et R quater - Sbis. Aliter. Formetur primum triangulum abs R + S quater et R bis - S quater, secuncum abs S sexies et R - S his.

Ex jam dictis deduci potest methodus inveniendi tria triangula rectangula in proportione triam datorur nuhmerorum, modò duo dati numeri reliqui sint quadrupli.

Sint, verbi gratia, dati tres numeri R, S, T, et sint ipsi R, T simul quadrupli S. Formabuntur sic tria triangula:

primum abs R -- S quater et R bis - S quater, secundum abs S sexies et R - S is, tertium abs S quater -i T et S quater - T bis. Sumpsimus autem R esse majorem T. Hine etiam elicietur modus inveniendi tria triangula rectangula numero, quorum arece constituant triangulum rectangulum.

Eo enim deducetur qusestio ut inveniatur triangulum cujus basis et hypotenusa sint quadruple perpendiculi. Hoc autem est facile et eril triangulum simile huic :

17, 15, 8.

Tria vero triangula sic formabuntur :

primum abs 49 et 2,
secundum abs 47 et 2,
tertium abs 48 et 1.

Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula quorum arece sint in ratlone trium quadratorum datolrum, quorum duo sint quadrlpli reliqui, ac proinde poterunt eadem via izeniri tria triangula ejasdem areæ[227]; imo et infinitis modis possumus construere duo triangula rectangulca ui data ratione, ducendo unum ex terminis aut utrumque in quadrata data, etc.

XXX (p. 251).
(Ad quæstion. XXV Libr. V.)
 Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus 1Q, et rursus quadrati qui quæruntur, sumantur ex triangulis rectangulis, unus , alter a , tertius a  ; statuo eos in quadratis, et manet 1Q, quolibet ipsorum detracto, faciens quadratum. Superest ut solidus sub tribus contentus æquetur 1Q: est autem solidus ille CC ; hoc ergo equatur 1Q, et omnia per 1Q dividantur, fiunt æqualia 1. Est autem unitas quadratus, latus habens quadratum. Ergo oportebat etiam QQ esse
 Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως ὁ ἐϰ τούτων στερεὸς λείψας ἕϰαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον. τετάχθω ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς δυ α. ϰαὶ πάλιν οἱ ζητούμενοι τετράγωνοι ἀπὸ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, ἑνὸς μὲν ις[illisible], τοῦ δὲ ου ϰερξθ’, τοῦ ξδσπθ’. τάσσω αὐτούς ἐν δυνάμει, ϰαὶ μένει ἡ δυ α λείψει ἑϰάστου αὐτῶν ποιοῦσα τετράγωνον. λοιπόν ἐστι τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι δυνάμει α. ϰαὶ ἔστιν ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς ϰυϐοϰύϐων β. εχ, ἐν μορίῳ ρϰβ. ᾳϰε, ἴσα μ° α. ϰαὶ ἔστιν ἡ μονὰς τετράγωνος πλευρὰν ἔχουσα

quadratum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reducta ut inveniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum. * Et si omnia dividamus per productum ex hypotenusa in perpendiculum unius rectangulorum, oportet oriatur qui fit ex producto hypotenusæ in perpendiculum, alicujus rectanguli, in productum ex hypotenusa in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum 3. 4. 5. Eo itaque deventum est, ut inveniantur duo triangula rectangula, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi, numeri hypotenusæ et perpendiculi sit 20. Si autem 20 et 5. et est facile, quippe majus est 5. 12. 13. minus 3. 4. 5. Ab his ergo quærenda sunt alia duo, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi sit 6. est autem majoris hypotenusa 6 , perpendiculum 60. Minoris autem hypotenusa 2 qui vero in uno rectangulorum 12. et accipientes minima similium, recurrimus ad propositum initio, et ponimus solidum sub tribus contentum 1Q. ipsorum autem quadratorum alterum 16Q. alterum 576Q. tertium Q. Superest ut solidus sub tribus æquetur 1Q. et omnia in 1Q. latusque lateri æquetur, et invenietur 1N.65. Ad positiones. *
τετράγωνον. δεήσει ἄρα καὶ δυ δυ β. εχ, ἐν μορίῳ ρκβ. ᾳκε, εἶναι τετράγωνον πλευρὰν ἔχοντα τετράγωνον. ϰαὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ἐϰ τῶν ϰαθετῶν στερεὸς πολλαπασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐϰ τῶν ὑποτεινουσῶν στερεὸν, ποιῇ τετράγωνον πλευρὰν ἔχοντα τετράγωνον, * ϰαὶ ἐὰν πάντα παραϐάλωμεν παρὰ τὸν τῆς ὐποτεινούσης ϰαὶ ϰαθέτου ἐνος τῶν ὀρθογωνίων, δεήσει τοῦ ὑποτενουσῶν ϰαι ϰάθετον τοῦ ὑποτεινούσης, ϰαὶ ϰαθέτου πολλαπλασιασθέντα ϰατὰ τὸν ὑποτεινούσης ϰαὶ ϰαθέτου ὀρθογώνων γ. δ. ε. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅπως ὁ ὑποτενούσης, ϰαὶ ϰαθέτου ᾖ ϰ. εἰ δὲ ϰ. ϰαὶ ε. ϰαὶ ἔστι ῥάδιον, ϰαὶ ἔστι τὸ μὲν μεῖζον ε. ιβ. ιγ. τὸ δὲ ἔλαττον γ. δ. ε. ζητητέον οὖν ἀπὸ τούτων ἕτερα δύο, ὄπως ὁ ὑποτεινούσης ϰαὶ ϰαθέτου ᾖ μ° ς. ἔστι δὲ τοῦ μὲν μείζονος ὑποτείνουσα μη ς. αβ’. ἡ δὲ ϰάθετος ξ. τοῦ δὲ ἐλάσσονος ὁ μὲν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ μα β. αβ’ ὁ δὲ ἐν τῇ α τῶν ὀρθογώνων ιβ. ϰαὶ λαϐόντες τὰ ἐλάχιστα τῶν ὁμοίων ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς, ϰαὶ τάσσομεν τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν δυ α. αὐτῶν δὲ τῶν τετραγώνων, ὃν μὲν δυ ις, ὃν δὲ δυ φος, ὃν δὲ δυ α ἐν μορίῳ β. ῃφξα. λοιπόν ἐστι τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσωσαι δυ α. ϰαὶ πάντα παρὰ δύναμιν ϰαὶ ἡ πλευρὰ τῇ πλευρᾷ. ϰαὶ εὑρισϰεται ὁ ςδ ξε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. *


Ad elucidationem et explicationem quæstionis 25 juxta methodum Diophanti, quam Bachetus similiter prætermisit[228], quœrenda sunt duo triangula rectangula ut productus sub hypotenusa et perpendiculo unius ad productumn sub hypotenusa et pelpendiculo alterius habeat rationem datam.

Quæ sane quæstio diu nos torsit et vere difficillimam quilibet tentando experietur, sed tandem patuit generalis ad ipsius solutionem methodus. Quserantur duo triangula ut rectangulum sub hypotenusa unius et perpendiculo rectanguli sub hypotenusa alterius et perpendiculo sit duplum.

Fingatur unum ex triangulis ab A et B, alterum ab A et D. Rectangulum sub hypotenusa prioris et perpendiculo erit B inA cubum bis - B cubo in Abis; rectangulum vero sub hypotenusa posterioris et perpendiculo erit D in c. bis -- D c. in A bis. Quum igitur B inAc. is - Bc. in A bis sit duplum rectanguli D in Ac. bis + Dc. in A bis, ergo B in Ac. +- Bc. in A wequabitur D in Ac. bis 4- Dc. in A bis, et, omnibus abs A divisis, fiet B in Aq. - Be. æquale D in Aq. bis -+ Dc. bis, et, per antithesin, Dc. bis-Bc. C equabitur B in Aq. - D in Aq. bis. Si igitur Dc.bis- Be., divisum per B- Dbis, tequetur quadrato, soluta erit qucestio. Quserendi igitur duo numeri, loco ipsorum B et D, ea conditione ut duplum cubi unius, minus alio, divisum vel multiplicatum (eodemn enim res recidit) per duplum posterioris minus primo, faciat quadratum[229]. Ponatur unus esse i N -+, alter r. Cubus duplus prioris minus cubo a posteriore facit +-6N -6Q -+ C. Duplus autem posterioris minus priore facit I - iN.,zD3 — B3 Ergo, si ducas - iN in + 6N + 6Q 4- 2C, fiet qualdratus. Prodluctum illud æquatur

1 + 5N -4C - 2Q, quod qequandlum quadrato ab 5/2N - 1 - 25/8 Q
et omnia statim constabunt.

Propositio autem ad omnes rationes extendetur si, loco unius ex quarendis numeris, ponatur iN plus excessu majoris rationis termini supra minorem et, loco alterius, ille ipse excessus, ut jam a nobis in ratione dupla est factum. Hac quippe ratione semper unitatum numnerus evadet quadratus et æquatio erit proclivis; hoc peracto invenientur duo numeri qui ipsos B et D reprtesentabunt, et ad primam questionem tiel reditus.

Retractanti quæ hucusque ad 25am quæstionem scripsimus, visutr erat statim omnia delere quia abductio ad problema quod perfecimus non convenit quæstioni nostræ: quia tamen quTstionem aliam, ad quam male prasens problema adduxeramus, recte construximus, non tam operam perdidimus quam male collocavimus, et ideo maneat scriptura marginalis intacta.

Quæstionem ipsam Diophanteam novo iterum examini subjicientes et methodum nostram sedulo consulentes, tandem generaliter solvimus: exemplum tantum subjiciemus, confisi numeros ipsos satis indicatuiros non sorti, sed arti solutionem deberi.

In propositione Diophanti quserenda duo triangula rectangula ea conditione ut productum sub hypotenusa unius et perpendiculo ad productum sub hypotenusa et perpendiculo alterius habeat ratioinem quam 5 ad i.

En duo illa triangula,

pritnum, cujus hypotenusa 48 543 669 Iog,
basis 36 083 779 309,
perpendiculum 32 472 275 580,
secundum, cujus hypotenusa 42 636 752 938,
basis 41 990 695 480,
perpendiculum 7394 200 38.

XXXI (p. 253).
(Ad quaestion. XXX Libr. V.)

Dato numero tres adinvenire quadratos quorum bini sumpti, adscitoque dato numero, faciant quadraturn.

Hujus qusestionis beneficio, sequentis quaestionis solutioneml dabimus quæ alioquin difficillima sane videretur:

Dato numero, quatuor invenire numeros quorum bini sumpti adscitoque dalo numero faciant quadratum.

Sit datus numerus 15 et primim, per hanc quaestionem, reperiantur tres quadrati quorum bini sumpti adscitoque dato numero faciant quadratum; et sint illi tres quadrati [230]

Ponatur prinmus quatuor numerorum quaesitorum 1 Q - 5,
secundus 6N +9
(quia 9 est unus ex quadratis, 6N autem est duplum lateris in N),
tertius eadem ratione ponatur 5 N -o4- 0
quartus denique I 6N 4 2'

Ita quippe institutis positionibus, tribus propositi partibus satisfit; quilibet enim numerorum una cum primo, adscito i5, facit quadratum.

Superest ut secundus et tertius addito i5, item tertius et quartus addito 15, denique secundus et quartus, eodem addito 5, faciant quadratum; et oritur triplicata tequalitas cujus solutio in promptu, quum ex constructione, cujus artificium ab hac qusestione desumpsimus, in quolibet termino æquando reperiantur unitates tantum quadratæ et numeri. Recurrendum igitur ad ea quwe diximus ad qusestionem 24 Libri VI.

XXXII (p. 257).
(Ad question. XXXI Libr. V.)

Dato numero tres adinvenire quadratos, quorum bini sumpti detracto dato numero faciant quadratum.

Quo artificio in superiore quæstione usi sumus, ut quatuor numeros inveniremus quorum bini sumpti adscito dato numero conficerent qua: dratum, simili in hac qutstione uti possumus, ut inveniantur quatuor numneri quorum bini sumpti detracto dato numero conficiant quadratum.

Ponendus enim: primus 1Q + numero dato; secundus quadratus primus ex inventis in hac quæstione una cum duplo ab ipsius latere in N; et reliqua patent.

XXXIII (p. 258).
(Ad quæstion. XXXII Libr. V.)

Invenire tres quadratos, ut compositus ex ipsorum quadratis faciat quadratum.

Cur autem non quœrat duo quadratoquadratos quorum summa sit quadratus? Sane hæc quæstio est impossibilis, ut nostra demonstrandi methodus potest haud dubie expedire.

XXXIV (p. 287).
(Ad commentarium in quæstion. III Libr. VI.)

Quæstio Diophanti. - Invenire triangulum rectangulum, ut areæ ejus numerus, adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus 5.

Bachetus..... Quoniam vero hinc forte venit in mentem Francisco Viete [231] quæstionem

applicari posse solis numeris qui e duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothesi sumpserat 5, e, duobus quadratis compositum; quamvis ex ipso ductu analyseos Diophanteæ satis constet ad quemlibet numerum extendi problema, ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id etiam experientia comprobare....

Error Vietæ inde haud dubie oritur. Supposuit vir clarissimnus differentiam duorum quadratoquadratorum, ut i QQ- i, tequari area, cui adjiciendo quintuplum quadrati, fiat quadratus.

Si 5, numerus datus, dividatur in duos quadratos, poterit inveniri quintuplum quadrati a quo, dempta unitate, supersit quadratus. Ponatur igitur latus quadrati quintuplicandi esse iN -1- I, aut alius quivis iumerorum numerus -4- i. Quintuplum quadrati illius erit

5Q + ioN + 5,

cui, si adjicias aream, i QQ -, fiet

i Q + 5Q + ioN - + 4,

quæ summa debet sequari quadrato. Hoc autem non est operosum, quum numerus unitatum, ex hypothesi adjecta problemati, sit quadratus.

Non vidit Vieta qutestionem perinde resolvi posse si, loco I QQ- -, sumpsisset pro area - QQ: eo enim deducenda statirn quTstio ut datus numerus, 5 vel 6 vel alius quilibet, in quadraturm ductus, adjectA unitate, conficiat quadratum; quod generaliter est facillimnum, quum unitas sit quadratus. Nos peculiari methodo [232] quæstionem hanc et duas proximas [233] resolvimus, cujus beneficio, dum quverimus triangulum cujus area, una cum 5, verbi gratia, conficiat quadratum, triangulum in minimis [234] exhibemus

9 40 4I 3' 3 3'

cujus area 20, addito 5, facit quadratum 25. Sed de ratione et usu nostrm hujus methodi non est hujus loci plura addere; non sufficeret sane marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.

XXXV (p. 289).
(Ad quastion. VI Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numerus arewe, adsumens unum laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Hæc propositio et sequentes aliter fieri possunt [235]:

Fingatur triangulam, in hac propositione, abs dato numero et unitate, et plana laterilus similia applicentur ad summam unitatis et numeri dati, orietur quwesitus triangulus.

XXXVI (p. 290).
(Ad quæstion. VII Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum, ut numerus areæ, multatus uno laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Fingatur triangulum abs dato numero et unitate, et plana lateribus similia applicentur ad differentiam dati numeri et unitatis [236].

Hæc questio [237], per viam qua hujusmodi duplicatas œqualitates infinitis modis resolvimus, infinitas recipit solutiones; modum autem quo utimur tetigimus et explicavimus infra ad qusestionem 24.

Imo et solutiones illt infinitse aptantur quatuor sequentibus qutstionibus [238], quod nec Diophantus nec Bachetus animadvertit. Cur autem neque Diophantus neque Bachetus sequenterm questionein addiderunt?

Invenire triangulum rectangulum ut unum ex lateribus ared multatum faciat datum numerum.

Certe hanc videntur ignorasse, quia non statim se prodit in resolutione duplicata sequalitatis; veruim ex nostra methodo facile potest inveniri.

Similiter in sequentibus questionibus tertius hic casus suppleri potest [239].

XXXVII (p. 292).
(Ad quæstiones VIII et IX Libri VI.)

Addi potest ex nostra methodo sequens qusestio: Invenire triangoulum rectangoulum ut sumnma laterum mulatat aresa cozficiat datum numerum..

XXXVIII (p. 294).
(Ad quætiones X et XI Libri VI.)

Addi potest ex nostra methodo sequens quæstio:

Invenire triangulum rectangulum ut summa Ihypotenusæ et alterius lateris circa rectum, multata area, faciat datum numerum.

Imo et sequens addi potest Bacheti commentariis [240]: Invenire triangulum < rectangulum > ut hypotenusa detracta area faciat datum numerum.

XXXIX (p. 298).
(Ad quæstion. XIII Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numerus arœa, adsumens alterutrum laterum circa rectum, faciat quadratum.

Unius tantum speciei triangula Diophantus exhibet propositum adimplentia; sed ex nostra methodo suppetunt infinita diverse speciei triangula quae ex Diophanteo per ordinem derivantur.

Sit igitur inventum triangulum 3.4.5, cujus hwec est proprietas « ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum, adscito solido sub majore laterum circa rectum, intervallo eorumdem, et area contento, faciat quadratum [241] ». Ab eo deducendum aliud ejusdem proprietatis.

Sit majus ex lateribus circa rectum trianguli qustsiti 4; minus vero 3 + 1 N. Rectangulum sub lateribus circa rectum, adscito solido sub majore laterum circa rectum, intervallo eorumdem, et areat contento, facit

36 - 12N - 8Q, quae ideo debent aequari quadrato.

Quum autem latera, 4 et 3+1N, sint latera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata juncta æquari quadrato; quadrata illa juncta faciunt

25 + 6N +1Q, quae idcirco etiam equanda quadrato.

Et oritur duplicata wequalitas, nam

36-12N-8Q et etiam 25+6N+1Q
debent æquari quadrato. Ejus aequalitatis duplicatae solutio est in prompto.
XL (p. 302).
(Ad quæstion. XIV Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, multatus alterutro laterum circa rectum, faciat quadratum.

Ex nostra methodo solvetur sequens quaestio, alioquin difficillima :

Invenire triangulumr rectangoulunm ut alterutrum laterum circa rectum, multatum ared, facial quadratum.

XLI (p. 307).
(Ad quæstiones XV et XVII Libri VI.)
13. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusa quam altero laterum circa rectum detracto, faciat quadratum.

17. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusæ quam alterius laterum circa rectum numero adscito, facial quadratum. Tentetur beneficio nostrae methodi sequens quæstio, alioquin difficillima: Inverire triangulum rectangulum ut tam hypotenusa quam unum ex lateribus, detractc area, faciant quadratum.

XLII (p. 320).
(Ad quæstion. XIX Libr. VI.)
Invenire triangulum rectangulum ut area numerus cum hypotenusæ numero faciat quadratum, at circumferentiæ numerus sit cubus....

...Oportet itaque invenire quadratum aliquem, qui, binario adjecto, cubum faciat... est igitur quadrati latus 5, cubi vero 3; ipse quadratus 95, cubus 27... An autem alius in integris quadratus, prater ipsum 25, inveniatur qui adsumpto binario cubum faciat, id sane difficilis primo obtutu videtur disquisitionis. Certissima tamen demonstratione probare possum nullum alium quadratum, praeter 25, in integris adjecto binario facere cubum. In fractis ex methodo Bacheti [242] suppetunt infiniti, sed doctrinam de numeris integris, quæ sane pulcherrima et subtilissima est, nec Bachetus, nee alius quivis cujus scripta ad me pervenerint, hactenus calluit.

