L’Encyclopédie/1re édition/GÉOMÉTRIE

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GÉOMÉTRIE, s. f. (Ordre encycl. Entend. Rais. Philosoph. ou Science, Science de la Nat. Mathémath. Mathémath. pures, Géométrie.) est la science des propriétés de l’étendue, en tant qu’on la considere comme simplement étendue & figurée.

Ce mot est formé de deux mots grecs, γῆ ou γαῖα, terre, & μέτρον, mesure ; & cette étymologie semble nous indiquer ce qui a donné naissance à la Géométrie : imparfaite & obscure dans son origine comme toutes les autres sciences, elle a commencé par une espece de tatonnement, par des mesures & des opérations grossieres, & s’est élevée peu-à-peu à ce degré d’exactitude & de sublimité où nous la voyons.

Histoire abregée de la Géométrie. Il y a apparence que la Géométrie, comme la plûpart des autres sciences, est née en Egypte, qui paroît avoir été le berceau des connoissances humaines, ou, pour parler plus exactement, qui est de tous les pays que nous connoissons, celui où les Sciences paroissent avoir été le plus anciennement cultivées. Selon Hérodote & Strabon, les Egyptiens ne pouvant reconnoître les bornes de leurs héritages confondues par les inondations du Nil, inventerent l’art de mesurer & de diviser les terres, afin de distinguer les leurs par la considération de la figure qu’elles avoient, & de la surface qu’elles pouvoient contenir. Telle fut, dit-on, la premiere aurore de la Géométrie. Josephe, historien zélé pour sa nation, en attribue l’invention aux Hébreux ; d’autres à Mercure. Que ces faits soient vrais ou non, il paroît certain que quand les hommes ont commencé à posséder des terres, & à vivre sous des lois différentes, ils n’ont pas été long-tems sans faire sur le terrein quelques opérations pour le mesurer, tant en longueur qu’en surface, en entier ou par parties ; & voilà la Géométrie dans son origine.

De l’Egypte elle passa en Grece, où on prétend que Thalès la porta. Il ne se contenta pas d’apprendre aux Grecs ce qu’il avoit reçû des Egyptiens ; il ajoûta à ce qu’il avoit appris, & enrichit cette science de plusieurs propositions. Après lui vint Pythagore, qui cultiva aussi la Géométrie avec succès, & à qui on attribue la fameuse proposition du quarré de l’hypothénuse. Voyez Hypothénuse. On prétend qu’il fut si ravi de cette découverte, qu’il sacrifia de joie cent bœufs aux Muses. Il y a apparence, dit un auteur moderne, que c’étoient des bœufs de cire ou de pâte ; car Pythagore défendoit de tuer les animaux, en conséquence de son système de la métempsycose, qui (pour un philosophe payen) n’étoit pas l’opinion du monde la plus absurde. Voyez Métempsycose. Mais il y a plus d’apparence encore que le fait n’est pas vrai ; ce qui dispense de l’expliquer. Après Pythagore, les philosophes & les écoles qu’ils formerent, continuerent à cultiver l’étude de la Géométrie. Plutarque nous apprend qu’Anaxagore de Clazomene s’occupa du problème de la quadrature du cercle dans la prison où il avoit été renfermé, & qu’il composa même un ouvrage sur ce sujet. Cet Anaxagore avoit été accusé d’impiété, pour avoir dit que les astres étoient matériels ; & il eût été condamné à mort, sans Periclès qui lui sauva la vie. On voit par cet exemple, s’il est permis de le dire en passant, que ce n’est pas d’aujourd’hui que les Philosophes sont persécutés pour avoir eu raison ; & que les prêtres grecs étoient aussi habiles que certains théologiens modernes, à ériger en articles de religion ce qui n’en étoit pas.

Platon qui donnoit à Anaxagore de grands éloges sur son habileté en Géométrie, en méritoit aussi beaucoup lui-même. On sait qu’il donna une solution très simple du problème de la duplication du cube. Voyez Duplication. On sait aussi que ce grand philosophe appelloit Dieu l’éternel géometre (idée vraiment juste & digne de l’Être suprème), & qu’il regardoit la Géomtérie comme si nécessaire à l’étude de la Philosophie, qu’il avoit écrit sur la porte de son école ces paroles mémorables, qu’aucun ignorant en Géométrie n’entre ici. Entre Anaxagore & Platon, on doit placer Hippocrate de Chio, qui mérite qu’on en fasse mention par sa fameuse quadrature de la lunule. Voyez Lunule. Feu M. Cramer, professeur de Philosophie à Genève, nous a donné dans les mémoires de l’académie des Sciences de Prusse pour l’année 1748, une très-bonne dissertation sur ce géometre : on y lit qu’Hippocrate dans un voyage qu’il fit à Athenes, ayant eu occasion d’écouter les philosophes, prit tant de goût pour la Géométrie, qu’il y fit des progrès admirables ; on ajoûte que cette étude développa son talent, & qu’il avoit pour tout le reste l’esprit lent & bouché ; ce qu’on raconte aussi de Clavius, bon géometre du seizieme siecle. Il n’y a rien d’étonnant à tout cela ; mais le comble de l’ineptie est d’en faire une regle. Voyez Géometre.

Euclide qui vivoit environ cinquante ans après Platon, & qu’il ne faut pas confondre avec Euclide de Megare contemporain de ce philosophe, recueillit ce que ses prédécesseurs avoient trouvé sur les élémens de Géométrie ; il en composa l’ouvrage que nous avons de lui, & que bien des modernes regardent comme le meilleur en ce genre. Dans ces élémens il ne considere que les propriétés de la ligne droite & du cercle, & celles des surfaces & des solides rectilignes ou circulaires ; ce n’est pas néanmoins que du tems d’Euclide il n’y eût d’autre courbe connue que le cercle ; les Géometres s’étoient déjà apperçus qu’en coupant un cone de différentes manieres, on formoit des courbes différentes du cercle, qu’ils nommerent sections coniques. Voy. Conique & Section. Les différentes propriétés de ces courbes, que plusieurs mathématiciens découvrirent successivement, furent recueillis en huit livres par Apollonius de Perge, qui vivoit environ 250 ans avant J. C. Voyez Apollonien. Ce fut lui, à ce qu’on prétend, qui donna aux trois sections coniques les noms qu’elles portent, de parabole, d’ellipse, & d’hyperbole, & dont on peut voir les raisons à leurs articles. A-peu-près en même tems qu’Apollonius, florissoit Archimede, dont nous avons de si beaux ouvrages sur la sphere & le cylindre, sur les conoïdes & les sphéroïdes, sur la quadrature du cercle qu’il trouva par une approximation très-simple & très-ingénieuse (Voyez Quadrature), & sur celle de la parabole qu’il détermina exactement. Nous avons aussi de lui un traité de la spirale, qui peut passer pour un chef-d’œuvre de sagacité & de pénétration. Les démonstrations qu’il donne dans cet ouvrage, quoique très-exactes, sont si difficiles à embrasser, qu’un savant mathématicien moderne, Bouillaud, avoue ne les avoir jamais bien entendues, & qu’un mathématicien de la plus grande force, notre illustre Viete, les a injustement soupçonnées de paralogisme, faute de les avoir bien comprises. Voyez la préface de l’analyse des infiniment petits de M. de l’Hôpital. Dans cette préface, qui est l’ouvrage de M. de Fontenelle, on a rapporté les deux passages de Bouillaud & de Viete, qui vérifient ce que nous avançons ici. On doit encore à Archimede d’autres écrits non moins admirables, qui ont rapport à la Méchanique plus qu’à la Géométrie, de æquiponderantibus, de insidentibus humido ; & quelques autres dont ce n’est pas ici le lieu de faire mention.

Nous ne parlons dans cette histoire que des Géometres dont il nous reste des écrits que le tems a épargnés ; car s’il falloit nommer tous ceux qui dans l’antiquité se sont distingués en Géométrie, la liste en seroit trop longue ; il faudroit faire mention d’Eudoxe de Cnide, d’Archytas de Tarente, de Philolaüs, d’Eratosthene, d’Aristarque de Samos, de Dinostrate si connu par sa quadratrice (Voyez Quadratrice), de Menechme son frere, disciple de Platon, des deux Aristées, l’ancien & le jeune, de Conon, de Thrasidée, de Nicotele, de Leon, de Theudius, d’Hermotime, de Nicomede, inventeur de la conchoïde (V. Conchoïde), & un peu plus jeune qu’Archimede & qu’Apollonius, & de plusieurs autres.

Les Grecs continuerent à cultiver la Philosophie, la Géométrie, & les Lettres, même après qu’ils eurent été subjugués par les Romains. La Géométrie & les Sciences en général, ne furent pas fort en honneur chez ce dernier peuple qui ne pensoit qu’à subjuguer & à gouverner le monde, & qui ne commença guere à cultiver l’éloquence même que vers la fin de la république. On a vû dans l’article Erudition avec quelle legereté Ciceron parle d’Archimede, qui pourtant ne lui étoit point inférieur ; peut-être même est-ce faire quelque tort à un génie aussi sublime qu’Archimede, de ne le placer qu’à côté d’un bel esprit, qui dans les matieres philosophiques qu’il a traitées, n’a guere fait qu’exposer en longs & beaux discours, les chimeres qu’avoient pensées les autres. On étoit si ignorant à Rome sur les Mathématiques, qu’on donnoit en général le nom de mathématiciens, comme on le voit dans Tacite, à tous ceux qui se mêloient de deviner, quoiqu’il y ait encore plus de distance des chimeres de la Divination & de l’Astrologie judiciaire aux Mathématiques, que de la pierre philosophale à la Chimie. Ce même Tacite, un des plus grands esprits qui ayent jamais écrit, nous donne par ses propres ouvrages une preuve de l’ignorance des Romains, dans les questions de Géométrie & d’Astronomie les plus élémentaires & les plus simples. Il dit dans la vie d’Agricola, en faisant la description de l’Angleterre, que vers l’extrémité septentrionale de cette ile, les grands jours d’été n’ont presque point de nuit ; & voici la raison qu’il en apporte : scilicet extrema & plana terrarum humili umbra non erigunt tenebras, infràque cœlum & sydera nox cadit. Nous n’entreprendrons point avec les commentateurs de Tacite, de donner un sens à ce qui n’en a point ; nous nous contenterons d’avoir montré par cet exemple, que la manie d’étaler un faux savoir & de parler de ce qu’on n’entend pas, est fort ancienne. Un traducteur de Tacite dit que cet historien regarde la Terre dans ce passage comme une sphere dont la base est environnée d’eau, &c. Nous ne savons ce que c’est que la base d’une sphere.

