Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814/Éléments - Livre 8
F. Peyrard, 1814 (tome 1), 1816 (tome 2).
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Proposition 1. Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si leurs extrêmes sont premiers entreux, ces nombres sont les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux.
Proposition 2. Trouver tant de nombres qu’on voudra, qui soient : les plus petits nombres successivement proportionnels dans une raison donnée.
Proposition 3. Si tant de nombres successivement proportionnels que l’on voudra, sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, leurs extrêmes sont premiers entr’eux.
Proposition 4. Tant de raisons qu’on voudra étant données, dans leurs plus petits nombres, trouver les plus petits nombres successivement proportionnels dans les raisons données.
Proposition 5. Les nombres plans ont entr’euxʼune raison composée des côtés.
Proposition 6. Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si lepremier ne mesure pas le second, aucun autre n’en mesure un autre.
Proposition 7. Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si le premier mesure le dernier, il mesurera le second.
Proposition 8. Si entre deux nombres tombent des nombres successivement proportionnels, il tombera autant de nombres moyens proportionnels entre deux autres nombres qui ont la même raison que les premiers, qu’il en tombe entre les deux premiers.
Proposition 9. Si deux nombres sont premiers entveux, et s’il tombe entreux des nombres successivement proportionnels, il tombera entre chacun de ces nombres et l’unité autant de nombres successivement propnrtionnels qu’il en tombe entre les deux premiers nombres.
Proposition 10. Si entre deux nombres et l’unité il tombe des mombres successivement proportionnels, il tombe entre les deux premiers nombres autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre chacun des premiers et l’unité.
Proposition 11. Entre deux nombres quarrés, il y a un nombre moyen proportionnel, et le quarré est au quarré en raison double de celle que le côté a avec le côté.
Proposition 12. Entre deux nombres cubes, il y a deux nombres moyens proportionnels, et le cube a avec le cube une raison triple de celle que le côté a avec le côté.
Proposition 13. Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si chacun de ces nombres se multipliant lui-même fait certains nombres, les nombres produits seront proportionnels ; et si les premiers nombres multipliant les nombres produits font certains nombres, ceux-ci seront encore proportionnels, et cela arrivera toujours aux derniers produits.
Proposition 14. Si un nombre quarré mesure un nombre quarré, le côté mesurera le côté ; et si le côté mesure le côté, le quarré mesurera le quarré.
Proposition 15. Si un nombre cube mesure un nombre cube, le côté : mesurera le côté ; et si le côté mesure le côté, le cube mesurera le cube.
Proposition 16. Si un nombre quarré ne mesure pas un nombre quarré, le côté ne mesurera pas le côté ; et si le côté ne mesure pas le côté, le quarré ne mesurera pas le quarré.
Proposition 17. Si un nombre cube ne mesure pas un nombre cube, le côté ne mesurera pas le côté ; et si le côté ne mesure pas le côté, le cube ne mesurera pas le cube.
Proposition 18. Entre deux nombres plans semblables, il y a un nombre moyen proportionnel, et le nombre plan a avec le nombre plan une raison double de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue.
Proposition 19. Entre deux nombres solides semblables il y a deux nombres moyens proportionnels ; et un nombre solide a avec un nombre solide semblable une raison triple de celle qu’un côté homologue a avec un céôté homologue.
Proposition 20. Si entre deux nombres il tombe un nombre mogen proportionnel, ces nombres seront des plans semblables.
Proposition 21. Si entre deux nombres il tombe deux nombres moyens proportionnels, ces nombres seront des solides semblables.
Proposition 22. Si trois nombres sont successivement proportionnels, et si le premier est un quarré, le troisième sera un quarré.
Proposition 23. Si quatre nombres sont successivement proportionnels, et si le premier est un cube, le quatrième sera un cube.
Proposition 24. Si deux nombres ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et si le premier est un quarré, le second sera un quarré.
Proposition 25. Si deux nombres ont entr’eux la même raison qu’un nombre cube a avec un nombre cube, et si le premier est un cube, le second sera aussi un cube.
Proposition 26. Les nombres qui sont des plans semblables ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré.
Proposition 27. Les nombres solides semblables ont entr’eux la même raison qu’un nombre cube a avec un nombre cube.