XLIII (p. 329).
(Ad commentarium in quæstion. XXIV Libr. VI.)

Quaestio Diophanti. - Invenire triangulum roctangulum ut numerus circumferentiae sit cubus, et adscito arete numero, faciat quadratum.

Bachetus..... Quoniam vero in his libris Diophantus diversimode utitur duplicata æqualitale, non abs re me facturumn arbitror, si omnes quos usurpat modos sigillatim recenseamn et unum in locum quæ sparsim a nobis adnotata sunt, collecta conjiciam, ut sic tota duplicatæ cequalitatis doctrina discentium animis firmius inhæreat. Nec solas Diophanti hypotheses afferemus, sed et alias plerumque exhibebimus, quibus varia hujusmodi æquationum symptomata declarentur, novamque insuper quam excogitavimus œquationis rationem, quaamque ad quadragesimam quintam quarti explicavimus, aliis adjiciemus.

Ubi non suficiunt duplicatae æqualitates vel διπλοισότητες, recurrendum ad τριπλοισότητας sue triplicatas aequalitates, qus est nostra inventio, ad plurima problemata pulcherrima praeviam facem praeferens.

Æquentur videlicet quadrato 1N+4,
2N+4,
5N+4,
oritur triplicata aequalitas cujus solutio per medium duplicate tequalitatis est in promptu.

Si ponatur, loco iN, numerus una cum 4 quadratum conficiens, verbi gratia, Q + 4N, fiet

primus numerorum wequandorum quadrato i Q + 4N - 4; secundus igitur erit 2Q - 8N -+4, terlius 5Q -+- 2N -- 4. Primus autem, ex constructione, est quadratus: ergo debent sequari quadrato

2Q-8N+4 et 5Q-+-2oN+4,
et oritur duplicata aequalitas que unicam certe exhibebit solutionem [243], sed eai exhibita prodibit rursum nova, et a secundci tertia deducetur, et in infinitum.

Quod opus ita procedet ut, invento valore iN, rursus ponatulr 1N esse 1N + numero qui primurnm ipsi iN inventus est sequalis. Hac enim via infinitæ prioribus solutionibus solutiones accedent et postrema semper derivabitur a proxime antecedenti.

Hujus inventionis beneficio infinita triangula ejusdem areæ possumus exhibere [244], quod ipsum videtur latuisse Diophantum, ut patet ex quæstione octava Libri V, in qua tria tantum triangula qqualis arcæ investigat ut sequentem qucastionem in tribus numeris construat, qut ad infinitos, ex iis quse nos primi deteximus, recipit extensionem.

XLIV (p. 333).
(Ad idem commentarium.)

Huic de duplicatis æqualitatibus tractatui multa possemus adjungere quse nec veteres nec novi detexerunt. Sufficit nunc, ut methodi nostras dignitatem et usum asseramus, ut quæstionem sequentem, que sane difficillima est, resolvamus.

Invenire triangulum rectangulum numero, cujus hypotenusa sit quadratus, et pariter summa laterum circa rectum [245].

Triangulum quasitum repræsentant tres numeri sequentes:

4 687 298 610 289, 4 565 486 027 76, 1 061 652 293 520.
Formatur autem a duobus numeris sequentibus:
2150905, 246792.
Alià autem methodo sequentis quacstionis solutionem deteximnus:

Invenire triangulum rectangulum numero ea conditione ut quadratum a differentia laterum circa rectum minus duplo quadrati a minore latere conficiat quadraturn.

Unum ex triangulis quæ huic quæstioni aptantur est id quod sequitur:

1525, 1517, 156;
formatur a numeris 39 et 2.

Imo confidenter adjungimus duo triangula rectangula quat jam exposuimus ad solutionem duarum propositarum quastionum esse minima omnium in integris qusestionem adimplentium.

Methodus nostra hæc est: Quaratur qusestio proposita secundum methodum vulgarem. Si non succedat solutio post absolutam operationem, quia nempe valor numeri nota defectus insignitur et ideo minor esse nihilo intelligitur, non tamen despondendum animum confidenter pronuntiamus (quse oscitantia, ut loquitur Vieta [246], fuit et ipsius et veterum analystarum), sed iterum qusestionem tentemus et pro valore radicis ponamus N - numero quem sub signo defectus æquari radici incognitL in prima operatione invenimus, prodibit nova haud dubie equatio que per veros numeros solutionem quæstionis representabit.

Et hac via superiores duas quæstiones alioquin difficillimas resolvinus; demonstravimus pariter et construximus numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividi posse [247], sed hoc per iteratam ter aliquando operationem: ssepius enim contingit ut veritas quæsita ad multiplices operationum iterationes solertem et industrium necessario adigat analystam, ut facillime experiendo deprehendes.


APPENDIX [248].

Proposuit feliciter satis plerosque duplicate æqualitatis et modos et casus subtilis ille et doctissimus analysta Bachetus ad questionem 24am Libri VI Diophanti, sed integram sane non demessuit segetem: quæ enim questisones unica tantur, aut ad summum duplici solutione circumscribit, ad infinitas porrigere et promovere nihil vetat, imo proclivi id exsequi operatione est in promptu.

Proponatur sextus modus quem ipse satis prolixe explicat pag. 439 et 44o [249]casus omnes ab ipso enumerati, ex nostra quam mox exhi bituri sumus methodo, infinitas admittunt solutiones, qute a prima per iteratas analyses gradatim in infinitum derivantur.

Methodus hwec est: Queratur solutio questionis propositS secundum methodum vulgarem, hoc est secundum methodum Bacheti aut Diophanteam, prodibit statim valor numeri sive radicis ignote; quo peracto, iteretur analysis, et, pro valore novæ investigandwe radicis, ponatur una radix plus numero unitatum prioris radicis. Reducetur quæstio ad novam equalitatem duplicatam, in qua unitates utrimque reperientur quadrate, propter priorem solutionem; ideoque differentia æquationum ex numeris tantum et quadratis, quæ sunt proxima inter se species, constabit: quare resolvetur, ex Diophanto et Bacheto, nova hæc duplicata tequalitas. Ex qua, pari artificio, tertia, et ex tertia quarta, et sic in infinitum, deducentur.

Quod non advertisse aut Diophantum, aut Bachetumn, imo et Vietam, dispendium hucusque Analyseos maximum fuit. Sed precipuum inventionis nostre artificium in iis se prodit qusestionibus, in quibus primigenia analysis, pro valore incognitte radicis, exhibet numeruin notadefectus insignitum, qui ideo minor esse nihilo intelligitur. Methodus autem nostra in hoc casu, non solum in problematis quwe per duplicatas æqualitates solvuntur locum habet, sed generaliter in aliis quibuscumque, ut experienti notumi fiet.

Sic igitur procedit: Quæratur etc. (vide supra, p. 337, 1. To, usque ad reprsesentabit, p. 338, 1. 5) [250].

XLV (p. 338-339).
(Ad problema XX commentarii in ultimam quaestionem Arithmeticorum Diophanti.)

Bachetus: Invenire triangulum rectangulum, cujus area sit datus numerus. Oportet autem ut quadratus areæ duplicate, additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum.

Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus.

Hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi tandem non sine operosa et laboriosa meditatione deteximus, subjungemus. Ioc nempe demonstrandi genus miros in Arithmeticis suppeditabit progressus.

Si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati quorum differentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos quorum et summa et differentia esset quadratus datur itaque numerus, comipositus ex quadrato et duplo quadrati, æqualis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed, si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius quadrati, ejus latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillime possumus demonstrare; unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum quadratum æquari perpendiculo.

Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum: ergo, si dentur duo quadrati quorum summa et differentia faciant quadratum, dabitur in integris sunmma duorum quadratorum ejusdem nature, priore minor.

Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris, et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem prastantes. Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro, non possunt dari infiniti in integris illo minores. Demonstrationem integram et fusius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas.

Hac ratione deprelendimus et demonstratione confirmavimus nullum numerum triangulum, præter unitatem, cequari quadratoquacdrato.

XLVI (p. 162).
(Ad commentarium in proposition. IX Diophanti De multangulis numeris.)

Bachetus: Dato latere invenire polygonum.... Dato polygono invenire latus.

Propositionem pulcherrimam et mirabilem, quam nos invenimus, hoc in loco sine demonstratione apponemus:

In progressione naturali, quae ab unitate sumit exordiun, quilibet numerus in proxime majorem facit triplum sui trianguli; in triangulum proxime majoris, fatit triplum suae pyramindis; in pyramidem proxime majoris, facit quadruplum sui triangulotrianguli; et sic uniformi et genrerali in infinitum methodo.

Nec existimo pulchrius aut generalius in numeris posse dari theorema. Cujus demonstrationem margini inserere nec vacat, nec licet.

XLVII (p. 402).
(Ad proposition. XXVII Bacheti Appendicis de numeris polygonis Libr. II.)

Unitas primum cubum; duo sequentes impares conjuncti, secundlum cubum; tres sequentes, tertium cubum; quatuor succedentes, quartum; semperque uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati impares constituunt.

Hanc propositionem ita constituo magis universalem. Unitas primam columnam [251] in quacumque polygonorum progressione constituit; duo sequentes numeri, mulctati primo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, secundam columnam; tres sequentes, mulctati secundo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, tertiam columnam; et sic eodem in infinitum progressu.

XLVIII (p. 412).
(Ad proposition. XXXI Bacheti Appendicis Libr. II.)

In hac progressione [nempe arithmetica, in qua minimus terminus equatur differentia], productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeri terminoram mquatur aggregato cuborum a singulis.

Hinc sequitur cubum maximi, toties sumptum quot sunt numeri terminorum, ad aggregatum cuborum habere minorem rationern quam quadruplam.

APPENDICE


I.
DÉDICACE DU DIOPHANTE DE 1670.




ILLVSTRISSIMO VIRO D. D. IOANNI BAPTISTAE COLBERTO, REGI AB INTIMIS CONSILIIS ET A SECRETIS, AERARIJ CENSORI GENERALI, SVMMO REGIORVM AEDIFICIORVM, NAVIGATIONIS ET COMMERCII PRAEFECTO, REGNI ADMINISTRO, ETC.

Prodit in lucem tuis auspicijs, Vir Illustrissime, Diophantus varijs auctus parentis mei obseruationibus; Illas mole quidem exiguas, secl pondere, ni fallor, maiores, quel tua est summa humanitas, forsitan non aspernaberis, præsertim cum ad numeros pertineant qui radicis instar ac velut in centro Matheseos positi, diffunduntur in omnes illius circuli partes. Cur enimn Geometria, et quidquid ei affine est, alium quam te ambiat Patronum, qui terrarum orbem animo metiris, vt in extremis Regionibus in quibus olim emoriens natura defecisse videbah tur, prweclara Regis maximi facta celebrentur, et Barbarorum pectora liberalibus imbuta disciplinis mitescant. Cuml vero illas fere omnes aut earum semina Mathesis contineat, menti inperio natæ et membris famulitio aptis opitulatur, pacisque ac belli temporibus idonea, non tanturm Regijs ledibus magnifice extruendis, sed etiam vrbibus luto propugnandis vtilem se prebet. Huius doctrins non immeritb captus illecebris Parens meus, quem adhuc lugeo, illam succisiuis horis in medio forensium negotiorum strepitu, absque vllo tamen Iurisprudentiæ, et Senatorij muneris dispendio non infeliciter excoluit. An autem hæ, quas tibi, Vir Illustrissime, offero lucubrationes, pondere, vt dixi, majores sint quam mole, si satis otij suppeteret, tu facillime indicares, qui Lyncea sagacitate in abdita quseque penetrans, veritatem ab errore non mnius quam veramr virtutem a fucata secernis, et eorum qui operam nauant terario puras manus eque dignoscis, ac puritatem auri se probare posse Matheseos quondam ille genius Archimedes celeberrimo circa coronam Hieronis experimento demonstrauit. Sed te alib vocant multa magnaque, in quibus ita versaris, vt te pluribus parem, et adhuc majorihus dignum ostendens, inuicti Principis famam, illiusque subditonrui leuamen, tibi laborum metam proponas. Id abunde testantur commnercij reparatte, et Piratarum repressca vires qui Herculem.Gallicunm Herculeas coluimnas transeuntem et vtrumque mare committentem vident e latebris tanquam e Caci spelunca et pertirnescunt; idem quoque testantur portus bellicis instructi nauibus quæ peregrinis non indigent armamentis, et hostibus terrorern incutiunt vt pateat qui mari potitur, eum rerum potiri; testantur denique hinc restaurate tuis curis Artes, nobilique consortio, vt egregiorum æmulatione opificum certatim atgerli ac perfici possint, tua industria sociatæ, illinc scientiarum arcana in tuis ipsis penatibus miruni in modum illustrata. Quæ satis fiden faciunt quantum tibi cordi sit non solum vt Regni, sed etiam vt Reipublice litterarie fines promoueantur et vt quidquid ex nouo illius orbe aduehitur, aspirante tui fauoris aura obli uionis et inuidie scopulos vitare possit; nunquam illos metuet hoc tui nominis prasidio munitum opus, si benigna manu, vt enixe rogo, suscipias istud sterni n monimentum obsequij, quod tibi voveo,

Addictissimus

S. FERMAT


II.
PREFACE DU DIOPHANTE DE 1670.
Lectori Beneuolo.

DIOPHANTVM hic habes, et varias quibus auctus est obseruationes, paucas illas quidem et breues, non tamen contemnendas; nec enim me latet hujusmodi opera ponderari potius quam numerari à peritis sestimatoribus, quibus vnica demonstratio, imó interdum vnicum Problema magni voluminis instar est; in Mathematicis nimirum disciplinis, noua Laconico licet more exhibita veritas pluris fieri solet, quam verbosa quorumdam tautologia; Doctis tantum quibus pauca sufficiunt, haruml obseruationum auctor scribebat, vel potius ipse sibi scribens, his studijs exerceri malebat quam gloriari; adeo autem ille ab omni ostentatione alienus erat, vt nec lucubrationes suas typis mandari curauerit, et suorum quandoque responsorum autographa nullo servato exemplari petentibus vltro miserit; norunt seilicet plerique celeberrimorum huis sœculi Geometrarum, quaim libenter ille et quanta humanitate, sua ijs inventa patefecerit; Quamobrem superstites quosdam Ipsius amicos, ssepe hortatus sum sœpiusque hortabor, vt si quos illius ingenij partus blanda manu susceperint, illos in musei vmbnra diutius delitescere non patiantur; dum autem plura quæ breui, vt spero, prodibunt, colligo, tibi non iniucundam fore duxi, novam horum Diophanti operum, istarumque simul obseruationum editione: Illas Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros; cutn enim ardua sectaretur ille, faciliora et vulgo Logistarum nota quse duobus primis libris continentur, aut vt ipsius Diophanti verbis vtar, τὰ ἐν ἀρχῇ fere omnino pretermisit; Qualis autem Quantusque in Arithmeticis fuerit Diophantus, sat sciunt qui primis, vt dicitur, labris puram Logisticam gustauerunt; tredecim ille scripserat Arithmeticorum libros, quorum sex tantum extant, vnusque de numeris multangulis, reliqui vel temporis iniuria perierunt, aut alicubi forsan Thesauri instar ita seruantur, vt nullius videantur esse, dum publici juris fieri non possunt; meminit Diophanti Suidas in voce IHypathia, et Lucillius libro secundo Anthologi e capite vigesimo secundo Diophanti Astrologi recordatur; an vero Suidas et Lucillius de hoc eodemque loquantur, nihil comperti habemus; eum multi circa Neronis tempora vixisse putant, nec deest qui Antonino pio imperante eum floruisse leuibus fretus coniecturis suspicetur; illud audacter asserere licet, hoc Auctore nullum antiquiorem hactenus innotuisse, qui hane instaurauerit doctrinam, quam a Gr-ecis acceptam Arabes cum ipso Algebrœ nomine ad nos transmisisse existimantur; eximia vero Problemata quæ hoc opus complectitur, adeo humane mentis captum videntur superare, vt ad eorum explanationem indefesso Xylandri labore et miranda Bacheti sagacitate opus fuerit; duo illi fuere doctissimi horum librorum interpretes, nam vix eo nomine dignus est Gr'ecus Scholiastes; Bombellius verb in Algebra quam Italico sermone vulgauit, Diophanti questionibus suas permiscens, fidi interpretis partes non sustinuit; neque eo functus est munere subtilissimus Vieta qui peragrans auia Logistice loca, nec alterius inherens vestigiis, sua maluit in lucem proferre inuenta quam facem prœferre Diophanteis; quantum autem Analyticam vltra veteres terminos promouerit Parens meus, tuum erit, Erudite Lector, judicium; vtinam ipsius cœptis non obstitissent angustiæ temporis, et plura parantem mors heu nimium immatura nobis ilium non prseripuisset! plura procul dubio ex eodem fonte manassent, nec suis quedam istorum problematum demonstrationibus carerent; quin vero ipse eas penes se, et in scrinio, vt ita loquar, pectoris habuerit, turn aliæ lucubrationes, turn illius animi candor et modestia dubitare non sinunt; licet autem a tot tantisque viris laudatus Parens, a liberis absque inuidia laudari possit, nec illud ingenti luctui solatium, vel potius irritamentumn denegari debeat, magis tamen libenter, ni fallor, illius encomium perleges quod in diario Doctorum elegantissimo, et in plerisque clarissimorum scriptorum libris occurrit; horum nonnulli magnifice jamdudum mentionem fecere variorum ipsius operum, que licet inedita non tamen latuerunt, vt abunde testantur qubedam excerpta qute adjicere non piget, et doctrine Analyticæ inuentum nouum, collecturm ex varijs illius epistolis h R. P. lacobo de Billy Societatis Iesu Sacerdote, cujus perspicacissimum ingenium et eruditio commendatione non egent, cum in ipsius operibus satis eluceant; cæterum quidquid in hoc erratum fuerit, id Typographorum incuriæ tribuas, et æqui bonique consulas quæso. Vale.