Si les Romains cultiverent peu la Géometrie dans les tems les plus florissans de la république, il n’est pas surprenant qu’ils l’ayent encore moins cultivée dans la décadence de l’empire. Il n’en fut pas de même des Grecs ; ils eurent depuis l’ere chrétienne même, & assez long-tems après la translation de l’empire, des géometres habiles. Ptolomée grand astronome & par conséquent grand géometre, car on ne peut être l’un sans l’autre, vivoit sous Marc-Aurele ; & on peut voir au mot Astronomie, les noms de plusieurs autres. Nous avons encore les ouvrages de Pappus d’Alexandrie, qui vivoit du tems de Théodose ; Eutocius Ascalonite, qui vivoit après lui vers l’an 540 de l’ere chrétienne, nous a donné un commentaire sur la mesure du cercle par Archimede. Proclus qui vivoit sous l’empire d’Anastase au cinquieme & sixieme siecles, démontra les théorèmes d’Euclide, & son commentaire sur cet auteur est parvenu jusqu’à nous. Ce Proclus est encore plus fameux par les miroirs (vrais ou supposés) dont il se servit, dit-on, pour brûler la flotte de Vitalien qui assiégeoit Constantinople. Voyez Ardent & Miroir. Entre Eutocius & Pappus, il y a apparence qu’on doit placer Dioclès, connu par sa cissoïde (Voyez Cissoïde), mais dont on ne connoît guere que le nom, car on ne sait pas précisément le tems où il a vécu.

L’ignorance profonde qui couvrit la surface de la Terre & sur-tout l’Occident, depuis la destruction de l’empire par les Barbares, nuisit à la Géométrie comme à toutes les autres connoissances ; on ne trouve plus guere ni chez les Latins, ni même chez les Grecs, d’hommes versés dans cette partie ; il y en eut seulement quelques-uns qu’on appelloit savans, parce qu’ils étoient moins ignorans que les autres, & quelques-uns de ceux-là, comme Gerbert, passerent pour magiciens ; mais s’ils eurent quelque connoissance des découvertes de leurs prédécesseurs, il n’y ajoûterent rien, du-moins quant à la Géométrie ; nous ne connoissons aucun théoreme important dont cette science leur soit redevable : c’étoit principalement par rapport à l’Astronomie qu’on étudioit alors le peu de Géométrie qu’on vouloit savoir, & c’étoit principalement par rapport au calendrier & au comput ecclésiastique qu’on étudioit l’Astronomie ; ainsi l’étude de la Géométrie n’étoit pas poussée fort loin. On peut voir au mot Astronomie, les noms des principaux mathématiciens des siecles d’ignorance. Il en est un que nous ne devons pas oublier ; c’est Vitellion savant polonois du treizieme siecle, dont nous avons un traité d’Optique très-estimable pour ce tems-là, & qui suppose des connoissances géométriques. Ce Vitellion nous rappelle l’arabe Alhazen, qui vivoit environ un siecle avant lui, & qui cultivoit aussi les Mathématiques avec succès. Les siecles d’ignorance chez les Chrétiens ont été les siecles de lumiere & de savoir chez les Arabes ; cette nation a produit depuis le 9e jusqu’au 14e siecle, des astronomes, des géometres, des géographes, des chimistes, &c. Il y a apparence qu’on doit aux Arabes les premiers élémens de l’Algebre : mais leurs ouvrages de Géométrie dont il est ici principalement question, ne sont point parvenus jusqu’à nous pour la plûpart, ou sont encore manuscrits. C’est sur une traduction arabe d’Apollonius qu’a été faite en 1661 l’édition du cinquieme, du sixieme & du septieme livre de cet auteur. Voyez Apollonien. Cette traduction étoit d’un géometre arabe nommé Abalphat, qui vivoit à la fin du dixieme siecle. Il n’y avoit peut-être pas alors parmi les Chrétiens un seul géometre qui fût en état d’entendre Apollonius ; il auroit fallu d’ailleurs pour le traduire savoir en même tems le grec & la Géométrie, ce qui n’est pas fort commun, même dans notre siecle.

A la renaissance des lettres, on se borna presque uniquement à traduire & à commenter les ouvrages de Géométrie des anciens ; & cette science fit d’ailleurs peu de progrès jusqu’à Descartes : ce grand homme publia en 1637 sa géométrie, & la commença par la solution d’un probleme où Pappus dit que les anciens mathématiciens étoient restés. Mais ce qui est plus précieux encore que la solution de ce problème, c’est l’instrument dont il se servit pour y parvenir, & qui ouvrit la route à la solution d’une infinité d’autres questions plus difficiles. Nous voulons parler de l’application de l’Algebre à la Géométrie ; application dont nous ferons sentir le mérite & l’usage dans la suite de cet article : c’étoit là le plus grand pas que la Géométrie eût fait depuis Archimede ; & c’est l’origine des progrès surprenans que cette science a faits dans la suite.

On doit à Descartes non-seulement l’application de l’Algebre à la Géométrie, mais les premiers essais de l’application de la Géométrie à la Physique, qui a été poussée si loin dans ces derniers tems. Ces essais qui se voyent principalement dans sa dioptrique, & dans quelques endroits de ses météores, faisoient dire à ce philosophe que toute sa physique n’étoit autre chose que Géométrie : elle n’en auroit valu que mieux si elle eût eu en effet cet avantage ; mais malheureusement la physique de Descartes consistoit plus en hypothèses qu’en calculs ; & l’Analyse a renversé depuis la plûpart de ces hypotheses. Ainsi la Géométrie qui doit tant à Descartes, est ce qui a nui le plus à sa physique. Mais ce grand homme n’en a pas moins la gloire d’avoir appliqué le premier avec quelque succès la Géométrie à la science de la nature ; comme il a le mérite d’avoir pensé le premier qu’il y avoit des lois du mouvement, quoiqu’il se soit trompé sur ces lois. Voyez Communication du mouvement.

Tandis que Descartes ouvroit dans la Géométrie une carriere nouvelle, d’autres mathématiciens s’y frayoient aussi des routes à d’autres égards, & préparoient, quoique foiblement, cette Géométrie de l’infini, qui à l’aide de l’Analyse, devoit faire dans la suite de si grands progrès. En 1635, deux ans avant la publication de la Géométrie de Descartes, Bonaventure Cavalérius, religieux italien de l’ordre des Jésuites, qui ne subsiste plus, avoit donné sa géométrie des indivisibles : dans cet ouvrage, il considere les plans comme formés par des suites infinies de lignes, qu’il appelle quantités indivisibles, & les solides par des suites infinies de plans ; & par ce moyen, il parvient à trouver la surface de certaines figures & la solidité de certains corps. Comme l’infini employé à la maniere de Cavalerius étoit alors nouveau en Géométrie, & que ce religieux craignoit des contradicteurs, il tâcha d’adoucir ce terme par celui d’indéfini, qui au fond ne signifioit en cette occasion que la même chose. Malgré cette espece de palliatif, il trouva beaucoup d’adversaires, mais il eut aussi des partisans ; ceux-ci en adoptant l’idée de Cavalérius la rendirent plus exacte, & substituerent aux lignes qui composoient les plans de Cavalerius, des parallélogrammes infiniment petits ; aux plans indivisibles de Cavalerius, des solides d’une épaisseur infiniment petite : ils considérerent les courbes comme des polygones d’une infinité de côtés, & parvinrent par ce moyen à trouver la surface de certains espaces curvilignes, la rectification de certaines courbes, la mesure de certains solides, les centres de gravité des uns & des autres : Grégoire de Saint-Vincent, & sur-tout Pascal, se distinguerent l’un & l’autre en ce genre ; le premier, dans son traité intitulé, quadratura circuli & hyperbolæ, 1647. où il mêla à quelques paralogismes de très-beaux théorèmes ; & le second, par son traité de la roulette ou cycloïde (V. Cycloïde), qui paroît avoir demandé les plus grands efforts d’esprit ; car on n’avoit point encore trouvé le moyen de rendre la Géométrie de l’infini beaucoup plus facile en y appliquant le calcul.

Cependant le moment de cette heureuse découverte approchoit ; Fermat imagina le premier la méthode des tangentes par les différences ; Barrow la perfectionna en imaginant son petit triangle différentiel, & en se servant du calcul analytique, pour découvrir le rapport des petits côtés de ce triangle, & par ce moyen la sous-tangente des courbes. Voyez Différentiel.

D’un autre côté on fit réflexion que les plans ou solides infiniment petits, dont les surfaces ou les solides pouvoient être supposés formés, croissoient ou décroissoient dans chaque surface ou solide, suivant différentes lois ; & qu’ainsi la recherche de la mesure de ces surfaces ou de ces solides se réduisoit à connoitre la somme d’une série ou suite infinie de quantités croissantes ou décroissantes. On s’appliqua donc à la recherche de la somme des suites ; c’est ce qu’on appella l’arithmétique des infinis ; on parvint à en sommer plusieurs, & on appliqua aux figures géométriques les résultats de cette méthode. Wallis, Mercator, Brouncker, Jacques Grégori, Huyghens, & quelques autres se signalerent en ce genre ; ils firent plus ; ils réduisirent certains espaces & certains arcs de courbes en séries convergentes, c’est-à-dire dont les termes alloient toûjours en diminuant ; & par-là ils donnerent le moyen de trouver la valeur de ces espaces & de ces arcs, sinon exactement, au-moins par approximation : car on approchoit d’autant plus de la vraie valeur, qu’on prenoit un plus grand nombre de termes de la suite ou série infinie qui l’exprimoit. Voyez Suite, Série, Approximation &c.