III.
Dédicace des Varia Opera.

celsissimo s. r. i. principi ferdinando episcopo paderbornensi, coadivtori monasteriensi, comiti pyrmontano, lib. baroni de furstenberg. samvel de fermat s. p.
Si munus quod tibi, Celsissime Princeps, offero non respuas, grati simul animi et obsequii quodam erga te, ac pietatis officio erga Parentem fungi videbor : dum in illius operum Mathematicorum limine nomen statuo, quod injurias temporum et invidiæ morsus arcere possit. Quis enim unquam credat improbari quod tu semel probaveris, quem Arctoi syderis instar intuentur quicumque scientiarum pelagus sulcare cupiunt, mox tutius et tranquillius futurum, cùm fluctus omnino sedaverit lenior pacis aura quæ tandem spirare cœpit ? Sic autem per omnes orbis literarii partes lucem spargis, ut te cuncti suspiciant et neminem despicias ; ita multorum errorem Magnatun damnas qui veluti quodam summæ dignitatis privilegio sibi concessum existimant, ut non tantùm impune, verùm etiam splendidè possint esse indocti ; et se contemnendos putent nisi Musas spernere audeant. Sed abundè tua probat authoritas nulli magis utiles esse literas, quàm ei qui, ùt decet, Pastor populorum esse velit, nulli plus gloriæ afferre : quia rarò conveniunt imperii comes sollicitudo, et aptus colendæ menti secessus. Idem profectò centrum ferè nunquam habent civilium curarum et sublimium disciplinarum circuli : in tanto negotiorum circuitu rectà ad doctrinæ culmen ascendere non minùs forsan difficile Politico videatur, quàm Geometræ curvas rectis æquare, cujus rei specimen exhibet hic edita dissertatio. Superavit tamen omnes obices tua Celsitudo, tibique fidum in mediis tempestatibus portum condere potuisti, et egregiis plerisque scriptoribus quos tuarum fama virtutum ad Paderæ fontes allicit, ubi venam quovis latice puriorem nanciscuntur, ubi te præeunte citiùs discunt quò properandum sit, quàm si studiis in umbra educatis anxiè semotos calles investigarent. Longum scilicet iter est per præcepta, breve per exempla, brevissimum per exempla Principis viri, quem etiam avia peragrantem loca plurimi libenter sequi conantur ; sed paucissimi sunt qui tuis inhærere vestigiis queant ; et dum optas
Voce ciere viros, Phœbumque accendere cantu,
vocis tuæ suavitas tuis non mediocriter votis obstat. Deterret nimirum qui sic hortatur ; silere docet, qui tam doctè loquitur. Id ego experior quoties opera tua pervolvo, quæ mihi licet ignoto et immerenti mittere voluisti : illa semper, adulationis expers, cujus causas procul habeo, mirari simul et laudare gaudeo quæ vix quisquam imitari posse confidat. Monumentis enim Paderbornensibus, quæ tam munificè restaurans tam eleganter celebras, monumentum longè perennius exegisti : si Quinctilii Vari, cujus cladem cedro dignis carminibus memoras, Legiones Romæ reddi nequeunt, at saltem tui sermonis illecebris et venustate Vari vel Augusti sæculum ei reddere videris, Virgiliumque simul et Horatium ac utriusque præsidium et decus referre. Augurabatur olim lepidus Vates non defuturos Marones, quandiu sint Mæcenates, sed quidquid præclarum in Mæcenate et Marone fuit, in eodem pectore reperiri posse nemo speraverat, sive quòd nimia copia Poëtas inopes et steriles plerunque reddit (unde Theocritus [252] Diophanto fatetur artes excitari paupertate, quamn laboris magistram vocat) sive quòd alienis carminibus ei non opus est qui suis satis oblectari potest, ut adoptivos liberos quærere non solet cui natura legitimam sobolem dedit. Verùm in te, Celsissime Princeps, collecta non sine stupore cernimus, quæ divisa tam illustres alios effecerunt ; et tua singularis humanitas, quæ tot eximias dotes connectens, cœlestes gemmas auro inserere videtur, spondet à te benignè excipiendum, tuoque in sinu fovendum hunc ingenii paterni partum, qui suo defensore orbatus, ùt posthumus, tuo patrocinio indiget, quod venerabundus exposco.

de celsissimo principe ferdinando furstenbergio, episcopo paderbornensi, etc.
ob avrevm nvmisma, in qvo
illius imago conspicitur, missum.


Pierio quam culmine mittis imago
Quæ nostros ingressa lares fulgore replevit
Immeritamque manum, Phœbi ipsa referre videtur
Ora, solo qui cuncta fovet, nec florea tantum
Rura super lætus rutilat glebasque feraces,
Cernere sed sterilem non dedignatur arenam ;
Sic hilares oculos simul et cum fronte serena
Innocuos mores insignis vultus adumbrat ;
Sit tamen ars quamvis spectanda numismatis, illam
Effigiem superavit opus quodcunque Camænis
Sponte tuis fluxit dulci de fonte leporum :
Scilicet Aonij meliùs te vertice montis
Spirantem ostendunt Musæ, dum natus Olympo
Doctrinam pietate auges, castasque sorores
Ad superos tollens, dignoscis quam sit inane
Ornari ingenium, nimioque calescere motu,
Si vacuum æthereo pectus non uritur igne.
Luminibus quantis et quot virtutibus omnes
Suaviter[253] alliciens animos, validique catenis

Eloquij blandus victor trahis ! his ego sensi
Me placidè captum jampridem, nec tibi possim
Hoc magis addici, qui me devincit, honore.
At quas nunc grates referam ? Te principe Vatum
Munera digna mihi Romanaque carmina desunt ;
Carmina Mæcenas sed tu par ipse Maroni
Nostra nec expectas, nec vilia munera quæris.
Non eget exiguâ sublimis arundine laurus,
Et raucæ non vocis eget tua fama susurro
Sat nitidis Latio quibus aurea redditur ætas
Eximias scriptis potuisti pandere dotes,
Purior illimi ceu splendens flumine solus,
Ut decet, ipse suis radijs se pingit Apollo.


de principis eivsdem præclaro
Monumentorum Paderbornensium opere.


Dum Paderse fontes æterno carmine Princeps
Aonij celebrat spes columenque chori,
Ut superat quæ sic ponit monumenta, suisque
Altius ipse aliud tollit ad astra modis !
Hujus Cana fides ornat pia pectora, mentem
Lux Sophiæ, Latij priscus et ora lepor.
Amissas[254] his olim Aquilas quæ flevit in arvis,
Delicias illinc Roma decusque trahit.
Fernandi eloquium Tiberis miratur, et ævi
Immemor, Augusti sæcla redire putat.


de eodem principe qui mirandis
ingenii doctrinæque dotibus stemmatis ac digitatum splendorem augens,
pacem omnibus morum et facundiæ suavitate persuadere possit.


Ode.


Nunc corda mulcens ô utinam Sacer
Notos recursans per fluvios Olor
Mox cogat infensos canorâ
Voce potens lituos silere ;
Hic prima Pindi gloria cui favet
Phœbus, nitentem Lilia quem tegunt,
Quas ore non compescat iras
Pieriâ modulatus arte ?
Ut cum querelis dulcisonis nemus
Vox blanda latè lusciniæ replet,
Discordis oblitæ susurri
Mille solent volucres tacere ;
Non ille frustra sit patriæ datus
A quo feroces flecti animi queunt ;
Martis nec incassum per arua
Threicius cecinit Sacerdos :
Orpheus parentem Calliopen colens
Lenire plectro quot didicit feras !
Sermone sic præstat domare
Pectora, quam superare ferro.



IV.
PRÉFACE DES VARIA OPERA.



Erudito Lectori,

Non te latet, Erudite Lector, opera Mathematica prSefatione vix indigere: nam ut Paralogismi culpam frustr'a longo sermone Geometra deprecari vellet, aut pro vera demonstratione falsain obtrudere; ita non opus est assensum solidæ rationis viribus debitum suppliciter efflagitare, quem adversarius videns sciensque, licet valde reluctans, denegare non possit. Praetereà supervacaneum foret laudes Mathetatum fuse celebrare, ciim hanc spartam tot egregij scriptores adornandam jampridem susceperint. Quis enim nescit Geometriam et uberes illius fructus ad cœlum evelii a Platone, qui non solinm eain livinitus humanw menti insitailm, sed etiam ab ipso numine excoli putavit? nonne meritb Mathesis a Philone vocata fuit liberalium artium metropolis, quas, ubi desit illa, luminibus, et veluti manibus orbatas esse liquet? Unde a vero non aberrat qui ut manum instrumentum ante instrumenta, sic et Mathesin dici posse credit artem ante alias artes, cum illius terra marique, et bello ut pace, tam evidens utilitas sit; quod unus instar omniumr docuit olim Archimedes, dum infirmus corpore sed invictus ingenio senex, obsidioni's Syracusane pars maxima, patria vis summa fuit, Briareus et Centimanus a Romanis appellatus: quamobrem admiratione perculsum Marcellum licet hostem ab eo tot damnis affecturn ei tamen inimicum esse noluisse Livius tradit, sed propinquis inquisitis honori præsidioque nomen, ac memoriam tanti viri fuisse. Mathematicas deinde disciplinas ansas Philosophia videri quis diffiteatur? cum Philosophus quamvis abunde Logicæ versutijs et argutijs instructus, si lux mathematica non affulgeat in Physica comparari possit Polyphemo in spelunca occrecato, et munneris, quo frui potuit, usum nescienti, vini scilicet, cui prseclarus non ita pridern Philosophus Geometrianm similem dici posse arbitratus est, quod recens inflat, vetus oblectat et vires auget. At non istorum operum Authorem inflavit unquam Mathesis, et tot demonstrationes, dum ab ipso non sunt editse, quibuslibet argumentis melihs demlonstrant eum ab ostentatione laudisque cupidine alienurn fuisse. Quod autem de illarum sorte sollicitus non fuit, fere semper autographa nullo servato responsorum exemplari mittere solitus, parum abfuit quin hec, quse fortei non interitura credes, omninb extincta fuerint, antequam in publicamn lucem prodirent. Hinc fit ut quia hsec sparsim disjecta colligere facile non fuit, fato posthumorum operum serb, pauciora, et minus culta typis edantur. Hinc etiam contingere poterit ut onnia qune hic occurrent tibi non videantur nova: sed quamvis alij de quibusdam rebus, quas hic invenies, scripserint et lucubrationes suas priusvulgaverint, non ideb minus hæc inventa istorum operum Authori debentur, qui adeb fastfis, et invidiac expers fuit, ut aliena suis sat aliunde notis immiscuisse credi non possit, qui sua vix sibi tribuebat. Ab eo, exempli causa, libri duo Apollonij Pergei de locis planis procul dubio restituti sunt, licet Franciscus Schooten Academiæ Lugduno BataveT Professor illos a se restitutos asserat; nam sua typis mandavit Franciscus Schooten anno i657. sed libros duos, qui hic extant, Apollonij Pergæi de locis planis se vidisse Lutetiæ manuscriptos, nec non ad locos planos et solidos Isagogen, testis omni exceptione major Herigonius asserit tomo 6. cursus Mathematici editi anno 1634 [255]. Credere tamen, vt dixi, malim Batavum Professorem eadem de re scripsisse, quam ab eo, vel a quovis alio aliquid perpetratum esse suspicari quod ingenuum animum dedeceat, vel inverecundiam plagij probare possit. Verum in istis, ni fallor, operibus, de quibus te non ex parva mole judicaturum sat scio, occurret tibi non injucunda varietas, ut et in epistolis, qut vel ab Authore, vel ad ipsum i plerisque doctissimis viris scriptse fuerunt. Has inter sunt nonnulla Pascalij in quibus ingenij non minus tersi quam perspicacis radios agnosces, quos ejusdem alie lucubrationes, et ipste satis exhibent Pascalij cogitationum reliqui: illud enim opus in quo pendent opera interrupta, multis eximium Matheseos circa res sacras specimen videtur, æqataque machina cœlo. Quis autem ignorat qualis quantusque Geometra et quam insignis in Academia Parisiensi Professor fuerit Robervallius, cujus hic aliquot epistolas legere poteris, et perlegisse gaudebis? Eduntur hic quoque nonnullac Gallice vel Italice scripte 'a Kenelmo Digbto, qui prTeter generis nobilitatem et honores gestos, non solium ingenio doctrinaque, sed etiam pietate conspicuus fuit, ac ver e Religionis cultu, quam ut gladio, sic et calamo tueri conatus est, ut fidem facit aureus illius liber de veritate Catholicœ Religionis Anglice scriptus. Illis epistolis additur una aut altera Frenicli, cujus miram Arithmetica problemata solvendi facilitatem a multis prledicatam, et ejusdem responsis confirmatam Analystse norunt. Quas verb non adjecimus circa Cartesianam Dioptricam epistolas legere poteris in tertio volurnine epistolarum Cartesij cujus stupendæ sagacitatis circa Geometriam admiratione se captumn fatetur is etiam qui nonnunquam ab eo dissentit. Ut autem in varijs istis operibus, sic et in epistolis multa reperies quæ ad Geometriam, vel Analyticen pertinent aut numerorum arcana, de quibus si plura videre cupias, habes observationes ad Diophantum, cujus opera typis mandari curavi anno 1670. et Doctrinæ Analyticœ inventum novum collectum e variis epistolis D. Petri de Fermat ab insigni Geometra R. P. Jacobo de Billy S. J. Sacerdote. Est hic prweterea nonnihil 'circa Mechanicam et Geostaticam, nec non Dioptricam ac Physicam, circa quam v. g. non contemnendam fore confido epistolam de proportione qua gravia decidentia accelerantur, ad Gassendum, quse ipsi Gassendo viro exquisite eruditionis, et candore ac moribus qui Christianum Philosophum decent, prtedito non displicuit, ut ejus responso, licet brevi, satis patet. Sic etiam celebris Itali Geometre Abbatis Bened. Castelli epistola probat ei non displicuisse quwe hic scripta sunt circa motumn gravium aut centrum gravitatis. Cseterimi in his Parentis mei operibus et epistolis quxe multas disputationes circa quæstiones arduas continent, et quibus duas addidimus criticis olservationibus non spernendis refer(as, nullam vocem qune sit acerbior, nulluin pervicacis controversia' vel amarulentse contentionis occurrere vestigium, poteris observare. Id innatam mansuetudinem Authoris arguit, qui nulla contradicendi I ibidine veritatem quoarens, illam ab alijs inveniri gaudebat et gratulabatur: qui secus agunt earn ut juvenes proci colere videntur, dum sibi dumtaxat affulgere vellent quod diligunt; sed qui veritatem divino, ut par est, amore prosequuntur, ipsam omnibus innotescere cupiunt, suabnque felicitatem augeri putant, cum ejusdem plurimi fiunt participes. Epistolas verb ad Authorem scriptas, quwe hic extant, ut nactus sum, edendas ingenue existimavi, nullomodb minuere sed augere cupiens tantorum virorum famam, quorum alia responsa, nondum pr lo commissa, si mihi suppeterent, ut harum disputationum seriem edere non pigeret. Ex istis auterm operibus, Erudite Lector, fructus, ni fallor, et voluptatis non parum percipere poteris et si quid incuria Typographorum erratum sit, illud suppleas aut ignoscas quæso.

Scllemata suis locis in toto opere, ut in illius parte, reperirentur, nisi defuisset sculptor ligni notis Geometricis incidendi peritus; sed figure [256] quæ cum textu edita non fuerunt, ad libri calcem sunt rejecta, numeris paginarum, ad quas referuntur, apposilis, quod semel monuisse sufficiat.

V.
ÉLOGE DE MONSIEUR DE FERMAT,

Conseiller au Parlement de Tolose.
Du Journal des Scavans, du Lundy 9. Fevrier 1665.

On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermat Conseiller au Parlement de Tolose. C'estoit un des plus beaux esprits de ce siecle, et un genie si universel et d'une estendue si vaste, que si tous les scavans n'avoient rendu temoignage de son merite extraordinaire, on auroit de la peine a croire toutes les choses qu on en doit dire, pour ne rien retrancher de ses loüanges.

II avoit toujours entretenu une correspondance tres-particuliere avec Messieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Hugens, etc. et avec la pluspart des grands Geometres d'Angleterre et d'ltalie. Mais il avoit lie une amitié si etroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils estoient confieres dans le Parlement de Tolose, que comme il a este le confident de ses estudes, il est encore aujourd'huy le depositaire de tous ses beaux ecrits.

Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connoitre par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues celebres dans la republique des lettres; on se contentera de donner icy le catalogue des écrits de ce grand homme; laissant aux autres le soin de luy faire un eloge plus ample et plus pompeux.

Il excelloit dans toutes les parties de la Mathematique; mais principalement dans la science des nombres et dans la belle Geometrie. On a de luy une methode pour la quadrature des paraboles de tous les degrez.

Une autre de maximis et minimis, qui sert non seulement à la determination des problemes plans et solides; mais encore à l'invention des touchantes et [257] des lignes courbes, des centres de gravité des solides, et aux questions numeriques.

Une introduction aux lieux, plans et solides; qui est un traite analytique concernant la solution des problemes plans et solides; qui avoit este veu devant que M. Descartes eut rien publie sur ce sujet.

Un traité de contactibus sphaericis, où il a demonstré dans les solides ce que M. Viet Maître des Requestes, n'avoit demonstré que dans les plans.

Un autre traité dans lequel il rétablit et demonstre les deux livres d'Apollonius Pergæus, des lieux plans.

Et une methode generale pour la dimension des lignes courbes, etc.

De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'antiquité, et qu'il estoit consulté de toutes parts sur les difficultez qui se presentoient; il a éclaircy une infinité de lieux obscurs qui se rencontrent dans les anciens. On a imprime depuis peu quelques-unes de ses observations sur Athenée; et celuy qui a traduit le Benedetto Castelli de la mesure des eaux courantes, en a inseré dans son ouvrage une tres-belle sur une Epistre de Synesius, qui estoit si difficile, que le Pere Petau qui a commenté cét autheur, a advoiie qu'il ne l'avoit peu entendre. II a encore fait beaucoup d'observations sur le Theon de Smyrne et sur d'autres Autheurs anciens. Mlais la pluspart ne se trouveront qu'eparses dans ses Epitres; parce qu'il n'ecrivoit gueres sur ces sortes de sujets, que pour satisfaire a la curiosite de ses amis.

Tous ces ouvrages de Mathematique, et toutes ces recherches curieuses de l'antiquite, n'empechoient pas que M. de Fermat ne fit sa charge avec beaucoup d'assiduite, et avec tant de suffisance, qu'il a passe pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps. Mais ce qui est de plus surprenant, c'est qu'avec toute la force d'esprit qui estoit necessaire pour soûtenir les rares squalitez dont nous venons de parler, il avoit encore une si grande delicatesse d'esprit, qu'il faisoit des vers Latins, Francois et Espagnols avec la meme elegance, que s'il eUt vecu dU temps d'Auguste, et qu'il eût passé la plus grande partie de sa vie à la Cour de France et a celle de Madrid.

On parlera plus particulierement des ouvrages de ce grand homme, lors qu'on aura recouvert ce qui en a est6 publie, et qu'on aura obtenu de M. son fils la liberté de publier ce qui ne l'a pas encore esté.

Observation sur Synesius

VI.
OBSERVATION DE MONSIEUR DE FERMAT
SUR SYNESIUS.

Rapportée à la fin de la traduction du Livre de la mesure des eaux courantes,
de Benedetto Castelli
[258]

Les pages qui restent vuides dans ce cayer m'ont donné la pensée de les remplir de la belle observation que j'ay apprise ces jours passez, de l'incomparable Monsieur de [259] Fermat, qui me fait l'honneur de m'aimer, et de me souffrir souvent dans sa conversation. C'est sur la quinziéme Lettre de Synesius Evéque de Cyrene, qui traite d'une matiere qui n'a esté entenduë par aucun des interpretes, non pas mêmes par le scavant Pere Petau, ainsi qu'il l'advoue luy-même dans les Notes qu'il a faites sur cet Autheur; Et je donne d'autant plus volontiers cette observation, qu'elle a beaucoup de rapport avec les traitez qui sont cy-devant.