Tous les matériaux du calcul différentiel étoient prêts ; il ne restoit plus que le dernier pas à faire. M. Leibnitz publia le premier en 1684 les regles de ce calcul, que M. Newton avoit déjà trouvées de son côté : nous avons discuté au mot Différentiel, la question si Leibnitz peut être regardé comme inventeur. Les illustres freres Bernoulli trouverent les démonstrations des regles données par Leibnitz ; & Jean Bernoulli y ajoûta quelques années après, la méthode de différentier les quantités exponentielles. Voyez Exponentiel.

M. Newton n’a pas moins contribué au progrès de la Géométrie pure par deux autres ouvrages ; l’un est son traité de quadraturâ curvarum, où il enseigne la maniere de quarrer les courbes par le calcul intégral, qui est l’inverse du différentiel ; ou de réduire la quadrature des courbes, lorsque cela est possible, à celle d’autres courbes plus simples, principalement du cercle & de l’hyperbole : le second ouvrage est son enumeratio linearum tertii ordinis, où appliquant heureusement le calcul aux courbes dont l’équation est du 3e degré, il divise ces courbes en genres & especes, & en fait l’énumération. Voyez Courbe.

Mais ces écrits, quelque admirables qu’ils soient, ne sont rien, pour ainsi dire, en comparaison de l’immortel ouvrage du même auteur, intitulé, Philosophiæ naturalis principia mathematica, qu’on peut regarder comme l’application la plus étendue, la plus admirable, & la plus heureuse qui ait jamais été faite de la Géométrie à la Physique : ce livre est aujourd’hui trop connu pour que nous entrions dans un plus grand détail ; il a été l’époque d’une révolution dans la Physique : il a fait de cette science une science nouvelle, toute fondée sur l’observation, l’expérience, & le calcul. Voyez Newtonianisme, Gravitation, Attraction, &c. Nous ne parlons point de l’optique du même auteur, ouvrage non moins digne d’éloges, mais qui n’appartient point à cet article, ni de quelques autres écrits géométriques moins considérables, mais tous de la premiere force, tous brillans de sagacité & d’invention ; comme son analysis per æquationes numero terminorum infinitas ; son analysis per æquationum series, fluxiones & differentias ; la méthode des fluxions ; sa méthode différentielle, &c. Quand on considere ces monumens immortels du génie de leur auteur, & quand on songe que ce grand homme avoit fait à vingt-quatre ans ses principales découvertes, on est presque tenté de souscrire à ce que dit Pope, que la sagacité de Newton étonna les intelligences célestes, & qu’ils le regarderent comme un être moyen entre l’homme & elles : on est du-moins bien fondé à s’écrier, homo homini quid præstat ! qu’il y a de distance entre un homme & un autre !

L’édifice élevé par Newton à cette hauteur immense, n’étoit pourtant pas encore achevé ; le calcul intégral a été depuis extrèmement augmenté par MM. Bernoulli, Cotes, Maclaurin, &c. & par les mathématiciens qui sont venus après eux. Voyez Intégral. On a fait des applications encore plus subtiles, & si on l’ose dire, plus difficiles, plus heureuses & plus exactes de la Géométrie à la Physique. On a beaucoup ajoûté à ce que Newton avoit commencé sur le système du monde : c’est sur-tout quant à cette partie qu’on a corrigé & perfectionné son grand ouvrage des Principes mathématiques. La plupart des mathématiciens qui ont contribué à enrichir ainsi la Géométrie par leurs découvertes, & à l’appliquer à la Physique & à l’Astronomie, étant aujourd’hui vivans, & nous même ayant peut-être eu quelque part à ces travaux, nous laisserons à la postérité le soin de rendre à chacun la justice qu’il mérite : & nous terminerons ici cette petite histoire de la Géométrie ; ceux qui voudront s’en instruire plus à fond, pourront consulter les divers auteurs qui ont écrit sur ce sujet. Parmi ces auteurs il en est qui ne sont pas toûjours exacts, entr’autres Wallis, que sa partialité en faveur des Anglois, doit faire lire avec précaution, voy. Algebre. Mais nous croyons qu’on trouvera tout ce qu’on peut desirer sur ce sujet dans l’histoire des Mathématiques que prépare M. de Montucla, de l’académie royale des Sciences & des Belles-Lettres de Prusse, déjà connu par son histoire de la quadrature du cercle, publiée en 1754, & que nous avons citée au mot Duplication.

L’histoire abrégée que nous venons de donner est plus que suffisante dans un ouvrage tel que le nôtre, où nous devons principalement nous attacher à faire connoître les inventeurs, non les inventeurs en détail à qui la Géométrie doit quelques propositions particulieres & isolées, mais les esprits vraiment créateurs, les inventeurs en grand qui ont ouvert des routes, perfectionné l’instrument des découvertes, & imaginé des méthodes. Au reste en finissant cette histoire, nous ne pouvons nous dispenser de remarquer à l’honneur de notre nation, que si la Géométrie nouvelle est principalement dûe aux Anglois & aux Allemands, c’est aux François qu’on est redevable des deux grandes idées qui ont conduit à la trouver. On doit à Descartes l’application de l’Algebre à la Géométrie, sur laquelle le calcul différentiel est fondé ; & à Fermat, la premiere application du calcul aux quantités différentielles, pour trouver les tangentes : la Géométrie nouvelle n’est que cette derniere méthode généralisée. Si on ajoûte à cela ce que les François actuellement vivans ont fait en Géométrie, on conviendra peut-être que cette science ne doit pas moins à notre nation qu’aux autres.

Objet de la Géométrie. Nous prierons d’abord le lecteur de se rappeller ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Discours prélimin. Nous commençons par considérer les corps avec toutes leurs propriétés sensibles ; nous faisons ensuite peu-à-peu & par l’esprit la séparation & l’abstraction de ces différentes propriétés ; & nous en venons à considérer les corps comme des portions d’étendue pénétrables, divisibles, & figurées. Ainsi le corps géométrique n’est proprement qu’une portion d’étendue terminée en tout sens. Nous considérons d’abord & comme d’une vûe générale, cette portion d’étendue quant à ses trois dimensions ; mais ensuite, pour en déterminer plus facilement les propriétés, nous y considérons d’abord une seule dimension, c’est à-dire la longueur, puis deux dimensions, c’est-à-dire la surface, enfin les trois dimensions ensemble, c’est-à-dire la solidité : ainsi les propriétés des lignes, celles des surfaces & celles des solides sont l’objet & la division naturelle de la Géométrie.

C’est par une simple abstraction de l’esprit, qu’on considere les lignes comme sans largeur, & les surfaces comme sans profondeur : la Géométrie envisage donc les corps dans un état d’abstraction où ils ne sont pas réellement ; les vérités qu’elle découvre & qu’elle démontre sur les corps, sont donc des vérités de pure abstraction, des vérités hypothétiques ; mais ces vérités n’en sont pas moins utiles. Dans la nature, par exemple, il n’y a point de cercle parfait ; mais plus un cercle approchera de l’être, plus il approchera d’avoir exactement & rigoureusement les propriétés du cercle parfait que la Géométrie démontre ; & il peut en approcher assez exactement pour avoir toutes ces propriétés, sinon en rigueur, au moins à un degré suffisant pour notre usage.

On connoît en Géométrie plusieurs courbes qui s’approchent continuellement d’une ligne droite sans jamais la rencontrer, mais qui étant tracées sur le papier, se confondent sensiblement avec cette ligne droite au bout d’un assez petit espace, voyez Asymptote ; il en est de même des vérités géométriques. Elles sont en quelque maniere la limite, &, si on peut parler ainsi, l’asymptote des vérités physiques, le terme dont celles-ci peuvent approcher aussi près qu’on veut, sans jamais y arriver exactement. Mais si les théorèmes mathématiques n’ont pas exactement lieu dans la nature, ces théorèmes servent du-moins à trouver avec une précision suffisante pour la pratique, la distance inaccessible d’un lieu à un autre, la mesure d’une surface donnée, le toisé d’un solide ; à calculer le mouvement & la distance des astres ; à prédire les phénomenes célestes. Pour démontrer des vérités en toute rigueur, lorsqu’il est question de la figure des corps, on est obligé de considérer ces corps dans un état de perfection abstraite qu’ils n’ont pas réellement : en effet, si on ne s’assujettit pas, par exemple, à regarder le cercle comme partait, il faudra autant de théorèmes différens sur le cercle, qu’on imaginera de figures différentes plus ou moins approchantes du cercle parfait ; & ces figures elles-mêmes pourront être encore absolument hypothétiques & n’avoir point de modele existant dans la nature. Les lignes qu’on considere en Géométrie, ne sont ni parfaitement droites ni parfaitement courbes, les surfaces ne sont ni parfaitement planes ni parfaitement curvilignes : mais plus elles approcheront de l’être, plus elles approcheront d’avoir les propriétés qu’on démontre des lignes exactement droites ou courbes, des surfaces exactement planes ou curvilignes. Ces réflexions suffiront, ce me semble, pour répondre à deux especes de censeurs de la Géométrie : les uns, ce sont les Sceptiques, accusent les théoremes mathématiques de fausseté, comme supposant ce qui n’existe pas réellement, des lignes sans largeur, des surfaces sans profondeur ; les autres, ce sont les physiciens ignorans en Mathématique, regardent les vérités de Géométrie comme fondées sur des hypothèses inutiles, & comme des jeux d’esprit qui n’ont point d’application.