Cét Evéque écrit à la scavante Hypatia, qui estoit la merveille de son siecle, et laquelle enseignoit publiquement la Philosophie, avec l'admiration de tous les sçavans, dans la celebre Ville d'Alexandrie. J'ay traduit cette Lettre du Grec en cette maniere. Je me trouve si mal, que j'ay besoin d'un hydroscope. Je vous prie d'en faire faire un de cuivre, et de me l'acheter. C'est un tuyau en forme de Cylindre, qui a la figure et la grandeur d'une fleute; sur sa longueur il porte une ligne droite, qui est coupee en travers par de petites lignes, par lesquelles nous jugeons du poids des eaux. L'un des bouts est convert d'un cone, qui est pose egalement dessus, en telle sorte que le tuyau et le cone out une mmee base. L'on appelle cet instrument Baryllion. Si on le met dans l'eau par la pointe il y demeurera debout, et l'on peut aisement compter les sections qui coupent la ligne droite, et par la l'on connoit le poids de l'eau.

Comme nous avons perdu la figure et l'usage de cet instrument, de meme qu'une infinite d'autres belles choses, que les Anciens avoient inventees, et dont ils se servoient, les scavans de ce temps icy se sont donnez beaucoup de peine pour comprendre quel estoit cet instrument dont parle Synesius. II y en a qui onf crui que c'estoit une Clepsydre, mais le Pere Petau a rejette avec raison cette opinion. Pour luy, ii advoue, qu'il ne le comprend pas, il soupconne pourtant que c'estoit tin instrument qui servoit a niveler les eaux, et qui avoit du rapport avec celuy dont Vitruve fait mention an livre 8. ch. 6. de son Archlitecture, qu'il appelle Chorobates, mais ii est aise de juger par la lecture de Vitruve, et de Synesius, que ce sont deux instrumnens fort differens, et en figure, et en usage, et que si tous deux out des sections, conmme remarque le Pere Petau, celles du Chorobates sont perpendiculaires sur l'horizon, et celles de l'hydroscope luy sont paralleles. Je passe sous silence plusieurs autres differences, cue je pourrois rema'quer, pour rapporter le sentiment de Monsieur de [260] Fermat, qui est sans doute le veritable sens de Synesius. Cet instrument servoit pour examiner le poids des differentes eaux pour l'usage des malades; car les Medecins sont d'accord que les plus legeres sont les meilleures; le terme [261]ῥοπὴ, dont se sert Synesius, le monstre clairement. II ne signifie pas icy librarmentum le nivelement, cornme a cru le Pere Petau, miais en matiere de NMachines, il signifie le poids, que les Latins appellent momentium1, et de la le traite des equiponderans d'Archimede a pour titre Ἰσοῤῥοπικῶν[262]. Mais dautant que la balance, ny auciun autre instrument artificiel, ne pouvoit pas donner exactement la difference du poids des eaux, à cause qu'elle est [263] petite entre elles, les Mathematiciens inventerent sur les principes du traite d'Archimede de his quce vehtuntuir In aqua, celuy dont parle Synesius, qui monstre par la nature des eaux mêmes, la difference du poids qu'elles ont entr'elles, la figure en est telle (fig. 150); AF est un Cylindre de cuivre, AB est le bout

Fig. 150.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 150.png

d'en haut, qui est toujours ouvert, EF est le bout d'embas, qui est couvert du cone EIF, qui a la mnme base que le bout d'embas. AE, BF, sont deux lignes droites coupees par diverses petites lignes, tant plus il y en aura, tant plus exact sera l'instrument. Si on le met par la pointe du cone dans i'eau, et qu'on l'ajuste en telle sorte qu'il se tienne delout, il n'y enfoncera pas entierement; car le vuide qu'il a au dedans l'en empechera; mais il y enfoncera jusques a une certaine mesure, qui sera marquee par les petites lignes; et il y enfoncera diversement, suivant que l'eau sera plus ou moins pesante; car plus l'eau sera legere, plus il y enfoncera; et moins, plus elle sera pesante, comme il nous seroit aise de le demonstrer, s'il en estoit question icy. Voila la figure et 1'usage de c6t instrument, et la raison de cet usage. La lettre de Synesius s'y rapporte si exactement dans toutes ses circon stances, quo feu Monsieur de Monchal, Archeveque de Tolose, ayant envoye cette explication au Pere Petau, il advoiia que Monsieur de [264] Fermat estoit le seul qui avoit compris quel estoit l'instrumenl, et il avoit ecrit que dans une seconde impression il la rettroit dans ses notes. Mais parce que cela n'a pas este fait, j'ay crm que le Lecteur seavant et curieux ne sera pas marry que je luy en aye fait part.


VII.
VIRO CLARISSIMO DOM. DE RANCHIN,
SEN. THOL.,
PETRUS DE FERMAT S. P. D.



Polyænum [265] tibi tuum, Vir Clarissime, mitto, sed observanda in eo quædam suppeditat codex manuscriptus optimæ notæ auctorum rei militaris hactenus ineditorum quem penes me habeo [266]; apud eum collectionem quamdam præceptorum et monitorum militarium inveni sub nomine Παρεκβολῶν, cujus auctorem licet manuscriptus non detegat, colligo tamen ex glossario Græcobarbaro Meursij [267], eum esse Heronem, non illum quidem Alexandrinum cujus spiritalia et alia quædam opuscula extant, et qui antiquo, hoc est, optimo ævo, Græce scripsit, sed alium posterioris ævi, quod pleraque ipsius vocabula Græcobarbara satis innuunt; utrumque, actatem nempe et nomen auctoris, confirmat Meursius in voce κοντουβέρνιον, ubi citantur sequentia Heronis verba in παρεκβολαίς, ἀπέστειλε γοῦν τῆς νυκτὸς εἰς τὰ ἄπληκτα αὐτῶυ καὶ τὰ κοντουβέρνια, hæc enim verba cum in meo manuscripto desint[268], supplendum in eo nomen auctoris ex manuscripto Meursii ; tempus vero quo hæc scribebantur et quo voces ἄπληκτον, et κοντουβέρνιον in usu erant, ultra septingentos plus minus annos non videtur excurrere ; in hoc autem παρεκβολῶν tractatu, pleraque Polyæni stratagemata suppresso authoris nomine alijs sæpe verbis referuntur, quandoque et ijsdem, unde ampla emergit emendationum et notarum criticarum penus ; celebriores aliquot tibi, vel si mavis doctis omnibus tuo nomine jure repræsentationis libenter exhibeo.

Cleomenis stratagema narratur lib. 1 Polyæni pag. 20 editionis Tornæsianæ sequentibus verbis: Κλεομένης, Λακεδαιμονίων βασιλεὺς, [269] Ἀργείοις ἐπολέμει καὶ ἀντεστρατοπέδευσεν. ἦν τοῖς Ἀργείοις ἀκριβὴς φυλακὴ τῶν δρωμένων τοῖς πολεμίοις· καὶ πάντα ὅσα Κλεομένης βούλοιτο, ὑπὸ κήρυκος ἐσήμαινε τῇ στρατιᾷ, καὶ αὐτοὶ τὰ ἴσα δρᾷν ἐσπούδαζον. ὁπλιζομένων, ἀνθωπλίζοντο. ἐξιόντων, ἀντεπεξίεσαν· ἀναπαυομένων ἀντανεπαύοντο. Κλεομένης λάθρα παρέδωκεν ὃταν ἀριστοποιεῖσθαι κηρύξῃ, ὁπλίσασθαι· ὁ μὲν ἐκήρυξεν, οἱ δὲ Ἀργεῖοι πρὸς ἄριστον ἐτράποντο. Κλεομένης ὡπλισμένους ἐπαγαγὼν εὐμαρῶς ἀνόπλους καὶ γυμνοὺς τοὺς Ἀργείους ἀπέκτεινε, hoc loco post verba ἐξιόντων, ἀντεπεξίεσαν addendum ex manuscripto ἀριστώντων, ἠρίστων, quod finis ipsius stratagematis plenissime confirmat.

Themistoclis stratagema, eodem libro pag. 44, refertur hoc modo : Θεμιστοκλὴς Ἰώνων Ξέρξῃ συμμαχούντων, ἐκέλευσε τοῖς Ἕλλησι καταγράφειν ἐπὶ τοῦ τείχους, Ἄνδρες Ἴωνες, οὐ δίκαια ποιεῖτε στρατεύοντες ἐπὶ τοὺς πατέρας. τούτων ἀναγινωσκωμένων, βασιλεὺς ὑπόπτους αὐτοὺς ἐποιήσατο, corrigendum ex manuscripto ἐλογίσατο, quam esse veram lectionem innuit sensus.

Agesilai stratagema occurrit lib. 2° [270], pag. 86. Ἀγησίλαος, - ἐν Κορωνείᾳ Ἀθηναίους ἐνίκησεν· ἤγγειλέ τις, οἵ καὶ βούλοιντο ἀπιέναι· ὡς ἄρα εἴη σφαλερὸν συμπλέκεσθαι τοῖς ἐξ ἀπονοίας μαχομένοις, ibi loco vocis Ἀθηναίους reponendum ex manuscripto Θηβαίους. Aliud Agesilai stratagema refert Polyœnus eodem libro pag. 103. Ἀγησίλαος ἐν ταῖς διαπρεσβείαις ἠξίου τῶν πολεμίων τοὺς μάλιστα δυνατοὺς πέμπεσθαι πρὸς αὐτὸν, ὁῖς διαλέξηται περὶ τῶν κοινῇ συμφερόντων· τούτοις ἐπὶ πλεῖστον συγγενόμενος καὶ κοινωνῶν ἑστίας καὶ σπονδῶν, ταῖς πόλεσιν στάσιν ἐνεποίει διὰ τὰς τῶν πολλῶν ὑποψίας.. Vulteius hoc modo interpretatur : Agesilaus in legationibus petebat ab hostibus, ut maxime potentes ad se mitterent; cum quibus de communi utilitate sermones conferret. Cum his plurimum habens consuetudinis, et communicans focum et cineres, seditiones in urbes excitabat, propter vulgi suspiciones. Videtur interpres loco verbi σπονδῶν quod est in textu Græco, legisse σποδῶν cum vertat cineres, sed nihil mutandum ex manuscripto evincitur ubi leguntur hæc verba καὶ ὅρκους πρὸς αὐτοὺς ποιούμενος.

Clearchi stratagema narratur libro eod. pag. 110, his verbis Κλέαρχος ἦν ἐν Θράκῃ· νυκτερινοὶ φόβοι τὸ στράτευμα κατελάμβανον, ὁ δὲ παρήγγειλεν, εἰ γένοιτο νύκτωρ θόρυβος, μηδένα ὀρθὸν ἀνίστασθαι· ὁ δὲ ἀναστὰς ἀναρείσθω. τὸ παράγγελμα τοῦτο ἐδίδαξε τοὺς στρατιώτας, καταφρονεῖν τοῦ νυκτερινοῦ φόβου. Verba quidem hic supplenda ex manuscripto, quæ tamen videtur in suo codice vidisse interpres Latinus, licet desint in editione græca Tornæsij, sunt autem sequentia, καὶ ὁύτως ἀνεπαύσαντο ἀναπηδῶντες καὶ ταρασσόμενοι.. Atque ita desierunt exilire ac perturbari.

Perdiccæ stratagema sequens legitur libro 4, pag. 314 [271] Περδίκας Ἰλλυριῶν καὶ Μακεδόνων πολεμούντων, ἐπειδὴ πολλοὶ Μακεδόνες ἠλίσκοντο ζωργεῖν, καὶ οἱ λοιποὶ Μακεδόνες λύτρων ἐλπίδι πρὸς τὰς μάχας ἦσαν ἀτολμότεροι, ἐπεκηρυκεύσαντο περὶ λύτρων, ἐντειλάμενος τῷ κήρυκι, ἐπανελθόντι ἀγγεῖλαι, ὡς ἄρα λύτρα Ἰλλυριοὶ μὴ προσίοιντο, ἀλλὰ ψηφήσειεν τοὺς αἰχμαλώτους κτιννύειν. οἱ δὴ Μακεδόνες ἀπογνόντες τῆς διὰ τῶν λύτρων σωτηρίας, εὐτολμότεροι πρὸς τὰς μάχας ἐγένοντο, ὡς ἐν μόνῳ τῷ νικᾷν ἔχοντες τὸ σώζεσθαι, quod sic interpretatur Vulteius. Perdiccas, Illyriis et Macedonibus bellum gerentibus, cum multi Macedones caperentur vivi, reliqui etiam redemptionis spe ad pugnam minus alacres erant, quibus legationem inter se de redemptoriis muneribus mittentibus, præcepit legato, ut reversus nuntiaret, se redemptoria munera Illyriorum non accepturum, sed condemnatos captivos morte affecturum. Macedones, desperatâ salute redemptiva, audaciores ad pugnandum reddebantur, quippe quibus in solâ victoria salus posita esset. In hoc stratagemate vocem Ἰλλυριοὶ mutandam in Ἰλλυριῶν indicat nota marginalis editionis Tornæsianæ; si vera esset explicatio Vulteii, non solum vera sed et necessaria esset illa emendatio, sed frigidissimum esset stratagema, si sequeremur sensum interpretis: Polyænus quippe vult Perdiccam pracepisse legato, ut reversus nuntiaret Illyrios redemptoria munera non accepturos, et hic est verus sensus stratagematis, quem Hero aliis verbis, secundum hanc quæ est vera et germana interpretatio, expressit in manuscripto his verbis, ἐπερήδευσε τοιοῦτον, παρεσκεύασε τινὰ ὡς πρόσφυγα ἐλθόντα ἀπὸ τῶν πολεμίων εἰπεῖν ὅτι ὁι πολέμιοι ἐβουλεύσαντο καὶ ἀπεκύρωσαν ἵνα ὅσους κρατήσουσιν αἰχμαλώτους ἀποκτείνωσι.

Alexandri stratagema refertur etiam lib. 4, pag. 248, verbis sequentibus, Ἀλέξανδρος Δαρείῳ παρατάσσεσθαι μέλλων, παράγγελμα τοῖς Μακεδόσιν,ἔδωκεν· ἢν ἐγγὺς γένησθε τῶν Περσῶν, εἰς γόνυ κλίναντες ταῖς χερσὶν· διατρίβετε τὴν γήν. ἢν δὲ ἡ σάλπιγξ ὑποσημῄνῃ τότε δὴ....Μακεδόνες οὑτως ἐποίησαν· οἱ δὲ Πέρσαι σχῆμα προσκυνήσεως ἰδόντες, τὴν πρὸς τὸν πόλεμον ὁρμὴν ἐξέλυσαν καὶ ταῖς γνώμαις ἐγένοντο μαλακώτεροι. Δαρεῖος δὲ ἐκυδριοῦτο, καὶ φαιδρὸς ἦν, ὡς ἀμαχὶ κρατῶν· οἱ δὲ Μακεδόνες ὑπὸ τῷ συνθήματι τῆς σάλπιγγος ἀναπηδήσαντες, ῥυμηδὸν ἐμβάλλουσι τοῖς πολεμίοις, καὶ τὴν φάλαγγα ῥήξαντες, ἐς φυγὴν ἐτρέψαντο..

Hoc loco desunt quædam verba post vocem τότε , quae supplenda ex manuscripto ubi narratio est integra et elegans; lacuna itaque ex eo sic replenda, τότε μετὰ θυμοῦ καὶ ἀνδρείας τοῖς πολεμίοις προσβάλλετε.

Pammenis stratagema tale proponitur libro 5, pag. 385. Παμμένης ὀλίγην ἔχων δύναμιν ὑπὸ πλειόνων ἀποληφθεὶς, ἔπεμψεν αὐτόμολον ἐς τὸ τῶν πολεμίων στρατόπεδον· ὁ δὲ σύνθημα ἐκμαθὼν ἐπανελθὼν ἤγγειλε τῷ Παμμένει. ὁ δὲ νυκτὸς ἐπιθέμενος τοῖς πολεμίοις, πολλοὺς αὐτῶν φθείρας διεξιππάσατο αὐτὸς σύνθημα· τοῖς δὲ ἧν ἀπορία, γνωρίζειν ἐν σκότῲ τοὺς οἰκείους μὴ δυναμένοις διὰ τοῦ συνθήματος. Hic addenda ex manuscripto post verbum αὐτὸς sequentia, αὐτὸς μὲν καὶ ὁ τούτου στρατὸς ἐγίνωσκον τῶν πολεμίων τὸ σύνθημα, ἐκείνοις δὲ ἀπορία ἦν ἐν τῷ σκότει τῆς νυκτὸς γνωρίζειν τοὺς ἰδίους ἢ τοὺς πολεμίους, τῶν πολεμίων τὸ σύνθημα ἀποκρινομένων.

Pompisci stratagema refertur lib. 5, pag. 402. Πομπίσκος, περιστρατοπεδεύων πόλιν, ἐπὶ μὲν τὴν πολλὴν τῆς χώρας ἐξιέναι τοὺς πολεμίους ἐκώλυσεν · ἐπὶ δὲ τόπον ἕνα συνεχῶς...καὶ τοῖς ληιζομένοις ἀπέχεσθαι τοῦ τόπου τούτου προσέταξεν. οἱ δὲ ἐκ τῆς πόλεως ἀδεῶς ἐνταῦθα προίεσαν · ὁ δὲ παρὰ τῶν σκοπῶν ὡς ἔμαθεν τοὺς ἥκοντας πολλοὺς, ἐπιθέμενος τοὺς πλείστους αὐτῶν ἐχειρώσατο.

Vox συνεχῶς quæ hic vulgo legitur, corrigenda ex manuscripto et loco illius reponendum συνεχώρει quod ex conjectura viderat Casaubonus ut patet ex ipsius notis.

Alexandri Pherensis stratagema refertur lib. 6, pag. 426. Ἀλέξανδρος Πάνορμον πολιορκοῦντος Λεωσθένους πρὸς ἃπασας τὰς Ἀττικὰς ναῦς φανερῶς ναυμαχεῖν οὑ θαρρῶν, διέπεμψεν ἐπὶ ἀκάτιον νύκτωρ, etc. legendum esse, ἐπὶ ἀκάτιου, ut vult Casaubonus in notis, confirmat codex manuscriptus ubi legitur διὰ μικροῦ πλοιαρίου, quæ verba idem sonant.

Cyri stratagema narrat Polyænus lib. 70 [272], pag. 477, his verbis, Κῦρος Μήδοις παραταξάμενος τρὶς ἡττήθη. ἐπεὶ δὲ τῶν Περσῶν αἱ γυναῖκες καὶ τὰ τέκνα ἦσαν ἐν πασργάδαις, τὴν τετάρτην μάχην ἐνταῦθα συνῆψε· πάλιν ἔφυγον οἱ Πέρσαι, ὡς δὲ ἴδον τὰ τέκνα καὶ τὰς γυναῒκας, παθόντες ἐπ' αὐτοῖς, ἀνέστρεψαν, καὶ τοὺς Μήδους ἀτάκτως διώκοντας τρεψάμενοι, νίκην τηλικαύτην ἐνίκησαν, ὡς μηκέτι Κῦρον πρὸς αὐτοὺς ἄλλης δεηθῆναι μάχης.

Hic loco vocis παθόντες corrigendum ex manuscripto συμπαθόντες quæ vox itidem restituenda in stratagemate Apollodori pag. 435. manuscriptus noster ex quo coniicimus vocem παθόντες mutandam in συμπαθόντες verbis sequentibus rem narrat et stratagema Polyæni exprimit, οἱ δὲ συμπαθείᾳ τούτων νικώμενοι, etc. vox autem illa melius authoris sensui respondet quam τι παθόντες vt legendum censuit Casaubonus.

Darii stratagema narratur lib. 7, pag. 489, hoc modo. Δαρεῖος ἐπολέμει Σάκκαις τριχῇ διῃρημένοις· μιᾶς ἐκράτησε μοίρας· τῶν δὲ Σακκῶν ἰζόντων τὰς ἐσθῆτας, καὶ τὸν κόσμον, καὶ τὰ ὅπλα περιέθηκε τοῖς Πέρσαις, etc. hic loco vocis ἰζόντων quæ est corrupta in editione Tornæsii, legendumn ex manuscripto ἀναιρεθέντων.

Autophradatis [273] stratagema legitur lib. 7, pag. 516 et tale est, Αὐτοφραδάτης ἐμβαλεῖν Πισίδαις βουλόμενος τὲν εἰσβολὴν στενόπορον καὶ φυλαττομένην ὁρῶν, προσήγαγε μὲν τὸ στρατόπεδον, πάλιν δὲ ἀπήγαγεν ὀπίσω, μέχρι σταδίων ς'·νὺξ ἐπῆλθεν, οἱ μὲν φυλάττοντες τῶν Πισιδῶν ἀπηλλάγησαν, οἰόμενοι τοὺς πολεμίους ἀπεληλυθέναι· ὁ δὲ τῶν ψιλῶν καὶ ὁπλιτῶν τοὺς ἐλαφροτάτους λαβὼν, πολλῇ σπουδῇ δραμὼν διῆλθε τὰ στενὰ καὶ τὴν Πισιδῶν χῶραν ἐπόρθησεν.

In hoc stratagemate loco verborum μέχρι σταδίον ϛ’ reponendum procul dubio ἐπίσημον κόππα, quod Vulteius arithmeticarum apud Græcos notarum parum callens non intellexit, similitudine inter ϛ’ quod significat 6, et ϟ’ quod significat 90, delusus, legendum igitur μέχρι σταδίον ϟ’, quam esse veram lectionem, ratio ipsa primum confirmat, si enim Autophradates ad sex tantum stadia recessisset, hostes suspicione, et metu non liberasset, deinde in manuscripto legitur, ἐννενήκοντα absque notis arithmeticis.

Scipionis continentia exemplum laude dignissimum refertur lib. 8, pag. 568, sequentibus verbis, Σκηπτίων δορυάλωτον λαβὼν ἐν Ἰβηρίᾳ πόλιν Φοίνισσαν, ὡς οἱ φυγαγωγοὶ παρθένον ἤγαγον κάλλους ὑπερφυῶς ἔχουσαν, τὸν πατέρα αὐτῆς ἀναζητήσας, ἐχαρίσατο αὐτῶ τὴν θυγατέρα. τοῦ δὲ δῶρα προσκομίσαντος, ὁ δὲ καὶ ταῦτα συνεχαρίσατο, προῖκα φήσας ἐπιδιδόναι τῇ κόρῃ, etc. ibi vulgo legitur φυγαγωγοὶ quod interpres vertit captivorum ductores, sed legendum ex manuscripto νυμφαγωγοὶ, hoc est virginum ductores, quae correctio et verissima et elegantissima, ut nullus supersit dubitandi locus.

Plura adjungerem, sed feriis jam desinentibus quarum beneficio otium suppetebat, finem quoque huic παρεκβολῶν παρεκβολῇ imponimus. Vale et me ama.


VIII.
VIRO CLARISSIMO D. DE PELLISSON,
LIBELLORUMI SUPPLICUIM MAGISTRO,
SAMUEL DE FERMAT S. P. D.



Criticas observationes quas mihi nuper misisti, vir clarissime, sæpius legi non sine voluptate et admiratione; in illis enim ingenii, judicii, et doctrinæ dotes quas in te jampridem suspicimus ubique elucent: nihil autem invenire possim quod tanti muneris vice tibi referam, nisi commodum egestati meæ succurrerent variæ lectiones quas vir tibi singulari conjunctus amicitia, cujus mihi jucunda semper est recordatio, margini apposuit quorumdam librorum quos sedulo pervoluebat, et quorum pleraque loca, sed ὁδοῦ πάρεργον, emendavit; scis enim quam præcoci ille ubertate florum amœnitatem fructuum maturitati junxerit, nec me latet quanta ipse fiducia suas exercitationes solitus sit in tuum sinum effundere; licet autem omnes istæ quas excerpsi emendationes, vel parentis mei conjecturæ [274], tibi novitatis gratia non commendentur, illas tamen, quæ tua est comitas, te benignâ manu suscepturum non dubito. Theonem Smyrnæum, ne te diutius rnorer, vir clarissime, nosti, auctorem operis illius cui titulus τῶν κατὰ μαθηματικὴν χρησίμων εἰς τὴν τοῦ Πλάτωνος ἀνάγνωσιν, quod prodromi instar est aut isagoges Philo sophiæ Platonicæ, quæ nemini Geometria non initiato patebat: illud opus edidit Lutetiæ anno 1644 Ismael Bullialdus vir doctissimus et Latinitate donatum elegantibus notis illustravit; sed non omnibus illud mendis purgasse videtur, ut aliquot, ni fallor, exemplis, quæ sequuntur, planum fiet. Primum occurrit pag. 78 illius operis ubi περὶ ἁρμονίας et συμφωνίας agit: locum illum exscribere non piget, ipsa enim series emendationis procul dubio necessitatem et veritatem ostendet; τὰ [275] γράμματα, ait ille, φωναὶ πρώται εἰσὶ καὶ στοιχειώδεις [276] καὶ διαιρετοὶ, καὶ ἐλάχισται etc. [277], et inferius, τὰ δὲ διαστήματα ἐκ τῶν φτόγγων, οἵτινες πάλιν φωναὶ εἰσι πρώται καὶ διαιρετικαὶ, καὶ στοιχειώδεις, huic voci διαιρετικαὶ asteriscus in margine [278] respondet cum voce διαιρεταὶ, at hic reponenda bis videtur vox ἀδιαιρετοὶ loco τοῦ διαιρετοὶ et διαιρετικαὶ, legendum nempe γράμματα φωναὶ εἰσὶ ἀδιαιρετοὶ , idque confirmat Manuel Bryennius [279], cap. 1, lib. 2 Ἁρμονικῶν : legendum praetereà φτόγγων, οἵτινες πάλιν φωναὶ εἰσι πρώται καὶ ἀδιαιρετοὶ , et hæc quoque lectio confirmatur verbis ejusdem Bryennii lib. 1, cap. 3, ubi dicit φθόγγος ἐστὶ ἀρχὴ ἁρμονίας ὡς ἡ μονὰς τοῦ ἀριθμοῦ, τὸ σημεῖον τῆς γραμμῆς, καὶ τὸ νῦν τοῦ χρόνου, punctum vero et instans sunt ἀδιαιρετὰ et consequenter φθόγγος ἀδιαιρετὸς, non dividendi vim habens, ut vult interpres Latinus [280] nec immeritò Bacchius Senior in introductione artis musicae [281] quæstioni illi τί οὖν ἐστιν ἐλάχιστον τῶν μελῳδουμένων, respondet, φθόγγος, quem non tantum ἐλάχιστον, sed etiam ἄτομον esse docet antiquæ musicæ celeberrimus auctor Aristides Quintilianus lib. 1 de Musica [282], atque ita authoritas æque ac ratio suffragatur huic emendationi, quæ fit unius tantum litteræ mutatione. Minima quoque mutatione alia fit eodem capite licet minoris momenti correctio, ubi vulgo male legitur, φησὶ καὶ τοὺς Πυταγορισκοὺς, legendum scilicet, φασὶ, ut apud Bryennium λέγουσι [283]. Paulò inferius ubi legitur ἀποτελεῖται ὁ φθόγγος βραδεῖας δὲ βαρὺς, καὶ σφοδρᾶς μὲν μείζων ἦχος, ἠρέμου δὲ μικρὸς, legendum videtur ἠρεμαίας, et Bryennii authoritate confirmatur [284]. Hactenus de sono de quo agitur in cap. illo 6. In cap. vero 8, agitur de semitonio, et ita vulgo legitur καθὰ καὶ τὸ ἡμίφωνον γράμμα οὐχ ὡς ἥμισυ φωνῆς καλοῦμεν, ἄλλ'ὡς μὴ τῷ αὐτοτελεῖ κατὰ ταυτὸ φωνεῖν, legendum vero videtur καθὸ non καθὰ [285], : legendum præterea ἄλλ' ὡς μὴ αὐτοτελῆ καθ' αὑτὸ φωνὴν ἀποτελοῦν, quæ lectio ejusdem Bryennii authoritate nixa veriorem vulgata sensum efficit. Atque harum probatio lectionum desumi potest, ἐκ τῶν παρὰ τοῖς μουσικοῖς ὑποτιθεμένων καὶ ἐκ τῶν παρὰ τοῖς μαθηματικοῖς λαμβανομένων , ut Porphyrii verbis utar, quæ in commentariis clarissimi interpretis referuntur pag. 276, sed non sine mendo, male enim ibi legitur, ἐκ τῶν παρὰ[286]τῆς μουσῆς ὑποτιθεμένων. Nec silentio prætermittenda est elegantissima, et audacter dicam, certissima alterius loci ejusdem Theonis emendatio pagina 164, ubi de octonario loquitur: refertur ibi vetus inscriptio quam in columna Ægyptiaca reperiri tradidit Evander hoc modo, Πρεσβύτατος πάντων Ὄσιρις, θεοῖς ἀθανάτοις, πνεύματι, καὶ οὐρανῷ, ἡλίῳ καὶ σελήνῃ, καὶ γῇ,

καὶ νυκτὶ, καὶ ἡμέρᾳ[287], καὶ πατρὶ τῶν ὄντων καὶ[288] ἐσομένων ἘΡΩΤΕ μνημεῖα τῆς αὐτοῦ ἀρετῆς βίου συντάξεως id est, ut vertit Bullialdus, antiquissimus omnium Rex Osiris diis immortalibus Spiritui, et Cœlo, Soli, et Lunae, et Terrae, et Nocti, et Diei, et patri eorum quae sunt quæque futura sunt, prædicabo memoriam magnificentiæ ordinis vitae ejus: mendosum procul dubio in hac inscriptione illud EPΩTE, et hanc lectionem si retineas quis inde sensus elici poterit? legendum igitur EPΩTI, atque ita parvâ unius scilicet litterae mutatione huic loco sua lux, et amori sua laus facile restituitur; nec aliena est ab hoc loco sapientissimi Platonis, cujus velut interpres Smyrnæus ille, sententia, dum ait in convivio [289]καὶ μὲν δὴ τήν γε τῶν ζώων ποίησιν πάντων τίς ἐναντιώσεται μὴ οὐχὶ[290] ἔρωτος εἶναι σοφίαν ᾖ γίγνεται[291] καὶ φύεται πάντα τὰ ζῶα, etenim animalium omniurm effectionem, ut vertit Serranus, ex amoris sapientia existere, ut est gigni atqule nasci, ecquis negaverit,

Per quem genus omne animantum
Concipitur, visitque exortum lumina Solis[292].

Apud lulium Frontinum [293] de aquæductibus Romæ pag. 106 editionis Plantinianæ, vulgo sic legitur: in vicenaria fistula, quæ in confinio utriusque rationis posita est, utrique rationi pene congruit. Nam habet secundum eam computationem, quæ interjacentibus modulis servanda est iin diametro quadrantes viginti : cum diametri ejusdem digiti quinque sint et secundum eorum modulorum rationem qui sequuntur ad eam, habet digitorum quadratorum ex gnomoniis viginti. Hic procul dubio legendum non ad eam, sed aream : cujus emendationis ratio ex supputatione geometrica ducitur. Eadem enim pagina legitur, centenaria autem et centenum vicenum, quibus assidue accipiunt, non minuuntur, sed augentur, Nec usufrequens est : videtur legendum Cen. id est centenaria, loco vocis illius Nec, litteris scilicet ordine inverse accipiendis, cum fortasse in manuscripto repertum fuerit Cen. hoc est centenaria, quod transcriptor transposuit et legendumr Nec, particula sensui magis, ut videbatur, accommodata perperam existimavit.

His emendationibus unam aut alteram duorum insignium locorum addam, quorum primus est apud Sextum Empyricum, alter apud Athenæum: Sextus ille [294] lib. 1. Pyrrhonianum hypotyposeon pag. 12, ostendere conatur quam variæ sint pro diversitate ætatum Phantasiae, παρὰ δὲ τὰς ἡλικίας, inquit, ὅτι ὁ αὐτὸς ἀὴρ τοῖς μὲν γέρουσι ψυχρὸς εἶναι δοκεῖ · τοῖς δὲ ἀκμάζουσιν, εὔκρατος. καὶ <τὸ> αὐτὸ βρῶμα τοῖς μὲν πρεσβυτάτοις ἀμαυρὸν φαίνεται, τοῖς δὲ ἀκμάζουσι κατακορὲς, καὶ φωνὴ <ὁμοίως> ἡ αὐτὴ τοῖς μὴν ἀμαυρὰ δοκεῖ τυγχάνειν, τοῖς δὲ ἐξάκουστος, id est, ut vertit Henricus Stephanus, Ex ætatibus autem quoniam idem ær senibus quidern frigidus esse videtur, aliis qui in ætatis flore [295] sunt, bene temperatus, et idem cibus, senibus quidem tenuis videtur, at iis qui florent ætate crassus ; eodem modo et vox eadem, aliis quidem depressa esse videtur, allis autem [296] alta ; at hujus loci elegantior sensus erit si legatur non βρῶμα sed χρῶμα, alioquin de sensu visus qui facilè maximam mutationem patitur, nullus hic foret sermo : præterea τὸ ἀμαυρὸν meliùs colori convenit quam cibo, et æque de colore ac de cibo dici potest τὸ κατακορὲς, sic apud Virgilium legimus, saturatas murice vestes [297] et hyali saturo fucata colore [298].

Nunc ad Athenaei locum transco; quis autem urbanissimi ilius scriptores sales varia conditos eruditione ignorat ? Et si quid in eo frigidum aut inficetum occurrat, quis ibi mendum subesse non suspicetur ? Suspecta igitur erit lectio loci illius in quo hic auctor lib. 12. loquitur de depravatis Alcibiadis moribus, qui locus si vulgatam lectionem retineas ipso forsan Alcibiade depravatior erit : Athenæi [299] verba haec sunt, λυσίας δὲ ὁ ῥητωρ περὶ τῆς τρυφῆς αὐτοῦ λέγων φησὶν · ἐκπλεύσαντες γὰρ κοινῇ Ἀξίοχος καὶ Ἀλκιβιάδης εἰς Ἑλλήσποντον ἔγημαν ἐν Ἀβύδῳ δύο ὄντε, Μεδοντιάδα τὴν Ἀβυδηνὴν, καὶ Ξυνωκείπην, ἔπειτα αὐτοῖν γίνεται θυγάτηρ, ἣν οὐκ ἔφαντο δύνασθαι γνῶναι, ὁποτέρου είη. ἐπεὶ δὲ ἦν ἀνδρὸς ὡραῖα, ξυνεκοιμῶντο καὶ ταύτῃ, καὶ εἰ μὲν χρῷτο καὶ ἔχοι Ἀλκιβιάδης, Ἀξιόχου ἔφασκεν εἶναι θυγατέρα · εἰ δὲ Ἀξιόχος, Ἀλκιβιάδου : error hic procul dubio in voce illa ξυνωκείπην et legendum ξυνωκείτην[300] hoc est concubuerunt, atque ita si falsa Xynoceipe deleatur, et sola supersit illa duobus nupta Medontias, portentosæ istorum iuvenum libidinis novitati nihil detrahetur; veritas autem istius emendationis satis per se patet, et ex ipsa loci serie elici potest, in quo illud δύο ὄντε alioqui supervacaneum foret, nec jam amplius ambigua proles ; ratio igitur illius correctionis in promptu est, cui ejusdem Athenæi accedit authoritas, is [301] enim lib. 13. iterum de Alcibiade loquitur hoc modo, Μεδοντίδος γοῦν τῆς Ἀβυδηνῆς ἐξ ἀκοῆς ἐρασθεὶς[302] ἔστερξε, καὶ πλεύσας εἰς Ἑλλήσποντον σὺν Ἀξιόχῳ, ὃς ἦν αὐτοῦ τῆς ὥρας ἐραστὴς, ὥς φησι Λυσίας ὁ ῥήτωρ ἐν τῷ κατ' αὐτοῦ λόγῳ, καὶ ταύτης ἐκοινώνησεν αὐτῷ , id est ut interpretatur Dalechampius, Medontidem Abydenam auditione tantum ille amare cœpit, et imprimis charam habuit, eam tamen cum Hellespontum navibus adiisset, Axiocho navigationis comiti, et pulchritudinis ipsius amatori, ut inquit Lysias in oratione quamn contra eum scripsit, utendam dedit: ibi autem fictitiæ Xynoceipes nulla mentio, et illud ἐκοινώνησεν aeque ac ξυνωκείτην communes Alcibiadis, et Axiochi amores fuisse satis arguit.

Sed ab istorum juvenum voluptate oculos avertamus, et eam quæ ex studiorum societate percipitur, puriorem et diuturniorem, sumnmumque adversorum solatium litteras esse fateamur; cum tu his mirum in modum oblecteris, non iniucundas tibi fore confido observationes in quibus amici manum agnosces; ipsius ego lucubrationum sparsas varijs in locis reliquias e tenebris quibus abditæ jampridem erant[303], eruere conatus sum, neque hæc contemnenda duxi, ut ex hoc spicilegio rerum quæ diligentissimos[304], ut ita loquar, messores latuerunt, pateat, quantam earum auctor in liberiori et conjecturis aperto critices campo segetem fuerit collecturus, si sæpius in illo spatiari voluisset: Vale et me ama.

IX.
ISMAELI BULIALDO V. C.
P. F. S. D. P. [305].

Duas potissimum modulorum seu fistularumu, quilbus aqua erogatur aut accipitur, species constituit Frontinus in Tractatl de Aquceductibus, quarum una secundum diametros foraminis seu aperturL aut luminis, ut loquitur ipse Frontinus, consideratur; altera secundum areamt ipsam, hoc est spatium planurn ipsius foraminis, quod in utroque casu rotundurn et circulare supponitur.

Prioris fistularum speciei series ita procedit, ut earum diametri per quadrantem unius digiti juxta progressionem arithmeticam continuo augeantur [306].

Primus istius terminus est circulus cujus diameter est quadrans digiti; secundus, cujus diameter habet duos quadrantes digiti; tertius tres, quartus quatuor, et sic de cateris usque ad vicenariam, centenariam, et ulterioris gradus fistulam. In hac serie vicenaria fistula, verbi gratia [307], ea est cujus apertura vel lumen habet diametrum 20 quadrantium [308] unius digiti. Posterioris fistularum speciei series non secundum diametros, sel secundum aream ipsam luminis progreditur.

Prima nempe hujus speciei ea est qune habeat aream < unius digiti quadrati, secunda quæ aream > duorum digitorum quadratorum, quinaria quæ quinque.