Division de la Géométrie. On peut diviser la Géométrie de différentes manieres :

1°. En élémentaire & en transcendante. La Géométrie élémentaire ne considere que les propriétés des lignes droites, des lignes circulaires, des figures & des solides les plus simples, c’est-à-dire des figures rectilignes ou circulaires, & des solides terminés par ces figures. Le cercle est la seule figure curviligne dont on parle dans les élémens de Géométrie ; la simplicité de sa description, la facilité avec laquelle les propriétés du cercle s’en déduisent, & la nécessité de se servir du cercle pour différentes opérations très-simples, comme pour élever une perpendiculaire, pour mesurer un angle, &c. toutes ces raisons ont déterminé à faire entrer le cercle & le cercle seul dans les élémens de Géométrie. Cependant quelques courbes, comme la parabole, ont une équation plus simple que celle du cercle ; d’autres, comme l’hyperbole équilatere, ont une équation aussi simple, V. Equation & Courbe : mais leur description est beaucoup moins facile que celle du cercle, & leurs propriétés moins aisées à déduire. On peut rapporter aussi à la Géométrie élémentaire la solution des problèmes du second degré par la ligne droite & par le cercle. Voyez Construction, Courbe, & Équation

La Géométrie transcendante est proprement celle qui a pour objet toutes les courbes différentes du cercle, comme les sections coniques & les courbes d’un genre plus élevé. Voyez Courbe.

Cette Géométrie s’occupe aussi de la solution des problèmes du troisieme & du quatrieme degré & des degrés supérieurs. Les premiers se résolvent, comme l’on sait, par le moyen de deux sections coniques, ou plus simplement & en général par le moyen d’un cercle & d’une parabole ; les autres se résolvent par des lignes du troisieme ordre & au-delà. V. Courbe, & les art. déjà cités. La partie de la Géométrie transcendante qui applique le calcul différentiel & intégral à la recherche des propriétés des courbes, est celle qu’on appelle plus proprement Géométrie transcendante, & qu’on pourroit nommer avec quelques auteurs modernes, Géométrie sublime, pour la distinguer non-seulement de la Géométrie élémentaire, mais de la Géométrie des courbes qui n’employe pas les calculs différentiel & intégral, & qui se borne ou à la synthèse des anciens, ou à la simple application de l’analyse ordinaire. Par-là on auroit trois divisions de la Géométrie ; Géométrie élémentaire ou des lignes droites & du cercle ; Géométrie transcendante ou des courbes ; & Géométrie sublime ou des nouveaux calculs.

2°. On divise aussi la Géométrie en ancienne & moderne. On entend par Géométrie ancienne, ou celle qui n’employe point le calcul analytique, ou celle qui employe le calcul analytique ordinaire, sans se servir des calculs différentiel & intégral ; & par Géométrie moderne, on entend ou celle qui employe l’analyse de Descartes dans la recherche des propriétés des courbes, ou celle qui se sert des nouveaux calculs. Ainsi la Géométrie, entant qu’elle se borne à l’analyse seule de Descartes, est ancienne ou moderne, suivant les rapports sous lesquels on la considere ; moderne par rapport à celle d’Apollonius & d’Archimede, qui n’employoient point le calcul ; ancienne, par rapport à la Géométrie que nous avons nommée sublime, que Leibnitz & Newton nous ont apprise, & que leurs successeurs ont perfectionnée.

Des élémens de Géométrie. On a donné au mot Élémens des Sciences, des principes qui s’appliquent naturellement aux élémens de Géométrie : on y a même traité des questions qui ont un rapport particulier à ces élémens ; par exemple, si on doit suivre dans les élémens d’une science l’ordre des inventeurs ; si on y doit préférer la facilité à la rigueur exacte, &c. c’est pourquoi nous renvoyons à l’article Élémens. Nous observons seulement que dans la liste d’élémens de Géométrie donnée par M. de la Chapelle, on a oublié ceux de M. Camus, de l’académie des Sciences, composés pour l’usage des ingénieurs, & qui méritent qu’on en fasse une mention honorable ; ainsi que la Géométrie de l’officier, de M. le Blond, un de nos collegues, & les élémens de Géométrie du même auteur. Ajoûtons ici quelques réflexions qui pourront n’être pas inutiles, sur la maniere de traites les élémens de Géométrie.

Nous observerons d’abord, & ceci est une remarque peu importante, mais utile, que la division ordinaire de la Géométrie élémentaire en Longimétrie, Planimétrie, & Stéreométrie, n’est point exacte, à parler à la rigueur, puisqu’on y mesure non-seulement des lignes droites, des plans, & des solides, mais aussi des lignes circulaires & des surfaces sphériques : mais nous ne pouvons qu’approuver la division naturelle de la Géométrie élémentaire en géométrie des lignes droites & des lignes circulaires, géométrie des surfaces, géométrie des solides.

On peut voir au mot Courbe, ce que nous pensons sur la meilleure définition possible de la ligne droite & de la ligne courbe. Quoique la ligne droite soit plus simple que la circulaire, cependant il est à propos de traiter de l’une & de l’autre, ensemble & non séparément, dans des élémens de Géométrie ; parce que les propriétés de la ligne circulaire sont d’une utilité infinie pour démontrer d’une maniere simple & facile ce qui regarde les lignes droites comparées entr’elles quant à leur position. La mesure d’un angle est un arc de cercle décrit du sommet de l’angle comme rayon. On a vû au mot Degré, pp. 761 & 762 du IV. vol. pourquoi le cercle est la mesure naturelle des angles. Cela vient de l’uniformité des parties & de la courbure du cercle ; & quand on dit que la mesure d’un angle est un arc de cercle décrit du sommet, cela signifie seulement que si deux angles sont égaux, les arcs décrits de leur sommet & du même rayon seront égaux : de même, quand on dit qu’un angle est double d’un autre, cela signifie seulement que l’arc décrit du sommet de l’un est double de l’arc décrit du sommet de l’autre : car l’angle n’étant, suivant sa définition, qu’une ouverture simple, & non pas une étendue, on ne peut pas dire proprement & abstraction faite de toute considération d’étendue, qu’un angle soit double d’un autre ; parce que cela ne se peut dire que d’une quantité comparée à une autre quantité homogene, & que l’ouverture de deux lignes n’ayant point de parties, n’est pas proprement une quantité. Quand on dit de même qu’un angle à la circonférence du cercle a pour mesure la moitié de l’arc compris entre ses côtés, cela signifie que cet angle est égal à un angle dont le sommet seroit au centre, & qui renfermeroit la moitié de cet arc ; & ainsi du reste.

Ces petites observations ne seront pas inutiles pour donner aux commençans des notions distinctes sur la mesure des angles, & pour leur faire sentir, ainsi que nous l’avons dit au mot Élémens, quel est le véritable sens qu’on doit donner à certaines façons de parler abrégées dont on se sert dans chaque science, & que les inventeurs ont imaginées pour éviter les circonlocutions.

La proposition très-simple sur la mesure des angles par un arc décrit de leur sommet, étant jointe au principe de la superposition, peut servir, si je ne me trompe, à démontrer toutes les propositions qui ont rapport à la Géométrie élémentaire des lignes. Le principe de la superposition n’est point, comme le disent quelques géometres modernes, un principe méchanique & grossier ; c’est un principe rigoureux, clair, simple, & tiré de la vraie nature de la chose. Quand on veut démontrer, par exemple, que deux triangles qui ont des bases égales & les angles à la base égaux, sont égaux en tout, on employe le principe de superposition avec succès : de l’égalité supposée des bases & des angles, on conclut avec raison que ces bases & ces angles appliqués les uns sur les autres, coïncideront ; ensuite de la coïncidence de ces parties, on conclut évidemment & par une conséquence nécessaire, la coïncidence du reste, & par conséquent l’égalité & la similitude parfaite des deux triangles : ainsi le principe de la superposition ne consiste pas à appliquer grossierement une figure sur une autre, pour en conclure l’égalité des deux, comme un ouvrier applique son pié sur une longueur pour la mesurer : mais ce principe consiste à imaginer une figure transportée sur une autre, & à conclure, 1°. de l’égalité supposée des parties données, la coïncidence de ces parties ; 2°. de cette coïncidence, la coïncidence du reste, & par conséquent l’égalité totale & la similitude parfaite des deux figures. On peut, par la même raison, employer le principe de la superposition à prouver que deux figures ne sont pas les mêmes. Au reste, par superposition j’entens ici non-seulement l’application d’une figure sur une autre, mais celle d’une partie, d’une figure sur une autre partie de la même figure, à dessein de les comparer entre elles ; & cette derniere maniere d’employer le principe de la superposition, est d’un usage infini & très-simple dans les élémens de Géométrie. Voyez Congruence.