His positis, intelligis, Vir Clarissime, prioris speciei fistulas differre omnino a fistulis speciei posterioris. Nam, cuim prima posterioris speciei habeat pro area ipsius aperturse unum digitum quadratur, prima prioris speciei pro area aperturwe non habet vigesimam dumtaxat partemn unius digiti quadrati, quod facile colligitur ex supputatione arithmetica juxta rationem Archimedeam [309], quam si sequaris, semper prioris speciei fistulas minores fistulis speciei posterioris invenies usque ad vicenariam; post vicenariam vero semper prioris speciei fistulas majores fistulis speciei posterioris invenies. Ipsa vero vicenaria, quse in confinio, utrobique fere æqualis existit: lumen enim vicenatriat prioris speciei est ad lumen vicenarise speciei posterioris ut 55 ad 56, et sic differentia est unius tanturn quinquagesimœ quinte.

Ex supradictis patet emendandum texturn Frontini in libro de Aqrceductibus, p. Io6 Stevechiance editionis[310] apud Raphele.zgiuzm 6(o8, ct ita concipiendum: In vicenarid fistula, quce in confZino utriusque rationis posita est, utrique rationi [311] pene congruit. XAam habet, secundumn earn computationeri[312] quce interjacentibus [313] modulis servaanda est (quæ quidem est prior fis tularum species), in diametro quadrantes viginti; cum diametri ejusldem digiti quinque suit, et secundum eorum modulorum rationem qui sequunfur, aream[314] (ita confidenter corrigimus, cum vulgo male legatur ad ean: hkec est enim posterior fistularum species quæ) habet digitorumn quadratorum ex gnomoniis [315] viginti.

Cum enim vicenaria prioris speciei habeat in diametro quadrantes viginti unius digiti, hoc estquinque d igitos,erit[316] quadratum diametri 25 digitorum. Est autem proxime ut \/\ ad I, ita quadratum diametri ad circulum, ex Archimede, et est proxime pariter ut i4 ad ji, ita 25 ad 20. Ergo vicenaria prioris speciei, quse habet viginti quadrantes in dianietro, habet etiam fere viginti digitos quadratos arete, ut pene equalis sit fistule vicenariæ speciei posterioris: quod probandunm erat ad sensum Frontini planius aperiendum.

Ut autem perfectius innotescat vicenarias utriusque speciei omnium proximas inter se esse [317], exponatur tabula sequens

1 11 224 6 66 224 11 121 224 16 176 224 21 231 224
2 22 224 7 77 224 12 132 224 17 187 224 22 242 224
3 33 224 8 88 224 13 143 224 18 198 224 23 253 224
4 44 224 9 99 224 14 154 224 19 209 224 24 264 224
5 55 224 10 10 224 15 165 224 20 220 224 25 275 224

Primus ordo est numerorum ab unitate in progressione naturali.

Secundus est a 11; progreditur per additionem ipsius 11.

Tertius est ejusdem semper numeri 224.

Patet autem ex supputationibus geometricis fistulam prioris speciei ad fistulam posterioris esse ut numerus collateralis secundtc columnna ad numerum 224 tertiæ. Exempli gratia, fistula quinta [318] primta speciei est ad fistulam quintam secundœ ut 55, qui est numerus collateralis 5, est ad 224. Etc.

Unde apparet, chui numeri 220 et 224 sint omnibus secundu et tertiæ columnæ inter se proximiores, vicenariam, quwe est ipsis collateralis, esse ejus naturæ et proprietatis quam innuit Frontinus. Unde evidens est non solum correctionem nostram esse veram, sed etiam necessariam, imo et demonstratam.

In eadem pagina emendandus est etiam textus, ut sensus restituatur Frontino, ubi etiam legitur:

Centenaria autem et centenum vicenum, quibus assidue accipiunt, non minuuntur, sed augentur.

Post hæc autem verba, inquam, sigillatim exponit Frontinus qua proportione aquarii has duas fistulas fraudulenter auxerint; sequitur itaque nec usufrequens est: legendum loco vocis nec, cen hoc est centenaria, quwe haud dubie hac ratione tribus primis characteribus in MSS. designabatur. Quod cium exscriptores non caperent, inverso vocabulo, voci cen substituerunt nec, decepti fortasse simili, quarn aliquot ante lineis, cumi de duodenaria loquitur Frontinus, viderant, expressione [319].

Si hanc emendationem non admittas, erunt hæc omnia scopæ dissolutæ. Sensus integer Frontini id precipue vult, aquarios quatuor fistularum mrodum mutavisse, quod ita exprimit:

Sed aquarii, cmi manifestce rationi in [320] pluribus consentiant, in quatuor modulis nominaverunt [321] duodenaria [322] et vicenaria et centenaria et centenum vicenum, ubi quid per vocabulumn nominaverunt intelligat, quo idem Frontinus duobus aliis locis pagine sequentis [323] 107 utitur, amplius quarendum et consulendi forsan codices MSS.

Reliqua sequuntur in quibus suspicaremur aliquid transponendum, si Scaligerianam audaciam auderemus imitari, et ita omnino legendurn post verba superiora [324]:

Viceznarna exiguioremrfaciunt diametero dt oili semisse[325], capacitate qi nariis tribus [326] et semuncia, quo modulo plerumque erogatur. Reli quis[327] autemr tribus modulis plus depretindit: duodlenariu quldenm, quod [328] inec magnus error nec usu frequens est, diametro adjecertud digiti semunciam sicilcum, capacitalt quminar[329] et bessern. Celenenart autem et cetilenum rvie. etc.

Sed de voce nominacerunt quid statuemus? quid statues, mii Bulialde? quid statuent docti? Sensum quideni capir us, sed expressionern Frontini aut sensum ipsius expressionis lesideramus.

Non difficile est qusecumque in hac pagina et in pagilis 107 et io8 de capacitatib.us fistularur, earum dianmetris et perimetris enulcialntur, qult mire corrupta sunt apud Frontinurn, ex geometricis supputationibus emendare. Quas si forte desideres, n-on gravabimur aggredi atque firmiter probare, ut, si ea, qute dixerat ipse Frontinus, non fuerimius plane assecuti, ea saltern, quæ dlicere debuerat, supplere nonl dubitemus.

Interea vale, Bulialde doctissimre et aInicissime.

Dabam Tolosat Tectosagum ad diem xxiv novembris [330] anni à C. N. AMDCLV.


X.
LETTRE DE HUET[331]


Petro et Samueli Fermatiis, Patri et Filio, Tolosam.

Cuim omnibus officijs amorem erga me suum Segrasius noster et jam nuncvester significauerit, turn illud longe milhi gratissimum est quod, quorumcumque hominurm aliqua laude florentium sibi conciliauit beneuolentiam, ejusdem me statim fecit participem. Quod sic interpretor, existimasse ipsum non certiorem propensi in me animi testificationem dare se posse, quam si quod in vita carissimum habet, amicos nempe, eos mnecum communes esse vellet. Quo beneficii genere, si unquam alias, nunc certe me cumulare pergit, cumi doctririn, ingenij et vrbanitatis egregia specimina vt ad me mitteretis, opera sua et aliqua fortasse nostri apud vos commendatione perfecit. Parum equidem mnunere isto eaque quam de me suscepisse videmini opinione dignum me prtebeam, nisi maximas vobis debere me gratias palam profitear et preclaras vtriusque vestrum (lotes apud omnes decantem. Quod autem tuas veterum scriptorum castigationes et conjectanea, necnon et pœmatia, tu Fermati pater, puncto meo approbare velle prt te fers, sic accipio te industrise tuT testem et plausorem, non judicem querere. Sic ergo habeto nihil mihi magis consentaneum videri quam quod,uvcX~sT'riv vocem nihili et a vero Athenwi [332] sensu alienam expungis, ξυνῳκείτην autem acute et legitime substituis. Profecto, ut in emaculando erudito hoc scriptore multum desudarint Dalecampius nostras et Casaubonus, non exiguam tamen, post amplam messem, spicilegio materiem reliquerunt. Quid item certius quam χρῶμα non βρῶμα legendum apud Sextum philosophum [333]? Haec Theonis [334] quam profers emendatio sese ipsa vel minimum attendenti luculenter probat. Quod autem in Claudiani[335] epigrammate pater in puer reformandum statuis, κριτικώτατον est et vulgaris καὶ παιδαγωγικῆς ῥινὸς olfactum preterit. Puer porro in obscœnis esse qui nescit, quid sint παιδικά, quid παιδεραστεῖν, ignorat, nec catamitos nouit dictos esse pullos, nec Martialis[336] sententiam assequitur, cum ait:

Sit nobis ætate puer, non pumice, lævis,
Propter quem placeat nulla puella mihi.

Atque utinam eiusmodi amœnitatibus, tuisque etiam elegantissimis epigrammatis ac tuis item, Fermati fili, quae mirifice sane nobis sapiunt, par referre possem! Sed quod ab exigua nostra et paupertina facultate non suppetit, id deuoto erga vos animo, omnibusque obsequijs repræsentare conabor. Valete, Viri Eximij. Cadomi III non. dec. MDCLIX.

Si lucubrationibus tuis geometricis, in quibus diceris obtinere principatum, Fermati pater, me impertieris, optime de me fueris promeritus.

XI.
LETTRE DE FERMAT.


Petr. Dan. Huetio S. P. D. Petr. Fermatius. Cadomum[337].

Vix legeram tuam epistolam, cum effœtam jamdiu et marcescentem latini sermonis facultatem reuocare statim sum aggressus, vt grati salter animi officium quoddam rependerem, et elegantiam tuam quadamtenus adumbrarem. Sed non succurrerunt verba, et in medijs conatibus ager jam deficiebam, aut si mauis aliud quoque Virgilianum[338], inceptus clamor frustrabatur hiantem, cum ecce commodum superuenit vrbanissimus Segresius, et amicum serio meditabundum, et jam pene curn vnguibus conflictantem, ac secum nescio quid obmurmurantem intuitus: « Ain vero, inquit, credisne Huetium a te aliquid elaboratum et quod demorsos sapiat vngues exspectare? Sincerum tantum cordis affectum expostulat, et in pignus amicitie nascentis aliquot aut versiculos aut criticas obseruationes exposcit.» - « Sed illud, multo, inquam, difficilius euadet. Carmina enim paucissima penes, me habeo, quæ tanto et tam celebri viro ausim communicare; animaduersiones autem criticas. multo adhuc pauciores valeam exhibere; nam is certe sum qui notas hujusmodi censorias, nisi ipsarum, veritas luce ipsa clarior sit, omnino rejiciam; imo in ipsis ἀπόδειξιν ἐπιστημονικήν, more geometrico, existimem requirendam. Quod exempla, quse jam ad clarissimum Huetium tua opera peruenerunt, satis probant. Velim tamen in supplementum probationis adjungere, doctissimi et eruditissimi illius viri approbationemr vicemn accuratissimæ demonstrationis apud me obtinere, nec vllum amplius de vero Athensei, Sexti, Theonis et Claudiani sensu dubitandi locum relino quere. » - «  Qua ergo, inquit, ratione, amice, et epistolæ et exspectationi respondebis? » - « Censeo, inquam, nil aliud mihi faciendum, quam fortuitum hoc et familiare inter nos colloquium in speciem epistolae efformandum, et Cadomum quamprimum transmittendum. » - Annuit Segresius, ego vero vsus sum consilio inopiae meae perquam accommodato, et amicitiamn tuam, Vir Clarissime, si non facundia, saltem obsequio obseruantissimo, in posterum tentabo plomereri. Vale. Tolosae, VI Kal. Januar. anni MDCLX.

XII.
CEDE DEO, SEU CHRISTUS MORIENS.



D. Petri De Fermat carmen amoebaeum ad D. Balzacum.


Obstupuit totiesque elusum mentis acumen
Dedidicit vanos veris prœferre colores
Luminibus. Quid bella moves, deletaque pridem
Numina præestigiis linguæ solertis adumbras
Infelix ratio ? Num te simulachra tot annis
Desita, et imbelles Divûm sub imagine forme
Fallaci cinxere metu ? Num te ostia Ditis
Aut stygise remorantur aque, Elysiive recessus,
Et quidquid credi voluit Dijs æqua potestas ?
Perge tamen quo te securo tramite ducunt
Balzaco præeunte vise, nec inertia dudum
Fatidicæ responsa Deæ, quercusve silentes
Dodonæ, aut taciti venerare oracula Phœebi ;
Cede Deo. Cessit veterum numerosa propago
Cœlicolûm : Deus ecce Deus, quem prona parentem
Agnoscit natura suum, cui terra, salumque
Paret, et edomitæ fatalia flabra procellæ,
Submittuntque ipsæ jam non sua murmura nubes.
Hic puro fulgore micans, de lumine lumen
Dum traheret, Deus unus erat, natusque supremi
Æterna æternùm manans de mente parentis
Assumpsit veros morituræ carnis amictus,

Si qua forte queat mortalia flectere corda,
Tantillumque animis extundere possit amorem.
At postquam summi tandem mandata parentis
Horrendo sacrum caput objecere furori,
Humanas mœrenti animo depromere voces
Cœpit, et insolito succussus membra fragore,
Omnipotens, si nonduhn orbemn mala nostra piarunt,
Et placet infandum pœnæ genus, en, ait, adsum
Victima, lethiferoque libens succedo dolori.
Cerne tamen sudore madens et sanguine corpus,
Et si nulla super nostræ tibi cura salutis,
At saltenm solare animum non digna ferentem.
Dixit et humentes oculos ad sydera tollens,
Quas non ille preces, quSe non suspiria fudit
Anxius ærumnisque gravis, tua, rector Olympi,
Dum satagit, mentemque futurae accingere pugna[339]
Sponte parat? Cœlo interea demissus ab alto
Aliger, ut varios animi componeret aSstus,
Improvisus adest, ceciditque repente fragorum
Turba minax, auctaque superno robore vires
Despectant longe pœnas, nondumque paratæ
Incubuere Cruci: nam cur, supreme, moraris
Rector, ait, cur me per tanta pericula vectum
Sistis, inexpletoque obices opponis arnori?
Dixerat, humanisque iterum succumbere curis
Visa caro, tristes agitant præcordia motus,
Necdum securo gressu vestigia ponit.
Hæc inter dubie mentis certamina totam
Noctem orat, socios altus sopor urget inertes,
Quos decuit vigiles oranti impendere curas.
Heu pavidæ mentes, si nec cœlestia tangunt,

Nec verse virtutis honos, hoc munere salter
Defungi jurata fides, jussumque magistri
Iebulit una sequi; sed jam strepit undique murmur,
Ft segni tenebras abrumpunt lumine tæde;
Qub se cumque feret, jam vis inimica propinquat,
Fictaque adorantis species, verique dolores
Non procul. Infausti tandem sub pondere ligni
Deficit, affixusque cruci, jam verbera passus,
Jam spinas, laceros spargens tormenta per artus
Nempe urgebat amor, nostreique cupido salutis,
Humanam egressus sorten, mortique tremendus
Dum fieret morti propior, fremitusque, minasque,
Et conjurata spernens convicia turban,
Degeneri vitam populo pacenmque precatur,
Nec, quas ipse tulit pœnas, tortorilbus optat.
Et jam finis erat, violataque pectora puri
Muricis iundantes spargebant undique rivos.
Nee tamen imbelli subiit fata ultima mente;
Quin magis assurgens, divinaque lumina, Cœlo
Sic propior, vocemque sonoram ad sydera tollens,
Summe Deus, quid me moribundum deseris, et jam
Semianimem, populique tuoque furore fatigas?
Sat tibi, sat mundo dedimus, finitaque dudum
Singula prescriptas habuere oracula metas.
Sic fatur moriens, elataque lumina rurs-urm
Figit humi, nec jam Cœlum spectare facultas
Ulla datur, cecidere animi, marcentiaque ora
AEthereo vocem extremam fudere parenti:
Hane tibi, summe parens, animam commendo, nec ultra
Prosiliit, vitamque simul cum vœe reliquit.
Haud secus extremo videas spiramine lychnum
Ingentem nisu valido producere lueem,
Et sursuim elatas, iterum subsidere flammas,

Donec anhelanti similem circumfluus humor
Deserit, et densse subeunt fuliginis undæ.
Debilis interea visa est scintilla per umbras
Semianimes atris miscere vaporibus ignes,
Deficiunt tandem et vano conamine sursium
Evecti, seternis noctis conduntur in umbris.
Nec tamen eternæ claudent tua lumina noctes,
Nate Deo, veram referet lux tertia lucem,
Et majora dabit renovato lumina mundo.

Quò me, quò, Balzace, rapis? juvat ire per altum
Exemplo quocfunque tuo me musa vocarit,
Exiguo sine te vix suffectura laborli;
Scilicet optati venient tanto Auspice versus,
Et quo Pierij frueris super ardua montis
Editus, hoc olim forsan potietur honore
Balzaco proles non inficianda parenti.

XIII.
NOTES CRITIQUES
SUR LES
HARMONIQUES DE MANUEL BRYENNE [340].

I.
Notata quædam ad Manuelem Bryennum.

In libro primo, capite περὶ συστήματος, loco horum verborum : τῶν πρίν τε καὶ δύο λειμμάτων, legendum : τόνων πέντε καὶ δύο λειμμάτων [341].

In libro 2o, pag. 2a : καὶ ἐσφοδρότητες, legendum : καὶ αἱ σφοδρότητες [342]. Ibid.: συμφωνοῦσι δὲ φθόγγοι πρὸς ἀλλήλουσ, ὧν θατέρου κρουσθέντος ἐπὶ τινος ὀργάνου τῶν ἐνταυτῶν, καὶ ὁ λοιπὸς κατά τινα οἰκειότητα καὶ συμπάθειαν συνηχεῖ. [343]. Haec verba videntur ad verbum descripta ex fragmento Theonis, pag. 3a [344]. Ibi, loco horum verborum: ὀργάνου τῶν ἐνταυτῶν, legitur in manuscripto: τῶν ἐν τούτοις, sed manifestum in utroque est mendum; legendum τῶν ἐντατῶν. Esse enim tria instrumentorum genera apud veteres musicos notum, quæ Nichomachus in Enchiridio πνευματικὰ ἐντατὰ et κρουστὰ appellat. Ἐντατῶν vero, sive quæ chordis tensis constant, hæc est proprietas quam hoc loco indicat Bryennius, ut una ex duabus chordis consonantibus pulsata, altera statim occulta quadam sympathià resonet.

Pag. 4a: τὰ γὰρ ἐννέα οὐχ οἷον τε διαιρεθῆναι εἰς ἴσα [345]. Tonum bifariam dividi non posse ut probet, hanc rationem subdit. Male. Non enim quia numerus 9 in duas aequales partes dividi non potest, ideo tonus seu proportio sesquioctava bifariam dividi non potest. Aut igitur erravit Bryennius, aut (quod probabilius est) sunt hæc verba glossema scioli cujusdam, quæ e margine in textum irrepserunt. Vera enim ratio hujus impossibilitatis tam in ratione sesquioctava quam in reliquis superparticularibus hæc est, quoniam inter duos numeros unitate distantes non cadit medius proportionalis neque in integris, quod per se patet, neque in fractis, cujus propositionis demonstratio est in proclivi.