Après avoir traité de la géométrie des lignes considérées par rapport à leur position, je crois qu’on doit traiter de la géométrie des lignes considérées quant au rapport qu’elles peuvent avoir entr’elles. Elle est toute fondée sur ce théorème qu’une ligne parallele à la base d’un triangle en coupe les côtés proportionnellement. Pour cela il suffit de montrer que si cette parallele passe par le point de milieu d’un des côtés, elle passera par le point de milieu de l’autre ; car on fera voir ensuite aisément que les parties coupées sont toûjours proportionnelles, quand la partie coupée sera commensurable à la ligne entiere ; & quand elle ne le sera pas, on démontrera la même proposition par la réduction à l’absurde, en faisant voir que le rapport ne peut être ni plus grand, ni plus petit, & qu’ainsi il est égal. Nous disons par la réduction à l’absurde, car on ne peut démontrer que de cette maniere, & non d’une maniere directe, la plûpart des propositions qui regardent les incommensurables. L’idée de l’infini entre au-moins implicitement dans la notion de ces sortes de quantités ; & comme nous n’avons qu’une idée négative de l’infini, c’est-à-dire que nous ne le concevons que par la négation du fini, on ne peut démontrer directement & à priori tout ce qui concerne l’infini mathématique. Voyez Démonstration, Infini, & Incommensurable. Nous ne faisons qu’indiquer ce genre de démonstration ; mais il y en a tant d’exemples dans les ouvrages de Géométrie, que les mathématiciens tant soit-peu exercés nous comprendront aisément. Pour éviter la difficulté des incommensurables, on démontre ordinairement la proposition dont il s’agit, en supposant que deux triangles de même hauteur sont entr’eux comme leurs bases. Mais cette derniere proposition elle-même, pour être démontrée en rigueur, suppose qu’on ait parlé des incommensurables. D’ailleurs elle suppose la mesure des triangles, & par conséquent la géométrie des surfaces, qui est d’un ordre supérieur à la géométrie des lignes. C’est donc s’écarter de la généalogie naturelle des idées, que de s’y prendre ainsi. On dira peut-être que la considération des incommensurables rendra la géométrie élémentaire plus difficile, cela se peut ; mais ils entrent nécessairement dans cette géométrie ; il faut y venir tôt ou tard, & le plûtôt est le mieux, d’autant plus que la théorie des proportions des lignes amene naturellement cette considération : Toute la théorie des incommensurables ne demande qu’une seule proposition, qui concerne les limites des quantités ; savoir que les grandeurs qui sont la limite d’une même grandeur, ou les grandeurs qui ont une même limite, sont égales entr’elles (voyez Limite, Exhaustion, & Différentiel) ; principe d’un usage universel en Géométrie, & qui par conséquent doit entrer dans les élémens de cette science, & s’y trouver presque dès l’entrée.

La géométrie des surfaces se réduit à leur mesure ; & cette mesure est fondée sur un seul principe, celui de la mesure du parallélogramme rectangle qu’on sait être le produit de sa hauteur par sa base. Nous avons expliqué à la fin du mot Equation ce que cela signifie, & la maniere dont cette proposition doit être énoncée dans des élémens, pour ne laisser dans l’esprit aucun nuage. De la mesure du parallélogramme rectangle se tire celle des autres parallélogrammes, celle des triangles qui en sont la moitié, comme le principe de la superposition peut le faire voir ; enfin celle de toutes les figures planes rectilignes, qui peuvent être regardées comme composées de triangles. A l’égard de la mesure du cercle, le principe des limites ou d’exhaustion servira à la trouver. Il suffira pour cela de faire voir que le produit de la circonférence par la moitié du rayon est la limite de l’aire des ploygones inscrits & circonscrits ; & comme l’aire du cercle est aussi évidemment cette limite, il s’ensuit que l’aire du cercle est le produit de la circonférence par la moitié du rayon, ou du rayon par la moitié de la circonférence. Voyez Cercle & Quadrature.

On peut rapprocher la théorie de la proportion des lignes de la théorie des surfaces par ce théorème, que quand quatre lignes sont proportionnelles, le produit des extrèmes est égal au produit des moyennes ; théorème qu’on peut démontrer par la Géométrie sans aucun calcul algébrique ; car le calcul algébrique ne facilite en rien les élémens de Géométrie, & par conséquent ne doit pas y entrer. En rapprochant la théorie des proportions de celle des surfaces, on peut faire voir comment ces deux théories prises séparément s’accordent à démontrer différentes propositions, par exemple, celle du quarré de l’hypothénuse. Ce n’est pas une chose aussi inutile qu’on pourroit le penser, de démontrer ainsi de différentes manieres dans des élémens de Géométrie certaines propositions principales ; par ce moyen l’esprit s’étend & se fortifie en voyant de quelle maniere on fait rentrer les vérités les unes dans les autres.

Dans la géométrie des solides on suivra la même méthode que dans celle des surfaces : on réduira tout à la mesure du parallelépipede rectangle ; la seule difficulté se réduira à prouver qu’une pyramide est le tiers d’un parallelépipede de même base & de même hauteur. Pour cela on fera voir d’abord, ce qui est très-facile par la méthode d’exhaustion, que les pyramides de même base & de même hauteur sont égales ; ensuite, ce qui se peut faire de différentes manieres, comme on le peut voir dans divers élémens de Géométrie, on prouvera qu’une certaine pyramide déterminée est le tiers d’un prisme de même base & de même hauteur ; & il ne restera plus de difficulté. Par ce moyen on aura la mesure de tous les solides terminés par des figures planes. Il ne restera plus qu’à appliquer à la surface & à la solidité de la sphere les propositions trouvées sur la mesure des surfaces & des solides ; c’est dequoi on viendra aisément à-bout par la méthode d’exhaustion, comme on a fait pour la mesure du cercle ; peut-être même pourroit-on, pour plus d’ordre & de méthode, traiter de la surface sphérique dans la géométrie des surfaces.

Nous ne devons pas oublier ici une observation importante. Le principe de la méthode d’exhaustion est simple (voyez Exhaustion) ; mais son application peut quelquefois rendre les démonstrations longues & compliquées. Ainsi il ne seroit peut-être pas mal-à-propos de substituer le principe des infiniment petits à celui d’exhaustion, après avoir montré l’identité de ces deux principes, & avoir remarqué que le premier n’est qu’une façon abregée d’exprimer le second ; car c’est en effet tout ce qu’il est, n’y ayant dans la nature ni infinis actuels, ni infiniment petits. Voyez Infini, Différentiel, Exhaustion, & Limite. Par ce moyen la facilité des démonstrations sera plus grande, sans que la rigueur y perde rien.

Voilà, ce me semble, le plan qu’on peut suivre en traitant de la géométrie élémentaire. Ce plan, & les réflexions générales que nous avons faites à la fin du mot Élémens des Sciences, suffisent pour faire sentir qu’il n’y a aucun géometre au-dessus d’une pareille entreprise ; qu’elle ne peut même être bien exécutée que par des mathématiciens du premier ordre ; & qu’enfin pour faire d’excellens élémens de Geométrie, Descartes, Newton, Leibnitz, Bernoulli, &c. n’eussent pas été de trop. Cependant il n’y a peut-être pas de science sur laquelle on ait tant multiplié les elémens, sans compter ceux que l’on nous donnera sans doute encore. Ces élémens sont pour la plûpart l’ouvrage de mathématiciens médiocres, dont les connoissances en Géométrie ne vont pas souvent au-delà de leur livre, & qui par cela même sont incapables de bien traiter cette matiere. Ajoûtons qu’il n’y a presque pas d’auteur d’élémens de Géométrie, qui dans sa préface ne dise plus ou moins de mal de tous ceux qui l’ont précéde. Un ouvrage en ce genre, qui seroit au gré de tout le monde, est encore à faire ; mais c’est peut-être une entreprise chimérique que de croire pouvoir faire au gré de tout le monde un pareil ouvrage. Tous ceux qui étudient la Géométrie ne l’étudient pas dans les mêmes vûes : les uns veulent se borner à la pratique ; & pour ceux-là un bon traité de géométrie-pratique suffit, en y joignant, si l’on veut, quelques raisonnemens qui éclairent les opérations jusqu’à un certain point, & qui les empêchent d’être bornées à une aveugle routine : d’autres veulent avoir une teinture de géométrie élémentaire spéculative, sans prétendre pousser cette étude plus loin ; pour ceux-là il n’est pas nécessaire de mettre une si grande rigueur dans les élémens ; on peut supposer comme vraies plusieurs propositions, dont la vérité s’apperçoit assez d’elle-même, & qu’on démontre dans les élémens ordinaires. Il est enfin des étudians qui n’ont pas la force d’esprit nécessaire pour embrasser à-la-fois les différentes branches d’une démonstration compliquée ; & il faut à ceux-là des démonstrations plus faciles, dûssent-elles être moins rigoureuses. Mais pour les esprits vraiment propres à cette science, pour ceux qui sont destinés à y faire des progrès, nous croyons qu’il n’y a qu’une seule maniere de traiter les élémens ; c’est celle qui joindra la rigueur à la netteté, & qui en même tems mettra sur la voie des découvertes par la maniere dont on y présentera les démonstrations. Pour cela il faut les montrer, autant qu’il est possible, sous la forme de problemes à résoudre plûtôt que de théorèmes à prouver, pourvû que d’un autre côté cette méthode ne nuise point à la généalogie naturelle des idées & des propositions, & qu’elle n’engage pas à supposer comme vrai, ce qui en rigueur géométrique a besoin de preuve.

On a vû au mot Axiome de quelle inutilité ces sortes de principes sont dans toutes les Sciences ; il est donc très-à-propos de les supprimer dans des élémens de Géométrie, quoiqu’il n’y en ait presque point où on ne les voye paroître encore. Quel besoin a-t-on des axiomes sur le tout & sur la partie, pour voir que la moitié d’une ligne est plus petite que la ligne entiere ? A l’égard des définitions, quelque nécessaires qu’elles soient dans un pareil ouvrage, il nous paroît peu philosophique & peu conforme à la marche naturelle de l’esprit de les présenter d’abord brusquement & sans une espece d’analyse ; de dire, par exemple, la surface est l’extrémité d’un corps, laquelle n’a aucune profondeur. Il vaut mieux considérer d’abord le corps tel qu’il est, & montrer comment par des abstractions successives on en vient à le regarder comme simplement étendu & figuré, & par de nouvelles abstractions à y considérer successivement la surface, la ligne, & le point. Ajoûtons ici qu’il se trouve des occasions, sinon dans des élémens, au-moins dans un cours complet de Géométrie, où certaines définitions ne peuvent être bien placées qu’après l’analyse de leur objet. Croit-on, par exemple, qu’une simple définition de l’Algebre en donnera l’idée à celui qui ignore cette science ? Il seroit donc à-propos de commencer un traité d’Algebre par expliquer clairement la marche, suivant laquelle l’esprit est parvenu ou peut parvenir à en trouver les regles ; & on finiroit ainsi l’ouvrage, la science que nous venons d’enseigner est ce qu’on appelle Algebre. Il en est de même de l’application de l’Algebre à la Géométrie, & du calcul différentiel & intégral, dont on ne peut bien saisir la vraie définition, qu’après en avoir compris la métaphysique & l’usage.

Revenons aux élémens de Géométrie. Un inconvénient peut-être plus grand que celui de s’écarter de la rigueur exacte que nous y recommandons, seroit l’entreprise chimérique de vouloir y chercher une rigueur imaginaire. Il faut y supposer l’étendue telle que tous les hommes la conçoivent, sans se mettre en peine des difficultés des sophistes sur l’idée que nous nous en formons, comme on suppose en méchanique le mouvement, sans répondre aux objections de Zenon d’Elée. Il faut supposer par abstraction les surfaces planes & les lignes droites, sans se mettre en peine d’en prouver l’existence, & ne pas imiter un géometre moderne, qui par la seule idée d’un fil tendu croit pouvoir démontrer les propriétés de la ligne droite, indépendamment du plan, & qui ne se permet pas cette hypothèse, qu’on peut imaginer une ligne droite menée d’un point à un autre sur une surface plane ; comme si l’idée d’un fil tendu, pour représenter une ligne droite, étoit plus simple & plus rigoureuse que l’hypothèse en question ; ou plûtôt comme si cette idée n’avoit pas l’inconvénient de représenter par une image physique grossiere & imparfaite une hypothèse abstraite & mathématique.

Géométrie transcendante ou des courbes. Cette Géométrie suppose le calcul algébrique. Voyez Algebre & Mathématiques. On doit la commencer par la solution des problèmes du second degré au moyen de la ligne droite & du cercle ; & cette théorie peut produire beaucoup de remarques importantes & curieuses sur les racines positives & négatives, sur la position des lignes qui les expriment, sur les différentes solutions dont un problème est susceptible. Voyez au mot Equation la plûpart de ces remarques, qui ne se trouvent pas dans les traités de Géométrie ordinaires ; voyez aussi Racine. On passera de-là aux sections coniques ; la meilleure maniere & la plus courte de les traiter dans un ouvrage de Géométrie (qui ne se borne pas à cette seule matiere), est, ce me semble, d’employer la méthode analytique que nous avons indiquée à la fin de l’article Conique, de les regarder comme des courbes du premier genre ou lignes du second ordre, & de les diviser en especes, suivant ce qui en a été dit à l’article cité & au mot Courbe. Quand on aura trouvé l’équation la plus simple de la parabole, celle de l’ellipse, & celle de l’hyperbole, on fera voir ensuite très-aisément que ces courbes s’engendrent dans le cone, & de quelle maniere elles s’y engendrent. Cette formation des sections coniques dans le cone seroit peut-être la maniere dont on devroit les envisager d’abord, si on se bornoit à faire un traité de ces courbes ; mais elles doivent entrer dans un cours de Géométrie sous un point de vûe plus général. On terminera le traité des sections coniques par la solution des problèmes du troisieme & du quatrieme degré, au moyen de ces courbes ; sur quoi voyez Construction & Equation.

La théorie des sections coniques doit être précédée d’un traité, qui contiendra les principes généraux de l’application de l’Algebre aux lignes courbes. Voyez Courbe. Ces principes généraux consisteront, 1°. à expliquer comment on représente par une équation le rapport des abscisses aux ordonnées ; 2°. comment la résolution de cette équation fait connoître le cours de la courbe, ses différentes branches & ses asymptotes ; 3°. à donner la maniere de trouver par le calcul différentiel les tangentes & les points de maximum & de minimum ; 4°. à enseigner comment on trouve l’aire des courbes par le calcul intégral : par conséquent ce traité contiendra les regles du calcul différentiel & intégral, au-moins celles qui peuvent être utiles pour abréger un traité des sections coniques. Quelques géometres se récrieront peut-être ici sur l’emploi que nous voulons faire de ces calculs dans une matiere où l’on peut s’en passer ; mais nous les renvoyerons à ce que nous avons dit sur ce sujet au mot Ellipse, pag. 517 & 518. du tome V. Nous y avons fait voir par des exemples combien ces calculs sont commodes pour abréger les démonstrations & les solutions, & pour réduire à quelques lignes ce qui autrement occuperoit des volumes. Nous avons d’ailleurs donné au mot Différentiel la métaphysique très-simple & très-lumineuse des nouveaux calculs ; & quand on aura bien expliqué cette métaphysique, ainsi que celle de l’infini géométrique (voyez Infini), on pourra se servir des termes d’infiniment petit & d’infini, pour abréger les expressions & les démonstrations.

En traitant de l’application de l’Algebre aux courbes, on ne les représente guere que par l’équation entre les coordonnées paralleles ; mais il est encore d’autres formes, quoique moins usitées, à donner à leur équation. On peut la supposer, par exemple, entre les rayons de la courbe qui partent d’un centre, & les abscisses ou les ordonnées correspondantes ; comme aussi entre ces rayons, & la tangente, le sinus ou la sécante de l’angle qu’ils forment avec les abscisses ou les ordonnées ; on en voit des exemples au mot Ellipse. Toutes ces équations dans les courbes géométriques sont finies & algébriques ; mais il en est quelquefois qui se présentent ou qui peuvent se présenter sous une forme différentielle ; ce sont celles, par exemple, dans lesquelles un des membres est la différentielle de l’angle formé par le rayon & l’abscisse, & l’autre est une différentielle de quelque fonction de l’abscisse ou du rayon, réductible à un arc de cercle. Par exemple, si j’avois cette équation , z étant l’angle entre le rayon & l’abscisse, x le rayon, & a la valeur du rayon quand z = 0, il est évident que la courbe est géométrique. Car est la différentielle d’un angle dont le cosinus est x, & le rayon a (voyez Cosinus) ; donc cosinus z ; or, si on nomme u & y les abscisses & ordonnées rectangles, on aura  ;  ; & . C’est pourquoi l’équation différentielle , qui paroît ne pouvoir être intégrée que par des arcs de cercle, donnera l’équation en coordonnées rectangles , qui est l’équation d’un cercle dont les coordonnées ont leur origine à la circonférence. Il en est de même de plusieurs autres cas semblables.

Ces sortes d’équations méritent qu’on en fasse une mention expresse dans la Géométrie transcendante, d’autant qu’elles sont très-utiles dans la théorie des trajectoires ou courbes décrites par des projectiles, voyez Trajectoire, & par conséquent dans la théorie des orbites des planetes, voyez Ellipse, Kepler (loi de), Planete, & Orbite. Voyez aussi dans les mém. de l’acad. des Sciences pour l’année 1710. un mémoire de M. Bernoulli sur ce dernier sujet.

Les sections coniques achevées, on passera aux courbes d’un genre supérieur ; on donnera d’abord la théorie des points multiples, des points d’inflexion, des points de rebroussement & de serpentement. Voyez Point multiple, Inflexion, Rebroussement, Serpentement, &c. Ces théories sont fondées en partie sur le calcul algébrique simple, en partie & presque en entier sur le calcul différentiel ; ce n’est pas que ce dernier calcul y soit absolument nécessaire ; mais, quoi qu’on en puisse dire, il abrege & facilite extrèmement toute cette théorie. On n’oubliera pas la théorie si belle & si simple des développées & des caustiques. Voyez Développée, Caustique, Osculateur, &c. Nous ne pouvons & nous ne faisons qu’indiquer ici ces différens objets, dont plusieurs ont déjà été traités dans l’Encyclopédie, & les autres le seront à leurs articles particuliers. Voyez Tangente, Maximum, &c. On entrera ensuite dans le détail des courbes des différens ordres, dont on donnera les classes, les especes, & les propriétés principales. Voyez Courbe. A l’égard de la quadrature & de la rectification de ces sortes de courbes, & même de la rectification des sections coniques, on la remettra à la Géométrie sublime.

Au reste, en traitant les courbes géométriques, on pourra s’étendre un peu plus particulierement sur les plus connues, comme le folium de Descartes, la conchoïde, la cissoïde, &c. Voyez ces mots.

Les courbes méchaniques suivront les géométriques. On traitera d’abord des courbes exponentielles, qui sont comme une espece moyenne entre les courbes géométriques & les méchaniques. Voyez Exponentiel. Ensuite, après avoir donné les principes généraux de la construction des courbes méchaniques, au moyen de leur équation différentielle & de la quadrature des courbes (voyez Construction), on entrera dans le détail des principales & & des plus connues, de la spirale, de la quadratrice, de la cycloïde, de la trochoïde, &c. Voyez ces mots.

Telles sont à-peu-près les matieres que doit contenir un traité de Géométrie transcendante ; nous ne faisons que les indiquer, & que marquer, pour ainsi dire, les masses principales : Un géometre intelligent saura trouver de lui-même, & à l’aide des différens articles de ce Dictionnaire, les parties qui doivent composer chacune de ces masses.

Géométrie sublime. Après le plan que nous avons tracé pour la Géométrie transcendante, on voit que le calcul différentiel & ses usages y sont presqu’épuisés ; il ne reste plus à la Géométrie sublime que le calcul intégral, & son application à la quadrature & à la rectification des courbes. Ce calcul fera donc la matiere principale & presque unique de la Géométrie sublime. Sur la maniere dont on doit le traiter, voyez Intégral.

Nous terminerons cet article par quelques réflexions générales. On a vû au mot Application des observations sur l’usage de l’analyse & de la synthèse en Géométrie. On nous a fait sur cet article quelques questions qui donneront lieu aux remarques suivantes.