Pag. 5a lin. 5a, fin.: καὶ ἐπόγδοον καὶ ἐπιπεντεκαιδέκατον, legendun: ἐπόγδοον καὶ ἐπιέννατον [346].

Pag. 7a, in fig. 1a, loco ultimi numeri ξδ, legendunm ξγ [347], hoc est 63, non 64.

Pag. 8a in 1a fig. [348]. Omnes numeri tetrachordnum constituentes sunt corrupti, aut male huc ex 2a fig. ejusdem paginæ translati. Ita autem se habent: τξη, τξ, τμη, σος, quorum loco substitui debent sequentes: σπ, σο, σνβ, σι, hoc est : 280, 270, 252, 210.

Corrigendi et numeri proportionum constitutivi, quos in vertice figuræ ita scriptos vides : ἐπὶ μζ, - ἐπὶ ιδ, - ἐπὶ ζ, legendum horum loco: ἐπὶ κζ, ἐπὶ ιδ, ἐπὶ ε [349].

In 2a figura tertius numerus finalis debet corrigi, et loco τμη , legendum τμε.

Pag. 10a, ubi scribitur ἄφωνοι ἤτοι κακόφωνοι καὶ ἐμμελεῖς legendum ἐκμελεῖς, aut ἀμελεῖς [350], ut constet sensus.

Pag. 12a. Ἀλλ' οὗτοι δὴ μόνοι οἱ πεντεκαίδεκα ἐπιμόνιοι λόγοι εἰσὶν ἐξ ἄπαντος τοῧ τῶν ἐπιμορίων λόγων πλήθους ' οἱ σύντρεις πως ἀλλήλοις συναπτομένοι, δύνανται τὸν ἐπίτριτον ἀποτελεῖν λόγον, καὶ οὐδένες ἄλλοι παρὰ τούτους ἐν οὐδεμιᾷ μεχανῇ τοῦτο πιεῖν δύνανται [351], Non possum hoc loco dissimulare Bryennii errorem audacter nimis et confidenter asserentis nullas alias in omni superparticularium multitudine inveniri rationes præter quindecim ab eo superius assignatas, quarum tres simul sumptæ sesquitertiam componant. Ab eo supra allatæ pag. 3a hujus libri sunt sesquiquarta, sesquiquinta, sesquisexta, sesquiseptima., sesquioctava, sesquinona, sesquidecima, sesquiundecima, sesquidecima quarta, sesquidecima quinta, sesquivigesima, sesquivigesima prima, sesquivigesima tertia, sesquivigesima septima, et sesquiquadragesima quinta, quas proposito dumtaxat satisfacere affirmat. Contrarium facillime probamus. Ecce enim sesquiducentesimam quinquagesimam quintam, quæ hos quatuor terminos dabit

256 255 240 192.

Ex quibus fiunt tres proportiones superparticulares, nempe sesquiducentesima quinquagesima quinta, sesquidecima sexta et sesquiquarta, quæ sirnul junctæ sesquitertiæ æquantur contra mentem authoris, imo et infra terminos ab eo allatos aliæ inveniuntur. Nam ex sesquidecima tertia, sesquiduodecima et sesquiseptima simul junctis conflatur sesquitertia; item ex sesquidecima nona, sesquidecima octava et sesquiquinta etc. Cui speculationi pulcherrimum problema subjungeremus, si per otium liceret: Nempe data qualibet proportione superparticulari invenire quot mnodis in tres proportiones superparticulares dividi possit, aut generalius, quot modis in datum proportionum superparticularium numerum dividi possit, verbi gratia, quot modis proportio sesquioctava in decem proportiones superparticulares dividi possit. Proponatur, si placet, hoc problema solvendum omnibus hujus ævi mathematicis. Ejus certe notitiam veteres et musicos et mathematicos latuisse verisimile est, cum Bryenniur alioquin peritissimum et exactissimum fugerit.

In cap. 0o~, pag. 2a, in numeris versus figurse verticem atramento depictis, loco x, legendum xq, hoc est 8, non 20 [352]. Hi enim numeri sunt differentia numerorum qui proportiones constituunt et qui ordine restitui debent versus figuræ finem, nempe σκδ, σις, ϱπθ, ξη.

Pag. ta, deest quartus numerus in vertice figuræ, nempe post tres, ατμδ, ασζς, αϱλδ, ponendus quarto loco,ou], hoc est 1008.

Media proportio male exprimitur in vertice, nam non ~zii xz legenlum, sed ~g l I simpliciter, hoc est sesquiseptima, non sesquivigesima septima.

In numeris atramento depictis loco primi numeri xS, legendum et reponendum ut in reliquis pet [353].

In eadern pagina, ubi legitur: ἡ δὲ παϱυπάτη πάλιν τούτου διατόνου ὁμαλου γένους συντονωτέρα ἐστὶ τῆς παρυπάτης τοῦ μαλακοῦ εντόνου ἐπιεικοστεβδόμῳ λόγῳ ἔγγιστα legendum ἐπι ἐννάτῳ καί δεκάτῳ λόγῳ έγγιστα [354].

In numeris proportionum differentias exprimentibus qui a vertice figurae versus finem sive κατὰ στίχους, ut Graeci loquuntur, protenduntur, loco ὲπὶ θ, legendum ὲπὶ ιθ, hoc est 19, non 9 [355].

In sequente figura desunt duo numeri parhypaten et lichanon syntoni diatoni exprimentes, qui sunt ,ασξ et ,αρα, hoc est 1260 et 1120 [356].

Eâdem pagina 5a, lin. 6a, ubi legitur ὲπὶ τριακοστῷ λόγῳ ἔγγιστα delenda vox ἔγγιστα, hic et inferius eadem pagina [357], ubi de eâdem proportione fit mentio. Accurata enim est proportio 36. ad 35. ad differentiam parhypates prioris et posterioris tetrachordi exprimendam.

Huc usque provecti, omnes fere figuras corruptas cum cerneremus usque ad finem libri, proclivius duximus errores ob oculos ponere communis figura beneficio, ne aliter obscurior esset glossa quam textus.

Quæ iterata lectione visa sunt emendanda hic apposuimus.

Libro 1°, cap. 1°, pag. 4a, linea ultima, ubi in manuscripto legitur καὶ τὰ πάθη τῶν φυσικῶν εἰς ὧν γίγνονται legendum: εἰδῶν γίγνονται [358].

Pag. 5a lin. 21a, τοῦ μὲν ἀπὸ τοῦ ημιολίου legendum : τοῦ ἡλιού [359].

Cap. 2°, lin. 8a, περὶ τοῦ ἡρμοσμένου σαφὴν εἶ , legendumn σαφήνειαν [360].

Cap. 3°, pag. 2a, lin. 11a, καὶ πάντες τὸν τοὐτον φαινόμενον ποιεῖν, οὐκέτι λέγειν φασί, ἀλλ' ᾄδειν, corrige : καὶ πάντες τοὺς τοῦτο φαινομένους ποιεῖν [361]. Cap. 4o, pag. ult., lin. 14a, διάφωνοι μέν εἰσιν οὐ μήν δὲ καὶ ἐμμελεῖς, legendum ἐκμελεῖς [362].

II.
Restitutio figurarum libri 2i apud Manuellem Bryennium.

Figurae tetrachordorum sunt aut simplices aut compositæ [363]. Simplicium constructio aut restitutio est in promptu; compositas ita restitues, adhibita constructione et ad eam reliquis accommodatis. Esto

Fig. 151 (Figura ultima, cap. 9).
Fermat - Livre I - Figure 151.png

igitur figura ultima capitis 9i, quæ per characteres graecos et latinos denotatur, et κοινοῦ διαγράμματος vicem gerit. Ita nempe emendari et recte construi debet. Supra semicirculum ABC hæc verba poni debent: κοινὸν τετράχορδον τοῦ διατόνου ὀμαλοῦ καὶ συντόνου διατόνου γένους
In rectâ ηε : ἐπὶ ιε.
In rectâ εf : ἐπὶ η.
In rectâ fg : : ἐπὶ θ.
In rectâ op : ἐπὶ ια.
In rectâ pq : ἐπὶ ι.
In rectâ q χ : ἐπὶ θ.
In Z : ϟς.
In R : ϟ.
In M : π.
In K : οβ.
In τ : ς.
In υ : ι.
In φ : η.
successifs, en allant de l' hypate à la nete (rapports dont le produit doit faire 4), sont consignés dans le Tableau ci-dessous :

I. Ditonien ( διτονιαῖον )...................... x -2 x -
II. Syntone diatone (σύντονον διάτονον ).......... x -x 1
III. Diatone égal (διάτονον ὁμαλόν )............ x x 1t
IV. Mol tendu (μαλακὸν ἔντονον )............... _- X - -
V. Mol diatone (μαλακὸν διάτονον )............. — x -1-0X 8 -2 0 9 7
VI. Chromatique syntone (χρῶμα σύντονον )...... 22 X T -a
VII. Chromatique mol ( χρῶμα μαλακόν ).......... x1 x
VIII. Enharmonique (ἐναρμόνιον)............ x 2x
Les figures simples donnent en nombres entiers les longueurs des cordes de chaque genre; Fermat a deja plus haut indiqué des corrections pour les figures simples suivantes:

Fol. 165. Mol diatone.- Fol. 165vo, fig. 1. Chromatique mol. - Ibid., fig. 2. Enharmonique. - Fol. 183vo. Mol tendu.

Les figures composées donnent en nombres entiers les longueurs des cordes de deux genres comparés l'un à l'autre. Fermat a déjà touché plus haut (fol. 184vo) la comparaison du mol tendu et du diatone égal et (fol. 185) celle du mol tendu et du syntone diatone. Il reprend maintenant l'exposé du système de ses corrections sur la premiere figure composée de Manuel Bryenne (syntone diatone et diatone égal) et sur la suivante (mol tendul et diatone égal), qu'il avait déjà corrigée. In H': πη.
In I : π.
In π : η.
In ρ : η.
In σ: η.
In recta δν : ἐπὶ μδ.
In recta γβ nihil in hac figura poni debet quia lichanos diatoni aequalis et lichanos diatoni syntoni sunt aequales.
Figura 3a capitis 10i[364],
Supra semicirculum ABC, κοινὸν τετράχορδον τοῦ μαλακοῦ ἐντόνου γένους καὶ τοῦ διατόνου ὀμαλοῦ
In rectâ ηε : ἐπὶ κζ.
In rectâ εf : ἐπὶ ζ.
In rectâ fg : : ἐπὶ η.
In rectâ op : ἐπὶ ια.
In rectâ pq : ἐπὶ ι.
In rectâ q χ : ἐπὶ θ.
In Z : ,ατμδ.
In R : ,ασϟς.
In M : ,αρλδ.
In K : ,αη.
In τ : μη.
In υ : ρξβ.
In φ : ρκς.
In H: ,ασλβ.
In l : ,αρκ.
In π : ριβ.
In ρ : ριβ.
In ς : ριβ.
In recta δυ : ἐπὶ ιθ.
In recta γβ : ἐπὶ π. Eadem methodo in reliquis procedemus, sed, ne figuram integram construere cogamur, deinceps errata tantum indicabimus et restituemus, aut quæ desunt supplebimus. Quod ut commodius fiat, sciendum perpetuâ et uniformi methodo quid valeant aut indicent singuli characteres. Rectæ ηε, εf, fg denotant proportiones chordarum unius ex tetrachordis. Characteres Z, R, M, K denotant terminos harum proportionum. Characteres τ, υ, φ differentias horum terminorum. Rectae op, pq, qχ proportiones chordarum alterius ex tetrachordis. Characteres Z, H, I, K terminos harum proportionum ; primum quippe et ultimum terminum duo tetrachorda communem habent. Characteres π, ρ, σ differentias horum terminorum. Denique recta δν indicat proportionem parhypates prioris et posterioris tetrachordi. Et recta γβ proportiones hypates [365] prioris et posterioris tetrachordi. In 4ª figura ejusdem capitis [366] desunt duo numeri ita supplendi : In H : ͵ασξ. In I : ͵αρκ. In 3ª figurâ cap. 11i, ita corrige [367] In recta ηε : ἐπὶ κ. In 4ª figurâ ejusdem capitis, ita corrige [368] : Numerus K : σνβ. Desunt numeri H et I, ita supplendi : In H : τιε. In I : σπ. Figura 5a ita restitui debet, corruptissima enim est in manuscripto [369] : In recta Y~: i\ z. In rect. Ef: i.i 0. In recta fg: ii (. In recta op: 'iA xU In rectaipq: i.i (. In recta yy: i. In Z ': /0. In i: oa-. In I': 7,c. In u: x8. In 5: 7. In. In recta tlv' it. In rectu ^ 'S: ~:. In figura 3a cap. 12i, desunt aut corrupti sunt termini proportionum ita supplendi [370] In R Z:. In A:C o. In I1K: F. In I1K: F. In 1: cz. Emenclandce etiam horumn differentia In u: xa. In1: 'y. In,:: et -: reponen(dum x; sunt enirn hai tres differentiha a'quales. In figura 4 ejusdem capitis [371] eadem opus est emendatione: In Z x'Y. In 1?: o6. In l: U3. In K:' n H': u4E. In I: uuL. Similiter In ~: x8. In U'. In u: 0 p. In o:,. In 7: ~ 'Ky. In p v-~. In s: L'. In figura 5a ejusdem cap. ita corrigendum est [372]: in Z:, Su. In R:,Pv. In Mt:,?v,, In K:,xojuL. I8848. In 1:,fto0. In I:,PO. In: pi^. In U p:. In u:?~~. In i: n. In p: c4. In s: cXæ. In recta ov: rdi71 '. Sed et in textu, ea(lem pagina, lin. 5a, loco i=.~vvYEvxoEo:x:Tcp, reponenduom LctEsvv-v,1Jxomroo'cp. Eadem emendatio in lin. 22a ejusdein paginoa fieri debet. In figura (>a ejusdem capitis, corrige[373] In T:,aB zS. In K-: 1Tc7. In x:-,:,. In re: 7Y]. In figura 3a cap. 3 [374]: In recta op: EtivSixgTOT;. In figura 4a' ejusdem cap. ita corrigendum [375] In Z:,caTc. InR:,ocx. In M: atpi. In K:,c. In 1:,aC0po~. In I: oau. In.In u. In=o-?-v. In T: p~. In p: os. In o' p. Eademn pagin:, lin. 9I, delenda vox y-t-,T-, et etiam in li n. penult. In fig. 5a ejusdem cap. [376]: In K:,.7T. In 0: T';. In fig. Ga ejusdelm cap. [377] In II: IU. In I. In fig. 7' ejusdem cap. [378] In rectai 7 -: i- ': x. In?:,^oa. In figura 3a cap. i4f [379]: In T: xI. In C: x6. In fig. 4" ejusdem cap. [380]: In rectâ op: ir. r~. In rectâ pq: Ti L. In Z:, ^ao. In K: oJXq. In Η : ,αλε. In Ι : ϡκ. In τ : κδ. In π : ξθ. In ρ : ριε. In figurâ 5a ejusdem cap., ita corrige [381]: In Ζ : ,ερνβ. In R : ,εμ. In M : ,δωλ. In K : ,γωξδ. In H : ,δϡξη. In I : ,δτμζ. In τ : ριβ. In υ : σι. In φ : ϡξς . In π : ρπδ. In ρ : χκα. In σ : υπγ. In figura 6a ejusdem cap. [382]: In τ: ρξη. In υ :τιε. In φ : ,αυμθ. In π : τξη. In figura 7a ejusdem cap. [383] In recta qχ:ἐπίεκτος. In Z : ,ηζς . In R : ,Ζϡκ. In M : ,ζφϟ In π : τξη. In figura ultima ejusdem cap. ita corrigendum [384]: In Z: ἄ,βωπ. In R : ἄ,βχ. In M : ἄ,βοε. In K : ,θχξ. In H : ἄ,βυκ. In I : ἄ,αφϟβ. In τ : σπ. In υ : φκε. . In φ : ,βυιε. In π : υξ. In ρ : ωκη. In ς : ,αϡλβ. Fallitur Bryennius linea 1a hujus paginæ ; ubi enim scribit, ἐπιεβδομηκοστῷ λόγῳ, emendandum ἐπιεξηκοστοεννάτῳ. Eadem emendatio et in linea antepenultima ejusdem capitis fieri debet [385]. ldeoque in recta δν : reponendum ἐπἰ ξθ. Proportio enim composita ex sesquivigesima tertia et sesquiquarta superat compositam ex sesquidecima quarta et sesquiquinta, non proportione sesquiseptuagesima, ut vult hic author, sed sesquisexagesima nona. In figura 3a, cap. ult. [386] In H : ψδ In recta γβ : ἐπιογδοηκοστός. In figura 4a ejusdem cap. [387]: In recta qχ : ἐπιέννατος. In recta δν : ἐπογδοηκοστός In π : μη. In ρ : π. In ς : ξδ. In figura 5a ejusdem cap. [388]: In recta fg: ἐπιογδοος. In Z: ,αψϟβ. In R: ,αψκη. In M : ,αφιβ. In K : ,ατμδ. In H : ,αψα. In I : ,αφιβ. In τ : ξδ. In υ : σις. In φ : ρξη. In π : ϟα. In ρ : ρπθ. In ς : ρξη. In figura 6a ejusdem cap. [389] In R : ,ερκ. In π : σογ. In textu hujus paginæ, lin. 12, loco verbi ἐπιτριακοστῷ, legendum : ἐπιτριακοσιοστῷ [390]. In figura 7a ejusdem cap. [391]: In K : ,βριβ.
In τ : ρκη.
In υ : σκδ.
In φ : τνβ.
In ρ : σϟζ. In figura 8a ejusdem cap. [392]
In H : ,ηφε.
In I : ,ζφξ.
In τ : τκ.
In ς : ωμ.
In hac pagina, lin. 1a loco verbi ἐπιεικοστοτρίτῳ, legendum ἐπιεξηκοστοτρίτῳ [393]. In figura ultima ejusdem capitis [394]:
In H : ,εφπθ.
In I: ,δϡξη. Possunt in his omnibus figuris notari etiam differentiæ terminorum R et H, et terminorum M et I ex altera videlicet parte rectarum εp et fq. Quod in quibusdam figuris fecit author, imo videtur in omnibus fecisse, quia integræ ad nos non pervenerunt. Hoc autem in figuris adjicere est in promptu. Videtur etiam author sunmmam numerorum τ, υ, φ, et summam numerorum π, ρ, σ, extra figuram e regione ipsorum collocasse, quodetiam in omnibus figuris restituere facillimum est. Figuræ simplices horum capitum ex restitutis et emendatis superius capitis primi figuris facillime restituentur, eædem enim sunt, quas initio horum capitum author repetit.

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.








VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.




LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.
(Leçons des Varia = Va, pages 12 a 43.)


P.3. ligne 5 Appollonium (aussi 9) * 10 Appolloniis

P.4. 5 à 11 = Co (Commandin) fol. 162 recto, ligne 8 en remontant, à fol. 162 verso, ligne 2. La ponctuation de Co a et conservée. * 7/8 spacium Co. * 17 | Propositio I. en vedette (Va, 13). * 22. Les figures des Varia ne sont pas numerotées; les renvois aux figures ont été ajoutés au texte entre parenthèses.