1°. Le calcul algébrique ne doit point être appliqué aux propositions de la géométrie élémentaire, par la raison qu’il ne faut employer ce calcul que pour faciliter les démonstrations, & qu’il ne paroît pas y avoir dans la géométrie élémentaire aucune démonstration qui puisse réellement être facilitée par ce calcul. Nous exceptons néanmoins de cette regle la solution des problèmes du second degré par le moyen de la ligne droite & du cercle (supposé qu’on veuille regarder ces problèmes comme appartenant à la géométrie élémentaire, & non comme le passage de la géométrie élémentaire à la transcendante) ; car le calcul algébrique simplifie extrèmement la solution des questions de ce genre, & il abrege même les démonstrations. Pour s’en convaincre, il suffira de jetter les yeux sur quelques-uns des problèmes du second degré qui sont résolus dans l’application de l’Algebre à la Géométrie de M. Guisnée. Après avoir mis un problème en équation, l’auteur tire de cette équation la construction nécessaire pour satisfaire à l’équation trouvée ; & ensuite il démontre synthétiquement & à la maniere des anciens, que la construction qu’il a employée résout en effet le problème. Or la plûpart de ces démonstrations synthétiques sont assez compliquées & fort inutiles, si ce n’est pour exercer l’esprit ; car il suffit de faire voir que la construction satisfait à la solution de l’équation finale, pour prouver qu’elle donne la solution du problème.

2°. Nous croyons qu’il est ridicule de démontrer par la synthèse ce qui peut être traité plus simplement & plus facilement par l’analyse, comme les propriétés des courbes, leurs tangentes, leurs points d’inflexion, leurs asymptotes, leurs branches, leur rectification, & leur quadrature. Les propriétés de la spirale que les plus grands mathématiciens ont eu tant de peine à suivre dans Archimede, peuvent aujourd’hui se démontrer d’un trait de plume. N’y a-t-il donc pas en Géométrie assez de choses à apprendre, assez de difficultés à vaincre, assez de découvertes à faire, pour ne pas user toutes les forces de son esprit sur les connoissances qu’on peut y acquérir à moins de frais ? D’ailleurs combien de recherches géométriques auxquelles la seule analyse peut atteindre ? Les Anglois, grands partisans de la synthèse, sur la foi de Newton qui la loüoit, & qui s’en servoit pour cacher sa route, en employant l’analyse pour se conduire lui-même ; les Anglois, dis-je, semblent par cette raison n’avoir pas fait en Géométrie, depuis ce grand homme, tous les progrès qu’on auroit pu attendre d’eux. C’est à d’autres nations, aux François & aux Allemands, & sur tout aux premiers, qu’on est redevable des nouvelles recherches sur le système du monde, sur la figure de la terre, sur la théorie de la lune, sur la précession des équinoxes, qui ont prodigieusement étendu l’Astronomie-physique. Qu’on essaye d’employer la synthèse à ces recherches, on sentira combien elle en est incapable. Ce n’est qu’à des géometres médiocres qu’il appartient de rabaisser l’analyse, comme il n’appartient de décrier un art qu’à ceux qui l’ignorent. On trouve une espece de consolation à taxer d’inutilité ce qu’on ne sait pas. Nous avons, il est vrai, exposé ailleurs quelques inconvéniens de l’Algebre. Voyez le mot Equation, page 850. tome V. Si la synthèse peut lever ces inconvéniens dans les cas où ils ont lieu, nous conviendrons qu’on devroit préférer la synthèse à l’analyse, du moins en ces cas-là ; mais nous doutons, pour ne rien dire de plus, que la synthèse ait cet avantage ; & ceux qui penseroient autrement, nous obligeroient de nous desabuser.

3°. Il y a cette différence en Mathématique entre l’Algebre & l’Analyse, que l’Algebre est la science du calcul des grandeurs en général, & que l’Analyse est le moyen d’employer l’Algebre à la solution des problèmes. Je parle ici de l’analyse mathématique ; l’emploi qu’elle fait de l’Algebre pour trouver les inconnues au moyen des connues, est ce qui la distingue de l’analyse logique, qui n’est autre chose en général que l’art de découvrir ce qu’on ne connoît pas par le moyen de ce qu’on connoît. Les anciens géometres avoient sans doute dans leurs recherches une espece d’analyse ; mais ce n’étoit proprement que l’analyse logique. Tout algebriste s’en sert pour commencer le calcul ; mais ensuite le secours de l’Algebre facilite extrèmement l’usage & l’application de cette analyse à la solution des problèmes. Ainsi, quand nous avons dit au mot Analyse, que l’analyse mathématique enseigne à résoudre les problèmes, en les réduisant à des équations, nous croyons avoir donné une définition très-juste. Ces derniers mots sont le caractere essentiel qui distingue l’analyse mathématique de toute autre ; & nous n’avons fait d’ailleurs que nous conformer en cela au langage universellement reçu aujourd’hui par tous les géometres algébristes.

4°. On peut appeller l’Algebre géométrie symbolique, à cause des symboles dont l’Algebre se sert dans la solution des problèmes ; cependant le nom de géométrie métaphysique qu’on a donnée à l’Algebre (voyez Algebre), paroît lui être du-moins aussi convenable ; parce que le propre de la Métaphysique est de généraliser les idées, & que non seulement l’Algebre exprime les objets de la Géométrie par des caracteres généraux, mais qu’elle peut faciliter l’application de la Géométrie à d’autres objets. En effet on peut, par exemple, en Méchanique, représenter le rapport des parties du tems par le rapport des parties d’une ligne, & le mouvement d’un corps par l’équation d’une courbe, dont les abscisses représentent les tems, & les ordonnées les vîtesses correspondantes. La Géométrie, sur-tout lorsqu’elle est aidée de l’Algebre, est donc applicable à toutes les autres parties des Mathématiques, puisqu’en Mathématique il n’est jamais question d’autre chose, que de comparer des grandeurs entr’elles ; & ce n’est pas sans raison que quelques géometres philosophes ont défini la Géométrie la science de la grandeur en général, entant qu’elle est représentée ou qu’elle peut l’être par des lignes, des surfaces, & des solides.

Sur l’application de la Géométrie aux différentes sciences, voyez Application, Méchanique, Optique, Physique, Physico-Mathématique, &c. (O)

* Géométrie souterreine ; ce n’est autre chose que l’application de la Géométrie élémentaire à plusieurs problèmes particuliers de l’exploitation des mines. Cette application a trois objets principaux. La dimension des filons, leur inclinaison à l’horison, & leur direction relative aux points cardinaux du monde, forment le premier ; la distance à mesurer d’un point quelconque d’une galerie à un point quelconque de la surface ou de l’intérieur de la terre, ou réciproquement la distance à mesurer d’un point quelconque de la surface ou de l’intérieur de la terre à un point quelconque d’une galerie, est le second ; la description ichnographique, orthographique & scénographique d’une mine, est le troisieme.

Déterminer les espaces dans lesquels il est permis à un particulier de chercher de la mine ; arriver aux galeries par le plus court chemin ; marquer la voie par laquelle il convient d’éloigner les eaux ; tracer la tête, la queue, l’étendue, la rencontre des veines & des filons métalliques ; faire circuler l’air dans les profondeurs de la terre, en attirer les vapeurs nuisibles ; telles sont les fonctions principales d’un conducteur de mines, & les plus grandes difficultés de son art. Voyez les articles Mine, Mineur.

La Géométrie soûterreine a abandonné l’ancienne division de la circonférence en 360 parties ; elle y en a substitué une qui lui est plus commode, de la circonférence en 24 heures, & de chaque heure en 8 parties. La circonférence n’ayant par ce moyen que 192 parties, chacune de ces parties devient sensible sur un cercle qui n’auroit qu’un doigt ou qu’un doigt & demi de diametre ; la pointe de l’aiguille aimantée, si c’est une boussole, la montre plus distinctement, & cela est important dans le fond des entrailles de la terre, où l’on n’est éclairé qu’à la lueur des lumieres artificielles.

La circonférence du cercle de la Géométrie soûterreine a donc 192 parties ou degrés, la demi-circonférence 96, & le quart de la circonférence 48 degrés ou 6 heures. Les 6 heures qu’une des extrémités de la méridienne partage en deux, s’appellent heures septentrionales ou méridionales, selon l’extrémité & sa direction. Les 6 heures que la linge qui coupe perpendiculairement la méridienne, & qui passe par le centre du cercle, divise en deux parties égales, s’appellent aussi, selon l’extrémité & la direction de cette ligne, heures orientales ou occidentales.

L’ouverture perpendiculaire AB (voyez la Planche soûterr. parmi celles de Minéralog.) poussée de la surface de la terre à une galerie qui sert à introduire l’air, de passage aux ouvriers, & de sortie au minerai, s’appelle une burre ou un puits. On établit en A la machine connue sous le nom de chevre ou de treuil. Voy. Chevre, &c. La largeur de la burre ou du puits est proportionnée à son usage ; elle varie selon que le puits ne sert que de passage aux ouvriers, ou qu’il sert en même tems de sortie aux minerais. Dans le premier cas, sa largeur est d’une demi-perche métallique ; dans le second il est de la même dimension, mais sa longueur est d’une perche entiere.

On entend en général par une galerie, une caverne artificielle pratiquée dans les entrailles de la terre : il est important d’en connoître l’obliquité, les sinuosités, les directions. On lui donne le nom d’ascendante ou de descendante, lorsque supposant une ligne horisontale tracée au point d’où on la considere, elle s’éleve au-dessus ou descend au-dessous de cette ligne ; d’où l’on voit que cette dénomination d’ascendante & de descendante n’étant relative qu’au point où le mineur est placé, & ce point pouvant varier d’un moment à l’autre, une galerie peut d’un moment à l’autre prendre le nom d’ascendante de descendante qu’elle étoit, & réciproquement.

L’aune ou la perche métallique est divisée en 8 parties ou piés, chaque huitieme partie ou chaque pié en dix doigts, & chaque doigt en dix lignes, scrupules ou minutes : ainsi la perche métallique a 800 lignes, minutes ou scrupules. Il est bon de remarquer qu’elle n’est pas la même par tout. Ce nombre , signifie 4 aunes, 5 piés, 7 doigts, 9 scrupules.