P.5. 8 quameunque

P.6. 6 cum (aussi 13, 14 et 25) * 15 | II. Propositio. en vedette (Va, 14) * 23 rectang.

P.7. Fig. 3. La figure comporte une seconde droite marquee BAD et menée par le point A de l'autre côté de CE; de même, la ligne DE est double. * 3 cum * directum] ajoutez comprehendentes spatium datum (cf. p. 9, 8). * 9 i æquale (Va, i5)

P.8. 6 eundem * 16 cum * 27 VR]VI

P.9. 7 cum (aussi 22) * 11 III. Propositio. en vedette

P.10. 6 I habet (Va, I6) * 7 Cum

P.11. 2 priore] le renvoi est fait à la prop. 1, fig. 2. * secunda]2. * 7 tum après sensus]tam * 9 IV. Propositio. en vedette * 15 i describatur (Va, i7) * 21 GE1GD * propositionis] positionis

P.12. 3 vel Et sub AB * 7 cum * 10 priore]prima (le renoi est fait a prop. 2, fig. 4) * 18 on voudrait ajouter sed ut BA ad AC, ita HA ad GA; erit igitur ut HA ad GA. ita AD ad AI,

P.13. 2 secundo]2. * secundue]2. * posueramus]perseveramus * 6 Propositio V. en vedette * 11 punctum(Va,i8) * FEG]EFG * 15/16 similes ergo trianguli * 17 Cum * 21 occurrente

P.14. 5 Propositio VI. en vedette * 9 I cui (Va, 19)

P.15. 5 cum * 6 secundo]2. (aussi 13) * 15 VII. Propositio. en vedette

P.16. 7 | aio (Va, 20) * 8 cum (au.ssi 10 et Cum '12) * 11 synthesim * 20/21 procucatur * 21 Centro D] ajoutez, intervallo DE,

P.17. 3 cum * 4 VIII. Propositio. en vedette * 9 ductæ * 10 1 et (Va, 21)

P. 18. 3 demonstratis * 4 A et B (cZ corriger) * 10 ut H]inH * 14 Appollonii * 20 secunda]22. * 21 interdum etc.] voir p. 4, 9/10 * 22 prima] I

P. 19. 4 similiter etc.] voir p. 4, 9/'10 - 11/12 = Co. i62a', 1. 4 a 6 * 16 cum * '18 PROPOSITIO. II. (Va, 22) * 19/21 Co. I62'~, 1. 6 a 8 * 23 Euclide, III, 33 * 25/27 = Co. I62v0, 1. 8 a io * 25 spacii Co. * positione et magnitudine basis

P. 20. 1 Element. = Euclice, I, 4o * 4/6 =Co. 162v~, 1. I a i 4 * 22 Sulper (Va, 23) * 24 cum

P. 21. 2 cum (aussi 4) * Fig. I8. Les droites CN, FO ne sont pas tracees. * 11/15 = Co. 62. 4, 1/. a i9 * 11 quodam omis

P. 22. 1 spelcie (Va, 24) - 3 cum * S dimissis.

P. 23. 19 ra ]tionem (Va, 25)

P. 24. 4/8= Co. 16'2v., 1. 19 'd 25 * 4 quotcumque Co. - 7 ducra Co. * reliquis Co. reliqua Va. * 10 VI] sextee * Voir, pour le renvoi l'lIsagoge dans la Note, la page 93.

P. 25. 4 AB, AC] AC, AB * Fig. 22. Les Varia donnent deux figures; dans la seconde, qui n'a pas 6te reproduite, toutes les lignes sont a linterieur du triangle ABC, sur les c6t6s duquel l'ordre des points est le suivant: ADRLBKOVZIEA. * 18 cum (aussi 19) * 19/20 VE, MIO] MO, VE

P. 26. 9 cum * 11IVE (Va, 26) - 20 perallelas * 24 porrigendas

P. 27. 4/8 = Co. I62,~, 1. 25 a 3o0 6 spacium Co. * 7 œqualis sit Co. sit aqualis Va. * 8 spacio Co. * 21 cum * Voir, pour le renvoi a l'Isagoge dans la Note, la page 102.

P. 28. 4let (Va, 27) * Fig. 23. Les Varia donnent deux figures diffdrant seulement par l'ordre des points: AB et GCDEF dans la premiere (supprimee); BA et DCEGF dans la seconde. * 8 et 20 cumi

P. 29. (Va, 28) * 3/5 = Co. i62v~, 1. 32 a derniere * 3 sunt Co. * 4 spacio Co.

P. 30. 3 cum * 121Nam (Va, 29) * 16 per quartam secundi (Euclide, II, 4) * Voir, pour le renvoi a l'vagoge dans la Note 2, la page 99.

P. 31. 3 AD quadrat. - 3/4 quartam propositionem 2' (Euclicle, II, 4) * 9 datam] datum * 191NC (Va, 3o) - 23/24 Co. (162vo, 1. derniere i i63, 1. i) a seulement: si si/t in proportione data vel rectce linece vel circumferentice;

P. 32. 3 rectos * 7 ut R, quadratum ad S, et ita * 9 OVZ]NOZ

P. 33. 5 id est R, quadratum ad S, quadratum, ita AN, quad. ad VB, Quad. * 9 (Fa, 3i) 110/11 = Co. i63, 1. I a 7. * 12 fit Co sit Va. * 13 et om. Va. * 14 contingere Co.

P. 34. 7 latitudinem rectam AP (a corriger) *- 17 rectangulum (Va, 32) - 21 AB in BO] AB, in AO * 22 æquatur

P. 35. 4 rerectangulum * deficiens in figura - 10/12 = Co. i63, 1. 7 aTo * 11 major Co. -* 12 datam Co. datum Va. * 13 BI]IB (à corriger)

P. 36. 5ita]ut * 7 VNB (la pre2mi7e fois)] NVB * Sed (Va, 33) * 8 cum * 11 sint * 13 utrinque * 21 datum

P. 37. 9/10 = Co. i63, 1. 0o a 13 * 9 quotcumque Co. quotcunque Va. * 10 spacio Co. * 14dico (Va, 34) * 20 cum

P. 38. 2 utrinque (aussi 12 et 17) * 5 Centro C]centro E (sur la figutre des Varia, le centre est effectivement E) * 6 CA]EA * 7/8 eandenm * 10 et 12 cum

P. 39. 4 CE]AE *- 81Si (Va, 35) * 12 in I. 2. et 3. (de inmine, i. A. 3. sur les figures 37 et 38)

P. 40. 3 in i. - 4 in 2. - in 3 - 6 in. et in 3. figura - 7 et 14 et 16 utrinque * 7 illinc]illi * 14 In 2. - 16 in i. * 20 quacunque * 21 (Va, 36) * in i. figura

P. 41. 1/2 secunda et tertia * 3 In i. * CN]EN - 6 AD (la premiere fois)] AB * 31 PRIMA]I.

P. 42. 5 spaltio (Va, 37) * 8 _Equetur] Arguetur - 25 At] ut

P. 43. 14|et ad (Va, 38) *- Dl]p. e. OM, DM * g9 NM]DNM * Fig. 41. Les Varia donnent ici trois figures: la premiere a ete reproduite plus loin (fig. 42); elle est accompagnee de la legende (( AD4. pars AB2.-+- E. ) c. a. d. AD = ( AB -+ AE); la seeonde a pour legende ( AD4. pars AB + E. ) (lisez encore AE au lieu de E) et ne diffrre de la troisieme (fig. 4I) qu'en ce que le point B est entre le point E et le point N de droite; la legende de la troisieme est (( AD4. pars AB + AE. ) * 21 mquentur

P. 44. 8 BM]EM * 12 Q]Z (sur la figure 43, la lettre Z est inscrite en delors pour representer le plan donne Z) -* 15 QI]ZI

P. 45. 1 QR]ZR * 4 QO]ZO * QR]ZR * Gl6plano (Va, 39) * 15 cum * 23 utrinque * 28 secundo]2. * 31 DY]DI

P. 46. 2 quadrata ta * 6 VI]QI * 10 probandum * 141et (Fa, 4o) * 16 quodlibet] quotlibet (a corriger)

P. 47. 2 sexties * 3 D]B * 9 recta assignata * Fig-. 45. La lettre O manque. * 16 conditionata * 181sextans (Va, 41)

P. 48. 2/6 Co. 163, 1. i3 a i8.

P. 49. 6 hypotesi * Fig. 47. La lettre O manque. *- 121LA (Vat, 42) - 13/14 propositionem tertiam Appollonii triangulum EOB * 15I utrinque (atssi 21, 23, 26) * 22 auferetur - 25 sive]sine

P. 50. 1 IAO]IOA * quadratis]quadrato * 3 Ccasus * 5/10 = Co. i63, 1. I8 a 24 - 12 propos. 157. libri septimi (cf. Pappus, 6d. Hlultsch, p. 910-913) *- 15 jusqu'a P. 51, 15 = Co. 26ov i a 261 * 17 quodeunque

P. 51. 4/5 sunt... propterea] Co. disait: et angulus ad A utrisque communis, erit et reliquus reliquo œqualis et triangulum triangulo simile: quare, cum sit ut FA ad AL ita EA ad AB, erit * 7 ex (apr7s quadratis) Co. onz. ['a. -* 10 qualdrato (Va, 43) - 11 EAL]Co. caoute ut demonstravimus * 15 FG Co. EG Va. * 17/19= Co. 163, 1. 24 a 27 *- 19 eandem


CONTACTS SPHERIQUES.
(Leçons des Varia = Va., pages 74 a 88.)

P. 52. 7 extitit * 10 qua * 17 elementis - Euclide XI,,2 * 18 pers I picuun (Vyc, 75) * 20 dat]dato * 21 cum

P. 53. 6 ACD] CAD * Fig. 49. Le triangle NOM n'est pas figure; le point N est marque entre A et O. * 13 et '1 cum

P. 54. 11 MEON]NEOM -* 14 igiltur (Va, 76) * 1.8 cum

P. 55. 2 cum

P. 56. 5 cum * 12 Appollonio * 16 (Va, 77) * F. i 52: ne vient qu'apres la fig. 53 et au bas de la page Va, 77.

P. 57. 10 inclinationem (Va, 78)

P. 58. 4 cum * Fig. 54. Les points I, H ne sont pas marqu6s. * 14 (Va, 79) * 19 ERCAJERCH (aissi 20)

P. 59. 3 cum (aussi 4, 5, 14, 19) * 6 etiam perpend. ad

P. 60. 1 (Va, 8o) 7et 10 cum

P. 61. 1 LEMMA I. e vecdette * 3 ECA]ECB * elementis = Elclide, III, 36 - Fig. 5. Des perpendiculaires AN, CM sont abaissees des points A, C sur l'axe BD. * 8 converti (fa, 8S) * 9 cum * 12 Lemma II. en vedette * 16 0, L, E, D]OELD

P. 62. Fig. 58. Des perpendiculaires ON, LI, EF, DB sont abaiss6es des points 0, L, E, D sur laxe AP. * 61 Lemma III en vedette (Va, 82)

P. 63. 7 sphrericam semble superflau * 15 cumr (aussi 17, 31) * 26 LEMMA IV en vedette * 30 nam secetur sphera ad planum * 32 planum (Vat, 83)

P. 64. 1 Habemus]habens * 7 Lemma V en vedette * 9 plano]puncto * FGHI] FHI * Fig. 61. La lettre M n'est pas inscrite. * 13 B]BI * 16 superficiem (Va, 84)

P. 65. 6 M]H *- 8 IFH]DFH * 9 PFM (les rleux fois)]PFII * 11 FM] FH * 22 exequemur * 30/31 per 2. pro blema ( Va, 85)

P. 66. 3 cum

P. 67. 8 ex 3. lemmate * 9 (Pa, 86) * 14 fiet

P. 68. 5 VIII]octavum * 6 V]quinti - III]tertio * 8 (Va, 87) * 12 II1]3. *- eto/m. - 17 Une figure, qui a et6 supprim6e, repr6sente un cercle inscrit dans un angle ABC et renfermant deux cercles D, E qui sont tangents interieurement au premier.

P. 69. 1 (Va, 88) * 4 sexto]VI. * 8 Une figure repr6sente quatre cercles A, B, C, D tangents interieurement a un cinquieme * 15 sphæricus] lire sphaericis (?)


SOLUTION DU PROBLEME D'ETIENNE PASCAL.
P = Texte d'apres Bossut, OEuvres de Pascal, i779, Tome IV, pages 450 à 454.
F= Autographe de Fermat, Bibl. Nat. tmprimes, Reserve 848.

P. 70. 2 duio de Paschal F (P ajoute att titre. codem autore Fermat). * 3 de Paschal F *X hoc problema P, o0M. ' (C sllppris7er) * Fig,. 65. Les figures jointes à l'autographie ne sont pas de la main (C la seo-et' danls le text'e, cls Ittrces desilgant les points so/it e/I mzitnsclle (sauf B et lI) ct sis2monitees cd'L trait h7o'ioZtonctl.

P. 71. 1 AF]fa F (aussi 2) * IF]fi F (,aussi 3) - 9 cumr F cum P * '12 IB] Bi -f * 16 duplum ] diidium ] i F (pellt-citr fkaut-il lile utriuscqu dimidium triangulum) * 21 C0] oc F 2 i triangulo AFC] ajoatez æc 1F: isosceli

P. 72. 3 cum F *- 4 rccta F recla P) * prima] 6 P, om. F * B ED]de F * 6 igitur est ut rectangculum itIE ad F * 7 ad idem rectanguhlm AC F * 10 EI] He F * 18 non] nec I - 19 facillum-e F * 20 sinda e sptimna JP * autem cst en in terlignle et sedl rarce ava/at triangulum F * Fig. 66. La droite FM est tracde sUr la filgare de d Bossut. * 22 utrinque FP * et]licet F * 23 variabit]variet F

P. 73. 1 ibit]erit F * 2 de]ex F * 3 colncliudet F 9 cum F cuim P * 15 varians proportionem si P *r 20 place otl] F ajolte ic.oi'co; vS Dominio (les deix fois)]dTio de F * 22 Baliani P Galilawi F * 23 Dominus]dilus de F * 25 expectamus P * 29 ac difrereni;e F

P. 74. 8 Baliani P Galilæi F * 11 cum r F


DEUX PORISMES.
P Texte de Bossut des OEuvres de Pascal 1 79, Tome IV, p. 4J9 a 4530
F - Autographe de Fermat. Bibl. Nat. Imprimés. Réserve 848.

Nota. -- Les figures jointes a l'autographe sont de la main de Fermat et semblables à celles qu'a reproduites Bossut: au nombre do trois correspondant a noire fig. 67 et avec la legende: AJd porisnma i "; au nombre de deux pour norœ fig. 68 avec la 1egende: -lId porisina 2m11 et avec la note: irctilTos non c0Adimp7levim1ts, licet proposilio told rcirczllneren7tid locum habeat. (Dans la figure non reproduite pour le second porisme, les points V et O sont sur les prolongements du diametre AC.) Los lettres des figures sont en minuscule, sauf A, B et Il; dans le texte, elles sont surmontees d'un trait horizontal; au lieu de( V, que nous avons adopté d'apres l'usage des Vrica, ii faucdrait partout lire U, comme a fait Bossut; au contraire, la letire Y correspond i un v minuscule de Fermat.

P. 74. 13 F /eportepas de titre geteral, P r aoute autore Petro Fermat. * 14 i11l" porisma F, porisma primum P * 1b ABE]ABd F * quaerantur F

P.75. 9 O]p F (par erreur) * 12 NII]ni F (par erretur) * 14 repraesentabit F * AB in D]A Bd F (sUpprimez dlone/ sub aprbs rectangulo) * 15 2’"I’ porisma F, porisma segundum P * ABCD] ABcp F (e/n d(saccord næc lat figre) * 22 quadrupla FP

P. 76. 1 F ajouet et avant sumptâ. * 5 ND]UD P nd F


PORISMES D’EUCLIDE.
(Leçons des Faria -= a, pages 1I6 a 119.)

P. 76. 14. Euclideorum * 16 Pappus (voir éd. Hultsch, p. 636, 1. 18 a 30) * 17 cùm * 20 edax abolere vetustas (hedistiche d’Ovide, Jetam. XV, 872 * 24 Willebrordus * 26 διορισμένης ;

P. 77. 3/4 Euclidaeorum * 5 Paclpups, p. 648, 1. I9 20o; traduction de Commandin, I’~ 16o, 1. o10 i r t11/10 Firgile, Eneide, II, 589-590 * 13 sydus *- 14 abscondamus * 16 dumtaxat * 17 quandocunque

P. 78. 4 (Va, I 7) Videatur figura porismatis i. est rtjout aul-dessous de Porisma primum (les figures de cet opuscule sont gravees sur les Planches a la fin du Volume des Varia). * Fig. 69. La m6me figure comporte trois positions du point V, entre N et 0, entre 0 et E, et entre E et F; comparez la fig. 70 et le texte, p. 79, 6 a 11. * Ligne 4 de la Note. Boltillaul a ecrit Cavallerio.

P. 79. 5 Videatur figura porismatis 2. ajoite’ au-dlessous; la meme addition, saul’ les chiffres respectlrfs 3., 4., 5., cst faite acvant les eonclcs des porisrzes suivants, 79, 12; 80, 8; 81, 9. * 13/14 utcunque

P. 80. 3 AO]AN * 8 (-a, 118) * Fig. 72. Une lettre 0 est inscrite au même point que la leltre II.

P. 81. 10 utcunque -* 1 juncta AZ fiat]peut-ctre junctwe AZ fiat * 1’) IIN]IIC * 20 Pa1pplts, p. 65o, 1. IO a II.

P. 82. 4 HN]HIC * EHN]EHC * 9 Papptus, p. 652, 1. 2 * 14 Cum * 16) cum * ’191 Pappus (a, 119). Voier6d. Hultsch, p. 652, 1. 3 a 4 * 20 quinti]5 *- 21 RAC]RAB

P. 83. 3 quinti]5 *- 6 Cum * ipsi]ipsa * 7/9= Conmmandin, f I60o, 1. 1o a I3. * 10 et 17 cum 10/11 authorem * 12 Pcappus, p. 648, 1. 8S a 2: 7: πορίσματά ἐστιν Εὐκλείδου πολλοῖς κ. τ. ε.


PROPOSITION SUR LA PARABOLE.
(Leçons des Varia = Va, pages I44 a T45.)

P. 84. 5 quatuor]4. * 6 urtique - 7 in i. fig.

P. 85. 4 CM]CN - 12 ex 52. i. Apoll. x* 13 in 2. fig. * 14 quatuor]4. * 18 cum (aussi 20 et 23) * 20 d-entur]detur * 23 In 2. casu * 24 In 3. fig.

P. 86. 1 quatuor]4. (aussi 16) * 9 et 1b cum -* 12 per W6. 3. Apoll.

P. 87. 2 cum (aussi 5) * lautem (Va, 1 5) * 6 ex 29. 2. Apoll. * 11 M]N

LIEU A TROIS DROITES.
(Leçons de la copie ancienne, dans le manuscrit de la Nationale, fonds latin,
nouv. acq. n~ 2339, f~ I5.)

P. 87. 21 Sar la figure, les lettles cldsignlalt Ics points so/it en1 minuiscule; danls le texte,