Cela supposé, voici quelques exemples des regles d’Arithmétique relatives à ces mesures.

Soit à ajoûter avec , vous direz : 8 & 6 font 14 ; je pose 4 & je retiens 1 : 5 & 1 de retenu font 6, & 1 font 7″ ; 3 & 7 font 10′, ou dix piés. Mais dix piés sont une aune & 2 piés : je pose donc 2′ ; je retiens , qui avec les nombres 9 & 18 donne 28′ ou 2 aunes. La somme est donc .

Soit à soustraire de je dis 6 de 14, reste 4, & j’écris 4‴ ; 2 de 7, reste 5, & j’écris 5″ ; 7 de 2 ne se peut. Il faut ajoûter au 2 une unité ; mais que vaut cette unité ? une aune ou huit piés : ainsi je dis, 7 de 10, reste 3, & j’écris 3′ ; 19 de 28, reste 9, & j’écris  : le reste est donc

Soit à multiplier par 6, je dis : 6 fois 9 font 54 ; je pose 4‴ & je retiens 5″ : 6 fois 7 font 42, & 5 de retenus font 47 ; je pose 7″ & retiens 4′ : 6 fois 5 font 30, & 4 de retenus font 34, ou 4 aunes de huit piés & deux piés ; donc je pose 2′ & retiens . 6 fois 4 font 24, & 4 de retenus font 28 : le produit est donc

La division se fait en opérant sur la plus grande espece possible, si cela se peut ; & si cela ne se peut pas, en réduisant cette grande espece à l’espece suivante, & opérant ensuite. Ainsi, soit à diviser par 8, je dis : en 28 combien de fois 8 ? fois, & j’écris 3 au quotient ; il reste au dividende 4, ou aunes de chacune 8 piés ou 32′, qui avec 2′ font 34′. Je dis donc : en 34 combien de fois 8 ? 4 fois, & j’écris 4′ au quotient. Il reste au dividende 2′, ou 2 piés de chacun 10 doigts, c’est-à-dire 20″, qui font avec 7″, 27″ ; & je dis : en 27″ combien de fois 8 ? 3 fois : j’écris 3″ au quotient. Il reste au dividende 3″ ou 30 minutes, qui avec 4‴ font 34‴. Je dis : en 34 combien de fois 8 ? 4 ; j’écris 4‴ au quotient. Il reste 2‴ au dividende : j’ai donc pour quotient avec la fraction .

Lorsqu’on s’est familiarisé avec l’arithmétique du mineur, il faut connoître ses instrumens. Le premier est un niveau qu’on voit Planche de Géomét. soûterr. fig. 1. c’est un demi-cercle de laiton, mince, divisé en degrés, demi-degrés, & même quart de degrés. Il a deux crochets, K, H, au moyen desquels on l’accroche sur la corde du genou, fig. 5. Du centre de ce niveau pend un plomb L, tenu par un fil ou un crin. Ce fil indique l’inclinaison à l’horison du fil ou de la ligne KI du genou, figure 5.

Le second est une boussole qu’on voit même Planche, figure 2. Elle est composée d’un grand anneau de cuivre CEDF à deux crochets A, B, dont l’usage est le même que des crochets KH du niveau qu’on voit figure 1. Dans ce premier anneau on en a adapté un second, CLDG, plus leger, & dont le plan coupe à angles droits le plan du premier. Entre ces deux anneaux est suspendue une boîte de boussole mobile sur des pivots en L & en G. Le tour de cette boussole est divisé en 24 parties qu’on appelle heures (nous avons expliqué plus haut ce que c’est qu’une heure), & chaque heure en 8 minut. Le nord est en E, le sud en F, l’est en G, & l’oüest en L. Ces deux derniers points sont marqués en sens contraire de ce qu’ils sont ordinairement dans les autres boussoles. La boîte de la boussole étant mobile sur les pivots L, G, quelle que soit la position des anneaux entre lesquels elle est retenue, elle gardera toûjours son parallelisme à l’horison. Cet instrument indiquera commodément la position des filons & des galeries, relativement aux points cardinaux du monde. Dans l’usage, on place toûjours la ligne méridienne dans le milieu de la galerie, le septentrion selon sa direction ; & ce sont les écarts de l’aiguille aimantée de la ligne méridienne qui indiquent les écarts de la direction de la galerie, des points cardinaux du monde. Si donc la galerie est dirigée vers l’orient, c’est-à-dire si sa direction s’écarte à droite de la ligne méridienne, la pointe de l’aiguille aimantée tournera vers la gauche de la quantité de cet écart, & sa pointe marquera à gauche l’heure orientale. Voilà la raison pour laquelle dans la boussole du mineur on a transposé les points d’orient & d’occident, des lieux qu’ils occupent dans la boussole ordinaire. On voit, figure 3. même Planche, le cadran de la boussole divisé en heures & en minutes.

Le troisieme, qu’on voit figure 6. est un trace-ligne. C’est une petite boîte de bois d’ébene, de boüis ou d’ivoire, de forme rectangulaire, garnie de deux pinnules RR, dans la concavité de laquelle on place la boussole de la figure 2. en la séparant de ses anneaux : la méridienne doit coïncider avec les pinnules. La longueur AC de cet instrument est de 6 à 7 pouces, & sa largeur CD de 4. Les pinnules peuvent se rabattre sur le plan de l’instrument ; il sert à rapporter ou sur le papier ou sur le terrein, les directions trouvées par le moyen du second instrument.

La seule chose qu’il y ait à observer dans l’usage de ces instrumens, c’est la variation de l’aiguille aimantée dans différens lieux, & dans le même lieu en différens tems. Cette variation oblige quelquefois à des corrections d’autant plus nécessaires, que les galeries où les angles ont été pris sont plus longues, plus éloignées les unes des autres. Il n’est pas non plus inutile de savoir que le froid gênant le mouvement de l’aiguille, il est à-propos en hyver, avant que de descendre l’instrument dans la mine, de l’avoir échauffé dans une étuve. Les autres causes d’erreur, tels que le voisinage du fer, qui occasionneroient des erreurs, sont assez connues.

Le quatrieme instrument est le genou. Voyez cet instrument, même Planche, fig. 5. C’est une regle de bois AE, avec ses deux pinnules BC, à fenêtres & à fente. Les fenêtres sont divisées par un fil vertical, & un autre horisontal. La fente a un petit trou rond, par lequel on regarde pour pointer la croisée des fils sur l’objet qu’on veut. Les deux mires doivent être exactement paralleles. KI est un fil de laiton appuyé sur deux chevalets, retenu d’un bout par une boucle, & placé de l’autre sur une cheville. Comme ce fil KI doit toûjours être parallele aux lignes de mire, il leur faut un certain degré de tension, qu’on lui donne avec la cheville E. FF est un boulon à tête, terminé par une vis ; c’est autour de ce boulon que le genou est mobile dans le sens vertical. La boîte du boulon est adhérente à une douille GH, dans laquelle on fait entrer le pié de l’instrument ; par ce moyen le genou est mobile horisontalement. C’est sur le fil qu’on suspend, comme nous l’avons dit, les instrumens représentés fig. 1. & fig. 2.

On peut encore, pour plus de commodité, ajoûter à ces instrumens le secours de quelques autres ; mais les précédens sont les plus importans, & suffisent.

On n’a proprement à résoudre dans toute cette Géométrie, que des triangles rectilignes. Son premier théorème consiste à trouver par le niveau d’inclinaison l’angle aigu C, dans un triangle rectangle en B. Le fil Ai marque la perpendiculaire, & l’arc Hi donne la quantité de cet angle. Les inconnues du reste de ce triangle se découvriront par le moyen des tables des sinus, & par les regles de la Trigonométrie.

Si l’on propose de donner les dimensions d’une mine où l’aiguille aimantée n’est point troublée par le voisinage d’une mine de fer, l’ingénieur mesure sa profondeur, y descend avec ses instrumens, la parcourt ; prend les distances qui lui sont nécessaires, & les angles dont il a besoin, & porte ces choses sur des feuilles de papier. Il s’est d’abord établi une échelle ; par ce moyen il acheve son travail, ou dans la mine même, ou quand il en est sorti. Si la mine est une mine de fer, son travail n’est pas plus difficile ; il sait quels sont les instrumens dont il ne doit pas se servir, & notre figure 8. lui montre les triangles qu’il a à prendre & à résoudre. A-t-il une ligne droite à tracer dans un endroit impratiquable ? il n’a qu’à jetter les yeux sur notre fig. 9. La fig. 10. lui indiquera la maniere de trouver quel point de la surface de la terre correspond à un point donné dessous ; la fig. 11. la maniere de tracer une ligne droite sur une surface inclinée & inégale ; la fig. 12. comment il s’y prendra pour tracer la ligne qui communique d’une mine à une autre ; la fig. 13. la maniere de pénétrer d’un point de la surface de la terre à un lieu donné de la mine ; la fig. 14. comment il déterminera le point de la mine qui correspond verticalement à un point donné dessus ; enfin la figure 15. les opérations qui doivent se faire à la surface du terrein, pour la résolution de la plûpart des problèmes.

C’est à ces problèmes que se réduit toute la Géométrie soûterreine ; d’où l’on voit qu’elle n’est autre chose, comme nous l’avons dit plus haut, qu’une application de la Trigonométrie à quelques cas particuliers ; & qu’elle n’exige que la connoissance des instrumens que nous avons décrits, & de ceux dont l’ingénieur & l’arpenteur font usage. Celui qui en voudra savoir davantage là-dessus, peut consulter les institutions de Weidler, l’ouvrage d’Agricola sur la Métallurgie, Erasme Reinhold, Beyer, Raigtel, Sturmius, Jugel, & de Oppel. Ces auteurs sont tous allemands. On conçoit aisément que la Géométrie soûterreine a dû prendre naissance en Allemagne, où les hommes ont ou principalement des intérêts à discuter dans les entrailles de la terre.